Иродов

И. Е. ИРОДОВ

^ЗАДАЧИ

_{ПО ОБЩЕЙ ФИЗИКЕ}

Допущено Министерством

высшего и среднего

специального образования СССР

в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1979

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.................................. 5

Несколько советов по решению задая.................... 6

Принятые обозначения.........-................... 8

Часть 1. Физические основы механики.................... 9

1.1. Кинематика............................... 9

1.2. Основное уравнение динамики................... 17

1.3. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса ... 26

1.4. Всемирное тяготение......................... 40

1.5. Динамика твердого тела....................... 43

1.6. Упругие деформации твердого тела................. 54

1.7. Гидродинамика............................ 57

1.8. Релятивистская механика...................... 62

Часть 2. Термодинамика и молекулярная физика.............. 69

2.1. Уравнение состояния газа. Процессы............... 69

2.2. Первое начало термодинамики. Теплоемкость.......... 72

2.3. Молекулярно-кинетическая теория. Распределения Максвелла и Больцмана.............................. 76

2.4. Второе начало термодинамики. Энтропия............. 81

2.5. Жидкости. Капиллярные явления................= 87

2.6. Фазовые превращения........................ 89

2.7. Явления переноса ...»...................... 93

Часть 3. Электродинамика........................... 98

3.1. Постоянное электрическое поле в вакууме............ 98

3.2. Проводники н диэлектрики в электрическом поле......... 104

3.3. Электроемкость. Энергия электрического поля.......... 111

3.4. Электрический ток.......................... 117

3.5. Постоянное магнитное поле. Магнетики.............. 129

3.6. Электромагнитная индукция. Уравнения МвксВелла....... 139

3.7. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях 152

Часть 4. Колебании и волиы......................... 158

4.1. Механические колебания....................... 158

4.2. Электрические колебания...................... 171

4*3. Упругие волны. Акустика...................... 179

(4Л) Электромагнитные волны. Излучение................ 184

Часть 5. Оптика................................. 189

tФотометрия и геометрическая оптика............... 189

Интерференция света............................ 199

Дифракция света........................... 205

Поляризация света....................... 215

Дисперсия и поглощение света................... 223

Оптика движущихся источников.................. 227

5.7. Тепловое излучение. Квантовая природа света.......... 230

1* 3

Чаешь 6. Атомная и ядерная физика..................... 236

6.1. Рассеяние частяц. Атом Резерфорда — Бора........... 236

6.2. Волновые свойства частиц...................... 241

6.3. Свойства атомов. Спектры...................... 247

6.4. Молекулы и кристаллы....................... 254

6.5. Радиоактивность........................... 260

6.6. Ядерные реакции........................... 263

6.7. Элементарные частицы........................ 263

Ответы и решения............................... 271

Приложения................................... 347

1. Основные тригонометрические формулы............... 347

2. Таблица синусов........................... 348

3. Таблица тангенсов.......................... 349

4. Таблица десятичных логарифмов.................. 350

5. Показательные функции ...................... 352

6. Греческий алфавит.......................... 354

7. Некоторые постоянные числа и приближенные формулы..... 354

8. Некоторые сведения о векторах................... 354

9. Таблица производных и интегралов................. 355

10. Астрономические величины...................... 356

11. Плотности веществ.......................... 356

12- Коэффициенты теплового расширения................ 357

13. Упругие постоянные. Предел прочности.............. _т357

14. Давление насыщенных паров воды................. 357

15. Постоянные газов........................... 358

16. Постоянные жидкостей и твердых тел............... 358

17. Диэлектрические проницаемости................... 359

18. Удельные сопротивления проводников............... 359

19. Магнитные восприимчивости пара- и днамагнетиков........ 359

20. Показатели преломления....................... 360

21. Вращение плоскости поляризации.................. 360

22. Работа выхода электрона из металлов............... 361

23. Край К -полосы поглощения..................... 361

24. Массовые коэффициенты ослабления................ 361

25. Потенциалы ионизации атомов.................... 362

26. Массы легких атомов......................... 362

27. Периоды полураспада радиоизотопов................ 362

28. Единицы физических величин.................... 363

29. Основные формулы электродинамики в СИ и гауссовой системе 365

30. Основные физические константы................... 367

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый сборник задач представляет собой радикально переработанный «Сборник задач по общей физике» Иродова И. Е., Савельева И. В. и Замши О. И., изданный в 1975 году. Переработка является настолько существенной, что данное пособие следует рассматривать как созданное заново. Особенно сильной переработке подверглись части 2 (термодинамика и молекулярная физика), 3 (электродинамика) и 6 (атомная и ядерная физика). Проведена перекомпановка материала сборника, в частности, введена новая часть 4 (колебания и волны). Значительное число задач заменено или улучшено и, кроме того, добавлено еще около 500 задач.

Для удобства и экономии времени учащихся в начале каждого раздела введена сводка основных формул на соответствующий материал. Формулы приведены, как правило, без подробных пояснений: предполагается, что смысл входящих в них величин студенту, приступающему к решению задач, уже известен. Пояснения даны лишь в тех случаях, где по тем или иным причинам могут возникнуть недоразумения.

Все формулы в основном тексте и ответах приведены в система СИ, за исключением части 6, где использована гауссова система. Исходные данные и числовые ответы задач даны с учетом точности соответствующих величин и правил действий над приближенными числами.

Сборник предназначен в качестве учебного пособия в основном для студентов вузов с расширенной программой по физике.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность профессору И. В. Савельеву за большую помощь и внимание, оказанные им в процессе работы над рукописью данной книги, а также всем товарищам, которые сообщили свои замечания по отдельным задачам и тем самым способствовали улучшению сборника.

И. Иродов

НЕСКОЛЬКО СОВЕТОВ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

1« Прежде всего ознакомьтесь с таблицами приложения, так как решение многих задач без них невозможно. Кроме того, содержащийся в этих таблицах справочный материал значительно облегчит Вашу работу и сэкономит время.

2« Приступая к решению задачи, хорошо вникните в ее смысл и постановку вопроса. Установите, все ли данные, необходимые для решения задачи, приведены. Недостающие данные можно найти в таблицах приложения. Если позволяет характер задачи, обязательно сделайте схематический рисунок, поясняющий ее сущность, — это во многих случаях резко облегчает как поиск решения, так и само решение.

3. Каждую задачу решайте, как правило, в общем виде (т. е. в буквенных обозначениях), так чтобы искомая величина была выражена через заданные величины. Решение в общем виде придает окончательному результату особую ценность, ибо позволяет установить определенную закономерность, показывающую, как зависит искомая величина от заданных величин. Кроме того, ответ, полученный в общем виде, позволяет судить в значительной степени о правильности самого решения (см. следующий пункт).

4« Получив решение в общем виде, проверьте, правильную ли оно имеет размерность. Неверная размерность есть явный признак ошибочности решения. Если возможно, исследуйте поведение решения в предельных частных случаях. Например, какой бы вид ни имело выражение для силы гравитационного взаимодействия между двумя протяжёнными телами, с увеличением расстояния между телами оно должно непременно переходить в известный закон взаимодействия точечных масс. В противном случае можно сразу утверждать: решение неверное.

5. Приступая к вычислениям, помните, что числовые значения физических величин всегда являются приближенными. Поэтому при расчетах руководствуйтесь правилами действий с приближенными числами. В частности, в полученном значении вычисленной величины нужно сохранить последним тот знак, единица которого еще превышает погрешность этой величины. Все следующие цифры надо отбросить.

6. Получив числовой ответ, оцените его правдоподобность. Такая оценка может в ряде случаев обнаружить ошибочность полученного результата. Так, например, дальность полета брошенного человеком камня не может быть порядка 1 км, скорость тела не может ока» заться больше скорости света в вакууме и т. п.

■ ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Векторы обозначены жирным прямым шрифтом, например г, F; та же буква светлым шрифтом (г, F) означает модуль вектора.

Орты—единичные векторы: I, j, к —орты декартовых [координат х, у, г (иногда е_х, г_у, е_г), *р> е_ф, е_г—орты цилиндрических координат р, ф, г, n, t — орты нормали и касательной.

Средние величины отмечены скобками ( ), например (v), (Р).

Символы Д, d и 6 перед величинами означают: Л —конечное приращение величины, например Дт=г₂—г^, AU = U₂—Uf, d—дифференциал (бесконечно малое приращение), например dt, dU, 6 — элементарное значение величины, например 8А—элементарная работа.

Производная по времени от произвольной функции £ обозначена df/dt илв точкой, стоящей над функцией, /.

Векторный оператор V («набла>). Операции с ним обозначены так: \ф—градиент <р (grad <р), V-E—дивергенция Е (div Е), VXE —ротор Е (rot Е).

Интегралы любой кратности. обозначены одним-едннственным знаком J в

различаются лишь обозначением элемента интегрирования: dV — по объему, dS — по [поверхности, dt — по линии. Знаком <у обозначен интеграл или по замкнутой поверхности, или по замкнутому контуру.

Часть 1

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

1.1. Кинематика

Средние векторы скорости и ускорения точки:

<v> = *_, <w>-Ј. (1.U)

где Дг —вектор перемещения (приращение радиус-вектора), ф Скорость и ускорение точки:

^V=^T' ^w=dr ^(11б)

% Ускорение точки в проекциях на касательную а нормаль к траектории:

dvr vⁱ

где R—радиус кривизны траектории в данной точке. О Путь, пройденный точкой:

s = ^vdt, (l.lr)

где v—модуль вектора скорости точки.

ф Угловая скорость н угловое ускорение твердого тела:

dtp _а dio

^ш=-1- ^р==-зг- ^(11д)

ф Связь между линейными н угловыми величинами при вращении ^твердого тела:

v=[c»r], w_n = <sPR, \w_x\ = $R, (l.le)

где г — радиус-вектор рассматриваемой точки относительно произвольной точки оси вращения, R—расстояние от оси вращения.

1.1. Катер, двигаясь вниз по реке, обогнал плот в пункте А. Через т = 60 мин после этого он повернул обратно и затем встретил плот на расстоянии / = 6,0 км ниже пункта А. Найти скорость течения, если при движении в обоих направлениях мотор катера работал одинаково.

1.2. Точка прошла половину пути со скоростью v₀. Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью v_lt а

последний участок — со скоростью и₂- Найти среднюю за все время движения скорость точки.

1.3. Автомашина движется с нулевой начальной скоростью по прямому пути сначала с ускорением w = 5,0 м/с², затем равномерно и, наконец, замедляясь с тем же ускорением w, останавливается. Все время движения т = 25 с. Средняя скорость за это время (v) = 72 км/ч. Сколько времени автомашина двигалась равномерно?

1.4. Точка движется по прямой в одну сторону. На рис. 1.1 показан график пройденного ею пути s в зависимости от времени L Найти с помощью этого графика:

а) среднюю скорость точки за время движения;

б) максимальную скорость;

в) момент времени t_Q, в который мгновенная скорость равна средней скорости за первые t₀ секунд;

г) среднее ускорение за первые 10 и 16 с.

1.5. Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями v_t и v₂. Их радиус-векторы в начальный момент равны г_х и г₂. При каком соотношении между этими четырьмя векторами частицы испытают столкновение друг с другом?

1.6. Корабль движется по экватору на восток со скоростью v₀ = 30 км/ч. С юго-востока под углом ф = 60^е к экватору дует ветер со скоростью v = 15 км/ч. Найти скорость v' ветра относительно корабля и угол <р' между экватором и направлением ветра в системе отсчета, связанной с кораблем.

1.7. Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой

же — все время держать курс перпендикулярно к течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью и. При каком значении и оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, если скорость течения v₀ = 2,0 км/ч и скорость каждого пловца относительно воды v' = 2,5 км/ч?

^Щ^От бакена, который находится на середине широкой реки, отошли две лодки, А я В. Обе лодки стали двигаться по взаимно перпендикулярным прямым: лодка А — вдоль реки, а лодка В — поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки вернулись затем обратно. Найти отношение времен движения лодок х_А/х_в, если скорость каждой лодки относительно воды в т] = = 1,2 раза больше скорости течения.

1.9. Лодка движется относительно вода со скоростью, в п = = 2,0 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше?

1.10. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно — вертикально вверх, другое — под углом Ф = 60* к горизонту. Начальная скорость каждого тела v₀ = 25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через t = 1,70 с.

1.11. Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле тяжести. В начальный момент "частицы находились в одной точке и имели скорости v_t = 3,0 м/с и у₂ = 4,0 м/с, направленные горизонтально и в противоположные стороны. Найти расстояние между частицами в момент, когда векторы их скоростей окажутся взаимно перпендикуля р ными.

(ТГПрТри точки находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Они начинают одновременно двигаться с постоянной по модулю скоростью v, причем первая точка все время держит курс на вторую, вторая — на третью, третья — на первую. Через сколько времени точки встретятся?

1.13. Точка А движется равномерно со скоростью v так, что вектор v все время «нацелен» на точку В, которая в свою очередь движется прямолинейно и равномерно со скоростью и < v, В начальный момент vie, и расстояние между точками равно L Через сколько времени точки встретятся?

1.14. Поезд длины / = 350 м начинает двигаться по прямому пути с постоянным ускорением w = 3,0-Ю^-2 м/с²- Через t = 30 с после начала движения был включен прожектор локомотива (событие 1), а через х — 60 с после этого — сигнальная лампа в хвосте поезда (событие 2). Найти расстояние между этими событиями в системах отсчета, связанных с поездом и Землей. Как и с какой постоянной скоростью V относительно Земли должна перемещаться некоторая /(-система отсчета, чтобы оба события произошли в ней в одной точке?

1.15. Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно 2,7 м, начала подниматься с постоянным ускорением 1,2 м/с².

Через 2,0 с после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти:

а) время свободного падения болта; ■•>.*

б) перемещение и путь болта за время свободного падения в системе отсчета, связанной с шахтой лифта.

1.16. Две частицы, / и 2, движутся с постоянными скоростями v_tи v₂ по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент t = 0 частицы находились на расстояниях 1\ и /₂ от точки О. Через сколько времени после этого расстояние между частицами станет наименьшим? Чему оно равно?

1.17. Из пункта Л, находящегося на шоссе (рис. 1.2), необходимо за кратчайшее время попасть на машине в пункт В, расположенный в поле на расстоянии I от шоссе. Известно, что скорость машины по полю в ц раз меньше ее скорости по шоссе. На каком расстоянии от точки D следует свернуть с шоссе?


/ f			\
1	2	3	Ч	6	^/	7 t
				\	г

Рис. J.2. Рис. J.3,

1.18. Точка движется вдоль оси х со скоростью, проекция которой v_x как функция времени описывается графиком (рис. 1.3).

* Имея в виду, что в момент t = 0 координата точки х = 0, начертить примерные графики зависимостей от времени ускорения w_xtкоординаты х и пройденного пути s.

1.19. За промежуток времени х = 10,0 с точка прошла половину окружности радиуса R = 160 см. Вычислить за это время:

а) среднюю скорость (v);

б) модуль среднего вектора скорости |(v)|;

в) модуль среднего вектора полного ускорения | (w)|, если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением.

1.20. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону г = at (1 —at), где а — постоянный вектор, а — положительная постоянная. Найти:

а) скорость v и ускорение w частицы в зависимости от времени;

б) промежуток времени Д£, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь s, который она пройдет при этом.

1.21. В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость меняется со временем по закону v = v₀ (1 — t/x), где v₀ — вектор начальной скорости, модуль которого о₀ = 10,0 см/с, т = 5,0 с. Найти:

а) координату х частицы в моменты времени 6,0, 10 и 20 с;

б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10,0 см от начала координат;

. в) путь s, пройденный частицей за первые 4,0 и 8,0 с; изобразить примерный график s (t).

. 1.22. Частица движется в положительном направлении оси я так, что ее скорость меняется по закону v = а]/1с, где а — положительная постоянная. Имея в виду, что в момент t = 0 она находилась в точке х = 0, найти:

а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы;

б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет первые s метров пути.

1.23. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v по закону w = а~У~д, где а — положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна v₀. Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

1.24. Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется со временем t по закону г = ей—ЬР\, где а и Ь — положительные постоянные, i и j — орты осей хну. Найти:

а) уравнение траектории точки у (х); изобразить ее график;

б) зависимости от времени векторов скорости v, ускорения w и модулей этих величин;

в) зависимость от времени угла а между векторами w и v;

г) средний вектор скорости за первые t секунд движения и модуль этого вектора.

1.25. Точка движется в плоскости ху по закону: х — at, у = = at (1 — at), где с и а — положительные постоянные, t — время. Найти:

а) уравнение траектории точки у (х); изобразить ее график;

б) скорость v и ускорение w точки в зависимости от времени;

в) момент t₀, в который вектор скорости составляет угол я/4 с вектором ускорения.

\) 1.26. Точка движется в плоскости ху по закону х = a sin (at, у = а (1 —cos ®0, где а и ю — положительные постоянные. Найти:

а) путь s, проходимый точкой за время т;

б) угол между векторами скорости и ускорения точки.

1.27. Частица движется в плоскости ху с постоянным ускорением w, направление которого противоположно положительному направлению оси у. Уравнение траектории частицы имеет вид у = ах — Ъх^%, где а и Ъ — положительные постоянные. Найти скорость частицы в начале координат.

1.28. Небольшое тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) перемещение тела в функции времени г (t);

б) средний вектор скорости (v) за первые t секунд и за все время движения.

1.29. Тело бросили с поверхности Земли под углом а к гори-вонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) время движения; _х

б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком значении угла а они будут равны друг другу;

в) уравнение траектории у (х), где у и х — перемещения тела во вертикали и горизонтали соответственно;

г) радиусы кривизны начала и вершины траектории.

1.30. Имея в виду условие предыдущей задачи, изобразить примерные графики зависимости от времени модулей векторов нормального w_n и тангенциального w_x ускорений, а также проекции вектора полного ускорения w_v на направление вектора скорости.

1.31. Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол га с горизонтом. Пролетев расстояние h, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразится второй раз?

1.32. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха?

1.33.: Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью у₀ = 250 м/с: первый — под углом Ф_х = 60* к горизонту, второй — под углом Ф₂ = 45* (азимут один и тот же). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

1.34. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли. Скорость его подъема постоянна и равна v₀. Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости v_x = ay, где а — постоянная, у — высота подъема. Найти зависимости от высоты подъема:

а) величины сноса шара х (у);

б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара.

1.35. Частица движется в плоскости ху со скоростью v = а\ + + bx), где i и j — орты осей хиу,анЬ — постоянные. В начальный

t ~ момент частица находилась в точ-ке х — у — 0. Найти: dft——а а) уравнение траектории части-

_/ Цы у (х);

О ч^—-—-—^-б) радиус кривизны траектории

в зависимости от х. Рж. 1А. 1.36. Частица А движется в одну

сторону по некоторой заданной траектории с тангенциальным ускорением w_x — ат, где а — постоянный вектор, совпадающий по направлению с осью х (рис. 1.4), а т — единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором

скорости в данной точке. Найти зависимость от х скорости частицы, если в точке х = 0 ее скорость пренебрежимо мала.

1.37. Точка движется по окружности со скоростью v = at, где а = 0,50 м/с². Найти ее полное ускорение в момент, когда она Пройдет п = 0,10 длины окружности после начала движения.

1.38, Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса R так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент t =s= 0 скорость точки равна v₀. Найти:

а) скорость точки в зависимости от времени и от пройденного пути s;

б) полное ускорение точки в функции скорости и пройденного пути.

-J 1.39« Точка движется по дуге окружности радиуса /?. Ее скорость зависит от пройденного пути s по закону v = аУТ, где а — постоянная. Найти угол и между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от s.

1.40. Частица движется по дуге окружности радиуса R по закону I — a sin Ы, где / — смещение из начального положения, отсчитываемое вдоль дуги, о и со — постоянные. Положив R = = 1,00 м, а = 0,80 м и о> = 2,00 рад/с, найти:

а) полное ускорение частицы в точках / = 0 и ±щ

б) минимальное значение полного ускорения w_m и смещение 1_т, ему соответствующее.

1.41« Точка движется по плоскости так, что ее тангенциальное ускорение w_t = а, а нормальное ускорение w„ = bt¹, где а и b — положительные постоянные, t — время. В момент t = 0 точка покоилась. Найти зависимости от пройденного пути s радиуса кривизны R траектории точки и ее полного ускорения w.

*J 1.42. Частица движется с постоянной по модулю скоростью в по плоской траектории у (х). Найти ускорение частицы в точке х = 0 и радиус кривизны траектории в этой точке, если траектория имеет вид:

а) параболы у = ах²;

б) эллипса (х/а)² + {уIV)² = 1. Здесь а и b — постоянные.

1.43« Частица А движется по окружности радиуса R = 50 см так, что ее радиус-вектор г относительно точки О (рис. 1.5) поворачивается с постоянной угловой скоростью со = 0,40 рад/с. Найти модуль скорости частицы, а также модуль и направление вектора ее полного ускорения.

1.44. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол <р его поворота зависит от времени как <р = at², где а = 0,20 рад/с². Найти полное ускорение w точки А на ободе колеса в момент i = 2,5 с, если линейнаяjjpapость точки А в этот момент v =

Рис. 13.

1.45. Снаряд вылетел со скоростью v = 320 м/с, сделав внутри ствола п = 2,0 оборота. Длина ствола / = 2,0 м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую ск% рость вращения вокруг оси в момент вылета.

1.46. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по з*г кону ф = at — Ы?, где а = 6,0 рад/с, b = 2,0 рад/с³. Найти:

а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки;

б) угловое ускорение в момент остановки тела.

1.47. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением В = at, где а = 2,0-10"^ рад/с³. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол а = 60° с ее вектором скорости?

1.48. Твердое тело вращается, замедляясь, вокруг неподвижной оси с угловым ускорением В с\э У"<о, где © — его угловая ско.-рость. Найти среднюю угловую скорость тела за время, в течение которого оно будет вращаться, если в начальный момент его угловая скорость была равна ю₀.

1.49. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота <р по закону ю = ю₀ — а<р, где ю₀ и а — положительные постоянные. В момент времени t = 0 угол <р = 0. Найти зависимости от времени:

а) угла поворота; б) угловой скорости.

1.50. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением В = 6₀ cos <р, где 6₀ — постоянный вектор, ф — угол поворота из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла ф. Изобразить график этой зависимости.

1.51. Вращающийся диск (рис. 1.6) движется в ^положительном направлении оси х. Найти уравнение у (х), характеру. 1.6. ризующее положения мгновенной оси вращения, если в начальный момент ось С диска находилась в точке О и в дальнейшем движется:

а) с постоянной скоростью v, а диск раскручивается без начальной угловой скорости с постоянным угловым ускорением В против часовой стрелки;

б) с постоянным ускорением w (без начальной скорости), а диск вращается с постоянной угловой скоростью ю против часовой стрелки.

1.52. Точка А находится на ободе колеса радиуса R = 0,50 м, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью v = 1,00 м/с. Найти:

а) модуль и направление вектора ускорения точки А;

б) полный путь s, проходимый точкой А между двумя последовательными моментами ее касания Поверхности.

_-—

У777777Я77777777. Рис. t.7.

Найти угловую

Л1.53у Шар радиуса R = 10,0 см катится без скольжения по горизбнтальной плоскости так, что его центр движется с постоянным ускорением w = 2,50 см/с². Через t — 2,00 с после начала движения его положение соответствует рис. 1.7. Найти:

а) скорости точек А, В и О;

б)«^скорения этих точек.

Цилиндр катится без скольжения по гориЗбнтальной плоскости. Радиус цилиндра равен г. Найти радиусы кривизны траекторий точек А и В (см. рис. 1.7).

1.55. Два твердых тела вращаются вокруг неподвижных взаимно перпендикулярных пересекающихся осей с постоянными угловыми скоростями щ = 3,0 рад/с и со₂ = 4,0 рад/с. скорость и угловое ускорение одного тела относительно другого.

^ТГВырТвердое тело вращается с угловой скоростью ю = at\ -f bt~], гдеТГ^ 0,50 рад/с², b = 0,060 рад/с³, i и j — орты осей х и у. Найти:

а) модули угловой скорости и углового ускорения в момент t = 10,0 с;

б) угол между векторами угловой скорости и углового ускорения в этот момент. . q 1.57. Круглый конус с углом полураствора а = 30° и радиусом основания R = 5,0 см катится равномерно без скольжения по горизонтальной плоскости, как показано на рис. 1.8. Вершина конуса закреплена шарнирнф в точке О, которая находится на одном уровне с точкой С — центром основания конуса. Скорость точки С v = 10,0 см/с. Найти модули:

а) вектора угловой скорости конуса и угол; который составляет этот вектор с вертикалью;

б) вектора углового ускорения конуса.

1..58. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью со₀ = 0,50 рад/с вокруг горизонтальной оси АВ. В момент t = 0 ось АВ начали поворачивать вокруг вертикали с постоянным угловым ускорением $₀ = 0.Ю рад/с². Найти угловую скорость и угловое ускорение тела через t = 3,5 с.

Рис. U8.

1.2. Основное уравнение динамики

Q Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона):

m% = F. (1.2а)

ф Это же уравнение в проекциях на касательную в вермаль к траекто* рви точки:

m-Ј=F_x, т ~ = F_n. (1.26)

ф Уравнение динамики точки в непиерциальной К'-системе отсчета, кото* рая врашается с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси, перемещающейся поступательно с ускорением w₀:

mw' = F — mw₀-f-mce>²R +2от [v'co], (1.2в)

где R—радиус-вектор точки относительно оси вращения /('-системы.

1.59. Аэростат массы т начал опускаться с постоянным ускорением w. Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.60. В установке (рис. 1.9) массы тел равны т₀, т_х и т₂, массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в блоке нет. Найти ускорение w, с которым опускается тело т₀, и натяжение нити, связывающей тела т-^ и т₂, если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен к. Исследовать возможные случаи.

Рис. 1.9. Рис. L10,

1.61. На наклонную плоскость, составляющую угол я с горизонтом, поместили два соприкасающихся бруска / и 2 (рис. 1.10). Массы брусков равны т_х и т._г, коэффициенты трения между наклонной плоскостью и этими брусками — соответственно kj и к_г, причем > k₂. Найти:

а) силу взаимодействия между брусками в процессе движения;

б) минимальное значение угла а, при котором начнется скольжение.

1.62. Небольшое тело пустили т₂ снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол а = 15' с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в ц = 2,0 раза меньше времени спуска. 1.63. В установке (рис. 1.11) известны угол а наклонной плоскости с горизонтом и коэффициент трения k между телом т₁ и наклонной плоскостью. Массы блока н нити пренебрежимо малы,

трения в блоке нет. Считая, что в начальный момент оба тела неподвижны, найти отношение масс т₂/т_х, при котором тело щ:

а) начнет опускаться;

б) начнет подниматься;

в) будет оставаться в покое.

1.64< Наклонная плоскость (см. рис. 1.11) составляет угол се = 30* с горизонтом. Отношение масс тел mjtn_x = т) = 2/3. Коэффициент трения между телом т_х и наклонной плоскостью k = 0,10. Массы блока и нитей пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения тела пц, если система пришла в движение из состояния покоя.

1.65. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы т_х и на ней брусок массы щ. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем t по закону F = at, где а — постоянная. Найти зависимости от t ускорений доски w_x и бруска w₂, если коэффициент трения между доской и бруском равен k. Изобразить примерные графики этих зависи-

мостей.

1.66. Небольшое тело А начинает ^Рис*^1Л2,скользить с вершины клина, основание

которого / = 2,10 м (рис. 1.12). Коэффициенты трения между телом и поверхностью клииа k = 0,140. При каком значении угла се время соскальзывания будет наименьшим? Чему оно равно?

1.67. Брусок массы т втаскивают за нить с постоянной скоростью вверх по наклонной плоскости, составляющей угол се с горизонтом (рис. 1.13). Коэффициент трения равен k. Найти угол р\ который должна составлять нить с наклонной плоскостью, чтобы натяжение нити было наименьшим. Чему оно равно?

Рис. 1.13. Рис. 1.14.

1.68» На небольшое тело массы т, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = at, где а — постоянная. Направление этой силы все время составляет угол а с горизонтом (рис. 1.14). Найти:

а) скорость тела в момент отрыва от плоскости;

б) путь, пройденный телом к этому моменту.

1.69. К бруску массы т, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу F = tng/3. В процессе его прямолинейного движения угол а между направо лением этой силы и горизонтом меняют по закону а = as, где а —¹¹постоянная, s — пройденный бруском путь (из начального положения). Найти скорость бруска как функцию угла а.

1.70. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k находятся два тела: брусок и электромотор с батарейкой на подставке. На ось электромотора намотана нить, свободный конец которой соединен с бруском. Расстояние между обоими телами равно /. После включения мотора брусок, масса которого в два раза больше массы другого тела, начал двигаться с постоянным ускорением w. Через сколько времени оба тела столкнутся?

1.71. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами nti и /п₂. Кабина начинает подниматься с ускорением w₀. Пренебрегая массами блока и нити, а также трением, найти:

а) ускорения груза /n_x относительно шахты лифта и относительно кабины;

б) силу, с которой блок действует на потолок кабины.

1.72. Найти ускорение w тела 2 в системе (рис. 1.15), если его масса в х\ раз больше массы бруска / и угол между наклонной плоскостью и горизонтом равен а. Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. Исследовать возможные случаи.

1.73. В системе рис. 1.16 массы тел равны т₀, т_и /п₂, трения нет, массы блоков и нитей пренебрежимо малы. Найти ускорение тела /п_х. Исследовать возможные случаи.

1.74. В установке (рис. 1.17) известны массы стержня М и шарика т, причем М > т. Шарик имеет отверстие и может скользить по нити с некоторым трением. Масса блока и трение в его оси пренебрежимо малы. В начальный момент шарик находился напротив нижнего конца стержня. После того как систему предоставили самой себе, оба тела стали двигаться с постоянными ускорениями. Найти силу трения между шариком и нитью, если через t секунд после начала движения шарик оказался напротив верхнего конца стержня. Длина стержня равна /.

т₂

Рис. 1.16.

1,75. В установке (рис. 1.18) шарик / имеет массу в г\ = 1,8 раза больше массы стержня 2. Длина последнего / = 100 см. Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. Шарик уста=-новили на одном уровне с нижним концом стержня и отпустили. Через сколько времени он поравняется с верхним концом стержня?

Рис. f.17. Рис. 1.18. Рис. J. 19.

1.76. В системе (рис. 1.19) масса тела / в г\ = 4,0 раза больше массы тела 2. Высота h = 20 см. Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. В некоторый момент тело 2 отпустили, и система пришла в движение. На какую максимальную высоту от пола поднимется тело 27

1.77. Найти ускорения стержня А и клина В в установке (рис. 1.20), если отношение массы клина к массе стержня равно г\ и трение между всеми соприкасающимися поверхностями пренебрежимо мало.

Рис. 1.20. Рис. 1.21.

1.78. В системе (рис. 1.21) известны массы клина М и тела т. Трение имеется только между клином и телом т. Соответствующий коэффициент трения равен ft. Массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти ускорение тела т относительно горизонтальной поверхности, по которой скользит клин.

1.79. С каким минимальным ускорением следует перемещать в горизонтальном направлении брусок А (рис. 1.22), чтобы тела 1 и 2 не двигались относительно него? Массы тел одинаковы, коэффициент трения между бруском и обоими телами равен ft. Массы блока и нитей пренебрежимо малы, трения в блоке нет.

1.80, Призме на которой находится брусок 2 массы т, сообщили направленное влево горизонтальное ускорение w (рис. 1.23). При каком максимальном значении этого ускорения брусок будет оставаться еще неподвижным относительно призмы, если коэффициент трения между ними ft ■< ctg а?

Рис. 1.22. Рис. 1.23.

1.81. На горизонтальной поверхности находится призма / массы т_г с углом а (см. рис. 1.23) и на ней брусок 2 массы т₂. Пренебрегая трением, найти ускорение призмы.

1.82. В системе (рис. 1.24) известны массы кубика т и клина М, а также угол клина а. Массы блока и нити пренебрежимо малы.

Трения нет. Найти ускорение клина М. — р 1.83* Частица массы т движется по Щ/^^/Г\ ^ окружности радиуса R. Найти модуль

| среднего вектора силы, действующей на

b,~„M,„„„„„„„7;,„„j, ^ частицу на пути, равном четверти окруж-

нести, если частица движется: а) равномерно со скоростью v; Рис. 1.24. Ф _с постоянным тангенциальным уско-

рением w_x без начальной скорости.

1.84. Самолет делает «мертвую петлю» радиуса R = 500 м с постоянной скоростью v = 360 км/ч. Найти вес летчика массы т — 70 кг в нижней, верхней и средней точках петли.

1.85. Небольшой шарик массы т, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти:

а) полное ускорение шарика и натяжение нити в зависимости от — угла отклонения нити от вертикали;

б) натяжение нити в момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна;

в) угол д между нитью и вертикалью в момент, когда вектор полного ускорения шарика направлен горизонтально.

1.86. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем положении.

1.87. Небольшое тело А начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса R. Найти угол ■0 (рис. 1.25), соответствующий точке отрыва тела от сферы, и скорость тела в момент отрыва.

1.88. Прибор (рис. 1.26) состоит из гладкого Г-образного стержня, расположенного в горизонтальной плоскости, и муфточки А массы т, соединенной невесомой пружинкой с точкой В. Жесткость пружинки х. Вся система вращается с постоянной угловой скоростью о» вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О. Найти относительное удлинение пружинки. Как зависит результат от направления вращения?

Рис. 1.25. Рис. 1.26.

1.89. Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке,, радиус которой R, а коэффициент трения зависит только от расстояния г до центра О площадки по закону k = kf, (1 — r/R), где k₀ — постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке О, по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?

1.90. Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорением w_x = 0,62 м/с² по горизонтальной поверхности, описывая окружность радиуса R = 40 м. Коэффициент трения скольжения между колесами машины и поверхностью к — 0,20. Какой путь пройдет машина без скольжения, если в начальный момент ее скорость равна нулю? .

1.91._; Автомашина движется равномерно по горизонтальному пути, имеющему форму синусоиды у — a sin (х/а), где а и а — некоторые постоянные. Коэффициент трения между колесами и дорогой равен k. При какой скорости движение автомашины будет происходить без скольжения?

1.92. Цепочка массы т, образующая окружность радиуса R, надета на гладкий круговой конус с углом полураствора Ф. Найти натяжение цепочки, если она вращается с постоянной угловой скоростью © вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии конуса.

1.93.. Через закрепленный блок перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами т,у и пц. Между нитью и блоком имеется трение. Оно таково, что нить начинает скользить по блоку, когда отношение гщ]т_х = п₀. Найти:

а) коэффициент трения;

б) ускорение грузов, если mjm_x — х\ > п₀.

1.94. Частица массы т движется по внутренней гладкой поверхности вертикального цилиндра радиуса R. Найти силу давления частицы на стенку цилиндра, если в начальный момент ее скорость равна v₀ и составляет угол а с горизонтом.

1.95. Найти модуль и направление вектора силы, действующей на частицу массы т при ее движении в плоскости ху по закону х = a sin out, у = b cos (at, где a, b, a> — постоянные.

1.96. Тело массы m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) приращение импульса Ар тела за первые t секунд движения;

б) модуль приращения импульса Ар тела за все время движения.

1.97. На покоившуюся частицу массы т в момент t = 0 начала действовать сила, меняющаяся со временем по закону F = = at (т — f), где а — постоянный вектор, т — время, в течение которого действует данная сила. Найти:

а) импульс частицы после окончания действия силы;

б) путь, пройденный частицей за время действия силы.

1.98. Частица массы т в момент t — 0 начинает двигаться под действием силы F = F„ sin out, где F_e и w — постоянные. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от времени t. Изобразить примерный график этой зависимости.

1.99. Частица массы т в момент t = 0 начинает двигаться под действием силы F = F₀ cos at, где F₀ и w — постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути?

1.100. Катер массы т движется по озеру со скоростью v₀. В момент t = 0 выключили его двигатель. Считая силу сопротивления воды движению катера пропорциональной его скорости F = —rv, найти:

а) время движения катера с выключенным двигателем;

б) скорость катера в зависимости от пути, пройденного с выключенным двигателем, а также полный путь до остановки;

в) среднюю скорость катера за время, в течение которого его начальная скорость уменьшится в т] раз.

1.101. Пуля, пробив доску толщиной h, изменила свою скорость от 1>₀ до v. Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости.

1.102. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути х по закону k = ах, где а — постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки, и максимальную скорость его на этом пути.

1.103. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k лежит тело массы т. В момент t = 0 к нему приложили горизонтальную силу, меняющуюся со временем по закону F

Рис. 1.27.

= at, где а — постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за-первые t секунд после начала действия этой силы.

1.104. Тело массы т бросили вертикально вверх со скоростью v₀. Найти скорость v', с которой тело упадет обратно, если сила соцро^ тивления воздуха равна kv*, где k — постоянная, v — скорость тела.

1.105. Частица массы т движется в некоторой плоскости Р под действием постоянной по модулю силы F, вектор которой поворачивается в этой плоскости с постоянной угловой скоростью <о. Считая, что в момент t = 0 частица покоилась, найти:

а) ее скорость в зависимости от времени;

б) путь, проходимый частицей между двумя последовательными остановками, и среднюю скорость за это время.

1.106. Небольшую шайбу А положили на наклонную плоскость, составляющую угол а с горизонтом, и сообщили начальную скорость v₀ (рис. 1.27). Найти зависимость скорости шайбы от угла ф, если коэффициент трения k = tg а и в начальный момент ф₀ = я/2.

1.107. Цепочку длины / поместили на гладкую сферическую поверхность радиуса R так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. С каким ускорением w начнет двигаться каждый элемент цепочки, если ее верхний конец освободить? Предполагается, что длина цепочки I < У₂я#.

1.108. Небольшое тело поместили на вершину гладкого шара радиуса R. Затем шару сообщили в горизонтальном направлении постоянное ускорение w₀, и тело начало скользить вниз. Найти:

а) скорость тела относительно шара в момент отрыва;

б) угол 'Oq между вертикалью и радиус-вектором, проведенным из центра шара в точку, где происходит отрыв; вычислить Фо при w₀ = g.

1.109. Частица массы т равномерно движется по окружности с заданной, скоростью v под действием силы F = а/г^п, где а и п — постоянные, г — расстояние от центра окружности. При каких значениях п движение по окружности будет устойчивым? Каков радиус такой окружности?

1.110. Муфточка А может свободно скользить вдоль гладкого стержня, изогнутого в форме полукольца радиуса R (рис. 1.28). Систему привели во вращение с постоянной угловой скоростью ш вокруг вертикальной оси ОО'. Найти угол Ф, соответствующий устойчивому положению муфточки.

1.111.. Винтовку навели на вертикальную черту мишени, находящейся точно в северном направлении, и выстрелили. Прене-'

брегая сопротивлением воздуха, найти, на сколько сантиметров и в какую сторону пуля, попав в мишень, отклонится от черты. Выстрел произведен в горизонтальном направлении на широте q> = 60°, скорость пули v = 900 м/с и расстояние до мишени s = 1,0 км.

1.112. Горизонтальный диск вращают с постоянной угловой скоростью со = 6,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По одному из диаметров диска движется небольшое тело массы т = 0,50 кг с постоянной относительно диска скоростью v' = 50 см/с. Найти силу, с которой диск действует на это тело в момент, когда оно находится на расстоянии г = 30 см от оси вращения.

1.113. Горизонтально расположенный гладкий стержень , АВ вращают с постоянной угловой скоростью со = 2,00 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. По стержню свободно скользит муфточка массы т — 0,50 кг, движущаяся из точки А с начальной скоростью v₀ = 1,00 м/с. Найти действующую на муфточку силу Кориолиса (в системе отсчета, связанной с вращающимся стержнем) в момент, когда муфточка оказалась на расстоянии г = 50 см от оси вращения.

1.114. Горизонтальный диск радиуса R вращают с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его край. По периферии диска равномерно относительно него движется частица массы т. В момент, когда она оказывается на максимальном расстоянии от оси вращения, результирующая сил инерции F„_H, действующих на частицу в системе отсчета «диск», обращается в нуль. Найти:

а) ускорение w' частицы относительно диска;

б) зависимость F_aa от расстояния до оси вращения.

1.115. С вершины гладкой сферы радиуса R = 1,00 м начинает соскальзывать небольшое тело массы т = 0,30 кг. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью со = 6,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти в системе отсчета, связанной со сферой, центробежную силу инерции и силу Кориолиса в момент отрыва тела от поверхности сферы.

1.116. Поезд массы т = 2000 т движется со скоростью v -= 54 км/ч на широте ср = 60°. Определить горизонтальную составляющую F силы давления поезда на рельсы, если путь проложен:

а) по меридиану; б) по параллели.

1.117. На экваторе с высоты h = 500 м на поверхность Земли падает тело (без начальной скорости относительно Земли). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на какое расстояние и в ка-*ую сторону отклонится от вертикали тело при падении.

1.3. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса

ф Работа и мощность силы F:

Л = 5 F dr = lF_s ds, P = Fv. (13а)

ф Приращение кинетической энергии частицы:

Т₂-Т₁ ₌ Л, (1.36)

где А — работа результирующей всех сил, действующих на частицу.

ф Работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле:

A = Ui—U₂. (1.3в)

ф Связь между силой поля и потенциальной энергией частицы в поле:

F = — VU, (1.3г)

т. е. сила равна антиградиенту потенциальной энергии.

ф Приращение полной механической энергии частицы в данном потенциальном поле:

£а—E₁ = A_c._rov, (1 -Зд)

где л_стор—алгебраическая сумма работ всех сторонних сил, т. е. сил, ие принадлежащих к силам данного поля.

ф Приращение полной механической энергии системы:

Е,-Ег = А_ваеш + А^, (1.3е)

где E==T-\-U, причем U—собственная потенциальная энергия системы. ф Закон изменения импульса системы:

^-j^{= F.}^(ЬЗж)

где F—результирующая всех внешних сил.

ф Уравнение движения центра инерции системы:

dv,

/n-^ = F, (1.3з)

где F — результирующая всех внешних сил. ф Кинетическая энергия системы:

Т = Г + -^, (1-Зи)

где Т — ее кинетическая энергия в системе центра инерции. ф Уравнение динамики тела с переменной массой:

dv - , dm /, о \

^m-al = ^? ⁺ -dJ^u- ^(13к)

где и — скорость отделяемого (присоединяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.

ф Закон изменения момента импульса М системы (уравнение моментов):

i*-=N. (1.3л)

где N — суммарный момент всех внешних сил. ф Момент импульса системы:

М=М + [г_ср], (1-Зм)

где М—ее момент импульса в системе центра инерции, т_с — радиус-вектор центра инерции, р — импульс системы.

1.118. Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскости ху из точки 1 с радиус-вектором r₂ = i + 2j; в точку 2 с радиус-вектором r₂ = 2i—3j. При этом на нее дейл ствовали некоторые силы, одна из которых F = 3i + 4j. Найти работу, которую совершила сила F. Здесь г_и г_% и F — в СИ.

1.119. Локомотив массы т начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону v = a[fs, где а —постоянная, s — пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые t секунд после начала движения.

1.120. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса R, зависит от пройденного пути s по закону Т = = as², где а — постоянная. Найти силу, действующую на частицу, в зависимости от s.

1.121. Тело массы m медленно втащили Рис. 1.29. на горку, действуя силой F, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории (рис. 1.29). Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания / и коэффициент трения k,

1.122. Шайба массы m = 50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол а = 30° с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние I = 50 см, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения k = 0,15.

1.123. Два бруска с массами пг_г и пг₂, соединенные недеформи-рованной легкой пружинкой, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен k. Ка-

- кую минимальную постоянную силу нужно приложить в горизонтальном направлении к бруску с массой пг_х, чтобы другой брусок сдвинулся с места?

1.124. Цепочка массы m = 0,80 кг, длины / = 1,5 м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет ц — 1/3 длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?

1.125. Тело массы m бросили под углом а к горизонту с начальной скоростью v₀. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

1.126. Частица массы m движется по окружности радиуса R с нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону w_a = at², где а — постоянная. Найти зависимость от времени мощности всех сил, действующих на частицу, а также сред--нее значение этой мощности за первые t секунд после начала движения.

1.127. Небольшое тело массы т находится на горизонтальной плоскости в точке О. Телу сообщили горизонтальную скорость v₀. Найти:

а) среднюю мощность, развиваемую силой трения за все время движения, если коэффициент трения k = 0,27, т— 1,0 кг и v₀ = = 1,5 м/с;

б) максимальную мгновенную мощность силы трения, если коэффициент трения меняется по закону k = ах, где а — постоянная, х — расстояние от точки О.

1.128. В системе отсчета, вращающейся вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью со = 5,0 рад/с, движется небольшое тело массы т = 0,10 кг. Какую работу совершила центробежная сила инерции при перемещении этого тела по произвольному пути из точки / в точку 2, которые расположены на расстояниях г_х — 30 см и г₂ = 50 см от оси вращения?

1.129. Система состоит из двух последовательно соединенных пружинок с коэффициентами жесткости k_x и k₂. Найти минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы растянуть эту систему на Д/.

1.130. Тело массы т начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу F, которую изменяют с высотой подъема у по закону F = 2 (ay — 1) mg, где а — положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли на первой половине пути подъема.

1.131. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид U = а/г² — Ь/г, где а и Ь — положительные постоянные, г—расстояние от центра поля. Найти:

а) значение г₀, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение;

б) максимальное значение силы притяжения; изобразить графики зависимостей U (г) и F_r (г) — проекции силы на радиус-вектор г.

1.132. Потенциальная энергия частицы в некотором двумерном силовом поле имеет вид U = ах² + Ру², где а и В — положительные постоянные, не равные друг другу. Выяснить:

а) является ли это поле центральным;

б) какую форму имеют эквипотенциальные поверхности, а также поверхности, для которых модуль вектора силы F = = const.

1.133. Имеются два стационарных силовых поля: F = ayi и F = ах\ + Ъу\, где i, j — орты осей х и у, а и Ь — постоянные. Выяснить, являются ли эти^оля потенциальными.

1.134. Тело массы т пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Начальная скорость тела равна v₀, коэффициент трения — k. Какой путь пройдет тело до остановки и какова на этом пути работа силы трения?

1.135. Небольшая шайба Л соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высоты Н, имеющей горизонтальный

трамплин (рис. 1.30). При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние s? Чему оно равно?

Рис. 1.30. Рис. 1.31.

1.136. Небольшое тело А начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса h/2 (рис. 1.31). Пренебрегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба).

1.137. На нити длины / подвешен шарик массы т. С какой наименьшей скоростью надо начать перемещать точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик стал двигаться по окружности вокруг этой точки? Каково при этом натяжение нити в момент, когда она будет проходить горизонтальное положение?

1.138.. На горизонтальной плоскости находятся вертикально расположенный неподвижный цилиндр радиуса jR и шайба А, соединенная с цилиндром горизонтальной нитью АВ длины 1₀ (рис. 1.32, вид сверху). Шайбе сообщили начальную скорость v₀, как показано на рисунке. Сколько времени она будет двигаться по плоскости до удара о цилиндр? Трения нет.

Рис. 132. Рис. 1.33.

1.139. Гладкий резиновый шнур, длина которого / и коэффициент упругости k, подвешен одним концом к точке О (рис. 1.33). На другом конце имеется упор В. Из точки О начинает падать небольшая муфта А массы т. Пренебрегая массами шнура и упора, найти максимальное растяжение шнура.

1.140. На гладкой горизонтальной плоскости лежит небольшой брусок А, соединенный нитями с точкой Р (рис. 1.34) и через невесомый блок — с грузом В той же массы, что и у бруска. Кроме того, брусок соединен с точкой О легкой недеформированной пружинкой длины /₀ = 50 см и жесткостью и = 5 mgf 1₀, где т —

масса бруска. Нить РА пережгли, и брусок начал двигаться. Найти его скорость в момент отрыва от плоскости.

1.141. На горизонтальной плоскости лежит доска и на ней брусок массы от = 1,0 кг, соединенный с точкой О (рис. 1.35) легкой упругой недеформированной иитью длины 1₀ = 40 см. Коэффициент трения между бруском и доской k = 0,20. Доску начали медленно перемещать вправо до положения, при котором брусок стал скользить по ней. Это произошло в момент, когда нить отклонилась от вертикали на угол Ф — 30°. Найти работу, которую совершила к этому моменту сила трения, действующая на брусок, в системе отсчета, связанной с плоскостью.

1.142. Гладкий легкий горизонтальный стержень АВ может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне находится небольшая муфточка массы т, соединенная невесомой пружинкой длины /₀ с концом А. Жесткость пружинки равна и. Какую работу надо совершить,

чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой щ / скорости со? ° /

1.143* Через блок, укрепленный к потолку ком- / наты, перекинута нить, на концах которой подве- / шены тела с массами т_у и пц. Массы блока и нити / пренебрежимо малы, трения нет. Найти ускорение wc V центра инерции этой системы. —^

1.144. Две взаимодействующие между собой ча- ^/стицы образуют замкнутую систему, центр инерции Рис. т.Зб. которой покоится. На рис. 1.36 показаны положения

обеих частиц в некоторый момент и траектория частицы с массой т_х. Построить тракторию частицы с массой т₂, если т₂ = т_г/2.

1.145. Замкнутая цепочка А массы т 0,36 кг соединена нитью с концом вертикальной оси центрббежкой машины (рис. 1.37) и вращается с постоянной угловой скоростью со = 35 рад/с. При этом нить составляет угол Ь = 45° с вертикалью. Найти расстояние от центра тяжести цепочки до оси вращения, а также натяжение нити.

1.146. Круглый конус А, масса которого т = 3,2 кг и угол тюлураствора а = 10°, катится равномерно без скольжения по

Рис. 1.34.

Рис. 1.35.

круглой конической поверхности В так, что его вершина О остается неподвижной (рис. 1.38). Центр тяжести конуса Л находится на одном уровне с точкой О и отстоит от нее на I = 17 см. 0©ь конуса движется с угловой скоростью со. Найти:

а) силу трения покоя, действующую на конус Л, если со = = 1,0 рад/с;

б) при каких значениях со движение конуса Л будет происходить без скольжения, если коэффициент трения между поверхностями k = 0,25?

1.147. В /(-системе отсчета вдоль оси х движутся две частицы: одна массы т_х — со скоростью v_lt другая массы /л₂ — со скоростью v₂. Найти:

а) скорость V К' -системы отсчета, в которой суммарная кинетическая энергия этих частиц минимальна;

б) суммарную кинетическую энергию этих частиц в /('-системе.

1.148. Система отсчета, в которой покоится центр инерции данной системы частиц, движется поступательно со скоростью V относительно инерциальной /(-системы отсчета. Масса системы частиц равна т, ее полная энергия в системе центра инерции Е. Найти полную энергию Е этой системы частиц в /(-системе отсчета.

1.149. На гладкой горизонтальной плоскости находятся две небольшие шайбы с массами т_х и т₂, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Шайбам сообщили начальные скорости v_x и у₂, направления которых взаимно перпендикулярны и лежат в горизонтальной плоскости. Найти полную энергию этой системы £ в системе центра инерции.

1.150. Система состоит из двух шариков с массами т_х и т₂, которые соединены между собой невесомой пружинкой. В момент t = 0 шарикам сообщили начальные скорости v_x и v₂, после чего система начала двигаться в однородном поле тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимости от времени полного импульса этой системы в процессе движения и радиус-вектора ее центра инерции относительно его начального положения.

1.151. На гладкой горизонтальной плоскости находятся два бруска с массами т_х и /п₂, соединенные невесомой пружинкой

Рис. 1.37.

Рис. 1.38.

жесткости к (рис. 1.39). Брусок 2 переместили влево на небольшое расстояние х и отпустили. Найти скорость центра инерции системы после отрыва бруска / от стенки.

I rWWWj

^г777777777777777777777777>

Рис. 1.39.

Рис. 1.40.

1.152. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два бруска, соединенные невесомой пружинкой жесткости к и длины в неде-формированном состоянии /₀. На один из брусков начали действовать постоянной горизонтальной силой F, как показано на рис. 1.40. Найти максимальное и минимальное расстояния между брусками при дальнейшем движении системы, если массы брусков:

а) одинаковы; •

б) равны Шх и /л₂, а сила F приложена к бруску с массой щ. 1.153.: Система состоит из двух одинаковых кубиков, каждый

массы т, между которыми находится сжатая невесомая пружина жесткости к (рис. 1.41). Кубики связаны нитью, которую в некоторый момент пережигают. Найти:

а) при каких значениях А/ — начальном сжатии пружины — нижний кубик подскочит после пережигания нити;

б) на какую высоту h поднимется центр тяжести этой системы, если сжатие пружины в начальном положении А/ = 7 mg/к.

1.154. Две одинаковые тележки / и 2, на каждой из которых находится по одному человеку, движутся

без трения по инерции навстречу друг другу по параллельным рельсам. Когда тележки поравнялись, с каждой из них на другую перепрыгнул человек — в направлении, перпендикулярном к движению тележек. В результате тележка / остановилась, а тележка 2 продолжала двигаться в прежнем направлении так, что ее скорость стала v. Найти первоначальные скорости тележек v_x и v₂, если масса каждой тележки (без человека) М, а масса каждого человека т.

1.155. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью v₀. На задней тележке находится человек массы т. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью и относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна М, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.

1.156. На краю покоящейся тележки массы М стоят два человека, масса каждого из которых равна т. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью и относительно

₁ j	ill"? 3
_J	i	/77
Рис. 1.4 f.

2 И. E. Иродов

тележки: 1) одновременно; 2) друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз?

1.157, Цепочка массы т — 1,00 кг и длины I =■ 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

1.158. Стальной шарик массы т = 50 г падает с высоты h = 1,0 м на горизонтальную поверхность массивной плиты. Найти суммарный импульс, который он передаст плите в результате многократных отскакиваний, если при каждом ударе скорость шарика изменяется в х\ = 0,80 раз.

1.159* Плот массы М с находящимся на нем человеком массы т неподвижно стоит в пруду. Относительно плота человек совершает перемещение 1' со скоростью v'(0 и останавливается. Пренебрегая сопротивлением воды, найти:

а) перемещение плота 1 относительно берега;

б) горизонтальную составляющую силы, с которой человек действовал на плот в процессе движения.

1.160. Через неподвижный блок перекинута веревка, на одном конце которой висит лестница с человеком, а на другом — уравновешивающий груз массы М. Человек массы т совершил перемещение V относительно лестницы Еверх и остановился. Пренебрегая массой веревки, а также трением в оси блока, найти перемещение 1 центра инерции этой системы.

1.161. Пушка массы М начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Когда пушка прошла путь /, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом р в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки, найти продолжительность выстрела.

1.162., Летевшая горизонтально пуля массы т. попала, застряв, в тело массы М, которое подвешено на двух одинаковых иитях длины I (рис. 1.42). В результате нити отклонились на угол Считая m <^ М, найти:

а) скорость пули перед попаданием в тело;

б) относительную долю первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тепло.

Рис. 1.42, Рис. 1.43,

1.163. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело иассы М (рис. 1.43) и на нем небольшая шайба массы т. Послед-

ней сообщили в горизонтальном направлении скорость о. На какую высоту (по сравнению с первоначальным уровнем) поднимется шайба после отрыва от тела М? Трения нет.

_х1.164.Л)Небольшая шайба массы т без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотой h и попадает на доску массы М, лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1.44). Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое.

1) Найти суммарную работу сил трения в этом процессе.

2) Можно ли утверждать, что полученный результат не зависит от Рис. 1.44. системы отсчета?

1.165., Камень падает без начальной скорости с высоты h на поверхность Земли. В отсутствие сопротивления воздуха к концу падения скорость камня относительно Земли v₀ = Y^2gh. Получить эту же формулу, проведя решение в системе отсчета, «падающей» на Землю с постоянной скоростью v₀.

1.166., Частица массы 1,0 г, двигавшаяся со скоростью V! = = 3,0i — 2,0j, испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса которой 2,0 г и скорость v₂ = 4,0j — 6,0k. Найти скорость образовавшейся частицы — вектор v и его модуль, — если проекции векторов v_x и v₂ даны в системе СИ.

1.167. Найти приращение кинетической энергии замкнутой системы из двух шариков с массами т_х и щ при их абсолютно неупругом столкновении, если до столкновения скорости шариков были v_t и v₂.

1.168. Частица массы т_х испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей массы т₂. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если:

а) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения;

б) столкновение лобовое?

1.169. Частица / испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей 2. Найти отношение их масс, если:

а) столкновение лобовое и частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями;

б) частицы разлетелись симметрично по отношению к первоначальному направлению движения частицы / и угол между их направлениями разлета 6 = 60*.

1.170. Шар, двигавшийся поступательно, испытал упругое соударение с другим, покоившимся, шаром той же массы. При соударении угол между прямой, проходящей через центры шаров, и направлением первоначального движения налетающего шара оказался равным а = 45". Считая шары гладкими, найти долю ц кинетиче-

2* 3$

ской энергии налетающего шара, крторая перешла в потенциальную энергию в момент наибольшей деформации.

1.171. Снаряд, летящий со скоростью и = 500 м/с, разрывается на три одинаковые осколка так, что кинетическая энергия системы увеличивается в т] = 1,5 раза. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков?

1.172. Частица /, имевшая скорость v = 10 м/с, испытала лобовое столкновение с покоившейся частицей 2 той же массы. В результате столкновения кинетическая энергия системы уменьшилась на г\ = 1,0%. Найти модуль и направление скорости частицы / после столкновения.

1.173. Частица массы т испытала столкновение с покоившейся частицей массы М, в результате которого частица т отклонилась на угол я/2, а частица М отскочила под углом ■& = 30° к первоначальному направлению движения частицы т. На сколько процентов и как изменилась кинетическая энергия этой системы после столкновения, если М/т = 5,0?

1.174. Замкнутая система состоит из двух частиц с массами Шх и пц, которые движутся под прямым углом друг к другу со скоростями v_t и v₂. Найти в системе отсчета, связанной с их центром г инерции:

а) импульс каждой частицы;

б) суммарную кинетическую энергию обеих частиц.

1.175. Частица массы ту испытала абсолютно упругое соударение с покоившейся частицей массы пц, причем ту > т₂. Найти

максимальный угол, на который может от-В У клониться налетающая частица в результате А (~^( соударения.

Оу (~\Р 1.176. На гладкой горизонтальной плос-

*"0/Т^ кости лежат три одинаковые шайбы А, В ч1Д_х и С (рис. 1.45). Шайбе А сообщили скорость v, О ⁴ после чего она испытала абсолютно упругое соударение одновременно с шайбами В и С. Рис. f.45. Расстояние между центрами последних до

соударения было в п. раз больше диаметра каждой шайбы. Найти скорость шайбы А после соударения. При каком значении ц шайба А после соударения отскочит назад; остановится; будет двигаться вперед?

1.177. Молекула испытала соударение с другой, покоившейся, молекулой той же массы. Показать, что угол между направлениями разлета молекул:

а) равен 90°, если соударение абсолютно упругое;

б) отличен от 90°, если соударение неупругое.

1.178. Ракета выпускает непрерывную струю газа, имеющую скорость и относительно ракеты. Расход газа равен у. кг/с. Показать, что уравнение движения ракеты:

mw = F — iiu,

где tn — масса ракеты в данный момент, w — ее ускорение, F — внешняя сила.

1.179. Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывную струю газа со скоростью и, постоянной относительно ракеты. Найти скорость ракеты v в момент, когда ее масса равна /л, если в начальный момент она имела массу т₀ и ее скорость была равна нулю. Воспользоваться формулой, приведенной в предыдущей задаче.

1.180. Найти закон изменения массы ракеты со временем, если ракета движется в отсутствие внешних сил с постоянным ускорением до, скорость истечения газа относительно ракеты постоянна я равна и, а ее масса в начальный момент равна т₀.

1.181. Космический корабль массы т₀ движется в отсутствие внешних сил с постоянной скоростью v₀. Для изменения направления движения включили реактивный двигатель, который стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно корабля скоростью и, все время перпендикулярной к направлению движения корабля. В конце работы двигателя масса корабля стала равной т. На какой угол а изменилось направление движения корабля за время работы двигателя?

1.182. Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F, совпадающей по направлению с ее вектором скорости. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью ц кг/с. Найти ускорение я скорость тележки в момент t, если в момент t = 0 тележка с песком имела массу т₀ и ее скорость была равна нулю. Трением пренебречь.

1.183. Платформа массы т₀ начинает двигаться вправо под действием постоянной горизонтальной силы F (рис. 1.46). Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна \а кг/с. Найти зависимость от времени скорости я ускорения платформы в процессе погрузки. Трение пренебрежимо мало.

1.184. Цепочка АВ длины / находится в гладкой горизонтальной трубке так, что часть ее длины h свободно свешивается, касаясь, своим концом В поверхности стола (рис. 1.47). В некоторый момент конец А цепочки отпустили. С какой скоростью выскочит из трубки этот конец цепочки?

и В

Рис. 1.46.

Рис. 1.47.

1.185. Момент импульса частицы относительно некоторой точки О меняется со временем по закону М = а + Ы², где а и b — постоянные векторы, причем alb. Найти относительно точки О момент силы N, действующей на частицу, когда угол между векторами N и М окажется равным 45^е.

1.186. Шарик массы т бросили под углом а к горизонту с начальной скоростью iv Найти модуль вектора момента импульса шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения. Вычислить М в вершине траектории, если т = 130 г, а — 45^s и f₀ = 25 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.187. Шайба А массы т, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v, испытала в точке О (рис. 1.4&) абсолютно упругий удар с гладкой неподвижной стенкой. Угол между направлением движения шайбы и нормалью к стенке равен а. Найти:

а) точки, относительно которых момент импульса М шайбы остается постоянным в

^ этом процессе;

б) модули приращения, вектора момента импульса шайбы относительно точки 0\

/ которая находится в плоскости движения шайбы на расстоянии / от точки О.

1.188. Небольшой шарик массы т, привя-Рис. 1.48, занный на нити длины / к потолку в точке О,

движется по горизонтальной окружности с постоянной угловой скоростью со. Относительно каких точек момент импульса М шарика остается постоянным? Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика относительно точки О за половину оборота.

1.189. Шарик массы т падает без начальной скорости с высоты h над поверхностью Земли. Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика за время / падения — относительно точки О системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью V в горизонтальном направлении. В момент начала падения точка О совпадала с шариком. Сопротивление воздуха не учитывать.

1.190. Горизонтальный гладкий диск вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр — точку О. Из этой точки в момент t = 0 пустили шайбу со скоростью v₀. Найти момент импульса шайбы М (t) относительно точк;: О в системе отсчета, связанной с диском. Убедиться, что этот момент импульса обусловлен действием силы Кор полиса.

1Л91, Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия U = kr², k — положительная постоянная, г — расстояние частицы до центра поля О. Найти массу частицы, если наименьшее расстояние ее до точки О равно г_и а скорость на наибольшем расстоянии от этой точки — и₂.

1.192. Небольшой шарик подвесили к точке О на легкой нитя длиной /. Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол # от вертикали, и сообщили ему скорость в горизонтальном направлении перпендикулярно к вертикальной плоскости, в которой расположена нить. Какую начальную скорость надо сообщить шарику, чтобы в процессе движения максимальный угол отклонения нити от вертикали оказался равным я/2?

1.193, На гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массы т, привязанное к нерастяжимой нити, другой конец которой втягивают в отверстие О (рис. 1.49) с постоянной скоростью. Найти натяжение иити в зависимости от расстояния г тела до отверстия, если при г = г₀ угловая скорость нити была равна со₀.

1.194* На массивный неподвиж- \р

ный блок радиуса R намотана легкая нерастяжимая нить, к ^Рис- ¹-⁴⁹-свободному концу которой подвешено небольшое тело массы т. В момент t = 0 систему предоставили самой себе, и она пришла в движение. Найти ее момент импульса относительно оси блока в зависимости от t.

1.195, Однородный шар массы т и радиуса R начинает скатываться без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Найти зависимость от времени момента импульса шара относительно точки касания в начальный момент. Как изменится результат в случае абсолютно гладкой наклонной плоскости?

1.196, Некоторая система частиц имеет суммарный импульс р и момент импульса М относительно точки О. Найти ее момент импульса М' относительно точки О', положение которой по отношению к точке О определяется радиус-вектором г₀. Выяснить, в каком случае момент импульса системы частиц не будет зависеть от выбора точки О.

1.197, Доказать, что момент импульса М системы частиц относительно точки О /(-системы отсчета может быть представлен как

М = М + [г_ср],

где М — ее собственный момент импульса (в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром инерции), г_с — радиус-вектор центра инерции относительно точки О, р — суммарный импульс системы частиц в /(-системе отсчета.

1.198, Шарик массы т, двигавшийся со скоростью v₀, испытал упругое лобовое соударение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели, как показано на рис. 1.50. Масса каждого шарика гантели равна т/2, расстояние между ними — /. Пренебрегая

т o

размерами шариков, найти собственный момент импульса М гантели после соударения, т. е. момент импульса в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром инерции гантели.

1.199. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие одинаковые шайбы, каждая массы т. Шайбы соединены друг с другом легкой недеформированной пружинкой, длина которой /₀ и жесткость к. В некоторый момент одной из шайб сообщили скорость v₀ — в горизонтальном направлении перпендикулярно к пружинке. Найти максимальное относительное удлинение пружинки в процессе движения, если известно, что оно значительно меньше единицы.

Ът/2

hm/Z

Рис. 1.50.

1.4. Всемирное тяготение

ф Закон всемирного тяготения:

F = l^. d.4a)

ф Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца "относятся кан жубьцбельших полуосей их орбит (Кеплер):

7²~а». (1.46)

ф Напряженность G и- потенциал q> гравитационного поля точечной массы: G=— v^r, <р = — V—. (1-4в)

ф Первая и вторая космические скорости:

1.200. Некоторая планета массы М движется по окружности вокруг Солнца со скоростью i> = 34,9 км/с (относительно гелио-, центрической системы отсчета). Найти период обращения этой планеты вокруг Солнца.

1.201. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего периода для Земли. Считая орбиты планет круговыми, найти:

а) во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца превышает расстояние от Земли до Солнца;

б) скорость и ускорение Юпитера в гелиоцентрической системе отсчета.

1.202. Некоторая планета массы М движется вокруг Солнца по эллипсу так, что минимальное расстояние между ней и Солнцем равно г, а максимальное — R. Найти с помощью законов Кеплера период обращения ее вокруг Солнца.

1.203. Небольшое тело начинает падать на Солнце с расстояния, равного радиусу земной орбиты. Начальная скорость тела

в гелиоцентрической системе отсчета равна нулю. Найти с помощью законов Кеплера, сколько времени будет продолжаться падение.

1.204. Представим себе, что мы создали модель Солнечной системы в т| раз меньше натуральной величины, но из материалов той же самой средней плотности, что у Солнца и планет. Как изменятся при этом периоды обращения моделей планет по своим орбитам?

1.205. Двойная звезда — это система из двух звезд, движущихся под действием притяжения вокруг центра инерции системы. Найти расстояние между компонентами двойной звезды, если ее суммарная масса М и период обращения Т.

1.206. Найти потенциальную энергию гравитационного взаимодействия :

а) двух материальных точек с массами и /л₂, находящихся на расстоянии г друг от друга;

б) материальной точки массы т и тонкого однородного стержня массы М и длины /, если они находятся на одной прямой на расстоянии а друг от друга; определить также силу их взаимодействия.

1.207. Планета массы т движется по эллипсу вокруг Солнца так, что наибольшее и наименьшее расстояния ее от Солнца равны соответственно г_х и г₂. Найти момент импульса М этой планеты относительно центра Солнца.

1.208. Доказать с помощью законов сохранения, что полная механическая энергия планеты массы т, движущейся вокруг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой полуоси а. Найти формулу зависимости этой энергии от а.

1.209. Планета А движется по эллиптической орбите вокруг Солнца. В момент, когда она находилась на расстоянии г₀ от Солнца, ее скорость равнялась v₀ и угол между радиус-вектором г₀ и вектором скорости v₀ составлял а. Найти наибольшее и наименьшее расстояния, на которые удаляется от Солнца эта планета при своем движении. д

1.210. Космическое тело А дви- о жется к Солнцу, имея вдали от него скорость v₀ и прицельный параметр Рис. 1.51. I —плечо вектора v₀ относительно

центра Солнца (рис. 1.51). Найти наименьшее расстояние, на которое это тело приблизится к Солнцу.

1.211. Частица массы т находится вне однородного шара массы М на расстоянии г от его центра. Найти:

а) потенциальную энергию гравитационного взаимодействия частицы и шара;

б) силу тяготения, с которой шар действует на частицу.

1.212. Доказать, что сила тяготения, действующая на частицу А внутри*однородного сферического слоя вещества, равна нулю.

1.213. Частицу массы т переместили из центра основания однородного полушара массы М и радиуса R на бесконечность. Какую работу совершила при этом гравитационная сила, действующая на частицу со стороны полушара?

1.214. Имеется однородный шар массы М и радиуса R. Найти напряженность G и потенциал ср гравитационного поля этого шара как функции расстояния г от его центра (при г •< R и г > R). Изобразить примерные графики зависимостей G (г) и ср (г).

1.215. Внутри однородного шара с плотностью р имеется сферическая полость, центр которой находится на расстоянии 1 от центра шара. Найти напряженность G поля тяготения внутри полости.

1.216. Однородный шар имеет массу М и радиус R. Найти давление р внутри шара, обусловленное гравитационным сжатием, как функцию расстояния г от его центра. Оценить р в центре Земли, считая, что Земля является однородным шаром.

1.217. Найти собственную потенциальную энергию гравитационного взаимодействия вещества, образующего:

а) тонкий однородный сферический слой массы т и радиуса R;

б) однородный шар массы т и радиуса R (воспользоваться ответом к задаче 1.214).

1.218. Два спутника Земли движутся в одной плоскости по круговым орбитам. Радиус орбиты одного спутника г = 7000 км, радиус орбиты другого — на Дг = 70 км меньше. Через какой промежуток времени спутники будут периодически сближаться на минимальное расстояние?

1.219. Вычислить отношение следующих ускорений: ускорения а»!, вызываемого силой тяготения на поверхности Земли, ускорения w₂, обусловленного центробежной силой инерции на экваторе Земли, и ускорения w₃, сообщаемого телам на Земле Солнцем.

1.220. На какой высоте над полюсом Земли ускорение свободного падения убывает на один процент; в два раза?

1.221. Телу сообщили на полюсе Земли скорость v₀, направленную вертикально вверх. Зная радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности, найти высоту, на которую поднимется тело. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.222. Искусственный спутник вывели на круговую орбиту вокруг Земли со скоростью v — относительно поступательно движущейся системы отсчета, связанной с осью вращения Земли. Найти расстояние от спутника до поверхности Земли. Радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности считать известными.

1.223. Вычислить радиус круговой орбиты стационарного спутника Земли, который остается неподвижным относительно ее поверхности. Каковы его скорость и ускорение в инерциальной системе отсчета, связанной в данный момент с центром Земли?

1.224. Спутник, движущийся по круговой орбите радиуса R = = 2,00-10⁴ км в экваториальной плоскости Земли с Запада на Восток, появляется над некоторым пунктом на экваторе через каждые

ч = 11,6 ч. Вычислить на основании этих данных массу Земли. Гравитационная постоянная предполагается известной.

1.225. Спутник движется в экваториальной плоскости Земли с Востока на Запад по круговой орбите радиуса # = 1,00-10* км. Найти в системе отсчета, связанной с Землей, его скорость и ускорение.

1.226. Спутник должен двигаться в экваториальной плоскости Земли вблизи ее поверхности по или против направления вращения Земли. Найти в системе отсчета, связанной с Землей, во сколько раз кинетическая энергия спутника во втором случае будет больше, чем в первом.

1.227* Искусственный спутник Луны движется по круговой орбите, радиус которой в ti раз больше радиуса Луны. При своем движении спутник испытывает слабое сопротивление со стороны космической пыли. Считая, что сила сопротивления зависит от скорости спутника по закону F = av², где а — постоянная, найти время движения спутника до падения на поверхность Луны.

1.228. Вычислить первую и вторую космические скорости для Луны. Сравнить полученные результаты с соответствующими скоростями для Земли.

1.229. Космический корабль подлетает к Луне по параболической траектории, почти касающейся поверхности Луны. В момент максимального сближения с Луной на короткое время был включен тормозной двигатель, и корабль перешел на круговую орбиту спутника Луны. Найти приращение модуля скорости корабля при торможении.

1.230. Космический корабль вывели на круговую орбиту вблизи поверхности Земли. Какую дополнительную скорость необходимо сообщить кораблю, чтобы он смог преодолеть земное тяготение?

1.231. На каком расстоянии от центра Луны находится точка, в которой напряженность результирующего поля тяготения Земли и Луны равна нулю? Считать, что масса Земли в т) = 81 раз больше массы Луны, а расстояние между центрами этих планет в п = 60 раз больше радиуса Земли R.

1.232. Какую наименьшую работу надо совершить, чтобы доставить космический корабль массы т = 2,0-10³ кг с поверхности Земли на Луну?

1.233. Найти приближенно третью космическую скорость v₃, т. е. наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу относительно поверхности Земли, чтобы оно смогло покинуть Солнечную систему. Вращением Земли вокруг собственной оси пренебречь.

1.5. Динамика твердого тела

о Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси г;

I$_Z=N_Z. (1-5а)

где Ы_г — алгебраическая сумма моментов внешних сил относительно оси г.

ной оси

Согласно теореме Штейнера:

1 = 1_с+та*. (1.56)

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвиж-

Г=1/₂/со². (1.5в)

Работа внешних сил при повороте твердого тела иокруг неподвижной

оси:

A = \N_zd<f.

Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении:

/."Со² mvy

_t=4--t ^с

2 ^-

(1.5г)

(15д)

ф Связь между угловой скоростью ©' прецессии гироскопа, его моментом импульса М, равным /©, и мометном N внешних сил:

»'M] = N.

(1.5е)

Рис. 1.52.

1.234. Тонкий однородный стержень АВ массы т = 1,0 кг движется поступательно с ускорением w = 2,0 м/с² под действием двух антипараллельных сил ¥_г и F₂ (рис. 1.52). Расстояние между точками приложения этих сил а = 20 см. Кроме того, известно, что F₂ = 5,0 Н. Найти длину стержня.

1.235. К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат О равен г = са + Щ, приложена сила F = А\ + Щ, где а, Ь, А, В — постоянные, i и j — орты осей х и у. Найти момент N и плечо / силы F относительно точки О.

1.236. К точке с радиус-вектором г_г = ai приложена сила F_x = А], а к точке с г₂ = Ь\ — сила F₂ = Bi. Здесь оба радиус-вектора определены относительно начала координат О, i и j — орты осей х и у, а, Ь, А и В — постоянные. Найти плечо / равнодействующей силы относительно точки О.

1.237. К квадратной пластинке приложены три силы, как показано на рис. 1.53. Найти модуль, направление и точку приложения равнодействующей силы, если эту точку взять на стороне ВС.

1.238. Найти момент инерции:

а) тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня т и его длина /;

Рис. 1.53.

Рис. 1.54.

б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей перпендикулярно к плоскости пластинки через одну из ее вершин, если стороны пластинки а и Ь, а ее масса т.

1.239. Вычислить момент инерции:

а) медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска, если его толщина Ъ = 2,0 мм и радиус R = 100 мм;

б) однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конуса т и радиус его основания R.

1.240. Показать, что для тонкой пластинки произвольной формы имеется следующая связь между моментами инерции: 1_г + + J г — h> где 1. 2, 3 — три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через одну точку, причем оси 1 и 2 лежат в плоскости пластинки. Используя эту связь, найти момент инерции тонкого круглого однородного диска радиуса R и массы т относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров.

1.241. Однородный диск радиуса R = = 20 см имеет круглый вырез, как показано на рис. 1.54. Масса оставшейся (заштрихованной) части диска т = 7,3 кг. Найти момент инерции такого диска относительно оси, проходящей через его. центр инерции и перпендикулярной к плоскости диска.

1.242. Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы т и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.

1.243. На однородный сплошной цилиндр массы М и радиуса R намотана легкая нить, к концу которой прикреплено тело массы >т (рис. 1.55). В момент / = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени:

а) угловой скорости цилиндра;

б) кинетической энергии всей системы.

1.244. Концы тонких нитей, плотно намотанных на ось радиуса г диска Максвелла, прикреплены

к горизонтальной штанге. Когда диск раскручивается, штангу поднимают так, что диск остается неизменно на одной и той же высоте. Масса диска с осью т, момент инерции прибора относительно его оси /. Найти натяжение каждой нити и ускорение штанги.

1.245. Горизонтальный тонкий однородный стержень АВ массы т. и длины / может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. В некоторый момент на конец В начала действовать постоянная сила F, которая все время перпендикулярна к первоначальному положению покоившегося стержня

_*0

Рис. 1.55.

и направлена в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость стержня как функцию его угла поворота ср из начального положения.

1.246. В установке (рис. 1.56) известны масса однородного сплошного цилиндра т, его радиус R и массы тел т_г и т₂. Скольжения нити и трения в оси цилиндра нет. Найти угловое ускорение цилиндра и отношение натяжений Т_г/Т₂ вертикальных участков нити в процессе движения.

—T\^m

ТЛо

Рис. 1.56.

Рис. 1.57.

1.247. В системе (рис. 1.57) известны массы тел т₁ и пц, коэффициент трения ft между телом т_г и горизонтальной плоскостью, а также масса блока т, который можно считать однородным диском. Скольжения нити по блоку нет. В момент t = 0 тело 1Щ начинает опускаться. Пренебрегая массой нити и трением в оси блока, найти работу силы трения, действующей на тело т_г, за первые t секунд после начала движения.

1.248. Однородный цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости со₀ и поместили затем в угол (рис. 1.58). Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен ft. Сколько оборотов сделает цилиндр до остановки? 1.249. Однородный диск радиуса R раскрутили до угловой скорости со и осторожно положили на горизонтальную поверхность.

Сколько времени диск будет вращаться на поверхности, если коэффициент трения равен ft? Давление диска на поверхность считать равномерным.

1.250. Маховик с начальной угловой скоростью со₀начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси пропорционален квадратному корню из его угловой скорости. Найти среднюю угловую скорость маховика за все время торможения.

1.251. Однородный сплошной цилиндр радиуса R и массы М может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О (рис. 1.59). На

цилиндр в один ряд намотан тонкий шнур длины I и массы т. Найти угловое ускорение цилиндра в зависимости от длины х свешивающейся части шнура. Считать, что центр тяжести намотанной части шнура находится на оси цилиндра.

Рис. 1.58.

Рис. 1.59.

1.252. Однородный шар массы т и радиуса R скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Найти:

а) значения коэффициента трения, при которых скольжения не будет;

б) кинетическую энергию шара через t секунд после начала движения.

1.253.; Однородный цилиндр массы т = 8,0 кг и радиуса R => = 1,3 см (рис. 1.60) в момент t = 0 начинает опускаться под действием силы тяжести. Пренебрегая массой нити, найти:

а) натяжение каждой нити и угловое ускорение цилиндра;

б) зависимость от времени мгновенной мощности, которую развивает сила тяжести.

1.254, Тонкие нити плотно намотаны на концах однородного сплошного цилиндра массы т. Свободные концы нитей прикреплены к потолку кабины лифта. Кабина начала подниматься с ускорением w₀. Найти ускорение w* цилиндра относительно кабины и

силу F, с которой цилиндр действует (через нити) на потолок.

1.255, На гладкой наклонной плоскости, составляющей угол а = 30' с горизонтом, находится катушка с ниткой, свободный конец которой укреплен, как показано на рис. 1.61. Масса катушки т = 200 г, ее момент инерции относительно собственной оси / =» = 0,45 г-м², радиус намотанного слоя ниток г = 3,0 см. Найти ускорение оси катушки.

Рис. 1.60.

Рис. 1.61.

Рис. 1.62.

1.256., Однородный сплошной цилиндр массы т лежит на двух горизонтальных брусьях. На цилиндр намотана нить, за свешивающийся конец которой тянут с постоянной вертикально направленной силой F (рис. 1.62). Найти максимальное значение силы F, при котором цилиндр будет катиться еще без скольжения, если коэффициент трения между ним и брусьями равен k. С каким ускорением ш_накс будет перемещаться ось цилиндра?

1.257. На горизонтальной шероховатой плоскости лежит катушка ниток массы т. Ее момент инерции относительно собствен

ной оси / = Bmi?², где В — числовой коэффициент, R — внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен г. Катушку без скольжения начали тянуть за нить постоянной силой F, направленной под углом а к горизонту (рис. 1.63). Найти:

а) модуль и направление вектора ускорения оси катушки;

б) работу силы F за первые t секунд после начала движения.

1.258. Установка (рис. 1.64) состоит из двух одинаковых сплошных однородных цилиндров каждый массы т, на которые симметрично намотаны две легкие нити. Найти натяжение каждой нити в процессе движения. Трения в оси верхнего цилиндра нет.

1.259. В системе (рис. 1.65) известны масса т груза А, масса М блока В, момент инерции / последнего относительно его оси и радиусы блока R и 2R. Масса нитей пренебрежимо мала. Найти ускорение груза А после того, как систему предоставили самой себе.

Рис. 1.64.

Рис. 1.65.

1.260. Сплошной однородный цилиндр А массы т_г может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, которая укреплена н^

подставке В массы т₂ (рис. 1.66). На цилиндр плотно намотана легкая нить, к концу К которой приложили постоянную горизонтальную силу F. Трения между подставкой и опорной горизонтальной плоскостью нет. Найти:

а) ускорение точки К',

б) кинетическую энергию этой системы через / секунд после начала движения.

1.26-1. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы Шу и на ней однородный шар массы т». К доске приложили постоян

Рис. 1.66.

ную горизонтальную силу F. С какими ускорениями будут двигаться доска и центр шара в отсутствие скольжения между ними?

1.262. Сплошному однородному цилиндру массы /пи радиуса R сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью со₀, затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью равен k. Найти:

а) время, в течение которого движение цилиндра будет происходить со скольжением;

б) полную работу силы трения скольжения, действующей на цилиндр.

1.263. Однородный шар радиуса г скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала.

1.264. Сплошной однородный цилиндр радиуса R = 15 см катится по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол а = 30° с горизонтом (рис. 1.67). Найти максимальное значение скорости v₀, при котором цилиндр перейдет на наклонную плоскость еще без скачка. Считать, что скольжения нет. _^===-^

Рис. 1А7. Рис. 1.68.

1.265. На внутренней стороне тонкого жесткого обруча радиуса R прикреплено небольшое тело А, масса которого равна массе обруча. Последний катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что в моменты, когда тело А оказывается в нижнем положении, скорость центра обруча равна v₀(рис. 1.68). При каких значениях v₀обруч не будет подпрыгивать?

СО СО

Рис. 1.69. Рис. 1.70.

1.266. Найти кинетическую энергию гусеницы трактора, движущегося со скоростью v, если масса гусеницы равна т (рис. 1.69).

1.267. Однородный шар массы т и радиуса г катится без скольжения по горизонтальной плоскости, вращаясь вокруг горизонтальной оси OA (рис. 1.70). При этом центр шара движется со

скоростью v по окружности радиуса R. Найти кинетическую энергию шара.

1.268. Доказать, что на тело массы т в системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной оси, действует результирующая:

а) центробежная сила инерции F_u6 = mco^aR_c, где R_c — радиус-вектор центра инерции тела относительно оси вращения;

б) сила Кор полиса F_KOp = 2т [veto], где v_c—скорость центра инерции тела во вращающейся системе отсчета.

1.269. Середина однородного тонкого стержня АВ массы т и длины / жестко скреплена с осью вращения 00', как показано на

рис. 1.71. Стержень привели во вращение с постоянной угловой скоростью со. Найти результирующий момент центробежных сил инерции относительно точки С — в системе отсчета, связанной с осью 00' и стержнем.

1.270. Конический маятник — тонкий однородный стержень длины / и массы т — вращается равномерно вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (верхний конец стержня укреплен шарнирно). Найти угол ■& между стержнем и вертикалью.

1.271. Однородный кубик со стороной а находится на горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k. Кубику сообщили начальную скорость, после чего он прошел

некоторое расстояние по плоскости и остановился. Объяснить исчезновение момента импульса кубика относительно оси, лежащей на плоскости и перпендикулярной к направлению движения кубика. Найти расстояние между равнодействующими сил тяжести и нормального давления со стороны опорной плоскости.

1.272._; Гладкий однородный стержень АВ массы М и длины I свободно вращается с угловой скоростью со₀ в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его конец А. Из точки А начинает скользить по стержню небольшая муфта массы т. Найти скорость о' муфты относительно стержня в тот момент, когда она достигнет его конца В.

1.273. На гладкой горизонтальной поверхности лежит однородный стержень массы т = 5,0 кг и длины / = 90 см. По одному из концов стержня произвели удар в горизонтальном направлении, перпендикулярном к стержню, в результате которого стержню был передан импульс р = 3,0 Н-с. Найти силу, с которой одна половина стержня будет действовать на другую в процессе движения.

1.274, Однородная тонкая квадратная пластинка со стороной / и массы М может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с одной из ее сторон. В центр пластинки по нормали к ней упруго ударяется шарик массы т, летевший со скоростью v. Найти:

Рис. и Т.

а) скорость шарика v' после удара;

б) горизонтальную составляющую результирующей силы, с которой ось будет действовать на пластинку после удара.

1.275. Вертикально расположенный однородный стержень массы М и длины I может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально летевшая пуля массы т, в результате чего стержень отклонился на угол а. Считая т <^ М, найти:

а) скорость летевшей пули;

б) приращение импульса системы «пуля — стержень» за время удара; какова причина изменения этого импульса;

в) на какое расстояние х от верхнего конца стержня должна попасть пуля, чтобы импульс системы «пуля — стержень» не изменился в процессе удара.

1.276.: Горизонтально расположенный однородный диск массы М и радиуса R свободно вращается вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. Диск имеет радиальную направляющую, вдоль которой может скользить без трения небольшое тело массы т. К телу привязана легкая нить, пропущенная через полую ось диска вниз. Первоначально тело находилось на краю диска и вся система вращалась с угловой скоростью щ. Затем к нижнему концу нити приложили силу F, с помощью которой тело медленно подтянули к оси вращения. Найти:

а) угловую скорость системы в конечном состоянии;

б) работу, которую совершила сила F.

1.277. Человек массы т_г стоит на краю горизонтального однородного диска массы т₂ и радиуса R, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение на угол ср' относительно диска и остановился. В процессе движения скорость человека относительно диска зависела от времени по закону v'(t). Пренебрегая размерами человека, найти:

а) угол, на который повернулся диск к моменту остановки человека;

б) момент силы относительно оси вращения, с которой человек действовал на диск в процессе движения.

1.278. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны 1_г и /₂, а угловые скорости — ©! и ю₂. После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти:

а) установившуюся угловую скорость вращения дисков;

б) работу, которую совершили при этом силы трения.

1.279. На гладкой горизонтальной плоскости лежат небольшая шайба и тонкий однородный стержень длины /, масса которого в ц раз больше массы шайбы. Шайбе сообщили скорость v — в горизон

Рис. 1.72.

тальиом направлении перпендикулярно к стержню, после чего она испытала упругое соударение с концом стержня. Найти скорость шайбы и угловую скорость стержня после столкновения. При

каком значении т| скорость шайбы после столкновения будет равна нулю; изменит направление на противоположное?

1.280. На неподвижной платформе Р, которая может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси 00' (рис. 1.72), установлен мотор М и уравновешивающий противовес JV. Момент инерции платформы с мотором и противовесом относительно этой оси равен /. На оси мотора укреплена легкая рамка с однородным шаром А, который свободно вращается с угловой скоростью со₀ вокруг оси ВВ', совпадающей с осью 00'. Момент инерции шара относительно оси вращения равен /₀. Найти:

а) работу, которую совершит мотор, повернув ось ВВ' на 90^е; на 180°;

б) момент внешних сил, удерживающий ось установки в вертикальном положении после того, как мотор повернет ось ВВ' на 90^е.

1.281. Горизонтально расположенный однородный стержень АВ массы т = 1,40 кг и длины /₀ = 100 см вращается свободно вокруг неподвижной вертикальной оси ОО', проходящей через его конец А. Точка А находится посередине оси ОО', длина которой / = 55 см. При каком значении угловой скорости стержня горизонтальная составляющая силы, действующей на нижний конец оси ОО', будет равна нулю? Какова при этом горизонтальная составляющая силы, действующей на верхний конец оси?

1.282. Середина однородного стержня массы т. и длины / жестко соединена с вертикальной осью ОО' так, что угол между стержнем и осью равен Ь (см. рис. 1.71). Концы оси ОО' укреплены в подшипниках. Система вращается без трения с угловой скоростью со. Найти:

а) модуль и направление момента импульса М стержня относительно точки С,"*также его момент импульса относительно оси вращения;

б) модуль приращения вектора М относительно точки С за полоборота;

в) момент внешних сил N, действующих на ось ОО' при вращении.

1.283. Волчок массы т = 0,50 кг, ось которого наклонена под углом # = 30° к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка относительно его оси симметрии

2,0

г-м , угловая скорость вращения вокруг этой оси

со =

= 350 рад/с, расстояние от точки опоры до центра инерции волчка / = 10 см. Найти:

а) угловую скорость прецессии волчка;

б) модуль и направление горизонтальной составляющей силы реакции, действующей на волчок в точке опоры.

1.284. На полу кабины лифта, которая начинает подниматься с постоянным ускорением w = 2,0 м/с², установлен гироскоп — однородный диск радиуса R = 5,0 см на конце стержня длины / = 10 см" (рис. 1.73). Другой конец стержня укреплен в шарнире О. Гироскоп прецессирует с угловой скоростью п = 0,5 об/с. Пренебре- О I гая трением и массой стержня, найти собственную угловую скорость диска.

1.285. Волчок, масса которого т = 1,0 кг и момент инерции относительно собственной "rffr?/. оси / = 4,0 г-м², вращается с угловой скоростью со = 310 рад/с. Его точка опоры нахо- ^Рис- *-^73-дится на подставке, которую перемещают в горизонтальном направлении с постоянным ускорением w = 1,0 м/с². Расстояние между точкой опоры и центром инерции волчка / = 10 см. Найти модуль и направление вектора ю' — угловой скорости прецессии.

1.286. Однородный шар массы /га = 5,0 кг и радиуса R =■ 6,0 см вращается с угловой скоростью со = 1250 рад/с вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр и укрепленной в подшипниках подставки. Расстояние между подшипниками / = 15 см. Подставку поворачивают вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со' = 5,0 рад/с. Найти модуль и направление гироскопических сил.

1.287. Цилиндрический диск гироскопа массы т = 15 кг и радиуса г — 5,0 см вращается с угловой скоростью со = 330 рад/с. Расстояние между подшипниками, в которых укреплена ось диска, / = 15 см. Ось вынуждают совершать гармонические колебания вокруг горизонтальной оси с периодом Т = 1,0 с и амплитудой ср_от = 20°. Найти максимальное значение гироскопических сил, действующих на подшипники со стороны оси диска.

1.288. Корабль движется со скоростью v = 36 км/ч по дуге окружности радиуса R = 200 м. Найти момент гироскопических сил, действующих на подшипники со стороны вала с маховиком; которые имеют момент инерции относительно оси вращения / = = 3,8-10³ кг-м² и делают п = 300 об/мин. Ось вращения расположена вдоль корабля.

1.289. Локомотив приводится в движение турбиной, ось которой параллельна осям колес. Направление вращения турбины совпадает с направлением вращения колес. Момент инерции ротора турбины относительно собственной оси / = 240 кг-м². Найти добавочную силу давления на рельсы, обусловленную гироскопическими силами,

когда локомотив идет по закруглению радиуса R = 250 м со скоростью v = 50 км/ч. Расстояние между рельсами / = 1,5 м. Турбина делает п — 1500 об/мин.

1.6. Упругие деформации твердого тела

о Связь между относительным удлинением (сжатием) е и напряжением ст:

е=а/Е, (1.6а)

где Е—модуль юнга.

о Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) е' и относительным продольным растяжением (сжатием) е:

е' =—jxe, (1.66)

где ^—коэффициент Пуассона.

ф Связь между относительным сдвигом у и тангенциальным напряжением т!

V=t/G, (1.6в)

где G—модуль сдвига.

% Коэффициент сжимаемости (модуль всестороннего сжатия):

Р = -уг^. 0-6г)

% Объемная плотность энергии упругой деформации]

и=£е²/2, a=gv²/2. (1.6д)

1.290. Какое давление необходимо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы длина его не изменилась при повышении температуры на 100 ^РС?

1.291. Какое давление изнутри (при отсутствии наружного давления) может выдержать:

а) стеклянная трубка; б) стеклянная сферическая колба, у которых радиус г = 25 мм и толщина стенок Аг — 1,0 мм?

1.292. Горизонтально расположенный медный стержень длины I = 1,0 м вращают вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. При какой частоте оборотов он может разорваться?

1.293. Кольцо радиуса г = 25 см, сделанное из свинцовой проволоки, вращают вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к плоскости кольца. При какой частоте оборотов данное кольцо может разорваться?

1.294. Стальная проволока диаметра d = 1,0 мм натянута в горизонтальном положении между двумя зажимами, находящимися на расстоянии / = 2,0 м друг от друга. К середине проволоки — точке О — подвесили груз массы т = 0,25 кг. На сколько сантиметров опустится точка О?

1.295. Однородный упругий брусок движется по гладкой горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F₀, равномерно распределенной по торцу. Площадь торца равна S, модуль Юнга материала — Е. Найти относительное сжатие бруска в направлении действия данной силы.

1.296. Тонкий однородный медный стержень длины / и массы т равномерно вращается с угловой скоростью со в горизонтальной

нлоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Найти силу натяжения в стержне в зависимости от расстояния г до оси вращения, а также удлинение стержня.

1.297. Сплошной медный цилиндр длины / = 65 см поставили на горизонтальную поверхность и сверху приложили вертикальную сжимающую силу F = 1000 Н, которая равномерно распределена по его торцу. На сколько кубических миллиметров изменился при этом объем цилиндра?

1.298. Медный стержень длины / подвесили за один конец к потолку. Найти:

а) удлинение стержня А.1 под действием его собственного веса;

б) относительное приращение его объема ДУ/У.

1.299. Брусок из материала с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона ц, подвергли всестороннему сжатию давлением р. Найти:

а) относительное уменьшение его объема;

б) связь между коэффициентом сжимаемости в и упругими постоянными Е и \i.

Показать, что коэффициент Пуассона ft не может превышать 1/2.

1.300. Стальная балка прямоугольного сечения вмонтирована одним концом в стену (рис. 1.74). Под действием силы тяжести она испытывает некоторый небольшой изгиб.

Найти радиус кривизны нейтрального y/s%\Q_\Ь

слоя (см. пунктир на рисунке) вблизи ------- ----—L_i

точки О, если длина выступающего ^/^^//^\_х ^ fj

конца балки I = 6,0 м и ее толщина h = 10 см.

1.301. Изгиб упругого стержня ха- ^Рис- ³-^74,

растеризуется формой упругой линии,

проходящей через центры тяжести поперечных сечений стержня. Уравнение для определения этой линии при малых изгибах имеет вид

где N (х) — изгибающий момент упругих сил в сечении с координатой х, Е — модуль Юнга, / — момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей через нейтральный слой (/ = }Z²dS, рис. 1.75).

Нейтральный

та

Рис. 1.75. Рис. 1.76.

Пусть стальной стержень квадратного сечения со стороной а вмонтирован одним концом в стенку так, что выступающий конец его имеет длину / (рис. 1.76). Пренебрегая массой стержня, найти

форму упругой линии и стрелу прогиба к, если на его конец А действует:

а) изгибающий момент пары сил JV„;

б) сила F, направленная вдоль оси у.

1.302. Стальная балка длины / свободно опирается своими концами на два упора (рис. 1.77). Момент инерции ее поперечного

1.303. Стальная балка имеет прямоугольное сечение, высота которого равна h. Воспользовавшись уравнением из задачи 1.301, найти стрелу прогиба к, которая обусловлена собственным весом балки, в двух случаях:

а) балка вмонтирована одним концом в стену так, что длина ее выступающего конца равна / (рис. 1.78, а);

б) балка длины 21 своими концами свободно опирается на две опоры (рис. 1.78, б).

1.304. Стальная пластинка толщины h имеет форму квадрата со стороной I, причем h^l. Пластинка жестко скреплена с вертикальной осью 00, которую вращают с постоянным угловым ускорением 6 (рис. 1.79). Найти стрелу прогиба к, считая изгиб малым.

1.305. Установить связь между крутящим моментом JV и углом закручивания ср для:

а) трубы, у которой толщина стенок Дг значительно меньше радиуса трубы;

б) сплошного стержня круглого сечения. Предполагается, что их длина /, радиус г и модуль сдвига G известны.

1.306. Вычислить момент сил N, которые вызывают закручивание стальной трубы длины / = 3,0 м на угол ср = 2,0° вокруг ее оси, если внутренний и внешний диаметры трубы равны й_г = 30 мм и da = 50 мм.

Рис. 1.77.

сечения равен / (см. предыдущую задачу). Пренебрегая массой балки и считая прогибы малыми, найти стрелу прогиба к под действием силы F, приложенной к ее середине.

Рис. 178.

Рис. 1.79.

1.307. Найти наибольшую мощность, которую можно передать с помощью стального вала, вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью со = 120 рад/с, если его длина / = 200 см, радиус т = 1,50 см и допустимый угол закручивания ср = 2,5°.

1.308. Однородное кольцо массы т, имеющее внешний радиус г₂, плотно насажено на вал радиуса г_г. Вал вращают с постоянным угловым ускорением р* вокруг его оси. Найти момент упругих сил в кольце в зависимости от расстояния г до оси вращения.

1.309. Найти энергию упругой деформации стального стержня массы m = 3,1 кг, который растянут так, что его относительное удлинение е = 1,0-10~³.

1.310. Стальной цилиндрический стержень длины / и радиуса г подвесили одним концом к потолку.

а) Найти энергию U упругой деформации стержня.

б) Выразить U через относительное удлинение стержня Д///.

1.311. Какую работу необходимо совершить, чтобы стальную полосу длины / = 2,0 м, ширины h = 6,0 см и толщины б = 2,0 мм согнуть в круглый обруч? Предполагается, что процесс происходит в пределах упругой деформации.

1.312. Найти энергию упругой деформации стального стержня, у которого один конец закреплен, а другой закручен на угол ср = = 6,0°. Длина стержня / = 1,0 м, его радиус г = 10 мм.

1.313. Найти распределение объемной плотности энергии упругой деформации в стальном стержне в зависимости от расстояния г до его оси. Длина стержня /, угол закручивания ср.

1.314. Определить объемную плотность энергии упругой деформации в пресной воде на глубине h = 1000 м.

1.7. Гидродинамика

ф Основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости (уравнение Эйлера):

^pS⁼^f-Vp'⁰^-7а)

где р —плотность жидкости, f—объемная плотность массовых сил (в случае силы тяжести f=pg), Vp — градиент давления.

% Уравнение Бернулли. В стационарном потоке идеальной жидкости вдоль любой линии тока:

^fif^{+Р£Л + Р=}^const.^(1.76)

ф Число Рейнольдса, определяющее характер течения вязкой жидкости!

Re = pf//Tj, (1.7в)

где I — некоторый характерный размер, ц—вязкость жидкости.

% Формула Пуазейля. Поток жидкости через поперечное сечение трубы (в м»/с):

⁴ 8т) I * ¹ >

где R и i —радиус а длина ^трубы, [pi—р_а—разность 1давлений иа ее концах.

% Формула Стокса, Сила сопротивления движению шарика радиусом г в вязкой жидкости:

F=6nr\rv. (1.7д)

1.315. Идеальная жидкость течет по плоской трубе одинакового сечения, расположенной в горизонтальной плоскости и изогнутой, как показано на рис. 1.80 (вид сверху). Поток стационарный. Одинаковы ли давления и скорости жидкости в точках 1 п 27 Какой вид имеют линии тока?

Рис. 4,80. Рис. 1.8 f.

1.316. Две манометрические трубки установлены на горизонтальной трубе переменного сечения в местах, где сечения трубы равны S_x и S₂ (рис. 1.81). По трубе течет вода. Найти объем воды, протекающей в единицу времени через сечение трубы, если разность уровней воды в манометрических трубках равна М.

1.317. Трубка Пито (рис. 1.82) установлена по оси газопровода, площадь внутреннего сечения которого равна S. Пренебрегая вязкостью, найти объем газа, проходящего через сечение трубы в единицу времени, если разность уров-Рис. 1.82. ней в жидкостном манометре равна Ah, а плот-

ности жидкости и газа — соответственно р₀ и р.

1.318. Широкий сосуд с небольшим отверстием в дне наполнен водой и керосином. Пренебрегая вязкостью, найти скорость вытекающей воды, если толщина слоя воды fti = 30 см, а слоя керосина &а = 20 см.

1.319. На столе стоит широкий цилиндрический сосуд высотой 50 см. Сосуд наполнен водой. Пренебрегая вязкостью, найти, на какой высоте от дна сосуда следует сделать небольшое отверстие, чтобы струя из него била в поверхность стола на максимальное расстояние /_м,_ке от сосуда. Чему равно /_иакс?

1.320. Изогнутую трубку опустили в поток воды, как показано на рис. 1.83. Скорость потока относительно трубки v = 2,5 м/с. Закрытый верхний конец трубки имеет небольшое отверстие и находится на высоте h₀ = 12 см. На какую высоту h будет подниматься струя воды, вытекающая из отверстия?

5«

1.321. На горизонтальном дне широкого сосуда с идеальной жидкостью имеется круглое отверстие радиуса R_lt а над ним укреплен круглый закрытый цилиндр радиуса R₂> Ri (рис. 1.84). Зазор между цилиндром и дном сосуда очень мал, плотность жидкости р. Найти статическое давление жидкости в зазоре как функцию расстояния г от оси отверстия и цилиндра, если высота жидкости равна h.

Рис. 1.83. Рис. 1.85.

1.322. Какую работу необходимо совершить, чтобы, действуя постоянной силой на поршень (рис. 1.85), выдавить из горизонтально расположенного цилиндра всю воду за время ft Объем воды в цилиндре равен V, площадь сечения отверстия — s, причем s значительно меньше площади поршня. Трение и вязкость пренебрежимо малы.

1.323. Цилиндрический сосуд высоты h и площадью основания^ наполнен водой. В дне сосуда открыли отверстие с площадью s <J S. Пренебрегая вязкостью _ воды, определить, через сколько времени вся вода вытечет из сосуда. ^w_c

1.324. Горизонтально расположенная трубка АВ длины / вращается с постоянной угловой Q' скоростью со вокруг неподвижной вертикальной оси 00', прохо- Рис. 1.86. дящей через конец А (рис. 1.86).

В трубке находится идеальная жидкость. Конец А трубки открыт, а в закрытом конце В имеется очень малое отверстие. Найти, с какой скоростью относительно трубки будет вытекать жидкость в зависимости от «высоты» ее столба h.

1.325. Показать, что в случае стационарного потока идеальной жидкости уравнение (1.7а) приводит к уравнению Бернулли.

1.326. С противоположных сторон широкого вертикального сосуда, наполненного водой, открыли два одинаковых отверстия, каждое площадью S = 0,50 см². Расстояние между ними по высоте М — = 51 см. Найти результирующую силу реакции вытекающей воды.

1.327. В боковой стенке широкого цилиндрического вертикального сосуда высоты ft = 75 см сделана узкая вертикальная щель; нижний конец которой упирается в дно сосуда. Длина щели / = = 50 см, ширина b = 1,0 мм. Закрыв щель, сосуд наполнили водой. Найти результирующую силу реакции вытекающей воды непосредственно после того, как щель открыли.

1.328. Вода вытекает из большого бака по изогнутой под прямым углом трубке, внутренний радиус которой г = 0,50 см (рис. 1.87). Длина горизонтальной части трубки / = 22 см. Расход воды Q = 0,50 л/с. Найти момент сил реакции воды на стенки этой трубки относительно точки О, обусловленный течением воды.

Рис. 1.87. Рис. 1.88.

1.329. В боковой стенке широкого открытого бака вмонтирована суживающаяся трубка (рис. 1.88), через которую вытекает вода. Площадь сечения трубки уменьшается от S = 3,0 см² до s = 1,0 см². Уровень воды в баке на ft = 4,6 м выше уровня в трубке. Пренебрегая вязкостью воды, найти горизонтальную составляющую силы, вырывающей трубку из бака.

1.330. Цилиндрический сосуд с водой вращают вокруг его вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со. Найти:

а) форму свободной поверхности воды;

б) распределение давления воды на дне сосуда вдоль его радиуса, если давление в центре дна равно р₀.

1.331. Тонкий горизонтальный диск радиуса R = 10 см расположен в цилиндрической полости с маслом, вязкость которого т| = 0,08 П (рие. 1.89). Зазоры между диском и горизонтальными торцами полости одинаковы и равны ft = 1,0 мм. Найти мощность, которую развивают силы вязкости, действующие на диск, при вращении его с угловой скоростью со = 60 рад/с. Краевыми эффектами пренебречь

1.332. Длинный цилиндр радиуса R_% перемещают вдоль его оси с постоянной скоростью v₉ внутри коаксиального с ним неподт вижного цилиндра радиуса R₂. Пространство между цилиндрами заполнено вязкой жидкостью. Найти скорость жидкости в зависимости от расстояния г до оси цилиндров. Течение ламинарное.

1.333. Жидкость с вязкостью т) находится между двумя длинными коаксиальными цилиндрами с радиусами R_x и R_%, причем #i < #2- Внутренний цилиндр неподвижен, а внешний вращают с постоянной угловой скоростью со₂. Движение жидкости ламинарное. Имея в виду, что сила трения, действующая на единицу площади цилиндрической поверхности радиуса г, определяется формулой о = цг (д&/дг), найти:

а) угловую скорость вращающейся жидкости в зависимости от радиуса г.

б) момент сил трения, действующих на единицу длины внешнего цилиндра.

1.334. По трубке длины / и радиуса R течет стационарный поток жидкости, плотность которой р и вязкость т|. Скорость течения жидкости зависит от расстояния г до оси трубки по закону v = = v₀ (1 — г²/К²). Найти:

а) объем жидкости, протекающей через сечение трубки в единицу времени;

б) кинетическую энергию жидкости в объеме трубки;

в) силу трения, которую испытывает трубка со стороны жидкости;

г) разность давлений на концах трубки.

1.335. В системе (рис. 1.90) из широкого сосуда А по трубке вытекает вязкая жидкость, плотность которой р = 1,0 г/см³. Найти скорость вытекающей жидкости, если h_x = 10 см, ha = 20 см и h_s = 35 см. Расстояния / одинаковы.

1.336. Радиус сечения трубопровода монотонно уменьшается по закону г — г^^х, где а = 0,50 м^-1, х — расстояние от начала трубопровода. Найти отношение чисел Рейнольдса в сечениях, отстоящих друг от друга иа Ах — 3,2 м.

1.337. При движении шарика радиуса т_х = 1,2 мм в глицерине ламинарное обтекание наблюдается при скорости шарика, не превышающей v_x — 23 см/с. При какой минимальной скорости v₂ шара радиуса г_г — 5,5 см в воде обтекание станет турбулентным? Вязкости глицерина и воды равны соответственно % = 13,9 П и т|_а =, ==, 0,011 П.

1гЬ

h I

_1;

\\\

Рис. 1.90.

1.338. Свинцовый шарик равномерно опускается в глицерине, вязкость которого г] = 13,9 П. При каком наибольшем диаметре шарика его обтекание еще остается ламинарным? Известно, что переход к турбулентному обтеканию соответствует числу Re = 0,5 (это значение числа Re, при котором за характерный размер взят диаметр шарика).

1.339. Стальной шарик диаметра d = 3,0 мм опускается с нулевой начальной скоростью в прованском масле, вязкость которого т) = 0,90 П. Через сколько времени после начала движения скорость шарика будет отличаться от установившегося значения на п — = 1,0%?

1.8. Релятивистская механика

ф Лоренцево сокращение длины и замедление хода движущихся часов!

l = kV l-(v/cf, &t= ^А*; (1.8а)

VI— (Р/с)*

где ^—собственная длина, Д^₀—собственное [время движущихся часов, ф Преобразования Лоренца *):

x—Vt , „ t—xV/c* .,

х'= ■ ==-, у'=у, t'=>, -—-. (1.86)

ф Интервал Si2—инвариантная величина:

«Ь=сЧ!₂— '!a = inv, (1.8в)

где ^2—промежуток времени между "событиями" 1 и 2, ha — расстояние между точками, где произошли эти события, ф Преобразование скорости *):

* l—v_xV/C*' > 1— v_xV/c* Релятивистская масса и релятивистский импульс:

(1.8г)

p..*,. (1.84

- --rZ^—. ■ ■ .i; т у-lILy —— ----,

Vl — (v/c)» Yl—i^lcf

где m₀—масса покоя, или просто масса.

ф Релятивистское уравнение динамики частицы!

dt ^-Г*

где р—релятивистский импульс частицы.

ф Полная и кинетическая энергии релятивистской частицы:

(1.8е)

Е = тс*=пц*+Т, 7" = (от—«„) А (1.8ж)

*) Предполагается, что К'-система отсчета движется со скоростью V в положительном направлении оси х К-системы, причем оси х' и х совпадают, а оси у' и у параллельны.

ф Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы:

£2__Р2_С2 ₌ _/И2_С4₁ рс = Ут (T+2niaP*). (1.8з)

ф При рассмотрении столкновения частиц полезно использовать инвариантную величину!

где Е и р—полные энергия и импульс системы до столкновения, т₀ — масса покоя образовавшейся частицы (или системы).

1.340. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью v относительно инерциальной /(-системы отсчета. При каком значении v длина стержня в этой системе отсчета будет на т) = 0,5% меньше его собственной длины?

1.341. Имеется треугольник, собственная длина каждой стороны которого равна а. Найти периметр этого треугольника в системе отсчета, движущейся относительно него с постоянной скоростью V вдоль одной из его

а) биссектрис; б) сторон. Исследовать полученные результаты при V <^ с и V -*• с, где с — скорость света.

1.342. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость v = с/2, длина / = 1,00 м и угол между ним и направлением движения Ф = 45*.

1.343. Покоящийся прямой конус имеет угол полураствора О = = 45* и площадь боковой поверхности S₀ = 4,0 м². Найти в системе отсчета, движущейся со скоростью v = */₅ ^с вдоль оси конуса:

а) его угол полураствора', б) площадь боковой поверхности.

1.344. С какой скоростью двигались в /("-системе отсчета часы, если за время t = 5,0 с (в /(-системе) они отстали от часов этой системы на At = 0,10 с?

1.345. Стержень пролетает с постоянной скоростью мимо метки, неподвижной в /(-системе отсчета. Время пролета At =20 не — в /(-системе. В системе же отсчета, связанной со стержнем, метка движется вдоль него в течение Д*' = 25 не. Найти собственную длину стержня.

1.346. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы At₀ = 10 не. Найти путь, который пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни At = = 20 не.

1.347. В /(-системе отсчета мю-мезон, движущийся со скоростью v = 0,990 с, пролетел от места своего рождения до точки распада расстояние Z = 3,0 км. Определить:

а) собственное время жизни этого мезона;

б) расстояние, которое пролетел мезон в /(-системе с «его точки зрения».

1.348« Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой о одинаковой скоростью v = ³Д с, попали

в неподвижную мишень с интервалом времени At = 50 не. Найти собственное расстояние между частицами до попадания в мишень^

1.349. Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих концов данного стержня одновременно в системе отсчета, связанной с линейкой, то разность отсчетов по линейке Ах_х — 4,0 м. Если же положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета, связанной со стержнем, то разность отсчетов по этой же линейке Ах₃ = 9,0 м. Найти собственную длину стержня и его скорость относительно линейки.

1.350. Два стержня одинаковой собственной длины 1₀ движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов стержней оказался равным At. Какова скорость одного стержня относительно другого?

1.351. Две нестабильные частицы движутся в К -системе отсчета по некоторой прямой в одном направлении со скоростью v = 0,990 с. Расстояние между ними в этой системе отсчета Z = 120 м. В некоторый момент обе частицы распались одновременно в системе отсчета, связанной с ними. Какой промежуток времени между моментами распада обеих частиц наблюдали в /(-системе? Какая частица распалась позже в /(-системе?

1.352. Стержень АВ, ориентированный вдоль оси х /(-системы отсчета, движется с постоянной скоростью v в положительном направлении оси х. Передним (по ходу движения) концом стержня является точка А, задним — точка В. Найти:

а) собственную длину стержня, если в момент t_A координата -точки А равна х_д, а в момент t_B координата точки В равна х_в;

б) через какой промежуток времени надо зафиксировать координаты начала и конца стержня в /(-системе, чтобы разность координат

оказалась равной собственной дли-А* д' не стержня?

О О-»»■ 1.353. Стержень А'В' движется

О о с постоянной скоростью v отно-

Л в сительно стержня АВ (рис. 1.91).

_Рие ₍₉₍ Оба стержня имеют одинаковую

собственную длину 1₀ и на концах каждого из них установлены синхронизированные между собой часы: Л с В и Л' с В'. Пусть момент, когда часы В' поравнялись с часами Л, взят за начало отсчета времени в системах отсчета, связанных с каждым из стержней. Определить:

а) показания часов В и В' в момент, когда они окажутся напротив друг друга;

б) то же для часов Л и Л'.

1.354. Имеются две группы синхронизированных часов К и К', движущихся одна относительно другой со скоростью и, как пока-

зано на рис. 1.92. Возьмем за начало отсчета времени момент, когда "часы А' окажутся напротив часов А. Изобразить примерное расположение стрелок всех часов в этот момент с «точки зрения» /(-часов; /('-часов.

А' -»-^

~~_{О О О (В О О О}~~

~~_{О О О}_{(Ь о о о}~~

Рис. 1.92.

1.355. /('-система отсчета движется в положительном направлении оси х /(-системы со скоростью V относительно последней. Пусть в момент совпадения начал координат О и О' показания часов обеих систем в этих точках равны нулю. Найти в /(-системе скорость х перемещения точки, в которой показания часов обеих систем отсчета будут все время одинаковы. Убедиться, что х < V.

1.356. В двух точках /(-системы отсчета произошли события, разделенные промежутком времени At. Показать, что если эти события причинно связаны в /(-системе (например, выстрел и попадание пули в мишень), то они причинно связаны и в любой другой инерциальной /('-системе отсчета.

1.357. На диаграмме пространства — времени (рис. 1.93) показаны три события А, В и С, которые произошли на оси х некоторой инерциальной системы отсчета. Найти:

а) промежуток времени между событиями А и В в той системе отсчета, где оба события произошли в одной точке;

б) расстояние между точками, где произошли события А и С, в той системе отсчета, где они одновременны.

1.358. В плоскости ху /(-системы отсчета движется частица, проекции скорости которой равны v_x и v_y. Найти скорость и' этой частицы в /('-системе, которая перемещается со скоростью V относительно /(-системы в положительном направлении ее оси х.

1.359. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями Vy = 0,50с и Oj = 0,75с по отношению к лабораторной системе отсчета. Найти:

(		В

			G


	А

0 7 2 Рис. 1.93.

3 4 5 В 7 Я,М

3 И. Е. Иродов

а) скорость сближения частиц в лабораторной системе отсчета;

б) их относительную скорость.

1.360., Два стержня одинаковой собственной длины 1₀ движутся в продольном направлении навстречу друг другу параллельно общей оси с одной и той же скоростью v относительно лабораторной системы отсчета. Чему равна длина каждого стержня в системе отсчета, связанной с другим стержнем?

1.361* Две релятивистские частицы движутся под прямым углом друг к другу в лабораторной системе отсчета, причем одна со скоростью v_it а другая со скоростью v₂. Найти:

а) скорость сближения частиц в лабораторной системе отсчета;

б) их относительную скорость.

1.362« Некоторая нестабильная частица движется со скоростью v" в /('-системе отсчета вдоль ее оси у', /('-система в свою очередь перемещается относительно /(-системы со скоростью V в положительном направлении ее оси х. Оси х' и х обеих систем отсчета совпадают, оси у' и у параллельны друг другу. Найти путь, который частица пролетит в /(-системе, если ее собственное время жизни равно At₀.

1.363. Частица движется в /(-системе со скоростью v под углом ф к оси х. Найти соответствующий угол в /('-системе, перемещающейся со скоростью V относительно К /Г /(-системы в положительном направле-U'\-нии ее оси х, если оси х и х' обеих систем совпадают. " В 1.364. Стержень АВ ориентирован параллельно оси х' /('-системы отсчета ________. и движется в этой системе со ско-

^я ростью v' вдоль ее оси у', /('-система Рис. 1.94. в свою очередь движется со скоростью V

относительно /(-системы, как показано на рис. 1.94. Найти угол О между стержнем и осью х в /(-системе.

1.365. /('-система перемещается с постоянной скоростью V относительно /(-системы. Найти ускорение до' частицы в /('-системе, если в /(-системе она движется со скоростью v и ускорением до по прямой:

а) в направлении вектора V;

б) перпендикулярно к вектору V.

1.366. Стартовавшая с Земли воображаемая космическая ракета движется с ускорением до' = I0g, одинаковым в каждой инер-циальной системе, мгновенно сопутствующей ракете. Разгон продолжался по земному времени т = 1,0 год. Найти, на сколько процентов отличается скорость ракеты от скорости света в конце разгона. Каков путь, пройденный ракетой к этому моменту?

1.367. Используя данные предыдущей задачи, определить время разгона ракеты т₀ в системе отсчета, связанной с самой ракетой.

Иметь в виду, что это время определяется формулой

т₀ = ]У1-(о/с)" dt,

где dt — интервал времени в системе Земли.

1.368. Во сколько раз релятивистская масса частицы, скорость которой отличается от скорости света на 0,010%, превышает ее массу покоя?

1.369. Плотность покоящегося тела равна р₀. Найти скорость системы отсчета относительно данного тела, в которой его плотность будет на г| = 25% больше р₀. „.

1.370. Протон движется с импульсом р = 10,0 ГэВ/с, где с — Скорость света. На сколько процентов отличается скорость этого протона от скорости света?

1.371. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в г] = 2 раза превышает ее ньютоновский импульс.

1.372. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя т₀ от 0,60 с до 0,80 с? Сравнить полученный результат со значением, вычисленным по классической формуле.

1.373. Найти скорость, при которой кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя.

1.374. При каких значениях отношения кинетической энергии частицы к ее энергии покоя относительная ошибка при расчете скорости частицы по классической формуле не превышает г = = 0,010?

1.375. Найти зависимость импульса от кинетической энергии частицы с массой покоя пц. Вычислить импульс протона с кинетической энергией 500 МэВ.

1.376. Пучок релятивистских частиц с кинетической энергией Т падает на поглощающую мишень. Сила тока в пучке /, заряд и масса покоя каждой частицы е и пг₀. Найти силу давления пучка на мишень и выделяющуюся в ней мощность.

1.377. Шар движется с релятивистской скоростью v через газ, в единице объема которого содержится п медленно движущихся частиц, каждая массы т. Найти давление р, производимое газом на элемент поверхности шара, нормальный к его скорости, если частицы отражаются упруго. Убедиться, что это давление одинаково как в системе отсчета, связанной с шаром, так и в системе отсчета, связанной с газом.

1.378. Частица с массой покоя т₀ в момент i = 0 начинает двигаться под действием постоянной силы F. Найти зависимость от времени t скорости частицы и пройденного ею пути.

1.379. Частица с массой покоя т₀ движется вдоль оси х /(-системы по закону х = У а² + сЧ², где а — некоторая постоянная, с — скорость света, t — время. Найти силу, действующую на частицу в этой системе отсчета.

1.380. Исходя из основного уравнения релятивистской динамики, найти:

а) в каких случаях ускорение частицы совпадает по направлению с действующей на нее силой F;

б) коэффициенты пропорциональности между силой F и ускорением w в тех случаях, когда F J_ v и F || v, где v — скорость частицы.

1.381. Релятивистская частица с импульсом р и полной энергией Е движется вдоль оси х /(-системы. Показать, что в /('-системе, движущейся с постоянной скоростью V относительно /(-системы в положительном направлении ее оси х, импульс и полная энергия данной частицы определяются формулами:

, __Рх-ЕУ/с* _Е,^Е-р_хУ

где В = У/с.

1.382. Энергия фотона в /(-системе равна е. Воспользовавшись формулами преобразования, приведенными в предыдущей задаче, найти энергию е' этого фотона в /('-системе, перемещающейся со скоростью У относительно /(-системы в направлении движения фотона. При каком значении У энергия фотона г' = е/2?

1.383. Показать, что для частицы величина Е²— р²с² есть инвариант, т. е. имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета. Каково значение этого инварианта?

1.384. Нейтрон с кинетической энергией Т = 2 тф², где т₀ — его масса покоя, налетает на другой, покоящийся нейтрон. Определить:

а) суммарную кинетическую энергию Т обоих нейтронов в системе их центра инерции и импульс р каждого нейтрона в этой системе;

б) скорость центра инерции этой системы частиц. Указание. Воспользоваться инвариантностью величины

Е² — р²с² при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (здесь Е — полная энергия системы, р — ее суммарный импульс).

1.385. Частица с массой покоя т₀ и кинетической энергией Т налетает на покоящуюся частицу с той же массой покоя. Найти массу покоя и скорость составной частицы, образовавшейся в результате соударения.

1.386. Какова должна быть кинетическая энергия протона, налетающего на другой, покоящийся протон, чтобы их суммарная кинетическая энергия в системе центра инерции была такая же, как у двух протонов, движущихся навстречу друг другу с кинетическими энергиями Т = 25,0 ГэВ?

1.387. Неподвижная частица с массой покоя пг₀ распадается на три частицы с массами покоя m_lt m₂ и m_s. Найти наибольшую полную энергию, которую может иметь, например, частица rti\.

1.388. Релятивистская ракета выбрасывает струю газа с нерелятивистской скоростью и, постоянной относительно ракеты. Найти зависимость скорости v ракеты от ее массы покоя т, если в начальный момент масса покоя ракеты равна т₀.

ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

2.1. Уравнение состояния газа. Процессы

ф Уравнение состояния идеального газа:

PV = %RT. (2.1а)

где М — молярная масса (масса моля), ф Барометрическая формула:

р=р<Г»*Ч*^т, (2.16)

где ро—давление на высоте Л=0.

ф Уравнение состояния ван-дер-ваальсовского газа (для моля)!

где V_м—молярный объем, занимаемый при данных р и Т.

2.1. В сосуде объемом V = 30 л содержится идеальный газ при температуре 0 °С. После того, как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизилось на Ар = 0,78 атм (без изменения температуры). Найти массу выпущенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях р = 1,3 г/л.

2.2. Два одинаковых баллона соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ из одного баллона в другой при разности давлений Ар Ss 1,10 атм. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом — идеальный газ при температуре t_x — 27 °С и давлении Pi= 1,00 атм. Затем оба баллона нагрели до температуры U = — 107 °С. Каким стало давление газа в баллоне, где был вакуум?

2.3. Сосуд объемом V = 20 л содержит смесь водорода и гелия при температуре t = 20 °С и давлении р = 2,0 атм. Масса смеси т — 5,0 г. Найти отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси.

2.4. В сосуде находится смесь т_х = 7,0 г азота и пц = 11 г углекислого газа при температуре Т = 290 К и давлении р₀ = = 1,0 атм. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными.

2.5. В баллоне объемом V = 7,5 л при температуре Т = 300 К находится смесь идеальных газов: v_x = 0,10 моля кислорода,

v₂ = 0,20 моля азота и v₃ = 0,30 моля углекислого газа. Считая газы идеальными, найти:

а) давление смеси;

б) среднюю молярную массу М данной смеси, которая входит^ в уравнение ее состояния pV = (т/М) RT, где т — масса смеси.

2.6. В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится легкоподвижный поршень, по обе стороны которого — по одному молю воздуха. В равновесном состоянии при температуре Т₀ = 300 К объем верхней части цилиндра в ц — 4,0 раза больше объема нижней части. При какой температуре отношение этих объемов станет tj' = 3,0?

2.7. Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом V. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем AV. Сколько следует сделать циклов, чтобы давление в сосуде уменьшилось в т] раз? Процесс считать изотермическим, газ — идеальным.

2.8. Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки t. Объем сосуда V, первоначальное давление р₀.

) Процесс считать изотермическим и скорость откач-^ ^ ки не зависящей от давления и равной С.

$ Примечание. Скоростью откачки назы-Р° /, вают объем газа, откачиваемый за единицу вре-

мени, причем этот объем измеряется при давлении

^газа ^в Д^анный момент, ^к" 2.9. Камеру объемом V = 87 л откачивают на-уу:.^// сосом, скорость откачки которого (см. примечание ~~\<j^~~ ^ к предыдущей задаче) С= 10 л/с. Через сколько

Ро / времени давление в камере уменьшится в т| = Я У = 1000 раз?

2.10. В гладкой открытой с обоих концов вер-Рис. 2.1. тикальной трубе, имеющей два разных сечения (рис. 2.1), находятся два поршня, соединенные нерастяжимой нитью, а между поршнями — один моль идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня на AS = 10 см²больше, чем нижнего. Общая масса поршней пг = 5,0 кг. Давление наружного воздуха р₀ = 1,0 атм. На сколько Кельвин надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на / 3= 5,0 см?

2.11. Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из нижеследующих процессов:

а) Р = po—aV²; б) р = р„е-^ру, где ро, of и В — положительные постоянные, V — объем одного моля газа.

2.12. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону Т = Т₀ + а У², где Т₀и а — положительные постоянные, V — объем 'Одного моля газа. Изобразить примерный график этого процесса в параметрах р, V.

2.13. Высокий цилиндрический сосуд с газообразным азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного паде-

ния в котором равно g. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры dT/dh.

2.14. Допустим, давление р и плотность р воздуха связаны соотношением р/ р^п = const независимо от высоты (здесь п — постоянная). Найти соответствующий градиент температуры.

2.15. Пусть на поверхности Земли воздух находится при нормальных условиях. Считая, что температура и молярная масса воздуха не зависят от высоты, найти его давление на высоте 5,0 км над поверхностью Земли и в шахте на глубине 5,0 км.

2.16. Считая, что температура и молярная масса воздуха, а также ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти разность высот, на которых плотности воздуха при температуре 0 °С отличаются:

а) в е раз; б) на ц = 1,0%.

2.17* Идеальный газ с молярной массой М находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого S и высота h. Температура газа Г, его давление на нижнее основание р₀. Считая, что температура и ускорение свободного падения g не зависят от высоты, найти массу газа в сосуде.

2.18. Идеальный газ с молярной массой М находится в очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде в однородном поле тяжести, для которого ускорение свободного падения равно g. Считая температуру газа всюду одинаковой и равной Т, найти высоту, на которой находится центр тяжести газа.

2.19. Идеальный газ с молярной массой М находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Найти давление газа как функцию высоты h, если при h = 0 давление р = р₀, а температура изменяется с высотой как

а) Т = Т₀ (1 — ah); б) Т = Т₀ (1 + ah), где а — положительная постоянная.

2.20. Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, вращают с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Давление воздуха снаружи р₀, температура Т, молярная масса воздуха М, Найти давление воздуха как функцию расстояния г от оси вращения. Молярную массу считать не зависящей от г.

2.21. Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при температуре Т = 300 К, чтобы его плотность оказалась равной р = 500 г/л? Расчет провести как для идеального газа, так и для ван-дер-ваальсовского.

2.22. Один моль азота находится в сосуде объемом V = 1,00 л. Найти:

а) температуру азота, при которой ошибка в давлении, определяемом уравнением состояния идеального газа, составляет л = = 10% (по сравнению с давлением согласно уравнению Ван-дер-Ваальса);

б) давление газа при этой температуре.

2.23. Один моль некоторого газа находится в сосуде объемом V = 0,250 л. При температуре T_t = 300 К давление газа рх =а == 90 атм, а при Т₂ = 350 К давление р₂ = 110 атм. Найти постоянные Ван-дер-Ваальса для этого газа.

2.24. Найти коэффициент изотермической сжимаемости х ван-дер-ваальсовского газа как функцию объема V при температуре Т.

п тт 1 dV

Примечание. По определению, к = — у др'

2.25. Воспользовавшись результатом решения предыдущей задачи, найти, при какой температуре коэффициент изотермической сжимаемости к ван-дер-ваальсовского газа больше, чем у идеального. Рассмотреть случай, когда молярный объем значительно больше поправки Ъ.

2.2. Первое начало термодинамики. Теплоемкость

ф Первое начало термодинамики:

Q = AU + A, (2.2а)

где AU — приращение внутренней энергии системы. ф Работа, совершаемая газом,

A = ^pdV. (2.26)

ф Внутренняя энергия идеального газа:

U-"c_vT-?-^=l!L. (2.2в)

М ^v Му—1 у—1 * '

ф Молярная теплоемкость газа при политропическом процессе (рУ^п — ■= const):

г R R _ <д-т)Я

*Y-1 я-1 (л—1) (Y—I)^-

Внутренняя энергия моля ван-дер-ваальсовского газа:

(2.2г)

U*=C_vT-°-. (2.2д)

^VM

2.26. Показать, что внутренняя энергия U воздуха в комнате не зависит от температуры, если наружное давление р постоянно. Вычислить U, если р равно нормальному атмосферному "давлению и объем комнаты V = 40 м³.

2.27. Теплоизолированный сосуд с газом, молярная масса которого М и Ср/Су = у, движется со скоростью v. Найти приращение температуры газа при внезапной остановке сосуда.

2.28. Два теплоизолированных баллона 1 я 2 наполнены воздухом и соединены короткой трубкой с краном. Известны объемы баллонов, а также давление и температура воздуха в них (V_lt p_ltТ_х и V_2i р₂, Т₂). Найти температуру и давление воздуха, которые установятся после открытия крана.

2.29. Газообразный водород, находившийся при нормальных условиях в закрытом сосуде объемом V = 5,0 л, охладили на AT =

<= 55 К. Найти приращение внутренней энергии газа и количество отданного им тепла.

2.30. Какое количество тепла необходимо сообщить азоту при его изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу А = = 2,0 Дж?

2.31. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на AT = 72 К, сообщив ему количество тепла Q = 1,60 кДж. Найти совершенную газом работу, приращение его внутренней энергии и величину у = C_p/C_v.

2.32. Два моля идеального газа при температуре Т₀ = 300 К охладили изохорически, вследствие чего его давление уменьшилось в п = 2,0 раза. Затем газ изобарически расширили так, что в конечном состоянии его температура стала равной первоначальной. Найти количество тепла, поглощенного газом в данном процессе.

2.33. Вычислить величину у = С_р/Су для газовой смеси, состоящей из Vi = 2,0 моля кислорода и v₂ = 3,0 мо"« углекислого газа. Газы считать идеальными.

2.34. Вычислить удельные теплоемкости c_v и с_р для газовой смеси, состоящей из 7,0 г азота и 20 г аргона. Газы считать идеальными.

2.35. В вертикальном цилиндре под поршнем находится один моль некоторого идеального газа при температуре Т. Пространство над поршнем сообщается с атмосферой. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно поднимая поршень, изотермически увеличить объем газа под ним в п раз? Трение поршня о стенки цилиндра пренебрежимо мало.

2.36. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра находится легкоподвижный поршень. Первоначально поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом V₀, в которых находится идеальный газ одинаковой температуры и под" одним и тем же давлением р₀. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно двигая поршень, изотермически увеличить объем одной части газа в т) раз по сравнению с объемом другой части?

2.37. Три моля идеального газа, находившегося при температуре Т₀ = 273 К, изотермически расширили в п = 5,0 раза и затем изохорически нагрели так, что в конечном состоянии его давление стало равным первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество тепла Q = 80 кДж. Найти величину у = С_р/Су для этого газа.

2.38. Изобразить для идеального газа примерные графики изо-хорического, изобарического, изотермического и адиабатического процессов на диаграмме:

а) р, Т; б) V, Т.

2.39. Один моль кислорода, находившегося при температуре Т₀ = 290 К, адиабатически сжали так, что его давление возросло в л = 10,0 раза. Найти:

а) температуру газа после сжатия;

б) работу, которая была совершена над газом.

2.40. Некоторую массу азота сжали в т) = 5,0 раза (по объему) один раз адиабатически, другой раз изотермически. Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково. Найти отношение соответствующих работ, затраченных на сжатие.

2.41. Внутри закрытого теплоизолированного цилиндра с идеальным газом находится легкоподвижный теплопроводящий поршень. При равновесии поршень делит цилиндр на две равные части и температура газа равна Т₀. Поршень начали медленно перемещать. Найти температуру газа как функцию отношения ц объема большей части к объему меньшей Части. Показатель адиабаты газа у.

2.42. Определить скорость v истечения гелия из теплоизолированного сосуда в вакуум через малое отверстие. Считать, что пргз этом условии скорость потока газа в сосуде пренебрежимо мала. Температура гелия в сосуде Т = 1000 К-

2.43. Объем идеального газа с показателем адиабаты 7 изменяют по закону V — а/Т, где а — постоянная. Найти количество тепла, полученное одним молем газа в этом процессе, если температура газа испытала приращение AT.

2.44. Показать, что процесс, при котором работа идеального газа пропорциональна соответствующему приращению его внутренней энергии, описывается уравнением pVⁿ = const, где п — постоянная.

2.45. Найти молярную теплоемкость идеального газа при политропическом процессе pV" = const, если показатель адиабаты газа равен у. При каких значениях показателя политропы п теплоемкость газа будет отрицательной?

2.46. При некотором политропическом процессе объем аргона был увеличен в ©s = 4,0 раза. Давление при этом уменьшилось в 6 = 8,0 раза. Найти молярную теплоемкость аргона в этом процессе, считая газ идеальным.

2.47. Один моль аргона расширили по политропе с показателем п = 1,50. При этом температура газа испытала приращение AT = = —26 К. Найти:

а) количество полученного газом тепла;

б) работу, совершенную газом.

2.48. Идеальный газ с показателем адиабаты у расширили по закону р = aV, где а — постоянная. Первоначальный объем газа У₀. В результате расширения объем увеличился в л раз. Найти:

а) приращение внутренней энергии газа;

б) работу, совершенную газом;

в) молярную теплоемкость газа в этом процессе.

2.49. Идеальный газ, показатель адиабаты которого у, расширяют так, что сообщаемое газу тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти:

а) молярную теплоемкость газа в этом процессе;

б) уравнение процесса в параметрах Т, V;

в) совершенную молем газа работу при увеличении его объема в ц раз.

2.50. Один моль идеального газа с показателем адиабаты у совершает процесс, при котором его давление зависит от температуры по закону р = аТ^а, где а и а — постоянные. Найти:

а) работу, которую произведет газ, если его температура испытает приращение ДГ;

б) молярную теплоемкость газа в этом процессе; при каком значении а теплоемкость будет отрицательной?

2.51. Идеальный газ с показателем адиабаты у совершает процесс, при котором его внутренняя энергия зависит от объема по закону U = aV^a, где а и а — постоянные. Найти:

а) работу, которую произведет газ, и тепло, которое надо сообщить ему, чтобы внутренняя энергия испытала приращение Д(7;

б) молярную теплоемкость газа в этом процессе.

2.52. Имеется идеальный газ, молярная теплоемкость которого при постоянном объеме равна C_v. Найти молярную теплоемкость этого газа как функцию его объема V, если газ совершает процесс по закону:

а) Т = Г₀е«^; б) р = р₀е^, где Т₀, р_а и а — постоянные.

2.53. Один моль идеального газа с показателем адиабаты у совершает процесс по закону р = р₀ + a/V, где р₀ и а — положительные постоянные. Найти:

а) теплоемкость газа как функцию его объема;

б) приращение внутренней энергии газа, совершенную им работу и сообщенное газу тепло, если его объем увеличился от V_x до V₂.

2.54. Один моль идеального газа, теплоемкость которого при постоянном" давлении равна С_р, совершает процесс по закону Т = = Т₀ + aV, где Т₀ и а — постоянные. Найти:

а) теплоемкость газа как функцию его объема;

б) сообщенное газу тепло, если его объем увеличился от Vi до V₂.

2.55. Найти для идеального газа уравнение процесса (в переменных Т, V), при котором молярная теплоемкость газа изменяется по закону:

а) С = C_v + аТ; б) С = C_v + ВУ; в) С = C_v + ар. Здесь а, В и а — постоянные.

2.56. Имеется идеальный газ с показателем адиабаты у. Его молярная теплоемкость при некотором процессе изменяется по закону С = а/Т, где а — постоянная. Найти:

а) работу, совершенную одним молем газа при его нагревании от температуры Т₀ до температуры в т) раз большей;

б) уравнение процесса в параметрах р, V.

2.57. Найти работу, совершаемую одним молем ван-дер-ваальсовского газа при изотермическом расширении его от объема Vi до У₂при температуре Т.

2.58., Один тлолъ кислорода расширили от объема У_г = 1,00 л до У₂ = 5,0 л при постоянной температуре Т = 280 К. Вычислить: а) приращение внутренней энергии газа;

б) количество поглощенного тепла. Газ считать ван-дер-ваальсовским.

2.59. Найти для ван-дер-ваальсовского газа:

а) уравнение адиабаты в параметрах Т, V;

б) разность молярных теплоемкостей С_р — C_v как функцию Т и V.

2.60. Два теплоизолированных баллона соединены между собой трубкой с краном. В одном баллоне объемом Vi = 10 л находится v = 2,5 моля углекислого газа. Второй баллон объемом V₂ = 100 л откачан до высокого вакуума. Кран открыли, и газ адиабатически расширился. Считая, что газ подчиняется уравнению Ван-дер-Вааль-са, найти приращение его температуры в результате расширения.

2.61. Какое количество тепла надо сообщить v = 3,0 молям углекислого газа, чтобы при расширении в вакуум от объема Vi =» = 5,0 л до V₂ = Ю л температура его не изменилась?

2.3. Молекулярно-кинетическая теория. Распределения Максвелла и Больцмана

ф Число ударов молекул газа об единицу поверхности стенки за единицу временя:

v=i/4n<»>. (2.3а)

где п—концентрация молекул, (о)—нх средняя скорость. ф Уравнение состояния идеального газа:

p = nkT. (2.36)

ф Средняя энергия молекул:

<е>=у*Г. (2.3в)

где I—сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебателы ных степеней свободы.

ф Распределение Максвелла:

^m^=ⁿ [wY *~^m4,2kT *>» <²-^зг>

dN(v) = N {щ_Г)^3/2 е-^то!^^г4яо= da. (2.3д)

ф Распределение Максвелла в приведенном виде:

diV(a)=iV-i=e-^uVd«, (2.3е)

у л

где u — v]v_Btp, 0„ер—наиболее вероятная скорость.

ф Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости молекул:

ф Распределение Больцмана:

_n = „₀e-(U-UMkT_t _{2.з_з)

где U—потенциальная энергия молекулы.

2.62. Современные вакуумные насосы позволяют получать давления до р — 4-10~¹⁵ атм (при комнатной температуре). Считая, что газом является азот, найти число его молекул в 1 см³ и среднее расстояние между ними при этом давлении.

2.63. В сосуде объемом V = 5,0 л находится азот массы т = = 1,4 г при температуре Т = 1800 К. Найти давление газа, имея в виду, что при этой температуре т) = 30% молекул диссоциировано на атомы.

2.64. Плотность смеси гелия и азота при нормальных условиях р = 0,60 г/л. Найти концентрацию атомов гелия в данной смеси.

2.65. Параллельный пучок молекул азота, имеющих скорость v = 400 м/с, падает на стенку под углом $ = 30° к ее нормали. Концентрация молекул в пучке п = 0,9-10¹⁹ см"³. Найти давление пучка на стенку, считая, что молекулы отражаются от нее по закону абсолютно упругого удара.

2.66. Найти число степеней свободы молекулы газа, если при нормальных условиях плотность газа р = 1,3 мг/см³ и скорость распространения звука в нем v = 330 м/с.

2.67. Определить отношение скорости v звука в газе к средней квадратичной скорости молекул газа, если молекулы:

а) одкоатомные; б) жесткие двухатомные.

2.68. Газ, состоящий из N-атомных молекул, имеет температуру Т, при Доторой у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные). Найти среднюю энергию молекулы такого газа*. Какую часть этой энергии составляет энергия поступательного движения?

2.69. Пусть газ нагрет до температуры, при которой у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные). Найти молярную теплоемкость такого газа при изохорическом процессе, а также показатель адиабаты у, если газ состоит из молекул:

а) двухатомных;

б) линейных Af-атомных; . в) объемных -атомных.

2.70. Идеальный газ, состоящий из N-атомных молекул, расширяют изобарически. Считая, что у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные), найти, какая доля теплоты, сообщаемой газу в этом процессе, расходуется на работу расширения. Чему равна эта доля для одноатомного газа?

2.71. Найти молярную массу и число степеней свободы молекул газа, если известны его удельные теплоемкости: c_v = 0,65 Дж/(г • К) и с_р = 0,91 Дж/(г-К).

2.72. Найти число степеней свободы молекул газа, молярная теплоемкость которого

а) при постоянном давлении С_р = 29 Дж/(моль-К);

б) в процессе рТ — const равна С = 29 ДжДмоль • К).

2.73. Вычислить показатель адиабаты у для смеси, состоящей из \_г молей одноатомного газа и v₂ молей двухатомного газа из жестких молекул.

2.74. Теплоизолированный сосуд с газообразным азотом при температуре t—27 °С движется со скоростью v = 100 м/с. Как и на сколько процентов изменится давление газа после внезапной остановки сосуда?

2.75. Вычислить при температуре i = 17 ^РС:

а) среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы кислорода;

б) среднюю квадратичную скорость капельки воды диаметра d = 0,10 мкм, взвешенной в воздухе.

2.76. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в т) =1,50 раза?

2.77. Азот массы т = 15 г находится в закрытом сосуде при температуре Т = 300 К. Какое количество тепла необходимо сообщить азоту, чтобы средняя квадратичная скорость его молекул возросла в т) = 2,0 раза?

2.78. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, находится при температуре Т = 300 К. Вычислить среднюю квадратичную угловую скорость вращения молекулы, если ее момент инерции I = 2,1 • 1СГ^Э» г-см².

2.79. Газ из жестких двухатомных молекул, находившийся при нормальных условиях, адиабатически сжали в ц = 5,0 раза по объему. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекулы в конечном состоянии.

2.80. Во сколько раз изменится число ударов жестких двухатомных молекул газа о поверхность стенки в единицу времени, если газ адиабатически расширить в ц раз?

2.81. Объем газа, состоящего из жестких двухатомных молекул, увеличили в т) = 2,0 раза по политропе с молярной теплоемкостью С = R. Во сколько раз изменилась при этом частота ударов молекул о стенку сосуда?

2.82. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, расширили политропически так, что частота ударов молекул о стенку сосуда не изменилась. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе.

2.83. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадратичную скорости молекул газа, у которого при нормальном атмосферном давлении плотность р = 1,00 г/л.

2.84. Найти относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем на бт) = 1,00% от значения:

а) наиболее вероятной скорости;

б) средней квадратичной скорости.

2.85. Определить температуру газа, для которой:

а) средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на Аи = 400 м/с;

б) функция распределения молекул кислорода по скоростям F (v) будет иметь максимум при скорости v = 420 м/с. 2.86., Найти для газообразного азота:

а) температуру, при которой скоростям молекул v_t = 300 м/с-и v₂ = 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла F (v);

б) скорость v молекул, при которой значение функции распределения Максвелла F (v) для температуры Т₀ будет таким же, как и для температуры в т) раз большей.

2.87* При какой температуре газа, состоящего из смеси азота и кислорода, наиболее вероятные скорости молекул азота и кислорода будут отличаться друг от друга на Av = 30 м/с?

2.88. Смесь водорода и гелия находится при температуре Т = 300 К. При каком значении скорости v молекул значения мак-свелловской функции распределения по скоростям F (v) будут одинаковыми для обоих газов?

2.89. При какой температуре газа число молекул со скоростями в заданном интервале v, v + dv будет максимально? Масса каждой молекулы равна т.

2.90., Определить относительное число молекул, проекции скорости которых на ось х лежат в интервале v_x, v_x + dv_x, а модули перпендикулярной составляющей скорости — в интервале t>j_, Uj_ -f-+ dv±. Масса каждой молекулы m, температура газа Т.

2.91., Вычислить с помощью распределения Максвелла среднюю проекцию скорости (v_x) и среднее значение модуля этой проекции (| v_x | >, если масса каждой молекулы m и температура газа Т.

2.92. Найти с помощью распределения Максвелла (v%) — среднее значение квадрата и_л-проекции скорости молекул газа при температуре Т. Масса каждой молекулы равна т.

2.93« Вычислить с помощью распределения Максвелла число v молекул газа, падающих в единицу времени на единичную площадку, если концентрация молекул п, температура Т и масса каждой молекулы т.

2.94., Определить с помощью распределения Максвелла давление, оказываемое газом на стенку, если температура газа Т и концентрация молекул п.

2.95« Воспользовавшись распределением Максвелла, найти (l/v)—среднее значение обратной скорости молекул идеального газа, находящегося при температуре Т, если масса каждой молекулы т. Сравнить полученную величину с обратной величиной средней скорости.

2.96. Газ состоит из молекул массы m и находится при температуре Т. Найти с помощью распределения Максвелла по скоростям v соответствующее распределение молекул по кинетическим энергиям е. Определить наиболее вероятное значение кинетической энергии е_вер. Соответствует ли е_вер наиболее вероятной скорости?

2.97.. Какая часть одноатомных молекул газа, находящегося в тепловом равновесии, имеет кинетическую энергию, отличающуюсзге от ее среднего значения на 8л = 1,0%?

2.98, Какая часть молекул газа, находящегося при температуре Т, имеет кинетическую энергию .поступательного движения большую, чем е₀, если е₀ J> kT?

2.99, Распределение молекул по скоростям в пучке, выходящем из отверстия в сосуде, описывается функцией F (v) = Ах?е—^таг/2кт, где Т — температура газа внутри сосуда. Найти наиболее вероятные значения:

а) скорости молекул в пучке; сравнить полученную величину С наиболее вероятной скоростью молекул в самом сосуде;

б) кинетической энергии молекул в пучке.

2.100, Идеальный газ, состоящий из молекул массы m с концентрацией п, имеет температуру Т. Найти с помощью распределения Максвелла число молекул, падающих в единицу времени на единицу поверхности стенки под углами О, Ь -f- с№ к ее нормали.

2.101, Исходя из условий предыдущей задачи, найти число молекул, падающих в единицу времени на единицу поверхности стенки со скоростями в интервале v, о -f- dv.

2.102, Найти силу, действующую на частицу со стороны однородного поля, если концентрации этих частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на расстоянии М = 3,0 см (вдоль поля), отличаются в л = 2,0 раза. Температура системы Т = 280 К.

2.103, При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее число их в слоях, расстояние между которыми h = 40 мкм, отличается друг от друга в л = 2,0 раза. Температура среды Т = 290 К- Диаметр частиц d = 0,40 мкм и их плотность на Ар = 0,20 г/см³ больше плотности окружающей жидкости. Найти по этим данным число Авогадро.

2.104, Пусть т]о — отношение концентрации молекул водорода к концентрации молекул азота вблизи поверхности Земли, а т) — соответствующее отношение на высоте h = 3000 м. Найти отношение чт/ло при Т = 280 К, полагая, что температура и ускорение, свободного падения не зависят от высоты.

2.105, В длинном вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух сортов молекул с массами т_г и щ, причем т₂ > • Концентрации этих молекул у дна сосуда равны соответственно п_ги п₂, причем «2 > n_t. Считая, что по всей высоте поддерживается одна и та же температура Т и ускорение свободного падения равно g, найти высоту h, на которой концентрации этих сортов молекул будут одинаковы.

2.106, В очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде находится углекислый газ при некоторой температуре Т. Считая поле тяжести однородным, найти, как изменится давление газа на дно сосуда, если температуру газа увеличить в л раз.

2.107, Газ находится в очень высоком цилиндрическом сосуде при температуре Т. Считая поле тяжести однородным, найти сред

нее значение потенциальной энергии молекул газа. Как зависит эта величина от того, состоит ли газ из одного сорта молекул или из нескольких сортов?

2.108. Закрытую с обоих торцов горизонтальную трубку длины I = 100 см перемещают с постоянным ускорением w, направленным вдоль ее оси. Внутри трубки находится аргон при температуре Т — 330 К. При каком значении по концентрации аргона вблизи торцов трубки будут отличаться друг от друга на tj = 1,0%?

2.109* Найти массу моля коллоидных частиц, если при вращении центрифуги с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси концентрация этих частиц на расстоянии г₂ от оси вращения в л раз больше, чем на расстоянии г_х (в одной горизонтальной плоскости). Плотности частиц и растворителя равны соответственно р и р₀.

2.110. Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами вращают с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее торцов. В трубке находится углекислый газ при температуре Т = 300 К. Длина трубки I = 100 см. Найти значение со, при котором отношение концентраций молекул у противоположных, торцов трубки Т] = 2,0.

2.111* Потенциальная энергия молекул газа в некотором центральном поле зависит от расстояния г до центра поля как U (г) = = аг^й, где а — положительная постоянная. Температура газа Т, концентрация молекул в центре поля п₀. Найти:

а) число молекул, находящихся на расстояниях г, г + dr от центра поля;

б) наиболее вероятное расстояние молекул от центра поля;

в) относительное число всех молекул, находящихся в слое г, r + dr;

г) во сколько раз изменится концентрация молекул в центре поля при уменьшении температуры в г| раз.

2.112. Исходя из условий предыдущей задачи, найти:

а) число молекул с потенциальной энергией в интервале U, U + dU;

б) наиболее вероятное значение потенциальной энергии молекулы; сравнить эту величину с потенциальной энергией молекулы на наиболее вероятном расстоянии ее от центра поля.

2.4. Второе начало термодинамики. Энтропия

ф К. п. д. тепловой машины:

где Qt—тепло, получаемое рабочим телом, Q, — отдаваемое тепло. ф К. п. д. цикла Кар но:

_Ч=ЛХ=£, (2-46)

где Tf и Т₂—температуры нагревателя и холодильника.

ф Неравенство Клаузиуса!

§^<0. (2-4в)

где SQ—элементарное тепло, полученное системой (SQ—величина алгебраи* ческая).

ф Приращение энтропии системы:

AS^J^j?. р.4г)

ф Основное соотношение термодинамики:

Т dS^dU+pdV. (2.4д)

ф Связь между энтропией и статистическим весом Q (термодинамической вероятностью):

S = ЈInfi, (2 At)

где k — постоянная Больцмана.

2.113.! В каком случае к. п. д. цикла Карно повысится больше: при увеличении температуры нагревателя на AT или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину?

2.114, Водород совершает цикл Карно. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом расширении:

а) объем газа увеличивается в п = 2,0 раза;

б) давление уменьшается в п — 2,0 раза.

2.115. Тепловую машину, работавшую по циклу Карно с к. п. д. ц =. 10%, используют при тех же тепловых резервуарах как холодильную машину. Найти ее холодильный

коэффициент е.

2.116, Идеальный газ совершает цикл, состоящий из чередующихся изотерм и адиабат (рис. 2.2). Температуры, при которых происходят изотермические процессы, равны Тх, Т₂ и Т₃. Найти к. п. д. такого цикла, если при каждом изотермическом расширении объем газа увеличивается в одно и то же число раз.

Рис 2.2. 2.117, Найти к. п. д. цикла, состоящего

из двух изохор и двух адиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется в п = 10 раз. Рабочим веществом является азот.

2.118, Найти к. п. д. цикла, состоящего из двух изобар и двух адиабат, если в пределах цикла давление изменяется в п раз. Рабочим веществом является идеальный газ с показателем адиабаты у.

2.119, Идеальный газ с показателем адиабаты у совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Найти к. п. д. такого цикла, если абсолютная температура газа возрастает в я раз как при изохорическом нагреве, так и при изобарическом расширении.

2.120. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из: . а) изохоры, адиабаты и изотермы;

б) изобары, адиабаты и изотермы, причем изотермический процесс происходит прн минимальной температуре цикла. Найти к. п. д. каждого цикла, если абсолютная температура в его пределах изменяется в п раз.

2.121* То же, что в предыдущей задаче, только изотермический процесс происходит при максимальной температуре цикла.

2.122, Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермы политропы и адиабаты, причем изотермический процесс происходит при максимальной температуре цикла. Найти к. п. д. такого цикла, если абсолютная температура в его пределах изменяется в п раз.

2.123, Идеальный газ с показателем адиабаты у совершает прямой цикл, состоящий из адиабаты, изобары и изохоры. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом процессе объем идеального газа:

а) увеличивается в п раз; б) уменьшается в п раз.

2.124., Вычислить к. п. д. цикла, состоящего из изотермы, изобары и изохоры, если при изотермическом процессе объем идеального газа с показателем адиабаты у:

а) увеличивается в п раз; б) уменьшается в п раз.

2.125.: Найти к. п. д. цикла, состоящего из двух изохор и двух изотерм, если в пределах цикла объем изменяется в v раз, а абсолютная температура — в т раз. Рабочим веществом является идеальный газ с показателем адиабаты у. р

2.126. Определить к. п. д. цикла, состоящего из двух изобар и двух изотерм, если в пределах цикла давление изменяется в п раз, а абсолютная температура — в т раз. Рабочим веществом является идеальный газ с показателем адиабаты у.

2.127.; Идеальный газ с показателем адиабаты у совершает цикл (рис. 2.3), в пределах кот*- ]/____

рого абсолютная температура изменяется в т раз. о V

Найти к. п. д. этого цикла.

2.128. Воспользовавшись неравенством Клау- ^Рис" ²-³' зиуса, показать, что к. п. д. всех циклов, у которых

одинакова максимальная температура Т_шкс и одинакова минимальная температура Т_ят, меньше, чем у цикла Карно при Т_макс и Т_НТ1В.

2.129. Прказать с помощью теоремы Карно, что для физически однородного вещества, состояние которого характеризуется параметрами Т и V,

фи/дУ)_т = Т(др/дТ)_у-р,

где U (Г, V) — внутренняя энергия вещества.

Указание. Использовать бесконечно малый цикл Карно на диаграмме р, V.

2.130.; Найти приращение энтропии одного моля углекислого газа при увеличении его абсолютной температуры в п = 2,0 раза, если процесс нагревания:

а) изохорический; б) изобарический. Газ считать идеальным.

2.131. Во сколько раз следует увеличить изотермически объем v = 4,0 моля идеального газа, чтобы его энтропия испытала приращение AS = 23 Дж/К?

2.132. Два моля идеального газа сначала изохорически охладили, а затем изобарически расширили так, что температура газа стала равна первоначальной. Найти приращение энтропии газа, если его давление в данном процессе изменилось вп = 3,3 раза.

2.133. Гелий массы т = 1,7 г адиабатически расширили в п = 3,0 раза и затем изобарически сжали до первоначального объема. Найти приращение энтропии газа в этом процессе.

2.134. Найти приращение энтропии v = 2,0 моля идеального газа с показателем адиабаты у = 1,30, если в результате некоторого процесса объем газа увеличился в а = 2,0 раза, а давление уменьшилось в 6 = 3,0 раза.

2.135. В сосудах У и 2 находится по v = 1,2 моля газообразного гелия. Отношение объемов сосудов V₂/Vi = а = 2,0, а отношение абсолютных температур гелия в них TJT₂ = 8 = 1,5. Считая газ идеальным, найти разность энтропии гелия в этих сосудах (S₂—Sj).

2.136. Один моль идеального газа с показателем адиабаты у совершает политропический процесс, в результате которого абсолютная температура газа увеличивается в т раз. Показатель политропы п. Найти приращение энтропии газа в данном процессе.

2.137. Процесс расширения v = 2,0 моля аргона происходит так, что давление газа увеличивается прямо пропорционально его объему. Найти приращение энтропии газа при увеличении его объема в а = 2,0 раза.

2.138. Идеальный газ с показателем адиабаты у совершает процесс по закону р = р₀ — aV, где р₀ и a — положительные постоянные, V — объем. При каком значении объема энтропия газа окажется максимальной?

2.139. Один моль идеального газа совершает процесс, при котором энтропия газа изменяется с температурой Т по закону S = аТ + + C_v In Т, где а — положительная постоянная, C_v — молярная теплоемкость данного газа при постоянном объеме. Найти, как зависит температура газа от его объема в этом процессе, если при V = V₀ температура Т = 7*₀.

2.140. Найти приращение энтропии одного моля ван-дер-вааль-совского газа при изотермическом изменении его объема от У_х до V₂-Поправки Ван-дер-Ваальса считать известными.

2.141. Один моль ван-дер-ваальсовского газа, имевший объем V_x и температуру Т_и переведен в состояние с объемом У₂ ^и ^тем" пературой Т₂. Найти соответствующее приращение энтропии газа, считая его молярную теплоемкость C_v известной.

. 2.142. При очень низких температурах теплоемкость кристаллов С = аТ³, где а — постоянная. Найти энтропию кристалла как функцию температуры в этой области.

2.143. Найти приращение энтропии алюминиевого бруска массы т = 3,0 кг при нагревании его от температуры Т_г = 300 К до Т₂ = 600 К, если в этом интервале температур удельная теплоемкость алюминия с = а + ЬТ, где а = 0,77 Дж/(г - К), Ъ = с= 0,46 мДжДг-К²).

2.144. В некотором процессе температура вещества зависит от его энтропии S по закону Т = aS", где а и и — постоянные. Найти соответствующую теплоемкость С вещества как функцию S. При каком условии С < 0?

2.145. Найти температуру Т как функцию энтропии S вещества для политропического процесса, при котором теплоемкость вещества равна С. Известно, что при температуре Т₀ энтропия вещества равна S₀. Изобразить примерные графики зависимости Т (S) при С> 0 и С<0.

2.146. Один моль идеального газа с известным значением теплоемкости C_v совершает процесс, при котором его энтропия S зависит от температуры Т как S = а/Т, где а — постоянная. Температура газа изменилась от Т_х до Т₂. Найти:

а) молярную теплоемкость газа как функцию его температуры;

б) количество тепла, сообщенное газу;

в) работу, которую совершил газ.

2.147. Рабочее вещество совершает цикл, в пределах которого абсолютная _aj ⁰ #j ^л' температура изменяется в п раз, а сам

цикл имеет вид, показанный: р_ис. 2.4.

а) на рис. 2.4, а; б) на рис. 2.4, б, где Т — абсолютная температура, S — энтропия. Найти к. п. Д. каждого цикла.

2.148. Идеальный газ в количестве v = 2,2 моля находится в одном из двух теплоизолированных'сосудов, соединенных между собой трубкой с краном. В другом сосуде — вакуум. Кран открыли, и газ заполнил оба сосуда, увеличив свой объем в п = 3,0- раза. Найти приращение энтропии газа.

2.149. Теплоизолированный цилиндр разделен невесомым поршнем на две одинаковые части. По одну сторону поршня находится один моль идеального газа с показателем адиабаты у, а по другую сторону — вакуум. Начальная температура газа Т₀. Поршень отпустили, и газ заполнил весь цилиндр. Затем поршень медленно переместили в первоначальное положение. Найти приращение внутренней энергии и энтропии газа в результате этих двух процессов.

2.150. Идеальный газ, находившийся в некотором состоянии, расширили до объема V без обмена теплом с окружающими телами. Одинаково ли будет установившееся давление газа в конечном состоянии, если процесс расширения а) быстрый; б) очень медленный?

2.151. Теплоизолированный соеуд разделен перегородкой на две части так, что объем одной из них в п = 2,0 раза больше объема другой. В меньшей части находится v_t — 0,30 моля азота, а в большей части v₂ = 0,70 моля кислорода. Температура газов одинакова. В перегородке открыли отверстие, и газы перемешались. Найти соответствующее приращение энтропии системы, считая газы идеальными.

2.152. Кусок меди массы т₁ = 300 г при температуре i_x = 97 *С поместили в калориметр, где находится вода массы т_г — 100 г при температуре t₂ = 7 *С. Найти приращение энтропии системы к моменту выравнивания температур. Теплоемкость калориметра пренебрежимо мала.

2.153. Два одинаковые теплоизолированные сосуда, соединенные трубкой с краном, содержат по одному молю одного и того же идеального газа. Температура газа в одном сосуде Т_ъ в другом Т₂. Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме равна C_v. После открывания крана газ пришел в новое состояние равновесия. Найти AS — приращение энтропии газа. Показать, что AS> 0.

2.154.; N атомов газообразного гелия находятся при комнатной температуре в кубическом сосуде, объем которого равен 1,0 см³. Найти:

а) вероятность того, что все атомы соберутся в одной половине сосуда;

б) примерное числовое значение N, при котором это событие можно ожидать на протяжении времени t«: 10¹⁰ лет (возраст Вселенной).

2.155. Найти статистический вес наиболее вероятного распределения N = 10 одинаковых молекул по двум одинаковым половинам сосуда. Определить также вероятность такого распределения?

2.156. N молекул идеального газа находятся в некотором сосуде. Разделим мысленно сосуд на две одинаковые половины А и В. Найти вероятность того, что в половине А сосуда окажется п молекул. Рассмотреть случаи, когда N = 5 и п = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

2.157. В сосуде объемом V₀ находится N молекул идеального газа. Найти вероятность того, что в некоторой выделенной части этого сосуда, имеющей объем V, окажется п молекул. Рассмотреть, в частности, случай V = V₀/2.

2.158. Идеальный газ находится при нормальных условиях. Найти диаметр сферы, в объеме которой относительная флуктуация числа молекул ц = 1,0-10~³. Каково среднее число молекул внутри такой сферы?

2.159. Один моль идеального газа, состоящего из одноатомных молекул, находится в сосуде при температуре Т₀ = 300 К. Как и во сколько раз изменится статистический вес этой системы (газа), если ее нагреть изохорически на АТ = 1,0 К?

2.5. Жидкости. Капиллярные явления

ф Добавочное (капиллярное) давление в жидкости под произвольной поверхностью (формула Лапласа):

где а—поверхностное натяжение данной жидкости.

ф Приращение свободной энергии поверхностного слоя жидкости:

где dS — приращение площади поверхностного слоя.

ф Тепло, необходимое для образования единицы площади поверхностного слоя жидкости при изотермическом увеличении ее поверхности:

2.160. Найти капиллярное давление:

а) в капельках ртути диаметра d = 1,5 мкм;

б) внутри мыльного пузырька диаметра d = 3,0 мм, если поверхностное натяжение мыльной воды ос = 45 мН/м.

2.161. В дне сосуда со ртутью имеется круглое отверстие диаметра d = 70 мкм. При какой максимальной толщине слоя ртути она еще не будет вытекать через это отверстие?

2.162.. В сосуде с воздухом при давлении р₀ находится мыльный пузырек диаметра d. Давление воздуха изотермически уменьшили в п раз, в результате чего диаметр пузырька увеличился в г| раз. Найти поверхностное натяжение мыльной воды.

2.163. Найти давление в пузырьке воздуха диаметра d = 4,0 мкм, который находится в воде на глубине h — 5,0 м. Атмосферное давление р₀ нормальное.

2.164.- На дне пруда выделился пузырек газа диаметра* d = 4,0 мкм. При поднятии этого пузырька к поверхности воды его диаметр увеличился в п = 1,1 раза. Найти глубину пруда, в данном месте. Атмосферное давление нормальное, процесс расши рения газа считать изотермическим.

2.165. Найти разность уровней ртути в двух сообщающихся вертикальных капиллярах, диаметры которых d_t = 0,50 мм и а\ = 1,00 мм, если краевой угол т> = 138^ч.

2.166. Вертикальный капилляр с внутренним диаметром 0,50 мм погрузили в воду так, что длина выступающей над поверхностью воды части капилляра оказалась К = 25 мм. Найти радиус кривизны мениска.

2.167. Стеклянный капилляр длины I — ПО мм с диаметром внутреннего канала d = 20 мкм опустили в вертикальном положении в воду. Верхний конец капилляра запаян. Наружное давление воздуха нормальное. Какая длина х капилляра должна быть погружена в воду, чтобы уровень воды в капилляре совпадал с поверхностью воды вне его?

(2.5а)

dF=adS,

(2.56)

2.168. Вертикальный капилляр длины / с запаянным верхним концом привели в соприкосновение с поверхностью жидкости,? после чего она поднялась в нем на высоту h. Плотность жидкости р, диаметр сечения внутреннего канала капилляра d, краевой угол Ь, атмосферное давление р„- Найти поверхностное натяжение жидкости.

2.169. Стеклянный стержень диаметром d_x— 1,5 мм вставили симметрично в стеклянный капилляр с диаметром внутреннего канала а\ — 2,0 мм. Затем всю систему установили вертикально и привели в соприкосновение с поверхностью воды. На какую высоту поднимется вода в таком капилляре?

2.170. Две вертикальные пластинки, погруженные частично в смачивающую жидкость, образуют клин с очень малым углом бср. Ребро клина вертикально. Плотность жидкости р, ее поверхностное натяжение а, краевой угол Ф. Найти высоту h поднятия жидкости как функцию расстояния х от ребра клина.

2.171. Из круглого отверстия вытекает вертикальная струя воды так, что в одном из горизонтальных сечений ее диаметр d = = 2,0 мм, а в другом сечении, расположенном ниже на / = 20 мм, диаметр струи в п = 1,5 раза меньше. Найти объем воды, вытекающий из отверстия за одну секунду.

2.172. Капля воды равномерно падает в воздухе. Найти разность между радиусом кривизны поверхности капли в ее верхней точке и радиусом кривизны в нижней точке, расстояние между которыми h = 2,3 мм.

2.173. Между двумя горизонтальными стеклянными пластинками находится капля ртути в форме лепешки радиуса R и толщины ft. Считая, что h <^ R, найти массу т груза, который надо положить на верхнюю пластинку, чтобы расстояние между пластинками уменьшилось в п раз. Краевой угол ft. Вычислить т, если R = 2,0 см, h = 0,38 мм, п = 2,0 и ■& = 135°.

2.174. Найти силу притяжения двух параллельных стеклянных пластинок, отстоящих друг от друга на расстояние h — 0,10 мм, после того, как между ними ввели каплю воды массы т — 70 мг. Смачивание считать полным.

2.175. Два стеклянных диска радиуса R = 5,0 см смочили зодой и сложили вместе так, что толщина слоя воды между дисками ft = 1,9 мкм. Считая смачивание полным, найти силу, которую нужно приложить перпендикулярно к плоскости дисков, чтобы оторвать их друг от друга.

2.176. Две вертикальные параллельные друг другу стеклянные пластины частично погружены в воду. Расстояние между пластинами d = 0,10 мм, их ширина / = 12 см. Считая, что вода между пластинами не доходит до их верхних краев и что смачивание полное, найти силу, с которой они притягиваются друг к другу.

2.177. Найти время исчезновения мыльного пузыря радиуса R, соединенного с атмосферой капилляром длины / и радиусом сечения канала г. Поверхностное натяжение а, коэффициент вязкости газа т].

2.178. Вертикальный капилляр привели в соприкосновение О поверхностью воды. Какое количество тепла выделится при поднятии веды по капилляру? Смачивание считать полным, поверхностное натяжение равно а.

2.179. Найти свободную энергию поверхностного слоя:

а) капли ртути диаметра d = 1,4 мм;

б) мыльного пузыря диаметра d = 6,0 мм, если поверхностное натяжение мыльной воды а = 45 мН/м.

2.180. Вычислить приращение свободной энергии поверхностного слоя при изотермическом слиянии двух одинаковых капель ртути, каждая диаметра d = 1,5 мм.

2.181. Найти работу, которую нужно совершить, чтобы изотермически выдуть мыльный пузырь радиуса R, если давление окру-¹жающего воздуха р₀ и поверхностное натяжение мыльной воды а.

2.182. Внутри мыльного пузыря радиуса г находится идеальный газ. Наружное давление р₀, поверхностное натяжение мыльной воды а. Найти разность между молярной теплоемкостью газа при нагреве его внутри пузыря и молярной теплоемкостью этого газа при постоянном давлении, С — С_р.

2.183. Рассмотрев цикл Карно для пленки жидкости, показать, что при изотермическом процессе теплота, необходимая для образования единицы площади поверхностного слоя, q — —T-da/dT, rjneda/dT—производная поверхностного натяжения по температуре.

2.184. Площадь мыльной пленки изотермически увеличили на Да при температуре Т. Зная поверхностное натяжение мыльной воды а и температурный коэффициент da/dT, найти приращение:

а) энтропии поверхностного слоя пленки;

б) внутренней энергии поверхностного слоя.

2.6. Фазовые превращения

ф Соотношения между постоянными Ван-дер-Ваальса и параметрами критического состояния вещества:

^Лк_Р=³⁶' Р«Р = 2^Г> ^Т^⁼ЩЬ- ⁽²'^6а)

9 Связь между критическими параметрами моля вещества:

^{Ркр^кр =}⁴^{^кр-}^(2-6б)

9 Уравнение Клапейрона —Клаузиуса:

dp__to

dT Т(У₂-У[)'

где ^13 —удельная теплота, поглощаемая при переходе 1-»-2, V[ и V'_a —> удельные объемы фазы 1 и фазы 2.

2.185. Насыщенный водяной пар находится при температуре t — 100 ^РС в цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем. При медленном вдвигании поршня небольшая часть пара массы Am = = 0,70 г сконденсировалась. Какая работа была совершена над

(2.6в)

газом? Пар считать идеальным газом, объемом жидкости пренеб| речь. ^!

2.186. Вода со своим насыщенным паром находится в сосуде объемом V — 6,0 л при температуре 250 °С и давлении 40 атм. Удельный объем пара при этих условиях V'_a = 50 л/кг. Масса системы (воды с паром) т = 5,0 кг. Найти массу и объем пара.

2.187. Пространство в цилиндре под поршнем, имеющее объем V₀ = 5,0 л, занимает один насыщенный водяной пар, температура которого t = 100 °С. Найти массу жидкой фазы, образовавшейся в результате изотермического уменьшения объема под поршнем до V = 1,6 л. Насыщенный пар считать идеальным газом.

2.188.. Некоторую массу вещества, взятого в состоянии насыщенного пара, изотермически сжали в п раз по объему. Найти, какую часть ц конечного объема занимает жидкая фаза, если удельные объемы насыщенного пара и жидкой фазы отличаются друг от друга в N раз (N > п). Тот же вопрос, но при условии, что конечный объем вещества соответствует середине горизонтального участка изотермы на диаграмме р, V.

2.189. Какое количество тепла необходимо сообщить воде, кипящей при нормальном атмосферном давлении, чтобы превратить т = 1,00 кг воды в пар?

2.190. Вода массы т = 20 г находится при температуре 0°С в теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем, площадь которого S = 410 см². Внешнее давление равно нормальному атмосферному. На какую высоту поднимется поршень, если воде сообщить количество тепла Q = 20,0 кДж?

2.191. В теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем находится один грамм насыщенного водяного пара. Наружное давление нормальное. В цилиндр ввели т = 1,0 г воды при температуре t₀ = 22 °С. Пренебрегая теплоемкостью цилиндра и трением, найти работу, которую произвела сила атмосферного давления при опускании поршня.

2.192. Если дополнительное давление Др насыщенных паров над выпуклой сферической поверхностью жидкости значительно меньше давления пара у плоской поверхности, то Ар = (р_п/ р_ж)2аД, где р_п и р_ж — плотности пара и жидкости, а — поверхностное натяжение, г — радиус кривизны поверхности. Найти с помощью этой формулы диаметр капелек воды, при котором давление насыщенных паров на х\ — 1,0% превышает давление паров над плоской поверхностью при температуре t = 27 °С. Пар считать идеальным газом.

2.193. Найти массу всех молекул, вылетающих за одну секунду с одного квадратного сантиметра поверхности воды в находящийся над ней насыщенный водяной пар при температуре t= 100 °С. Считать, что г\ = 3,6% всех молекул водяного пара, падающих на поверхность воды, ею задерживаются.

2.194. Найти давление насыщенного пара вольфрама при температуре Т = 2000 К, если известно, что при этой температуре

вольфрамовая нить, испаряясь в высоком вакууме, теряет в единицу времени с единицы поверхности массу и. = 1,2-10~¹³ г/(с-см²).

2.195. На какую величину возросло бы давление воды на стенки сосуда, если бы исчезли силы притяжения между ее молекулами?

2.196. Найти внутреннее давление p_t в жидкости, если известны ее плотность р и удельная теплота парообразования q. Считать, что теплота q равна работе против сил внутреннего давления и жидкость подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса. Вычислить р_{ у воды.

2.197. Показать, что для вещества, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, в критическом состоянии справедливы соотношения (2.6а) и (2.66).

Указание. Использовать тот факт, что критическому состоянию соответствует точка перегиба на изотерме р (V).

2.198. Вычислить постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа, если его критическая температура Т_кр = 304 К и критическое давление р_кр = 73 атм.

2.199. Найти удельный объем бензола (С_вН_в) в критическом состоянии, если его критическая температура T_sp = 562 К и критическое давление р_кр = 47 атм.

2.200. Записать уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенных параметрах я, v и т, приняв за единицы давления, объема и температуры соответствующие критические величины. Используя полученное уравнение, найти, во сколько раз температура газа больше его критической температуры, если давление газа в 12 раз больше критического, а объем газа вдвое меньше критического.

2.201. Зная постоянные Ван-дер-Ваальса, найти:

а) наибольший объем, который может занимать вода массы т = 1,00 кг в жидком состоянии;

б) наибольшее давление насыщенных паров воды.

2.202. Вычислить температуру и плотность углекислого газа в критическом состоянии, считая газ ван-дер-ваальсовским.

2.203. Какую часть объема сосуда должен занимать жидкий эфир при комнатной температуре, чтобы при достижении критической температуры он оказался в критическом состоянии? Для эфира Т_к„ = 467 К, р_кр = 35,5 атм, М = 74 г/моль.

2.204. Показать, что положение прямой /—5, соответствующей изо-

* термически-изобарическому фазовому переходу, таково, что площади / и //, ограниченные этой прямой

и изотермой Ван-дер-Ваальса, равны друг другу (рис. 2.5).

2.205. Какая часть воды, переохлажденной при нормальном давлении до температуры t = —20 °С, превратится в лед при

Рис. 2.5.

переходе системы в равновесное состояние? При какой температуре переохлажденной воды она целиком превратится в лед? ,_Г1ПГ

2.206. Найти приращение температуры плавления льда вблизи О °С при повышении давления на Ар — 1,00 атм, если удельный объем льда на AV = 0,091 см³/г больше удельного объема воды.

2.207. Найти удельный объем насыщенного водяного пара при нормальном давлении, если известно, что уменьшение давления на Ар = 3,2 кПа приводит к уменьшению температуры кипения воды на АТ = 0,9 К.

2.208. Определить давление насыщенного водяного пара при температуре 101,1 °С, считая его идеальным газом.

2.209. В закрытом сосуде находится небольшое количество воды и ее насыщенный пар при температуре t = 100 °С. На сколько процентов увеличится масса насыщенного пара при повышении температуры системы на АТ — 1,5 К? Пар считать идеальным газом и удельный объем воды пренебрежимо малым по сравнению с удельным объемом пара.

2.210. Найти давление насыщенного пара как функцию температуры р (Т), если при температуре Т_й его давление р₀. Считать, что: удельная теплота парообразования q не зависит от Т, удельный объем жидкости пренебрежимо мал по сравнению с удельным объемом пара, насыщенный пар подчиняется уравнению состояния идеального газа. Выяснить, при каких условиях эти упрощения допустимы.

2.211. Лед, находившийся при нормальных условиях, подвергли сжатию до давления р = 640 атм. Считая, что понижение температуры плавления льда в данных условиях линейно зависит от давления, найти, какая часть льда растаяла. Удельный объем, воды на AV' — 0,09 см³/г меньше удельного объема льда.

2.212. Вблизи тройной точки давление р насыщенного пара двуокиси углерода зависит от температуры Т как lg р = а — Ь/Т, где а и b — постоянные. Если р — в атмосферах, то для процесса сублимации а = 9,05 и b = 1,80 кК, а для процесса испарения а = 6,78 и b = 1,31 кК. Найти:

а) температуру и давление в тройной точке;

б) значения удельных теплот сублимации, испарения и плавления вблизи тройной точки.

2.213. Воду массы m = 1,00 кг нагрели от температуры t_t = 10 °С до 4 = 100 °С, при которой она вся превратилась в пар. Считая пар идеальным газом, найти приращение энтропии системы.

'2.214. Лед с начальной температурой t_x = 0 °С в результате нагревания превратили сначала в воду, а затем в пар при температуре t₂ = 100 °С. Найти приращение удельной энтропии системы, считая пар идеальным газом.

2.215. Кусок меди массы пг — 90 г при температуре t_t = 90 °С положили в калориметр, в котором находился лед массы 50 г при температуре —3 °С. Найти приращение энтропии куска меди к моменту установления теплового равновесия.

2.216. Кусок льда массы т_г — 100 г при температуре t_x = 0°С поместили в калориметр, в котором находилась вода массы т_г = == 100 г при температуре /₂- Пренебрегая теплоемкостью калориметра, найти приращение энтропии системы к моменту установления теплового равновесия. Рассмотреть два случая:

а) /₂ = 60 °С; б) 4 = 94 °С.

2.217. В калориметр, наполненный большим количеством льда при температуре /_х = 0 °С, вылили т — 5,0 г расплавленного свинца, находившегося при температуре плавления 4 = 327 °С. Найти приращение энтропии системы свинец — лед к моменту установления теплового равновесия. Удельная теплота плавления свинца q = 22,5 Дж/г, его удельная теплоемкость с = 0,125 Дж/(г • К).

2.218. Водяной пар, заполняющий пространство под поршнем в цилиндре, сжимают (или расширяют) так, что он все время остается насыщенным, находясь на грани конденсации. Найти молярную теплоемкость С пара в данном процессе как функцию температуры Т, считая пар идеальным газом и пренебрегая удельным объемом жидкости по сравнению с удельным объемом пара. Вычислить С при t = 100 °С.

2.219. Один моль воды, находившийся в равновесии с пренебрежимо малым количеством своего насыщенного пара при температуре 7\, перевели целиком в насыщенный пар при температуре Т₂. Найти приращение энтропии системы. Пар считать идеальным газом, удельным объемом жидкости пренебречь по сравнению с удельным объемом пара.

2.7. Явления переноса

ф Относительное число молекул газа, пролетающих путь s без столкновений:

tf/JV₀=e-^s/\ (2.7а)

где X—средняя длина свободного пробега.

ф Средняя длина свободного пробега молекулы газа:

Jl=-7=-!-, (2.76)

V2 nd?n

где d— эффективный .диаметр молекулы, п—концентрация молекул.

ф Коэффициенты днффузин D, вязкости т) и теплопроводности х газов:

D-=Vi<»>*. ri = ¹/3(f)^p. * = 4a<v)bpc_v, (2.7в)

где р — плотность газа, с_у—его удельная теплоемкость прн постоянном объеме.

ф Сила трення, действующая на единицу поверхности пластин при нх движении параллельно друг другу в ультраразреженном газе:

■F=¹/e<y)p|«i-«2|. (2.7г)

где и₂ и Иг'-скорости пластин.

ф Плотность потока тепла, переносимого ультраразреженным газом между двумя стенками:

_? = 1/_в(у)рс_к|Г₁-Г_г|, (2.7д)

где Ti и Г₂—температуры стенок.

2.220. Вычислить, какая часть молекул газа:

а) пролетает без столкновений расстояния, превышающие среднюю длину свободного пробега X;

б) имеет длины свободного пробега в интервале от X до 2Х. 2.221с Узкий пучок молекул входит в сосуд с газом, давление

которого достаточно низкое. Найти среднюю длину свободного пробега молекул пучка, если поток молекул в пучке убывает в т] раз на расстоянии А/ вдоль пучка.

2.222. Пусть a dt — вероятность того, что молекула газа испытывает столкновение в течение времени dt, а — постоянная. Найти:

а) вероятность того, что молекула не испытает столкновения в течение времени t;

б) среднее время между столкновениями;

2.223. Найти среднюю длину свободного пробега и среднее время между столкновениями молекул газообразного азота, находящегося:

а) при нормальных условиях;

б) при температуре t = 0°С и давлении р == 1,0 нПа (такое давление позволяют получать современные вакуумные насосы).

2.224. Во сколько раз средняя длина свободного пробега молекул азота, находящегося при нормальных условиях, больше среднего расстояния между его молекулами?

2.225. Найти при нормальных условиях среднюю длину свободного пробега молекулы газа, для которого постоянная Ван-дер-Ваальса Ъ — 40 мл/моль.

2.226. Азот находится при нормальных условиях. При какой частоте колебаний длина звуковой волны в нем будет равна средней длине свободного пробега молекул данного газа?

2.227. Кислород находится при температуре 0°С в сосуде с характерным размером / = 10 мм (это линейный размер, определяющий характер интересующего нас физического процесса). Найти:

а) давление газа, ниже которого средняя длина свободного пробега молекул X > /;

б) соответствующую концентрацию молекул и среднее расстояние между ними.

2.228.-Азот находится при нормальных условиях. Найти:

а) число столкновений, испытываемых в среднем каждой молекулой за одну секунду;

б) число всех столкновений, происходящих между молекулами в 1 см³ азота ежесекундно.

2.229. Как зависят X и v (средняя длина свободного пробега и число столкновений каждой молекулы в единицу времени) от абсо

лютной температуры идеального газа, если последний совершает процесс:

а) изохорический; б) изобарический?

2.230. Идеальный газ совершил процесс, в результате которого его давление возросло в п раз. Как и во сколько раз изменились X и v (средняя длина свободного пробега и число столкновений каждой молекулы в единицу времени), если процесс:

а) изохорический; б) изотермический?

2.231. Идеальный газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, совершает адиабатический процесс. Как зависят X и v (средняя длина свободного пробега и число столкновений каждой молекулы ежесекундно) в этом процессе от:

а) объема V; б) давления р; в) температуры Т.

2.232. Идеальный газ совершает политропический процесс с показателем политропы п. Найти X и v (среднюю длину свободного пробега и число столкновений каждой молекулы ежесекундно) как функцию:

а) объема V; б) давления р; в) температуры Т.

2.233. Определить молярную теплоемкость политропического процесса, совершаемого идеальным газом из жестких двухатомных молекул, при котором число столкновений между молекулами остается неизменным:

а) в единице объема; б) во всем объеме газа.

2.234. Идеальный газ с молярной массой М находится в тонкостенном сосуде объемом V, стенки которого поддерживаются при постоянной температуре Т. В момент t = 0 в стенке сосуда открыли малое отверстие площадью S, и газ начал вытекать в вакуум. Найти концентрацию п газа как функцию времени t, если в начальный момент п(0) — щ.

2.235. Сосуд с газом разделен на две одинаковые половины 1 и 2 тонкой теплоизолирующей перегородкой с двумя отверстиями. Диаметр одного из них мал, а другого очень велик (оба по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул). В половине 2 газ поддерживается при температуре в ч) раз большей, чем в половине 1. Как и во сколько раз изменится концентрация молекул в половине 2, если закрыть только большое отверстие?

2.236. В результате некоторого процесса коэффициент вязкости идеального газа увеличился в а = 2,0 раза, а коэффициент диффузии — в р" = 4,0 раза. Как и во сколько раз изменилось давление газа?

2.237. Как изменятся коэффициенты диффузии D и вязкости г\ идеального газа, если объем газа увеличить в п раз:

а) изотермически; б) изобарически?

2.238. Идеальный газ состоит из жестких двухатомных молекул. Как и во сколько раз изменятся коэффициенты диффузии D и вязкости т], если объем газа адиабатически уменьшить в п = 10 раз?

2.239. Найти показатель политропы п процесса, совершаемого идеальным газом, при котором остается неизменным коэффициент:

а) диффузии; б) вязкости; в) теплопроводности.

2.240. Зная коэффициент вязкости гелия при нормальных условиях, вычислить эффективный диаметр его атома.

2.241. Коэффициент теплопроводности гелия в 8,7 раза больше, чем у аргона (при нормальных условиях). Найти отношение эффективных диаметров атомов аргона и гелия.

2.242. Гелий при нормальных условиях заполняет пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами. Средний радиус цилиндров R, зазор между ними &R, причем AR <^ R. Внутренний цилиндр неподвижен, а внешний вращают с достаточно небольшой угловой скоростью со. Найти момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра. До какого значения надо уменьшить давление гелия (не меняя температуры), чтобы искомый момент сил трения уменьшился в п = 10 раз, если &R = 6 мм?

2.243. Газ заполняет пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами, радиусы которых. R_t и R₂, причем Ri < Rf Внутренний цилиндр неподвижен, а внешний вращают с достаточно малой угловой скоростью со. Момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра, равен N_±. Найти коэффициент вязкости t| газа, имея в виду, что сила трения, действующая на единицу площади цилиндрической поверхности радиуса г, определяется формулой а = цг (дса/дг).

2.244. Два одинаковых параллельных диска, оси которых совпадают, расположены на расстоянии h друг от друга. Радиус каждого диска о, причем а ^> ft. Один диск вращают с небольшой угловой скоростью со, другой диск неподвижен. Найти момент сил трения, действующий на неподвижный диск, если коэффициент вязкости газа между дисками равен т].

2.245. Решить предыдущую задачу, считая, что между дисками находится ультраразреженный газ с молярной массой М, температурой Т и под давлением р.

2.246. Воспользовавшись формулой Пуазейля (1.7г), определить массу ц газа, протекающего в единицу времени через поперечное сечение трубы длины / и радиуса а, на концах которой поддерживаются постоянные давления р_г и р₂.

2.247. Один конец стержня, заключенного в теплоизолирующую оболочку, поддерживается при температуре Т₁₍ а другой конец — при температуре Т₂. Сам стержень состоит из двух частей, длины которых 1у и 1₂ и коэффициенты теплопроводности и_х и х₂. Найти температуру поверхности соприкосновения этих частей стержня.

2.248. Сложены торцами два стержня, длина которых /_х и /₂и коэффициент теплопроводности х_г и и₂. Найти коэффициент теплопроводности однородного стержня длины l_t + /₂, проводящего теплоту так же, как и система из этих двух стержней. Предполагается, что боковые поверхности стержней теплоизолированы.

2.249. Стержень длины / с теплоизолированной боковой поверхностью состоит из материала, коэффициент теплопроводности которого изменяется с температурой по закону к = а/Т, где а —

постоянная. Торцы стержня поддерживают при температурах 7\ и Г₂. Найти зависимость Т {х), где х — расстояние от торца с температурой Т_ъ а также плотность потока тепла.

2.250. Два куска металла, теплоемкости которых С_г и С₂, соединены между собой стержнем длины / с площадью поперечного сечения S и достаточно малой теплопроводностью и. Вся система теплоизолирована от окружающего пространства. В момент t = 0 разность температур между двумя кусками металла равна (АТ)₀. Пренебрегая теплоемкостью стержня, найти разность температур между металлами как функцию времени.

2.251. Найти распределение температур в веществе, находящемся между двумя параллельными пластинами, если последние поддерживаются при температурах 7\ и Г₂, расстояние между ними / и коэффициент теплопроводности вещества ксчз}/*7\

2.252. Пространство между двумя большими горизонтальными пластинами заполнено гелием. Расстояние между пластинами / = = 50 мм. Нижняя пластина поддерживается при температуре T_t = 290 К, верхняя — при Т₂ = 330 К. Давление газа близко к нормальному. Найти плотность потока тепла.

2.253. Гелий под давлением р = 1,0 Па находится между двумя большими параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на / = 5,0 мм. Одна пластина поддерживается при температуре t_t — 17 °С, другая — при /₂ = 37^РС. Найти среднюю длину свободного пробега атомов гелия и плотность потока тепла.

2.254. Найти распределение температуры в пространстве между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами R_t и R₂, заполненном однородным теплопроводящим веществом, если температуры цилиндров постоянны и равны соответственно Т_х и Т_г.

2.255. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для двух концентрических сфер с радиусами R_x и R₂ и температурами Т_х и Г₂.

2.256. Постоянный электрический ток течет по однородному проводу, радиус сечения которого R и коэффициент теплопроводности х. В единице объема провода выделяется тепловая мощность w. Найти распределение температуры в проводе, если установившаяся температура на его поверхности равна Т₀.

2.257. В однородном шаре, радиус которого R и коэффициент теплопроводности к, выделяется равномерно по объему тепловая мощность с объемной плотностью ш. Найти распределение температуры в шаре, если установившаяся температура на его поверхности равна Т₀.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

3.1. Постоянное электрическое поле в вакууме

ф Напряженность и потенциал поля точечного заряда q;

¹ " Щ-т^А. 0.1а)

4яе₀ z^-3 ' ^Y 4ябо г ' ф Связь между наиряженностью поля и потенциалом:

Е=— t<p. (3.16)

т. е. напряженность поля равна антнградиенту потенциала. ф Теорема Гаусса и циркуляция вектора Е:

<§>EdS=<7/eo» §Edr=0. (3.1в)

ф Потенциал и напряженность поля точечного диполя с электрическим моментом р:

* = 4lkЈ. B-^VT+^_t ^(ЗЛГ)

где О—угол между векторами г и р.

ф Энергия W диполя р во внешнем электрическом поле и момент снл N, действующих на диполь:

W=— рЕ, N = [pE]. £3.1д)

ф Сила F, действующая на диполь, и ее проекция F_х1

F = p^, F,=p.VЈ„ (3.1е)

где ЗЕ/3/ — производная вектора Е по направлению диполя, \Е_Х — градиент функции Е_х.

3.1. Вычислить отношение электростатической и гравитационной сил взаимодействия между двумя электронами, между двумя протонами. При каком значении удельного заряда q/m частицы эти силы оказались бы равными по модулю в случае взаимодействия одинаковых частиц?

3.2. С какой силой взаимодействовали бы два медных шарика, каждый массы 1 г, находясь на расстоянии 1 м друг от друга, если бы суммарный заряд всех электронов в них отличался на 1% от суммарного заряда всех ядер?

3.3. Два небольших одинаково заряженных шарика,, каждый массы т, подвешены к одной точке на шелковых нитях 'длины /.

Расстояние между шариками х ^ I. Найти скорость утечки зарядов dq/dt с каждого шарика, если скорость их сближения меняется по закону v = a/l^x, где а — постоянная.

3.4._: Два положительных заряда q_x и q₂ находятся в точках с радиус-векторами г_г и г₂. Найти отрицательный заряд q₃ и радиус-вектор г₃ точки, в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из этих трех зарядов, была равна нулю.

3.5« Тонкое проволочное кольцо радиуса г имеет электрический заряд q. Каково будет приращение силы, растягивающей проволоку, если в центр кольца поместить точечный заряд q₀?

Положительный точечный заряд 50 мкКл находится на плоскости ху в точке с радиус-вектором г₀ = 2i + 3j, где i и j — орты осей х и у. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля Е в точке с радиус-вектором г = 8i — 5j. Здесь г₀ и г в метрах. ₊~ ______

3.7. В вершинах квадрата с диагональю 21 " j\ '\ находятся точечные заряды q и —q, как по- ^sj казано на рис. 3.1. Найти модуль вектора j /^х_ч i напряженности электрического поля в точке, j* / n. [

отстоящей на расстояние х от центра квад- _____

рата и расположенной симметрично относи-

тельно вершин квадрата. .

3.8. Тонкое полукольцо радиуса R = ^Рис* ^зл' e=s 20 см заряжено равномерно зарядом q =

е= 0,70 нКл. Найти модуль вектора напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца.

3.9. Кольцо радиуса г из тонкой проволоки имеет заряд q. Найти модуль напряженности электрического поля на оси кольца как функцию расстояния / до его центра. Исследовать полученную зависимость при г. Определить максимальное значение напряженности и соответствующее расстояние I. Изобразить примерный график функции Е (I).

3.10. Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому равномерно распределен заряд —q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля иа оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстояние х, если х ;> R.

3.11.: Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса R и очень длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд q. На единицу длины нити приходится заряд К. Найти силу взаимодействия кольца и нити.

3.12. Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью % = Xq cos ср, где Kg — постоянная, ср — азимутальный угол. Найти модуль вектора напряженности электрического поля:

а) в центре кольца;

б) на оси кольца в зависимости от расстояния х до его центра. Исследовать полученное выражение при х ;> R*

4* 99

_як!

о)

Рис. 3.2.

3.13. Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины 2а заряжен равномерно зарядом q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния г от центра стержня для точек прямой:

а) перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр;

б) на оси стержня вне его.

Исследовать полученные выражения при г ;> а.

3.14. Очень длинная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд X на единицу длины. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние у и находится на перпендикуляре к нити,

т проходящем через один из ее концов.

3.15. Равномерно заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд X, имеет конфигурации, показанные на рис. 3.2, а и б. Считая, что радиус закругления R значительно меньше длины нити, найти модуль вектора напряженности электрического поля в точке О.

3.16. Сфера радиуса г заряжена с поверхностной плотностью о = аг,

где а — постоянный вектор, г — радиус-вектор точки сферы относительно ее центра. Найти вектор напряженности электрического поля в центре сферы.

3.17. Пусть поверхностная плотность заряда на сфере радиуса R зависит от полярного угла ■& как о = а₀ cos где ст₀ — положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двух равномерно заряженных шаров радиуса R, заряды которых одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти вектор напряженности электрического поля внутри данной сферы.

3.18. Найти вектор напряженности электрического поля в центре шара радиуса R, объемная плотность заряда которого р = аг,

где а — постоянный вектор, г — радиус-вектор, проведенный из центра шара.

3.19. Равномерно заряженная очень длинная нить, расположенная по оси круга радиуса R, упирается одним своим концом в его центр. Заряд нити на единицу длины равен К. Найти поток вектора Е через площадь круга.

3.20. Два точечных заряда qa—q расположены на расстоянии 21 друг от друга (рис. 3.3). Найти поток вектора напряженности электрического поля через круг радиуса R.

3.21. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотно-, стыо р. Найти поток вектора напряженности электрического поля

Рис. 3.3

100

через сечение шара, которое образовано плоскостью, отстоящей от центра шара на расстояние r₀ < R.

3.22. Две длинные параллельные друг другу нити равномерно заряжены так, что на единицу длины каждой из них приходится заряд К. Расстояние между нитями равно /. Найти максимальное значение напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой системы, расположенной между нитями.

3.23. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена равномерно по длине с поверхностной плотностью а = cr₀ cos ф, где ср — полярный угол цилиндрической системы координат с осью г, совпадающей с осью данной поверхности. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля на оси г.

3.24., Напряженность электрического поля зависит только от координат х и у по закону Е = a (xi + у])/{х^г + у²), где а — постоянная, i и j — орты осей х и у. Найти поток вектора Е через сферу радиуса R с центром в начале координат.

3.25. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния г до его центра по закону р = р₀ (1 — r/R), где р₀ — постоянная. Полагая диэлектрическую проницаемость шара и окружающего пространства равной единице, найти:

а) модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния г;

б) максимальное значение напряженности £_иакс и соответствующее ему значение расстояния г_т.

3.26. Система состоит из шара радиуса R, заряженного сферически симметрично, и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью р = а/г, где а — постоянная, г — расстояние от центра шара. Найти заряд шара, при котором модуль вектора напряженности электрического поля вне шара не будет зависеть от г. Чему равна эта напряженность? Диэлектрическая проницаемость шара и окружающей среды предполагается равной единице.

3.27. Пространство заполнено зарядом с объемной плотностью р = р₀е~^а", где р₀ и а — положительные константы, г — расстояние от центра данной системы. Найти модуль вектора напряженности электрического поля как функцию г. Исследовать полученное выражение при малых и больших г, т. е. при ar³ ^ 1 и аг³ 1.

3.28. Внутри шара, заряженного равномерно с объемной плотностью р, имеется сферическая полость. Центр полости смещен относительно центра шара на величину а. Найти напряженность Е поля внутри полости, полагая диэлектрическую проницаемость равной единице.

3.29. Внутри бесконечно длинного круглого цилиндра, заряженного равномерно с объемной плотностью р, имеется круглая цилиндрическая полость. Расстояние между осями цилиндра и полости равно а. Найти напряженность Е электрического поля в полости. Диэлектрическую проницаемость считать равной единице.

101

3.30. Имеются два тонких проволочных кольца радиуса R каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны q и —q. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстояние с.

» 3.31. Имеется бесконечно длинная прямая нить, заряженная равномерно с линейной плотностью К = 0,40 мкКл/м. Вычислить разность потенциалов точек 1 и 2, если точка 2 находится в tj = 2,0 раза дальше от нити, чем точка 1.

3.32. Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре полусферы радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной плотностью о.

3.33. Находящаяся в вакууме круглая очень тонкая пластинка радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью ст. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния / от ее центра. Исследовать полученное выражение при I 0 и I ^> R.

3.34. Найти потенциал ф на краю тонкого диска радиуса R, по которому равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью о.

3.35. Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого имеет вид ср = аг, где а — постоянный вектор, г — радиус-вектор точки поля.

3.36. Определить вектор напряженности электрического поля, потенциал которого зависит от координат х, у по закону:

а) ср = а (х² — у²); б) ср = аху, где а — постоянная. Изобразить примерный вид этих полей с помощью силовых линий (в плоскости х, у).

3.37.: Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид ср = а (х² + у²) + Ьг², где а и b — постоянные. Найти модуль и направление вектора напряженности поля. Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности в случаях:

а) с > 0, Ь > 0; б) с > 0, b < 0? * 3.38.. Заряд q распределен равномерно по Јi / объему шара радиуса R. Полагая диэлектриче-| ^ /г скую проницаемрсть всюду равной единице,

найти потенциал: у а) в центре шара;

. Г б) внутри шара как функцию расстояния т

от его центра.

Рис. ЗА. 3.39. Показать, что потенциал поля диполя

с электрическим моментом р (рис. 3.4) может быть представлен как ср = рг/4пе₀г³, где г — радиус-вектор. Найти с помощью этого выражения модуль вектора напряженности электрического поля диполя как функцию г и Ь.

3.40. Точечный диполь с электрическим моментом р, ориентированный в положительном направлении оси г, находится в начале координат. Найти проекции вектора напряженности электрического

102

поля E_z и ЕI (на плоскость, перпендикулярную к оси г в точке S (см. рис. 3.4)). В каких точках Е _|_ р?

3.41. Точечный электрический диполь с моментом р находится во внешнем однородном электрическом поле, напряженность которого равна Е„, причем р \\ Е„. В этом случае одна из эквипотенциальных поверхностей, охватывающих диполь, является сферой. Найти ее радиус.

3.42. Две параллельные тонкие нити равномерно заряжены с линейной плотностью Я и —X. Расстояние между нитями равно I. Найти потенциал и модуль вектора напряженности электрического поля на расстоянии г >> I под углом # к вектору 1 (рис. 3.5).

Рис. 3.5i Рис. 3.6.

3.43« Два коаксиальных кольца, каждое радиуса R, из тонкой проволоки находятся на малом расстоянии I друг от друга (I <^R) и имеют заряды q и —q. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси системы как функции координаты х (рис. 3.6). Изобразить на одном рисунке примерные графики полученных зависимостей. Исследовать эти функции при I * I > R.

3.44. Две безграничные плоскости, отстоящие друг от друга на расстояние /, заряжены равномерно с поверхностной плотностью о и —а (рис. 3.7). Плоскости имеют коаксиальные отверстия радиуса R, причем I <J R. Взяв координатную ось х с началом отсчета О, как показано на ри- ^Рис- ³-^7,сунке, найти потенциал и проекцию вектора напряженности электрического поля Е_х на оси системы как функции координаты х. Изобразить примерный график ср (х).

3.45. Имеется плоский конденсатор с круглыми тонкими пластинами радиуса R, отстоящими друг от друга на расстояние / (/ ^ R) и заряженными равномерно с поверхностной плотностью а и —а. Найти потенциал и модуль вектора напряженности электрического поля на оси системы как функции расстояния х до пластин, если х ^> /. Исследовать полученные выражения при х ^> R.

3.46. Диполь с электрическим моментом р находится иа расстоянии г от длинной нити, заряженной равномерно с линейной плот

103

ностью \. Найти силу F, действующую на диполь, если вектор р ориентирован:

а) вдоль нити;

б) по радиус-вектору г;

в) перпендикулярно к нити и радиус-вектору г.

3.47. Найти силу взаимодействия двух молекул воды, отстоящих друг от друга на расстояние / == 10 нм, если их электрические моменты ориентированы вдоль одной и той же прямой. Момент каждой молекулы р = 0,62-10"²⁹ Кл-м.

3.48._: Найти потенциал ср (х, у) электростатического поля Е = = a (yi + x'j), где а — постоянная, i и j — орты осей х и у.

3.49. Найти потенциал ср (х, у) электростатического поля Е = = 2аху\ + а (я² — у²)], где с — постоянная, i и j — орты осей х и у.

3.50. Определить потенциал ср (х, у, г) электростатического поля Е = ayi + (ах + Ьг)} + Ьук, где а и Ь — постоянные, i, j, k — орты осей х, у, г.

3.51. Потенциал поля в некоторой области пространства зависит только от координаты х как ср = —ах³ + Ь, где а и b — некоторые постоянные. Найти распределение объемного заряда р (л;).'

3.52. Между двумя большими параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на расстояние d, находится равномерно распределенный объемный заряд. Разность потенциалов пластин равна Дер. При каком значении объемной плотности р заряда напряженность поля вблизи одной из пластин будет равна нулю? Какова будет при этом напряженность поля у другой пластины?

3.53. Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния до его центра по закону ср = аг² + Ь, где с и b — постоянные. Найти распределение объемного заряда р (г) внутри ■шара.

3.2. Проводники и диэлектрики в электрическом поле

О Напряженность электрического поля у поверхности проводника в вакууме:

£„=0/60- (3.2а)

0 Поток поляризованности Р через замкнутую поверхность:

<§PdS = — q\ (3.26)

где а' — алгебраическая сумма связанных зарядов внутри этой поверхности. О Вектор D и теорема Гаусса для него:

D = e₀E-f-P, §DdS = q, (3.2в)

где q — алгебраическая сумма сторонних зарядов внутри замкнутой поверхности. % Условия иа границе раздела двух диэлектриков:

JV,-Pi„=-a', D_2n-D_in=a, E_2x = E_ix. (3.2г)

где о' и о—поверхностные плотности связанных и сторонних зарядов, а ерт нормали п направлен из среды 1 в среду 2.

104

ф Для изотропных диэлектриков:

Р=хеоЕ, D = ee₀E, е=1+»е. (3.2д)

ф В случае изотропного однородного диэлектрика, заполняющего все пространство между эквипотенциальными поверхностями:

Е = Е_в/е. (3.2е)

3.54. Небольшой шарик висит над горизонтальной безграничной проводящей плоскостью на изолирующей упругой нити жесткости k. После того как шарик зарядили, он опустился на х см, и его расстояние до проводящей плоскости стало равным /. Найти заряд шарика.

3.55. Точечный заряд q находится на расстоянии / от безграничной проводящей плоскости. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно удалить этот заряд на очень большое расстояние от плоскости?

3.56. Два точечных заряда, q и —q, расположены на расстоянии I друг от друга и на одинаковом расстоянии 1/2 от безграничной проводящей плоскости. Найти:

а) модуль вектора электрической силы, действующей на каждый заряд;

б) модуль вектора напряженности электрического поля в точке, расположенной на середине между этими зарядами.

3.57. Точечный заряд q находится между двумя проводящими взаимно перпендикулярными полуплоскостями. Расстояние заряда до каждой полуплоскости равно /. Найти модуль вектора силы, действующей на заряд.

3.58. Точечный диполь с электрическим моментом р находится на расстоянии / от бесконечной проводящей плоскости. Найти модуль вектора силы, действующей на диполь, если вектор р перпендикулярен плоскости.

3.59. Точечный заряд q находится на расстоянии I от проводящей безграничной плоскости. Определить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как функцию расстояния г от основания перпендикуляра, опущенного из заряда на плоскость.

3.60. Тонкая бесконечно длинная нить имеет заряд X на единицу длины и расположена параллельно безграничной проводящей плоскости. Расстояние между нитью и плоскостью равно I. Найти:

а) модуль вектора силы, действующей на единицу длины нити;

б) распределение поверхностной плотности заряда а (х) на плоскости, где х — расстояние от плоскости, перпендикулярной к проводящей поверхности и проходящей через нить.

3.61. Очень длинная прямая нить ориентирована перпендикулярно к безграничной проводящей плоскости и не доходит до этой плоскости на расстояние /. Нить заряжена равномерно с линейной плотностью X. Пусть точка О — след нити на плоскости. Найти поверхностную плотность индуцированного заряда на плоскости:

а) в точке О;

б) в зависимости от расстояния т до точки О.

105

3.62. Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет заряд q. Кольцо расположено параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии / от последней. Найти:

а) поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично относительно кольца;

б) напряженность и потенциал электрического поля в центре кольца. ,

( / 3.63. Найти потенциал ср незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии I от ее центра находится точечный заряд q.

3.64. Точечный заряд q находится на расстоянии г от центра О незаряженного сферического слоя проводника, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно R_x и R₂. Найти потенциал в точке О, если г < R_x.

3.65. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер, причем на внутренней сфере радиуса а находится положительный заряд q_x. Какой заряд q₂ следует поместить на внешнюю сферу радиуса Ь, чтобы потенциал внутренней сферы оказался

равным нулю? Как будет зависеть при

__г этом потенциал ср от расстояния г до

-—-о 2 центра системы? Изобразить пример-

——~°3 ный график этой зависимости. 4 3.66. Четыре большие металличе-

ские пластины расположены на ма-Рис. 3.8. • - лом расстоянии d друг от друга, как

показано на рис. 3.8. Крайние пластины соединены проводником, а на внутренние пластины подана . разность потенциалов Дер. Найти:

а) значения напряженности электрического поля между соседними пластинами;

б) суммарный заряд, приходящийся на единицу площади каждой пластины.

3.67. Две безграничные проводящие пластины 1 и 2 расположены на расстоянии / друг от друга. Между пластинами на расстоянии х от пластины 1 находится точечный заряд q. Найти заряды, наведенные на каждой из пластин.

3.68. Найти электрическую силу, которую испытывает заряд, приходящийся на единицу поверхности произвольного проводника, если поверхностная плотность заряда равна а.

3.69. Металлический шарик радиуса R = 1,5 см имеет заряд q = 10 мкКл. Найти модуль вектора результирующей силы, которая действует на заряд, расположенный на одной половине шарика.

3.70. Незаряженный проводящий шар радиуса R поместили во внешнее однородное электрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд с поверхностной плотностью о = <т₀ cos #, где ст₀ — постоянная, # — полярный угол. Найти модуль вектора результирующей электрической силы, которая действует на индуцированный заряд одного знака.

106

3.71. В воде электрическое поле напряженности Е — 1,0 кВ/см создает поляризацию, эквивалентную правильной ориентации только одной из N молекул. Найти N. Электрический момент молекулы воды р = 0,62-Ю"²⁹ Кл-м.

3.72. Неполярная молекула с поляризуемостью В находится на большом расстоянии I от полярной молекулы с электрическим моментом р. Найти модуль вектора силы взаимодействия этих молекул, если вектор р ориентирован вдоль прямой, проходящей через обе молекулы.

3.73. На оси тонкого равномерно заряженного кольца радиуса R находится неполярная молекула. На каком расстоянии х от центра кольца модуль вектора силы F, действующей на данную молекулу:

а) равен нулю; б) имеет максимальное значение? Изобразить примерный график зависимости F_x (х).

3.74. Точечный заряд q находится в центре шара из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью е. Найти поляризован-ность Р как функцию радиус-вектора г относительно центра системы, а также заряд q' внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара.

3.75. Показать, что на границе диэлектрика с проводником поверхностная плотность связанного заряда диэлектрика а' = —а (е— — 1)/е, где е — диэлектрическая проницаемость, о — поверхностная плотность заряда на проводнике.

3.76. Проводник произвольной формы, Рис. 3.9. имеющий заряд q, окружен однородным диэлектриком с проницаемостью е (рис. 3.9). Найти суммарные поверхностные связанные заряды на внутренней и наружной поверхностях диэлектрика.

3.77. Однородный изотропный. диэлектрик имеет вид сферического слоя с радиусами а и Ь. Изобразить примерные графики напряженности электрического поля Е и потенциала ф как функций расстояния г от центра слоя, если диэлектрик имеет некоторый положительный сторонний заряд, распределенный равномерно:

а) по внутренней поверхности слоя;" б) по объему слоя.

3.78.. Вблизи точки А (рис. 3.10) границы раздела стекло — вакуум напряженность электрического поля в вакууме Е₀ = 10,0 В/м, причем угол между вектором Е„ и нормалью п к границе раздела а₀ = 30^е. Найти напряженность Е поля в стекле вблизи точки А, угол а между вектором Е и n, а также поверхностную плотность связанных зарядов в точке А.

3.79. У плоской поверхности однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью е напряженность электрического поля

107

в вакууме равна £₀> причем вектор Е„ составляет угол Ф с нормалью к поверхности диэлектрика (рис. 3.11). Считая поле внутри и вне*

диэлектрика однородным, найти:

а) поток вектора Е через сферу радиуса R с центром на поверхности диэлектрика;

б) циркуляцию вектора D по контуру Г длины / (см. рис. 3.11), плоскость которого перпендикулярна к поверхности диэлектрика и параллельна вектору Е₀.

^Рис- ³-^,f- 3.80. Бесконечно большая пласти-

на из однородного диэлектрика с проницаемостью е заряжена равномерно сторонним зарядом с объемной плотностью р. Толщина пластины равна 2d. Найти:

а) модуль вектора напряженности электрического поля и потенциал как функции расстояния I от середины пластины (потенциал в середине пластины положить равным нулю); взяв координатную ось х перпендикулярно к пластине, изобразить примерные графики зависимостей проекции Е_х (х) вектора Е и потенциала ср (х);

б) поверхностную и объемную плотности связанного заряда.

3.81. Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью р > 0 по шару радиуса R из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью е. Найти:

а) модуль вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния г от центра шара; изобразить примерные графики зависимостей Е (г) и ср (г);

б) объемную и поверхностную плотности связанных зарядов.

3.82. Круглый диэлектрический диск радиуса R и толщины d поляризован статически так, что поляризованность, равная Р, всюду одинакова и вектор Р лежит в плоскости диска. Найти напряженность Е электрического цоля в центре диска, если d <^ R.

3.83. При некоторых условиях поляризованность безграничной незаряженной пластины из диэлектрика имеет вид Р = Р₀ (1 — x²/d²), где Р„ — вектор, перпендикулярный к пластине, х — расстояние от середины пластины, d — ее полутолщина. Найти напряженность Е

электрического поля внутри пластины

.__и разность потенциалов между ее по-

/ верхностями.

3.84. Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено воздухом, и напряженность поля в зазоре равна Е₀. Затем половину зазора, как показано на рис. 3.12, изотропным диэлектриком с проницае-в обеих частях зазора

Рис. 3.12.

заполнили однородным мостью е. Найти модули векторов Е и D (/ и 2), если при введении диэлектрика:

108

а) напряжение между обкладками не менялось;

б) заряды на обкладках оставались неизменными.

3.85, Решить предыдущую задачу с тем отличием, что диэлектриком заполнили половину зазора, как показано на рис. 3.13.

3.86. Половина пространства между двумя концентрическими обкладками сферического конденсатора заполнена, как показано на рис. 3.14, однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью е. Заряд конденсатора равен q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля между обкладками как функцию расстояния г от центра кривизны этих обкладок.

3.87. Два одинаковых небольших одноименно заряженных шарика подвешены на изолирующих нитях равной длины к одной точке. При заполнении окружающей среды керосином угол расхождения нитей не изменился. Найти плотность материала шариков.

3.88. Внутри шара из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью е = 5,00 создано однородное электрическое поле напряженности Е = 100 В/м. Радиус шара R = 3,0 см. Найти максимальную поверхностную плотность связанных зарядов и полный связанный заряд одного знака.

3.89. Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии 1 от плоской поверхности однородного изотропного диэлектрика, заполняющего все полупространство. Проницаемость диэлектрика равна е. Найти:

а) поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния г от точечного заряда q; исследовать полученный результат при I 0;

б) суммарный связанный заряд на поверхности диэлектрика.

3.90. Воспользовавшись условием и решением предыдущей задачи, найти модуль вектора силы, действующей на заряд 17 со стороны связанных зарядов на поверхности диэлектрика.

3.91. Точечный заряд q находится на плоскости, отделяющей вакуум от безграничного однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью е. Найти модули векторов D и Е и потенциал ср как функции расстояния г от заряда q.

3.92. Небольшой проводящий шарик, имеющий заряд q, находится в однородном изотропном диэлектрике с проницаемостью в на расстоянии I от безграничной плоской границы, отделяющей диэлектрик от вакуума. Найти поверхностную плотность связанных

Рис. ЗЛЗ.

Рис. 3.J4.

105

зарядов на границе диэлектрик — вакуум как функцию расстояния г От шарика. Исследовать полученный результат при /->- 0.

3.93. Полупространство, заполненное однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью е, ограничено проводящей плоскостью. На расстоянии / от этой плоскости в диэлектрике находится небольшой металлический шарик, имеющий заряд q. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе с проводящей плоскостью как функцию рас-

■■ ■-т— стояния г от шарика.

( У/////Ар y//A\h d 3.94» Пластинка толщины h из одно-

. у У/////Л '//Дк. ,,_ родного статически поляризованного

' диэлектрика находится внутри плоского-

Рис. 3.J5, конденсатора, обкладки которого соеди-

нены между собой проводником. Поля-ризованность диэлектрика равна Р (рис. 3.15). Расстояние между обкладками конденсатора d. Найти векторы напряженности и индукции электрического поля внутри и вне пластины.

3.95« Длинный диэлектрический цилиндр круглого сечения поляризован так, что вектор Р = аг, где а — положительная постоянная, г — расстояние от оси. Найти объемную плотность р' связанных зарядов как функцию расстояния г от оси.

3.96. Диэлектрический шар поляризован однородно и статически. Его поляризованность равна Р. Имея в виду, что так поляризованный шар можно представить как результат малого сдвига всех положительных зарядов диэлектрика относительно всех отрицательных зарядов,

а) найти напряженность Е электрического поля внутри шара;

б) показать, что поле вне шара является полем диполя, расположенного в центре шара, и потенциал этого поля ср = роГ/4яе₀, где ро — электрический момент шара, г — расстояние от его центра.

3.97. Воспользовавшись результатом решения предыдущей задачи, найти напряженность Е„ электрического поля в сферической полости в безграничном однородном диэлектрике с проницаемостью е, если вдали от полости напряженность поля равна Е.

3.98.. В однородное электрическое поле напряженности Е„ поместили однородный диэлектрический шар. При этих условиях диэлектрик поляризуется однородно. Найти напряженность Е электрического поля внутри шара и поляризованность Р диэлектрика, проницаемость которого равна е. При решении воспользоваться результатом задачи 3.96.

3.99. Бесконечно длинный диэлектрический цилиндр круглого сечения поляризован однородно и статически, причем поляризованность Р перпендикулярна к оси цилиндра. Найти напряженность Е электрического поля в диэлектрике.

3.100. Длинный цилиндр круглого сечения из однородного диэлектрика поместили в однородное электрическое поле с напряженностью Е„. Ось цилиндра перпендикулярна к вектору Е₀- При этих условиях диэлектрик поляризуется однородно. Воспользовавшись

110

' результатом решения предыдущей задачи, найти напряженность Е электрического поля внутри цилиндра и поляризованность Р диэлектрика, проницаемость которого равна е.

3.3. Электроемкость. Энергия электрического поля

О Емкость плоского конденсатора:

C = 88oS/d. (3.3а) О Энергия взаимодействия системы точечных зарядов:

V-ViJWB. (3-36) О Полная электрическая энергия системы с непрерывным распределением заряда:

W=V2$«PPdV. (З-Зв)

О Полная электрическая энергия двух заряженных тел 1 и 2:

W^Wi + W₂ + W_i2, (3.3rf

где Wt и W₂—собственные энергии тел, V?i₂—энергия взаимодействия. О Энергия заряженного конденсатора:

9 Объемная плотность энергии электрического поля:

_ю = ™=?!|1. ₍3.3е)

3.101. Найти емкость уединенного шарового проводника радиуса R_lt окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем однородного диэлектрика с проницаемостью е и наружным радиусом R₂.

3.102. К источнику с э. д. с. ё подключили последовательно два плоских воздушных конденсатора, каждый емкости С. Затем один из конденсаторов заполнили однородным диэлектриком с проницаемостью е. Во сколько раз уменьшилась напряженность электрического поля в этом конденсаторе? Какой заряд пройдет через источник?

3.103. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами d_x и а\ и с проницаемостями е_х,и е₂. Площадь каждой обкладки равна S. Найти:

а) емкость конденсатора;

б) плотность а' связанных зарядов на границе раздела диэлектрических слоев, если напряжение на конденсаторе равно U и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2.

3.104. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотропным диэлектриком, проницаемость е которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону от Ех до ег, причем е₂ > г_г. Площадь каждой обкладки S, расстояние между ними d. Найти:

а) емкость конденсатора;

б) объемную плотность связанных зарядов как функцию е, если заряд конденсатора а и поле Е в нем направлено в сторону возрастания е.

Рис. 3.16.

3.105. Найти емкость сферического конденсатора с радиусами обкладок Ri и R₂ > Ri, который заполнен изотропным диэлектриком с проницаемостью, изменяющейся по закону е = а/г, где а — постоянная, г — расстояние от центра конденсатора.

3.106. Цилиндрический конденсатор заполнен двумя цилиндрическими слоями диэлектриков с проницаемостями г_г и в₂. Внутренние радиусы слоев равны соответственно R_x и R₂ > R_x. Максимально допустимая напряженность электрического поля для этих диэлектриков равна Eim ^и Е_ш. При каком соотношении между 'б, R и Е_т напряженность поля при повышении напряжения одновременно достигнет значения, соответствующего пробою того и другого диэлектрика?

3.107. Имеется двухслойный цилиндрический конденсатор, данные которого приведены на рис. 3.16. Предельные значения напряженности электрического поля, при которых наступает <- пробой данных диэлектриков, равны соответ-

ственно Е_г и Е₂. При каком напряжении конденсатор будет пробит, если ByRyEy < e₂R₂E₂?

3.108. Два длинных прямых провода с одинаковым радиусом сечения а расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями равно Ь. Найти взаимную емкость проводов на единицу их длины при условии b ;> а.

3.109. Длинный прямой провод расположен параллельно безграничной проводящей плоскости. Радиус сечения провода равен а, расстояние между осью провода и проводящей плоскостью Ъ. Найти взаимную емкость этой системы на единицу длины провода при условии а^Ь.

3.110. Найти емкость системы из двух одинаковых металлических шариков радиуса а, расстояние между центрами которых Ь, причем Ь*р> а. Система находится в однородном диэлектрике с проницаемостью е.

3.111. Определить емкость системы, которая состоит из металлического шарика радиуса а и безграничной проводящей плоскости, отстоящей от центра шарика на расстояние /, если fp> а.

А
с,		1г ¹ II Сг		В
А	II —IL^—11—		с II
н С		II II с „		в

а)

Рис. 3.17.

3.112. Найти емкость системы одинаковых конденсаторов между точками А к В, которая показана:

а) на рис. 3.17, а; б) на рис. 3.17, б.

112

3.113. Четыре одинаковые металлические пластины располо жены в воздухе на одинаковом расстоянии d друг от друга. Пло щадь каждой пластины равна S. Найти емкость системы между точками А я В, если пластины соединены так, как показано:

а) на рис. 3.18, а; б) на рис. 3.18, б.

3.114. Конденсатор емкости С\ = я 1,0 мкФ выдерживает напряжение не более 1/_г = 6,0 кВ, а конденсатор емкости С₂ - 2,0 мкФ — не более £/₂ = 4,0 кВ. Какое напряжение может выдержать система из этих двух конденсаторов при последовательном соединении?

3.115. В схеме (рис. 3.19) найти разность потенциалов между точками А и В,

_С

а)

Рис. 3.18.

А В

если э. д. с. в =

ПО В и отношение емкостей CJC_X — tj = 2,0.

ГТТ" Т^с I^е 1^е

Рис. 3.19.

Рис. 3.20.

3.116. Найти емкость бесконечной цепи, которая образована повторением одного и того же звена, состоящего из двух одинаковых конденсаторов, каждый емкости С (рис. 3.20).

3.117. В некоторой цепи имеется участок АВ, показанный на рис. 3.21. Э. д. с. источника ё = 10 В, емкости конденсаторов Ci = 1,0 мкФ, С₂ = 2,0 мкФ и разность потенциалов ср_д — <рв = = 5,0 В. Найти напряжение на каждом конденсаторе.

Рис. 3.21. Рис. 3.22.

3.118. В схеме (рис. 3.22) найти разность потенциалов между левой и правой обкладками каждого конденсатора.

3.119. Найти заряд каждого конденсатора в цепи, показанной на рис. 3.22.

113

Сг

-о—

3.120. Определить разность потенциалов срд — <р_в между точками А я В схемы (рис. 3.23). При каком условии она равна нулю?

3.121. Конденсатор емкости С\ = 1,0 мкФ, заряженный до напряжения U = ПО В, подключили параллельно к концам системы из двух последовательно соединенных незаряженных конденсаторов, емкости которых С₂ = 2,0 мкФ и С₃ = 3,0 мкФ. Какой заряд протечет при этом по соединительным проводам?

3.122. Какие заряды протекут после замыкания ключа К в схеме (рис. 3.24) через сечения / и 2 в направлениях, указанных стрелками?

3.123. В схеме (рис. 3.25) э. д. с. каждой батареи <? = 60 В, емкости конденсаторов С\ = 2,0 мкФ и С₂ = 3,0 мкФ. Найти заряды, которые пройдут после замыкания ключа К. через сечения 1, 2 и 3 в»направлениях, указанных стрелками.

Рис. 3.23.

3.124. Найти разность потенциалов <р_д — ср_в между точками А и В схемы (рис. 3.26).

и Я»

—IrJ

¹-1Ь—¹

'6/ В *Ъ₂Рис. 3.26,

r-A-L-iL.-..

.4"

—L

—о-

^ч

-II—

6j^] с₃

Рис. 3.27.

3.125. Определить потенциал в точке / схемы (рис. 3.27), полагая потенциал точки О равным нулю. Написать по аналогии (используя симметрию полученной формулы) выражения для потенциалов в точках 2 я 3.

3.126* Найти емкость схемы (рис. 3.28) между точками А и В.

114

3.127. Определить энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной а в системах, которые показаны на рис. 3.29.

Рис, 3.28.

+£т----Щ +gf----1-4

—1₊

а)

Рис. 3.29.

I I

.0 I----i+g

б)

Ц f----

I I

I !

----

б)

3.128. Имеется бесконечная прямая цепочка чередующихся зарядов q и —q. Расстояние между соседними зарядами равно а. Найти энергию взаимодействия каждого заряда со всеми остальными.

Указание. Воспользоваться разложением In (1 -f- а) в ряд по а.

3.129. Точечный заряд q находится на расстоянии I от безграничной проводящей плоскости. Найти энергию взаимодействия этого заряда с зарядами, индуцированными на плоскости.

3.130. Вычислить энергию взаимодействия двух шаров, заряды которых ft и q₂ распределены сферически симметрично. Расстояние между центрами шаров равно I.

Указание. Прежде всего следует определить энергию взаимодействия шара и тонкого сферического слоя.

3.131. Конденсатор емкости С_х = 1,0 мкФ, предварительно заряженный до напряжения U = 300 В, подключили параллельно к незаряженному конденсатору емкости С₂ = 2,0 мкФ. Найти приращение электрической энергии этой системы к моменту установления равновесия. Объяснить полученный результат.

3.132. Какое количество тепла выделится в цепи (рис. 3.30) после переключения ключа К из положения / в положение 2?

г '

Рис. 3.30. Рис. 3.31.

3.133. Какое количество тепла выделится в цепи (рис. 3.31) после переключения ключа К из положения / в положение 2?

3.134. Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек радиусами R_x и R₂ с соответствующими зарядами

115

Qi и q₂. Найти значения собственной энергии каждой оболочки W_x и W₂, энергии взаимодействия оболочек W_X2 и полную электрическую энергию W системы.

3.135. Заряд q распределен равномерно по объему шара радиуса R. Полагая диэлектрическую проницаемость равной единице, найти:

а) собственную электростатическую энергию шара;

б) отношение энергии W_x, запасенной внутри шара, к энергии W₂, заключенной в окружающем пространстве.

3.136. Точечный заряд q = 3,0 мкКл находится в центре шарового слоя из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью е = 3,0. Внутренний радиус слоя а = 250 мм, внешний Ъ = 500 мм. Найти электростатическую энергию, заключенную в диэлектрическом слое.

3.137. Сферическую оболочку радиуса R_x, равномерно заряженную зарядом q, расширили до радиуса R_%. Найти работу, совершенную при этом электрическими силами.

3.138. Имеется сферическая оболочка, равномерно заряженная зарядом q, в центре которой расположен точечный заряд q₀. Найти работу, совершенную электрическими силами при расширении оболочки — увеличении ее радиуса от R_x до R₂.

3.139. Сферическая оболочка заряжена равномерно с поверхностной плотностью а. Воспользовавшись законом сохранения энергии, найти модуль вектора электрической силы, которая действует на единицу поверхности оболочки.

3.140. Точечный заряд q находится в центре О сферического незаряженного проводящего слоя с малым отверстием (рис. 3.32). Внутренний и внешний радиусы слоя равны соответственно а и Ь. Какую работу надо затратить, чтобы медленно перенести заряд q из точки О через отверстие на бесконечность?

3.141. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна S. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от х_х до х₂, если при этом поддерживать неизменным:

а) заряд конденсатора, равный q;

б) напряжение на конденсаторе, равное U7

3.142. Внутри плоского конденсатора находится параллельная обкладкам пластинка, толщина которой составляет т| = 0,60 части зазора между обкладками. Емкость конденсатора в отсутствие пластинки С — 20 нФ. Конденсатор сначала подключили параллельно к источнику постоянного напряжения I) — 200 В, затем отключили и после этого медленно извлекли пластинку из зазора. Найти работу, затраченную на извлечение пластинки, если пластинка:

а) металлическая; б) стеклянная.

116

3.143. Плоский конденсатор опустили в горизонтальном положении в воду, которая заполнила зазор между пластинами шириной d = 1,0 мм. Затем конденсатор подключили к постоянному напряжению U = 500 В. Найти приращение давления воды в зазоре. I

3.144. Плоский конденсатор располо- '

жен горизонтально так, что одна его пла- ~~^.г-^~~

стина находится над поверхностью жид- 3-_г:1г\Г" т^Н.

кости, другая — под поверхностью жид- ----1-----~

кости (рис. 3.33). Диэлектрическая проницаемость жидкости е, ее плотность р. На Рис. з.зз. какую высоту поднимется уровень жидкости в конденсаторе после сообщения его пластинам заряда с поверхностной плотностью а?

3.145. В цилиндрический конденсатор вводят цилиндрический слой диэлектрика с проницаемостью е, заполняющий все пространство между обкладками. Средний радиус обкладок равен R, зазор между ними d, причем d <^ R. Обкладки конденсатора подключены к источнику постоянного напряжения U. Найти модуль вектора электрической силы, втягивающей диэлектрик в конденсатор.

3.146. Конденсатор состоит из двух неподвижных пластин, имеющих форму полукруга радиуса R, и расположенной между ними подвижной пластины из диэлектрика с проницаемостью е, которая может свободно поворачиваться вокруг оси О (рис. 3.34). Толщина Рис. 3.34. подвижной пластины d, что практически равно

расстоянию между неподвижными пластинами. Конденсатору сообщили разность потенциалов U. Найти модуль момента сил относительно оси О, действующих на подвижную пластину в положении, показанном на рисунке.

3.4. Электрический ток

ф Закон Ома для неоднородного участка цепи:

. _ Ug _<Pi—Чг+Ша '~ R ~ R

где U_u — падение напряжения на данном участке. ф Закон Ома в дифференциальной форме:

j=o(E + E*),

где Е* — напряженность поля сторонних сил. ф Правила Кирхгофа:

2/*=<>, 2/»я*=2&*.

ф Мощность тока Р и тепловая мощность Q:

P = t// = (_Vi__?2+f₁₂)/, Q = K/*.

(3.4а)

(3.46) (3.4в)

(Mr) 117

ф Удельная мощность тока Р_уд и удельная тепловая мощность тока Q_ya: Р_УД = 3(Е + Е*), Q_ys=p/². (3.4д)

ф Плотность тока в металле:

i = enu, (3.4е)

где и — средняя скорость носителей.

ф Число ионов, рекомбинирующих за единицу времени в единице объема газа:

п_/.=гп², (3.4ж)

где г —коэффициент рекомбинации,

3.147. Длинный равномерно заряженный по поверхности цилиндр радиусом сечения а = 1,0 см движется с постоянной скоростью v = 10 м/с вдоль своей оси. Напряженность электрического поля непосредственно у поверхности цилиндра Е = 0,9 кВ/см. Чему равен соответствующий конвекционный ток, т. е. ток, обусловленный механическим переносом заряда?

3.148. Воздушный цилиндрический конденсатор, подключенный к источнику постоянного напряжения U = 200 В, погружают в вертикальном положении в сосуд с дистиллированной водой со скоростью v = 5,0 мм/с. Зазор между обкладками конденсатора d = 2,0 мм, средний радиус кривизны обкладок г = 50 мм. Имея в виду, что d <! г, найти ток, текущий при этом по подводящим проводам.

3.149. При 0 ^РС сопротивление проводника 1 в tj раз меньше сопротивления проводника 2. Их температурные коэффициенты

сопротивления равны и а₂. Найти темпе-⁷ ратурный коэффициент сопротивления участка цепи, состоящего из этих двух проводников, если они соединены:

а) последовательно; б) параллельно. 3.150. Найти сопротивление проволоч-'8 ного каркаса, имеющего форму куба (рис. 3.35), при включении его в цепь между точками:

Рис. 3.35. а) 1 — 7; б) 1 — 2; в) 1—3.

Сопротивление каждого ребра каркаса равно/?. 3.151. При каком значении сопротивления R_x в цепочке (рис.3.36) сопротивление между точками Л и В не будет зависеть от числа ячеек?

5о-

2R 2R

2R 2ft

^[J*^\f*^Ц*^_J|*_p4r

Рис. 3.36.

3.152. На рис. 3.37 изображена бесконечная цепь.^образованная повторением одного и того же звена — сопротивлений R_x = 4,0 Ом

118

и R, = 3,0 Ом. Найти сопротивление этой цепи между точками А и В.

Ri fti

Рис. 3.37.



			А	В

Рис. 3.38.

3.153. Имеется безграничная проволочная сетка с квадратными ячейками (рис. 3.38). Сопротивление каждого проводника между соседними узлами равно R₀. Найти сопротивление R этой сетки между точками А и В.

Указание. Воспользоваться принципами симметрии и суперпозиции.

3.154. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением р заполняет пространство между двумя коаксиальными идеально проводящими тонкими цилиндрами. Радиусы цилиндров а и Ь, причем а <.Ь, длина каждого цилиндра /. Пренебрегая краевыми эффектами, найти сопротивление среды между цилиндрами.

* 3.155. Металлический шар радиуса а окружен концентрической тонкой металлической оболочкой радиуса Ь. Пространство между этими электродами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением р. Найти сопротивление межэлектродного промежутка. Исследовать полученное выражение при b -»- со.

3.156. Пространство между двумя проводящими концентрическими сферами, радиусы которых а и b (а <^Ь), заполнено однородной слабо проводящей средой. Емкость такой системы равна С. Найти удельное сопротивление среды, если разность потенциалов между сферами, отключенными от внешнего напряжения, уменьшается в т] раз за время At.

3.157. Два металлических шарика одинакового радиуса а находятся в однородной слабо проводящей среде с удельным сопро -тивлением р. Найти сопротивление среды между шариками при условии, что расстояние между ними значительно больше радиуса шариков.

3.158. Металлический шарик радиуса а находится на расстоянии / от безграничной идеально проводящей плоскости. Пространство вокруг шарика заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением р. Найти для случая а<^1:

а) плотность тока у проводящей плоскости как функцию расстояния г от шарика, если разность потенциалов между шариком и плоскостью равна U;

б) сопротивление среды между шариком и плоскостью.

119

3.159. Два длинных параллельных провода находятся в слабо проводящей среде с удельным сопротивлением р. Расстояние между осями проводов I, радиус сечения каждого провода а. Найти для случая а I:

а) плотность тока в точке, равноудаленной от осей проводов на расстояние г, если разность потенциалов между проводами равна U;

б) сопротивление среды на единицу длины проводов.

3.160. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен стеклом с удельным сопротивлением р = 100 ГОм-м. Емкость конденсатора С = 4,0 нФ. Найти ток утечки через конденсатор при подаче на него напряжения U = 2,0 кВ.

3.161. Два проводника произвольной формы находятся в безграничной однородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением р и диэлектрической проницаемостью е. Найти значение произведения RC для данной системы, где R — сопротивление среды между проводниками, С — взаимная емкость проводников при наличии среды.

3.162. Проводник с удельным сопротивлением р граничит с диэлектриком проницаемости е. В некоторой точке А у поверхности проводника электрическая индукция равна D, причем вектор D направлен от проводника и составляет угол а с нормалью к поверхности. Найти поверхностную плотность зарядов на проводнике вблизи точки А и плотность тока в проводнике вблизи этой же точки.

* 3.163. Зазор между пластинами плоского конденсатора запол- , нен неоднородной слабо проводящей средой, удельная проводимость которой изменяется в направлении, перпендикулярном к пластинам, по линейному закону от а_г = 1,0 пСм/м до с₂ = 2,0 пСм/м. Площадь каждой пластины S = 230 см², ширина зазора d — 2,0 мм. Найти ток через конденсатор при напряжении на нем I) — 300 В.

3.164. Показать, что закон преломления линий постоянного тока на границе раздела двух проводящих сред имеет вид tga₂/tga₁= = o₂/a_lf где о^-! и о₂ — проводимости сред, а₂ и ^ — углы между линиями тока и нормалью к поверхности раздела данных сред.

3.165. Два цилиндрических проводника одинакового сечеиия, но с разными удельными сопротивлениями р_х и р₂, прижаты торцами друг к другу. Найти заряд на границе раздела данных проводников, если в направлении от проводника 1 к проводнику 2 течет ток /.

I 3.166. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 толщиной d_x и а\, с проницаемостями е_х и е₂ и удельными сопротивлениями

Pi и р₂. Конденсатор находится под постоянным напряжением U, причем электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2. Найти a — поверхностную плотность сторонних зарядов на границе раздела диэлектрических слоев и условие, при котором а = 0.

3.167. Между пластинами 1 и 2 плоского конденсатора находится неоднородная слабо проводящая среда. Ее диэлектрическая

120

проницаемость и удельное сопротивление изменяются от значении «11 Pi У пластины 1 до значений е₂, р₂ у пластины 2. Конденсатор подключен к постоянному напряжению, и через него течет установившийся ток / от пластины 1 к пластине 2. Найти суммарный сторонний заряд в данной среде.

3.168. Между пластинами плоского конденсатора находится неоднородная слабо проводящая среда, удельное сопротивление которой изменяется только в направлении, перпендикулярном к пластинам, причем по линейному закону. Отношение максимального значения удельного сопротивления к минимальному равно tj. Ширина зазора d. Найти объемную плотность заряда в зазоре при напряжении на конденсаторе U.

3.169. Длинный проводник круглого сечения площади S сделан из,материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния г до оси проводника по закону р = а/г², где а — постоянная. Найти:

а) сопротивление единицы длины такого проводника;

б) напряженность электрического поля в проводнике, при которой по нему будет протекать ток /.

3.170. Конденсатор емкости С= 400пФ подключили через сопротивление R = 650 Ом к источнику постоянного напряжения U₀. Через сколько времени напряжение на конденсаторе составит U = 0,90 U₀?

3.171. Конденсатор, заполненный диэлектриком с проницаемостью е = 2,1, теряет за время т = 3,0 мин половину сообщенного ему заряда. Предполагая, что утечка заряда происходит только через диэлектрическую прокладку, вычислить ее удельное сопротивление.

3.172. Цепь состоит из источника постоянной э. д. с. $ и последовательно подключенных к нему сопротивления R и конденсатора емкости С. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало. В момент t = 0 емкость конденсатора быстро (скачком) уменьшили в г| раз. Найти ток в цепи как функцию времени /.

3.173. Амперметр и вольтметр подключили последовательно к батарее с э. д. с. S — 6,0 В. Если параллельно вольтметру подключить некоторое сопротивление, то показание вольтметра уменьшается в г| = 2,0 раза, а показание амперметра во столько же раз увеличивается. F, . $_гНайти показание вольтметра после подклю- I ^>—¹ *>~\ чеиия сопротивления. /А 1?

Ф 3.174. Найти разность потенциалов ф_х— |_,1 ₍ _| |

— ср₂ между точками 1 и 2 схемы (рис. 3.39), <е' r7 если R_x = 10 Ом, R₂ = 20 Ом, €_х = 5 В и «?₂ = 2,0 В. Внутренние сопротивления ис- Рис. 3.39. точников тока пренебрежимо малы.

3.175. Два последовательно соединенных источника тока одинаковой э. д. с. имеют различные внутренние сопротивления R_xи #₂, причем R₂ > R₁. Найти внешнее сопротивление R, при ко

121

тором разность потенциалов на клеммах одного из источников (какого именно?) станет равной нулю.

3.176. N источников тока с различными э. д. с. соединены, как показано на рис. 3.40. Э. д. с. источников пропорциональны их внутренним сопротивлениям, т. е. § = aR, где а — заданная постоянная. Сопротивление соединительных проводов пренебрежимо мало. Найти:

а) ток в цепи;

б) разность потенциалов между точками Л и В, делящими цепь ha п и N — п звеньев.

Рис. 3.40. Рис. 3.4 f,

3.177. В схеме (рис. 3.41) э. д. с. источников §_х = 1,0 В, ё₂ — 2,5 В и сопротивления Rx = 10 Ом, R₂ = 20 Ом. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. Найти разность потенциалов ср_л — ср_в между обкладками Л и В конденсатора С.

3.178. В схеме (рис. 3.42) э. д. с. источника <? = 5,0 В и сопротивления R_x = 4,0 Ом, R₂ = 6,0 Ом. Внутреннее сопротивление источника R — 0,10 Ом. Найти токи, текущие через сопротивления Rx и R₂.

Рис. 3.42, Рис, 3.43.

3.179. На рис. 3.43 показана схема потенциометра, с помощью которого можно менять напряжение U, подаваемое на некоторый прибор с сопротивлением R. Потенциометр имеет длину /, сопротивление R₀ и находится под напряжением U₀. Найти напряжение V, снимаемое на прибор, как функцию расстояния х. Исследовать отдельно случай R ^> R₀.

122

3.180. Найти э. д. с. и внутреннее сопротивление источника, эквивалентного двум параллельно соединенным элементам с э. д. с. #i и <f₂ и внутренними сопротивлениями R_x и R₂.

3.181. Найти значение и направление тока через сопротивление R в схеме (рис. 3.44), если э. д. с. источников §_г= 1,5 В, ё₂ = = 3,7 В и сопротивления R_x = 10 Ом, R₂ = 20 Ом и R = 5,0 Ом. Внутренние сопротивления источников тока пренебрежимо малы.

Рис. 3.44. Рис. 3.45. Рис. 3.46.

3.182. В схеме (рис. 3.45) э. д. с. источников ё_г — 1.5 В, ё₂ = = 2,0 В, <f з = 2,5 В и сопротивления R_x = 10 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. Найти:

а) ток через сопротивление R_t;

б) разность потенциалов фд — ср_в между точками А и В.

3.183. Найти ток через сопротивление R в схеме (рис. 3.46). Внутренние сопротивления обоих источников пренебрежимо малы.

3.184. Найти разность потенциалов <р_А — ф_в между обкладками конденсатора С схемы (рис. 3.47), если э. д. с. источников $_г = = 4,0 В, #₂ = 1,0 В и сопротивления R_t = 10 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = зо Ом. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы.


_—

Яг	fit
,I^S'

Рис. 3.47.

Рис. 3.48.

3.185. Найти ток, протекающий через сопротивление R_x участка цепи (рис. 3.48), если сопротивления R_x = 10 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом и потенциалы точек 1,2 м £ _равны соответственно ф_х = 10 В, ф₂ = 6 В, ф₃ = 5 В.

123

3.186. Между точками А и В цепи (рис. 3.49) поддерживают постоянное напряжение V = 25 В. Найти значение и направление тока в(участке CD, если сопротивления R_x = 1,0 Ом, R₂ — 2,0 Ом, R_a = 3,0 Ом и Ri = 4,0 Ом.

©-

Рис. 3.49.

3.187. В схеме (рис. 3.50) найти сопротивление между точками А и В.

Рис. 3.50.

Рис. 3.5Т.

•о-Н

3.188. Найти зависимость от времени t напряжения на конденсаторе С (рис. 3.51) после замыкания в момент t = 0 ключа К.

3.189. Сколько тепла выделится в спирали сопротивлением R при прохождении через нее количества электричества q, если ток

в спирали:

а) равномерно убывал до нуля в течение времени Д^;

б) монотонно убывал до нуля так, что за каждые Af секунд он уменьшался вдвое?

3.190. К источнику постоянного тока с внутренним сопротивлением R₀подключили три одинаковых сопротивления R, соединенных между собой, как показано на рис. 3.52. При каком значении R тепловая мощность, выделяемая на этом участке, будет максимальна?

3.191. Убедиться, что распределение тока в параллельно соединенных сопротивлениях R_t и R₂ соответствует минимуму выделяемой на этом участке тепловой мощности.

3.192. Аккумулятор с э. д. с. # = 2,6 В, замкнутый на внешнее сопротивление, дает ток / = 1,0 А. При этом разность потен

Рис. 3.52.

124

циалов между полюсами аккумулятора U = 2,0 В. Найти тепловую мощность, выделяемую в аккумуляторе, и мощность, которую развивают в нем электрические силы.

3.193. Электромотор постоянного тока подключили к напряжению U. Сопротивление обмотки якоря равно R. При каком значении тока через обмотку полезная мощность могора будет максимальной? Чему она равна? Каков при этом к. п. д. мотора?

3.194. На сколько процентов уменьшился диаметр нити накала вследствие испарения, если для поддержания прежней температуры пришлось повысить напряжение на г| = 1,0%? Считать, что теплоотдача нити в окружающее пространство пропорциональна площади ее поверхности.

3.1.95. Имеется проводник, у которого известны сопротивление R, не зависящее от температуры, и общая теплоемкость С. В момент t — 0 его подключили к постоянному напряжению U. Найти зависимость от времени температуры Т проводника, считая, что тепловая мощность, отдаваемая им в окружающее пространство q = k (Т — Г,,), где- k — постоянная, Т₀ — температура окружающей среды (она же и температура проводника в начальный момент).

3.196. В схеме (рис. 3.53) сопротивления R_t = 20 Ом и R₂ = = 30 Ом. При каком значении сопротивления R_x выделяемая на нем тепловая мощность практически не будет зависеть от малых изменений этого сопротивления? Напряжение между точками Л и В предполагается при этом постоянным.

Рис. 3.53. Рис. 3.54.

3.197. В схеме (рис. 3.54) заданы сопротивления R_t n-R₂> а также э. д. с. источников <?! и §₂- Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. При каком значении сопротивления R выделяемая на нем тепловая мощность будет максимальной? Чему она равна?

3.198. Смешанная батарея из большого числа N = 300 одинаковых элементов, каждый с внутренним сопротивлением г = 0,3 Ом, подключена к внешнему сопротивлению R = 10 Ом. Найти число п параллельных групп, содержащих одинаковое число последовательно соединенных элементов, при котором на внешнем сопротивлении будет выделяться максимальная тепловая мощность.

125

Рис. 3.55.

3.199. Конденсатор емкости С = 5,00 мкФ подключили к источнику постоянной э. д. с. ё = 200 В (рис. 3.55). Затем переключатель К перевели с контакта / на контакт 2. Найти _пС количество тепла, выделившееся на сопротивле-

нии Rt = 500 Ом, если R₂ = 330 Ом.

3.200. Между обкладками плоского конденсатора помещена параллельно им металлическая пластинка, толщина которой составляет Л = 0,60 расстояния между обкладками. Емкость конденсатора в отсутствие пластинки С = 20 нФ. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения U = 100 В. Пластинку медленно извлекли из конденсатора. Найти: а) приращение энергии конденсатора; б) механическую работу, затраченную на извлечение пластинки. 3.201. Стеклянная пластинка целиком заполняет зазор между обкладками плоского конденсатора, емкость которого в отсутствие . пластинки С = 20 нФ. Конденсатор подклю-

чен к источнику постоянного напряжения U = 100 В. Пластинку медленно (без трения) извлекли из зазора. Найти приращение энергии конденсатора и механическую работу, затраченную на извлечение пластинки.

3.202. Цилиндрический конденсатор, подключенный к источнику постоянного напряжения U, упирается своим торцом в поверхность воды (рис. 3.56). Расстояние d между обкладками конденсатора значительно меньше их среднего радиуса. Найти высоту h, .на которой установится уровень воды между обкладками конденсатора. Капиллярными явлениями пренебречь.

3.203. Радиусы обкладок сферического конденсатора равны а и 6, причем а <с_Ъ. Пространство между обкладками заполнено однородным веществом с диэлектрической проницаемостью г и удельным сопротивлением р. Первоначально конденсатор не заряжен. В момент t = 0 внутренней обкладке сообщили заряд q₀. Найти:

а) закон изменения во времени заряда на внутренней обкладке;

б) количество тепла, выделившегося при растекании заряда. 3.204. Обкладкам конденсатора емкости

С = 2,00 мкФ сообщили разноименные заряды q₀ = 1,00 мКл. Затем обкладки замкнули через сопротивление R = 5,0 МОм. Найти:

а) заряд, прошедший через это сопротивление за т = 2,00 с;

б) количество тепла, выделившееся в сопротивлении за то же время.

схеме (рис. 3.57) емкость каждого конденсатора Один из конденсаторов зарядили

Рис. 3.56.

3.205. В

равна С и сопротивление — R.

126

до напряжения U₀ и затем в момент 1=0 замкнули ключ К. Найти:

а) ток / в цепи как функцию времени t;

б) количество выделенного тепла, зная зависимость / (t).

3.206. Катушка радиуса г = 25 см, содержащая / = 500 м тонкого медного провода, вращается с угловой скоростью (о = = 300 рад/с вокруг своей оси. Через скользящие контакты катушка подключена к баллистическому гальванометру. Общее сопротивление всей цепи R = 21 Ом. Найти удельный заряд носителей тока в меди, если при резком затормаживании катушки через гальванометр проходил заряд q = 10 нКл.

3.207. Найти суммарный импульс электронов в прямом проводе длины / = 1000 м, по которому течет ток / = 70 А.

3.208.. По медному проводу течет ток плотности / = 1,0 А/мм². Считая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, оценить, какой путь пройдет электрон, переместившись вдоль провода на расстояние / = 10 мм.

3.209. По прямому медному проводу длины / = 1000 м и сечением S = 1,0 мм² течет ток / = 4,5 А. Считая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, найти:

а) время, за которое электрон переместится от одного конца провода до другого;

б) сумму электрических сил, действующих на все свободные электроны в данном проводе.

3.210. Однородный пучок протонов, ускоренных разностью потенциалов U = 600 кВ, имеет круглое сечение радиуса г = 5,0 мм. Найти напряженность электрического поля на поверхности пучка и разность потенциалов между поверхностью и осью пучка при токе / = 50 мА.

3.211. Две большие параллельные пластины находятся в вакууме. Одна из пластин служит катодом — источником электронов, начальная скорость которых пренебрежимо мала. Электронный поток, направленный к противоположной пластине, создает в пространстве объемный заряд, вследствие чего потенциал в зазоре между пластинами меняется по закону ф = ах*Р, где а — положительная постоянная, х — расстояние от катода. Найти:

а) объемную плотность пространственного заряда в зависимости от х;

б) плотность тока.

3.212. Воздух между двумя параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на расстояние d = 20 мм, ионизируют рентгеновским излучением. Площадь каждой пластины S = 500 см². Найти концентрацию положительных ионов, если при напряжении U = 100 В между пластинами идет ток / = 3,0 мкА, значительно меньший тока насыщения. Подвижность ионов воздуха и% = = 1,37 см²/(В-с) и «о = 1,91 см²/(В-с).

3.213. Газ ионизируют непосредственно у поверхности плоского, электрода 1 (рис. 3.58), отстоящего от электрода 2 на расстояние /.

127

Между электродами приложили переменное напряжение, изменяющееся со временем t по закону U = U₀ sin at. Уменьшая частоту со, обнаружили, что гальванометр Г показывает ток только при ^ю < ^о, где со₀ — некоторая граничная частота. Найти подвижность ионов, достигающих при этих условиях .7 I ^ электрода 2.

j 3.214. Воздух между двумя близко распо-

- -1 ложенными пластинами равномерно ионизи-

I . J_ руют ультрафиолетовым излучением. Объем I С ЛГ воздуха между пластинами V — 500 см³, на-блюдаемый ток насыщения /_нас = 0,48 мкА.

-о[/ о-1 Найти:

а) число пар ионов, создаваемых иони-Рис. 3.58. затором за единицу времени в единице

объема;

б) равновесную концентрацию пар ионов, если коэффициент рекомбинации ионов воздуха г — 1,67-10"⁶ см³/с. I

3.215. Длительно действовавший ионизатор, создававший за единицу времени в единице объема воздуха число пар ионов щ = = 3,5• 10⁹ см~³*с^-1, был выключен. Считая, что единственным процессом потери ионов в воздухе является рекомбинация с коэффициентом г = £,67-10"⁶ см³/с, найти, через какое время после выключения ионизатора концентрация ионов уменьшится в Л = 2,0 раза.

3.216. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d = 5,0 мм, зарядили до разности потенциалов U = 90 В и отключили от источника напряжения. Найти время, за которое напряжение на конденсаторе уменьшится на тг\ = 1,0%, имея в виду, что в воздухе при обычных условиях в среднем образуется за единицу времени в единице объема число пар ионов hi = = 5,0 см^-3-с^-1 и что данное напряжение соответствует току насыщения.

3.217. Между двумя плоскими пластинами конденсатора, отстоящими друг от друга на расстояние d, находится газ. Одна из пластин эмиттирует ежесекундно v₀ электронов, которые, двигаясь в электрическом поле, ионизируют молекулы газа так, что каждый электрон создает на единице длины своего пути а новых электронов (и ионов). Найти электронный ток у противоположной пластины, пренебрегая ионизацией молекул газа образующимися ионами.

3.218. Газ между пластинами конденсатора, отстоящими друг от друга на расстояние d, равномерно ионизируют ультрафиолетовым излучением так, что ежесекундно в единице объема создается щ электронов. Последние, двигаясь в электрическом поле конденсатора, ионизируют молекулы газа, причем каждый электрон создает на единице длины своего пути а новых электронов (и ионов). Пренебрегая ионизацией ионами, найти плотность электронного тока у пластины с большим потенциалом.

128

3.5. Постоянное магнитное поле. Магнетики

ф Магнитное поле точечного заряда q, движущегося с нерелятивистской скоростью v:

ф Закон Био—Савара:

dZ^M-dV_x dE-Jg-a^il. ₍₃.5б)

0 Циркуляция вектора В и теорема Гаусса дтя него:

§Bdr = n₀/, ф В dS = 0. (3.5в)

ф Сила Лоренца:

F = c/E + qi[vB]. (3.5г)

ф Сила Ампера:

dF = [jB]dl/. d? = I\d\, В]. (3.5д) 0 Сила и момент сил, действующие на магнитный диполь p_m — ISa:

F = Pm-^-, N = Ip_MBl. (3.5е)

где дВ/дл —производная вектора В по направлению диполя, ф Циркуляция намагниченности J:

§Jdr = /\ (3.5ж)

где /'—суммарный молекулярный ток. ф Вектор Н и его циркуляция:

'н = — -J, &Hrfr = /, (35з)

Но ^J

где / — алгебраическая сумма макроскопических токов. ф Условия иа границе раздела двух магнетиков:

Bm=B_in, Н_1Х = Н„. (3.5и)

ф Для магнетиков, у которых J=XH:

В = ци₀Н, ц=1+Х. (3.5к)

3.219. По круговому витку радиуса R = 100 мм из тонкого провода циркулирует ток / = 1,00 А. Найти магнитную индукцию:

а) в центре витка;

б) на оси витка в точке, отстоящей от его центра на х = 100 мм.

3.220. Ток / течет по тонкому проводнику, который имеет вид правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R. Найти магнитную индукцию в центре данного контура. Исследовать полученное выражение при п-*- со.

3.221. Найти индукцию магнитного поля в центре контура, имеющего вид прямоугольника, если его диагональ d = 16 см, угол между диагоналями ср = 30° и ток в контуре / = 5,0 А.

б И. Е. Иродов 129

3.222. Ток / =-5,0 А течет по тонкому проводнику, изогнутому, как показано на рис. 3.59. Радиус изогнутой части проводника R = 120 мм, угол 2ср = 90°. Найти индукцию магнитного поля в точке О.

Рис. 3.59. Рис. 3.60.

3.223. Найти индукцию магнитного поля в точке О контура с током /, который показан: '

а) на рис. 3.60, а; радиусы а и Ъ, а также угол ф известны;

б) на рис. 3.60, б; радиус а и сторона Ъ известны.

3.224. Ток / течет вдоль длинной тонкостенной трубы радиуса R, имеющей по всей длине продольную прорезь ширины h. Найти индукцию магнитного поля внутри трубы при условии h ^R.

3.225. Ток / течет по длинному прямому проводнику, сечение которого имеет форму тонкого полукольца радиуса R (рис. 3.61). Найти индукцию магнитного поля в точке О.

Рис. 3.61. Рис. 3.62.

3.226. Определить индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током / имеет вид, показанный на рис. 3.62: а, б, в. Радиус изогнутой части проводника равен R, прямолинейные участки проводника предполагаются очень длинными.

3.227. Очень длинный проводник с током / = 5,0 А изогнут в форме прямого угла. Найти индукцию магнитного поля в точке, которая отстоит от плоскости проводника на / = 35 см и находится на перпендикуляре к проводникам, проходящем через точку изгиба.

3.228. Найти индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током / = 8,0 А имеет вид, показанный на рис. 3.63: а, б, в.

130

Радиус изогнутой части проводника R = 100 мм, прямолинейные участки проводника очень длинные.

3.229. Определить модуль и направление вектора В магнитного поля:

а) безграничной плоскости, По которой течет ток с линейной плотностью i, одинаковой во всех точках плоскости;

б) двух параллельных безграничных плоскостей, по которым текут токи с линейными плотностями in —i, одинаковыми во всех точках каждой плоскости.

3.230. Однородный ток плотности / течет внутри неограниченной пластины толщины 2d параллельно ее поверхности. Найти индукцию магнитного поля этого тока как функцию расстояния х от средней плоскости пластины. Магнитную проницаемость всюду считать равной единице.

3.231. Постоянный ток / течет по длинному прямому проводу. Из точки О (рис. 3.64) он растекается радиально-симметрично по безграничной проводящей плоскости, перпендикулярной к проводу. Найти индукцию магнитного поля во всех точках пространства.

3.232. Имеется круговой виток с током /. Найти интеграл \ В dt вдоль оси витка в пределах от—со до -f со. Объяснить полученный результат.

3.233. По круглому однородному прямому проводу, радиус сечения которого R, течет постоянный ток плотности j. Найти вектор индукции магнитного поля этого тока в точке, положение которой относительно оси провода определяется радиус-вектором г. Магнитную проницаемость всюду считать равной единице.

3.234. Внутри однородного длинного прямого провода круглого сечения имеется круглая длинная цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно последней

Рис. 3.64.

б*

131

на расстояние I. По проводу течет постоянный ток плотности j. Найти вектор индукции магнитного поля внутри полости. Рассмотреть, в частности, случай 1 = 0.

3.235. Найти плотность тока как функцию расстояния г от оси аксиально-симметричного параллельного потока электронов, если, индукция магнитного поля внутри потока зависит от г как В = Ьг™, где b и а — положительные постоянные.

3.236. Однослойная катушка (соленоид) имеет длину / и радиус сечения R. Число витков на единицу длины п. Найти индукцию магнитного поля в центре катушки при пропускании через нее тока /.

3.237. Очень длинный прямой соленоид имеет радиус сечения R и п витков на единицу длины. По соленоиду течет постоянный ток /. Пусть х — расстояние, отсчитываемое вдоль оси соленоида от его торца. Найти:

а) индукцию магнитного поля на оси как функцию х; изобразить примерный график зависимости индукции В от отношения x/R;

б) расстояние х₀ до точки на оси, в которой индукция поля отличается от индукции в глубине соленоида на tj = 1%.

3.238. Обмоткой очень длинного прямого соленоида с радиусом сечения R = 2,5 см служит тонкая лента-проводник шириной h = 2,0 см, намотанная в один слой практически вплотную. По ленте течет постоянный ток / = 5,0 А. Найти индукцию магнитного поля внутри и вне соленоида как функцию расстояния г от его оси.

3.239. На деревянный тороид малого поперечного сечения намотано равномерно N = 2,5 • 10³ витков провода, по которому течет ток /. Найтн отношение ц индукции магнитного поля внутри тороида к индукции магнитного поля в центре то-роида.

3.240. Постоянный ток / = 10 А течет по длинному прямому проводнику круглого сечения. Найти магнитный поток через одну

из половин осевого сечения проводника в расчете на один метр его длины.

3.241. Имеется очень длинный прямой соленоид с током /. Площадь поперечного сечения соленоида равна S, число витков на единицу длины — п. Найти поток вектора В через торец соленоида.

3.242. На рис. 3.65 показан кольцевой соленоид прямоугольного сечения.

Найти магнитный поток через это сечение, если ток в обмотке / = 1,7 А, полное число витков N = 1000, отношение внешнего диаметра к внутреннему rj = 1,6 и толщина h = 5,0 см.

3.243. Найти магнитный момент тонкого кругового витка с током, если радиус витка R = 100 мм и индукция магнитного поля в его центре В = 6,0 мкТ.

_т

Рис. 3.65.

132

3.244. Вычислить магнитный момент тонкого проводника с током / = 0,8 А, плотно навитого на половину тора (рис. 3.66). Диаметр сечения тора d = 5,0 см, число витков N = 500.

3.245. Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль из N = 100 плотно расположенных витков, по которым течет ток

Рис. 3.66.

Рис. 3.67.

/ = 8 мА. Радиусы внутреннего и внешнего витков (рис. 3.67) равны а = 50 мм, b = 100 мм. Найти:

а) индукцию магнитного поля в центре спирали;

б) магнитный момент спирали при данном токе.

3.246. Непроводящий тонкий диск радиуса R, равномерно заряженный с одной стороны с поверхностной плотностью а, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью со. Найти:

а) индукцию магнитного поля в центре диска;

б) магнитный момент диска.

3.247. Непроводящая сфера радиуса R = 50 мм, заряженная равномерно с поверхностной плотностью с = 10,0 мкКл/м^г, вращается с угловой скоростью со = 70 рад/с вокруг оси, проходящей через ее центр. Найти магнитную индукцию в центре сферы.

3.248. Заряд q равномерно распределен по объему однородного шара массы т и радиуса R, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью со. Найти соответствующий магнитный момент и его отношение к механическому моменту.

3.249. Длинный диэлектрический цилиндр радиуса R статически поляризован так, что во всех его точках поляризованность Р = = аг, где а — положительная постоянная, г — расстояние от оси. Цилиндр привели во вращение вокруг его оси с угловой скоростью со. Найти индукцию В магнитного поля в центре цилиндра.

3.250. Два протона движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью v = 300 км/с. Найти отношение сил магнитного и электрического взаимодействия данных протонов.

3.251. Найти модуль и направле- ^а) $) ние вектора силы, действующей на Рис. 3.68.

единицу длины тонкого проводника

с током / == 8,0 А в точке О, если проводник изогнут, как показано: а) на рис. 3.68, а, и радиус закругления = 10 см;

13»

Рис. 3.69.

У//////Л

б) на рис. 3.68, б, и расстояние между длинными параллельными друг другу участками проводника / = 20 см.

3.252. Катушку с током / = 10 мА поместили в однородное магнитное поле так, что ее ось совпала с направлением поля. Обмотка катушки однослойная из медного провода диаметром d = 0,10 мм, радиус витков R = 30 мм. При каком значении индукции внешнего поля обмотка катушки может быть разорвана?

3.253. Медный провод сечением S = 2,5 мм², согнутый в виде трех сторон квадрата, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси 00' (рис. 3.69). Провод находится в однородном вертикально направленном магнитном поле. Найти индукцию поля, если при пропускании по данному проводу тока / = 16 А угол отклонения ■& = 20^ч. 3.254. Укрепленную на конце коромысла весов небольшую катушку К с числом витков N = 200 поместили в зазор между полюсами магнита, как показано на рис. 3.70. Площадь сечения катушки S = 1,0 см², длина плеча OA коромысла / = 30 см. В отсутствие

тока через катушку весы уравновешены. После того как через катушку пустили ток 1 — 22 мА, для восстановления равновесия пришлось изменить груз на чаше весов на Am = = 60 мг. Найти индукцию магнитного поля в месте нахождения катушки.

3.255. Квадратная рамка с током / = 0,90 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течет ток /„ = = 5,0 А. Сторона рамки а — 8,0 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстояние, которое в rj = 1,5 раза больше стороны рамки. Найти:

а) амперову силу, действующую на рамку;

б) механическую работу, которую нужно совершить для поворота рамки вокруг ее оси на 180°, если токи поддерживают неизменными.

^3^256.._Два длинных параллельных провода с пренебрежимо малым сопротивлением замкнуты с одного конца на некоторое сопротивление R, а с другого конца подключены к источнику постоянного напряжения. Расстояние между осями проводов в т| = 20 раз больше радиуса сечения каждого провода. При каком значении сопротивления R результирующая сила взаимодействия между проводами обратится в нуль?

3.257. Постоянный ток / течет по длинному прямому проводнику, сечение которого имеет форму тонкого полукольца радиуса R. Такой же ток течет в противоположном направлении по тонкому

777777777,

Рис. 3.70.

«34

проводнику, расположенному на «оси» первого проводника (точка О на рис. 3.61). Найти силу магнитного взаимодействия данных проводников в расчете на единицу их длины.

3.258. По двум длинным тонким параллельным проводникам, вид которых показан на рис. 3.71, текут постоянные токи /_L и /₂. Расстояние между проводниками а, ширина правого проводника Ь. Имея в виду, что оба проводника лежат в одной плоскости, найти силу магнитного взаимодействия между ними в расчете на единицу их длины.

3.259. Система состоит из двух параллельных друг другу плоскостей с токами, которые создают между плоскостями однородное магнитное поле с индукцией В. Вне этой области магнитное поле отсутствует. Найти магнитную силу, действующую на единицу поверхности каждой плоскости.

3.260. Проводящую плоскость с током поместили во внешнее однородное магнитное поле. В результате индукция магнитного Поля с одной стороны плоскости оказалась В_ъ а с другой стороны В₂. Найти магнитную силу, действующую на единицу поверхности плоскости в случаях, показанных на рис. 3.72. Выяснить, куда направлен ток в плоскости в каждом случае.

Рис. 3.71.

В,

В; B_Z

а)

Рис. 3.72.

3.261. В электромагнитном насосе для перекачки расплавленного металла участок трубы с металлом находится в однородном магнитном поле с индукцией В (рис. 3.73). Через этот участок трубы в перпендикулярном к вектору В и оси трубы направлении пропускают ток /. Найти избыточное давление, создаваемое насосом при В = 0,10 Т, / = 100 А и а = 2,0 см.

3.262. Вдоль длинного тонкостенного круглого цилиндра радиуса R течет ток /. Какое давление испытывают стенки цилиндра?

3.263. Какое давление испытывает боковая поверхность длинного прямого соленоида, содержащего п витков на единицу длины, когда по нему течет ток /?

Рис. 3.73.

135

3.264. Ток / течет по длинному однослойному соленоиду, радиус сечения которого равен R. Число витков на единицу длины соленоида п. Найти предельную силу тока, при которой может наступить разрыв обмотки, если предельная нагрузка на разрыв проволоки обмотки равна F_np.

3.265. Плоский конденсатор, площадь каждой пластинки которого S и расстояние между ними d, поместили в поток проводящей жидкости с удельным сопротивлением р. Жидкость движется с постоянной скоростью v параллельно пластинам. Система находится в, однородном магнитном поле с индукцией В, причем вектор В параллелей пластинам и перпендикулярен к направлению потока. Пластины конденсатора замкнули на внешнее сопротивление R. Какая мощность выделяется на этом сопротивлении? При каком значении R выделяемая мощность будет максимальной? Чему равна последняя?

3.266. Вдоль медного прямого проводника круглого сечения радиуса R = 5,0 мм течет ток / == 50 А. Найти разность потенциалов между осью проводника и его поверхностью. Концентрация электронов проводимости у меДи п = 0,9-10²³ см""³.

3.267. При измерении эффекта Холла в натриевом проводнике напряженность поперечного поля оказалась Е = 5,0 мкВ/см при плотности тока / = 200 А/см² и индукции магнитного поля В = = 1,00 Т. Найти концентрацию электронов проводимости и ее отношение к концентрации атомов в данном проводнике.

3.268. Найти подвижность электронов проводимости в медном проводнике, если при измерении эффекта Холла в магнитном поле с индукцией В = 100 мТ напряженность поперечного электрического поля у данного проводника оказалась в tj = 3,1-10³ раз меньше напряженности продольного электрического поля.

3.269. Небольшой виток с током находится на расстоянии г от длинного прямого проводника с током /. Магнитный момент витка равен р_т. Найти модуль и направление вектора силы, действующей на виток, если вектор р_т:

а) параллелен прямому проводнику;

б) направлен по радиус-вектору г;

в) совпадает по направлению с магнитным полем тока / в месте расположения витка.

3.270. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент р_т, находится на оси кругового витка радиуса R, по которому течет ток /. Найти модуль вектора силы, действующей на катушку, если ее расстояние от центра витка равно х, а вектор р_т совпадает по направлению с осью витка.

3.271. Найти силу взаимодействия двух катушек с магнитными моментами р_ш = 4,0 мА-м² и р_2п = 6,0 мА-м², если их оси лежат на одной прямой и расстояние между катушками, равное I = 20 см,

. значительно превышает их линейные размеры.

3.272. Постоянный магнит имеет форму достаточно тонкого диска, намагниченного вдоль его оси. Радиус диска R = 1,0 см.

136

Рис. 3.74.

Оценить значение молекулярного тока /', текущего по ободу диска, если индукция магнитного поля на оси диска в точке, отстоящей на х — 10 см от его центра, составляет В = 30 мкТ.

3.273. Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской поверхности однородного изотропного магнетика равна В, причем вектор В составляет угол а с нормалью к поверхности. Магнитная проницаемость магнетика равна и.. Найти модуль вектора индукции В' магнитного поля в магнетике вблизи поверхности.

3.274. Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской поверхности магнетика равна В, и вектор В составляет угол ■& с нормалью п к поверхности (рис. 3.74). Магнитная проницаемость магнетика равна и.. Найти:

а) поток вектора Н через поверхность сферы S радиуса R, центр которой лежит на поверхности магнетика;

б) циркуляцию вектора В по квадратному контуру Г со стороной /, расположенному, как показано на рисунке.

3.275. Постоянный ток / течет вдоль длинного однородного цилиндрического провода круглого сэчения. Провод сделан из парамагнетика с магнитной восприимчивостью y_v. Найти:

а) поверхностный молекулярный ток Г_лов;

б) объемный молекулярный ток Г_об.

Как эти токи направлены друг относительно друга?

3.276. Бесконечно длинный прямой соленоид с током «наполовину» заполнен магнетиком, как показано на рис. 3.75. Изобразить примерные графики магнитной индукции В, напряженности Я и магнитной поляризованное™ J на оси

соленоида в зависимости от х.

3.277. Прямой бесконечно длинный проводник с током / лежит в плоскости раздела двух непроводящих сред с магнитными проницаемо-

стями ii_t и р^. Найти модуль вектора индукции магнитного поля во всем пространстве в зависимости от расстояния г до провода. Иметь в виду, что линии вектора В являются окружностями с центром на оси проводника.

3.278. Круговой контур с током лежит на плоской границе раздела вакуума и магнетика. Проницаемость последнего равна \i. Найти индукцию В магнитного поля в произвольной точке на оси контура, если индукция поля в этой точке в отсутствие магнетика равна В₀. Обобщить полученный результат на все точки поля.

3.279. Если шар из однородного магнетика поместить во внешнее однородное магнитное поле с индукцией В„, он намагнитится

—О

Рис. 3.75.

137

однородно. Найти индукцию В внутри шара с магнитной проницаемостью ц, имея в виду, что в случае однородно намагниченного шара магнитное поле внутри него является однородным и его напряженность Н' = —J/3, где J — магнитная поляризованность.

3.280. На постоянный магнит, имеющий форму цилиндра длины / = 15 см, намотали равномерно N = 300 витков тонкого провода. При пропускании по нему тока / — 3,0 А поле вне магнита исчезло. Найти коэрцитивную силу Н_с материала, из которого изготовлен магнит.

3.281. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между полюсами. Средний диаметр кольца d = 20 см. Ширина зазора b = 2,0 мм, индукция магнитного поля в зазоре В — 40 мТ. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти модуль вектора напряженности магнитного поля внутри магнита.

3.282. На железном сердечнике в виде тора со средним радиусом R — 250 мм имеется обмотка с общим числом витков N = 1000. В сердечнике сделана поперечная прорезь шириной b = 1,00 мм. При токе / = 0,85 А через обмотку индукция магнитного поля в зазоре В = 0,75 Т. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти магнитную проницаемость железа в этих условиях.

3.283. На рис. 3.76 показана основная кривая намагничения технически чистого железа. Построить с помощью этого графика

1,5

0,5

Основная кривая намагничения технически чистого железа

0 0,1 0,2 0,5 0,4 0,5 0,6 Н,кА/Н

Рис. 3.76.

кривую зависимости магнитной проницаемости у. от напряженности Н магнитного поля. При каком значении Я проницаемость максимальна? Чему равно ц_макс?

13S

3.284. Тонкое железное кольцо со средним диаметром d = 56 см несет на себе обмотку из N = 800 витков с током / = 3,0 А. В кольце имеется поперечная прорезь шириной b = 2,0 мм. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти с помощью графика (см. рис. 3.76) магнитную проницаемость железа в этих условиях.

3.285. Длинный тонкий цилиндрический стержень из парамагнетика с магнитной восприимчивостью % и площадью поперечного сечения S расположен вдоль оси катушки с током. Один конец стержня находится в центре катушки, где индукция магнитного поля равна В, а другой конец — в области, где магнитное поле практически отсутствует. С какой силой катушка — действует на стержень? S^-^CZi

3.286. В установке (рис. 3.77) измеряют с помощью весов силу, с которой парамагнитный шарик объема V = 41 мм³ притягивается к полюсу электромагнита М. Индукция магнитного поля на оси полюсного наконечника зависит от высоты х как В = Вое-"', где В₀ = 1,50 Т, а = 100 м~². Найти:

а) на какой высоте х_т надо поместить шарик, Рис. 3.77, чтобы сила притяжения была максимальной;

б) магнитную восприимчивость парамагнетика, если максимальная сила притяжения F_MaKC = 160 мкН.

3.287. Небольшой шарик объема V из парамагнетика с магнитной восприимчивостью % медленно переместили вдоль оси катушки с током из точки, где индукция магнитного поля равна В, в область, где магнитное поле практически отсутствует. Какую при этом совершили работу?

3.6. Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла

ф Закон электромагнитной индукции Фарадея:

(3-ба)

ф В случае соленоида и тороида:

i, (3.66)

где N — число витков, Ф_г — магнитный поток через каждый виток, ф Индуктивность соленоида:

L = nn₀nW. (З.бв)

ф Собственная энергия тока и взаимная энергия двух токов:

^ = ^~, W₁₂ = L₁₂hI₂. <3.6r)

ф Объемная плотность энергии магнитного поля:

£² ВН ,_ч „ .

139

Плотность тока смещения:

!см^:

⁼ дГ

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

дВ

VXE—^

VB = V D =

= 0,

(З.бе)

(З.бж)

где VX = rot (ротор) и V-sdiv (дивергенция).

ф Формулы преобразования полей при переходе от /("-системы отсчета к движущейся по отношению к ней со скоростью v₀ /С'-системе.

При о₀<с

E'=»E + [v₀B], B' = B-[v₀E]/c3.

В общем случае

^Ei' = ^E||, ^B|i^=BlU

Е_±+1уоВ] _ B₁-[v₀E]/c2

(З.бз)

_ _ ,, , „ ₉

в:

(З.би)

где символами || и 1 отмечены составляющие полей, параллельные и перпендикулярные к вектору v₀.

3.288. Провод, имеющий форму параболы у = ах², находится в однородном магнитном поле с индукцией В, причем вектор В перпендикулярен к плоскости х, у. Из вершины параболы в момент t = 0 начинают перемещать поступательно перемычку с постоянным ускорением w (рис. 3.78). Найти э. д. с. индукции в образовавшемся контуре как функцию у.

Ri R

_4-

Рис. 3.79.

3.289. Прямоугольный контур со скользящей перемычкой длины / находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости контура (рис. 3.79). Индукция поля равна В. Перемычка имеет сопротивление R, стороны АВ и CD —- сопротивления Я_г и R₂. Пренебрегая самоиндукцией контура, найти ток в перемычке при ее поступательном перемещении с постоянной скоростью v.

3.290. Металлический диск радиуса а = 25 см вращают с постоянной угловой скоростью со = 130 рад/с вокруг его оси. Найти разность потенциалов между центром и ободом диска, если:

140

а) внешнего магнитного поля нет;

б) имеется перпендикулярное к диску внешнее однородное магнитное поле с индукцией В = 5,0 мТ.

3.291. Тонкий проводник АС, изогнутый в форме полуокружности диаметра d = 20 см, вращают с постоянной угловой скоростью со = 100 рад/с в однородном магнитном поле с индукцией В = 5,0 мТ так, что to \\ В. Ось вращения проходит через конец А проводника и перпендикулярна к прямой АС (диаметру). Найти значение линейного интеграла \ Е dr вдоль проводника от точки А до точки С. Полученный результат обобщить.

3.292. Проволочный контур, ограничивающий полукруг радиуса а, находится на границе однородного магнитного поля с индукцией В (рис. 3.80). В момент t = 0 контур начинают вращать с постоянным угловым ускорением В вокруг оси О, совпадающей с линией вектора В на границе поля. Найти э. д. с. индукции в контуре как функцию времени t. Изобразить примерный график этой зависимости. Положительным направлением для э. д. с. считать то, которое показано стрелкой на рисунке.

Рис. 3.80. Рис. 3.8 J.

3.293. Длинный прямой проводник с током / и П-образный проводник с подвижной перемычкой расположены в одной плоскости, как показано на рис. 3.81. Перемычку, длина которой / и сопротивление R, перемещают вправо с постоянной скоростью v. Найти ток, индуцируемый в контуре, как функцию

расстояния г между перемычкой и прямым проводником. Сопротивление П-образного проводника и самоиндукция контура пренебрежимо малы. / _^

3.294. Квадратная рамка со стороной а я t I 'if длинный прямой провод с током / находятся в одной плоскости, как показано на рис. 3.82. Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью v. Найти э. д. с. индук- ^Рис- ³-⁸²-

ции в рамке как функцию расстояния х.

3.295. Металлический стержень массы т может вращаться вокруг горизонтальной оси О, скользя по кольцевому проводнику радиуса а (рис. 3.83). Система находится в однородном магнитном

	а

141

поле с индукцией В, направленном перпендикулярно к плоскости кольца. Ось и кольцо подключены к источнику э. д. с, образуя цепь с сопротивлением R. Пренебрегая трением, индуктивностью^ цепи и сопротивлением кольца, найти, по какому закону должна

изменяться э. д. с. источника, что-r-оёо-, бы стержень вращался с постоян-

ной угловой скоростью со.

Рис. 3.83.

Рис. 3.84.

а.

3.296. По двум гладким медным шинам, установленным под углом а к горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массы т (рис. 3.84). Вверху шины замкнуты на сопротивление R. Расстояние между шинами /. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном к плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивления шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Найти установившуюся скорость перемычки.

3.297. Система отличается от рассмотренной в предыдущей задаче (см. рис. 3.84) лишь тем, что вместо сопротивления R к концам шин подключен конденсатор емкости С. Найти ускорение перемычки.

3.298. Провод, согнутый в форме полуокружности радиуса а, вращают вокруг оси 00' с угловой скоростью со в однородном магнитном поле с индукцией В (рис. 3.85). Ось вращения перпендикулярна к направлению поля. Сопротивление всей цепи равно R. Пренебрегая магнитным полем индуцируемого тока, найти среднее за период вращения значение тепловой мощности, выделяемой в контуре.

3.299. Между полюсами электромагнита находится небольшая катушка, ось которой совпадает с направлением магнитного поля. Площадь поперечного сечения катушки S = 3,0 мм², число витков N = 60. При повороте катушки на 180° вокруг ее диаметра через подключенный к ней баллистический гальванометр протекает заряд q = 4,5 мкКл. Найти модуль вектора индукции магнитного поля между полюсами, если полное сопротивление электрической цепи R = 40 Ом.

со

Рис. 3.85.

142

3.300. Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой проводник с постоянным током / лежат в одной плоскости (рис. 3.86). Индуктивность и сопротивление рамки равны L и R. Рамку повернули на 180° вокруг оси 00', отстоящей от проводника с током на расстояние Ь. Найти количество электричества, протекшее в рамке.

I	г-3
	*~и	b
а

Рис. З.В6.

Рис. 3.87.

3.301. Имеется длинный прямой проводник с током /₀. На расстояниях а и Ь от него расположены два параллельных ему провода, замкнутых на одном конце сопротивлением R (рис. 3.87). По проводам без трения перемещают с постоянной скоростью v стержень-перемычку. Пренебрегая сопротивлением проводов, стержня и скользящих контактов, найти:

а) значение и направление индукционного тока в стержне;

б) силу, необходимую для поддержания постоянства скорости стержня.

3.302. Проводник АВ массы т скользит без трения по двум длинным проводящим рельсам, расположенным на расстоянии / друг от друга (рис. 3.88). На левом конце рельсы замкнуты сопротивлением R. Система находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости контура. В момент t = 0 стержню АВ сообщили вправо начальную скорость v₀. Пренебрегая сопротивлением рельсов и стержня АВ, а также самоиндукцией, найти:

а) расстояние, пройденное стержнем до остановки;

б) количество тепла, выделенное при этом на сопротивлении R.

■F

Рис. 3.89.

З.ЭОЗ. По П-образному проводнику, расположенному в горизонтальной плоскости, может скользить без трения перемычка АВ (рис. 3.89). Последняя имеет длину /, массу т и сопротивление R. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, направленном вертикально. В момент t = 0 на перемычку начали действовать постоянной горизонтальной силой F, и иеремычка

143

начала перемещаться поступательно вправо. Найти зависимость от времени t скорости перемычки. Индуктивность контура и сопротивление П-образного проводника пренебрежимо малы.

3.304. На рис. 3.90 показаны плоские контуры из тонких проводов, находящиеся в однородном магнитном поле, которое направлено

Рис. 3.90.

за плоскость рисунка. Индукцию поля начали уменьшать. Найти направление индукционных токов в этих контурах.

3.305. Плоский контур (рис. 3.91), имеющий вид двух квадратов со сторонами а = 20 см и Ь = 10 см, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к его /\ плоскости. Индукция поля меняется во вре-

/ \. {, мени по закону В = sin at, где В₀ — 10 мТ / \/ \ и со = 100 рад/с. Найти амплитуду индук-

>. ционного тока в контуре, если сопротивление

N. / единицы длины его р = 50 мОм/м. Индук-

тивностью контура пренебречь. Рис. 3.9). 3.306. Плоская спираль с очень большим

числом витков N, плотно прилегающих друг к другу, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости спирали. Наружный радиус витков спирали равен а. Индукция поля изменяется во времени по закону В = = В₀ sin со*, где В₀ и со — постоянные. Найти амплитудное значение э. д.с. индукции, наводимой в спирали.

3.307. П-образный проводник находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости проводника и изменяющемся во времени со скоростью В = 0,10 Т/с. Вдоль параллельных сторон этого проводника перемещают без начальной скорости проводник-перемычку с ускорением w = 10 см/с^г. Длина перемычки / = 20 см. Найти э. д. с. индукции в контуре через t — 2,0 с после начала перемещения, если в момент t = 0 площадь контура и индукция магнитного поля равны нулю. Индуктивностью контура пренебречь.

3.308. В длинном прямом соленоиде с радиусом сечения а и числом витков на единицу длины п изменяют ток с постоянной скоростью / А/с. Найти модуль вектора напряженности вихревого электрического поля как функцию расстояния г от оси соленоида. Изобразить примерный график этой зависимости.

3.309. На длинный прямой соленоид, имеющий диаметр сечения d" = 5 см и содержащий п = 20 витков на один сантиметр длины,

144

плотно надет круговой виток из медного провода сечением S = — 1,0 мм³. Найти ток в витке, если ток в обмотке соленоида увеличивают с постоянной скоростью / = 100 А/с. Индуктивностью витка пренебречь.

3.310. На длинный соленоид с радиусом сечения а плотно надето тонкое проволочное кольцо в изоляции, причем одна половина кольца имеет сопротивление в ч\ раз больше, чем другая. Индукция магнитного поля соленоида меняется во времени по закону В — Ы, где b — постоянная. Найти модуль вектора напряженности электростатического поля в кольце.

3.311. Непроводящее тонкое кольцо массы т, имеющее заряд q, может свободно вращаться вокруг своей оси. В начальный момент кольцо покоилось и магнитное поле отсутствовало. Затем включили практически однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости кольца, которое начало нарастать во времени по некоторому закону В (t). Найти угловую скорость <о кольца в зависимости от индукции В (/).

3.312. Тонкое проволочное кольцо, имеющее радиус а и сопротивление г, расположено внутри длинного соленоида так, что их оси совпадают. Длина соленоида⁴1, радиус сечения Ь. В некоторый момент соленоид подключили к источнику постоянного напряжения U. Полное сопротивление цепи равно R. Пренебрегая индуктивностью кольца, найти максимальное значение радиальной силы, действующей на единицу длины кольца.

3.313. Магнитный поток через неподвижный контур с сопротивлением R изменяется в течение времени т по закону Ф = at (т—/). Найти количество тепла, выделенное в контуре за это время. Индуктивностью контура пренебречь.

3.314. В середине длинного соленоида находится коаксиальное кольцо прямоугольного сечения из проводящего материала с удельным сопротивлением р. Толщина кольца h, его внутренний и внешний радиусы а и Ь. Найти индукционный ток в кольце, если индукция магнитного поля соленоида изменяется во времени по закону В = $t, где В — постоянная. Индуктивностью кольца пренебречь.

3.315. Сколько метров тонкого провода надо взять для изготовления соленоида длины /₀ = 100 см с индуктивностью L — 1,0 мГ, если диаметр сечения соленоида значительно меньше его длины?

3.316. Найти индуктивность соленоида длины /, обмоткой которого является медная проволока массы т. Сопротивление обмотки R. Диаметр соленоида значительно меньше его длины.

3.317. Катушку индуктивности L = 300 мГ и сопротивления R = 140 мОм подключили к источнику постоянного напряжения. Через сколько времени ток через катушку достигнет т] = 50% установившегося значения?

3.318. Вычислить постоянную времени х прямого соленоида длины / = 1,0 м, имеющего однослойную обмотку из медного провода массы т = 1,0 кг. Предполагается, что диаметр сечения соленоида значительно меньше его длины.

145

Примечание. Постоянной времени т называют отношениеL/R, где L — индуктивность, R — активное сопротивление.

3.319. Найти индуктивность единицы длины кабеля, представляющего собой два тонкостенных коаксиальных металлических цилиндра, если радиус внешнего цилиндра в tj = 3,6 раза больше, чем радиус внутреннего. Магнитную проницаемость среды между цилиндрами считать равной единице.

3.320. Определить индуктивность тороидального соленоида из N витков, внутренний радиус которого равен Ь, а поперечное сечение имеет форму квадрата со стороной а. Пространство внутри соленоида заполнено однородным парамагнетиком с магнитной проницаемостью р..

3.321. Вычислить индуктивность единицы длины двухпроводной ленточной линии (рис. 3.92), если расстояние между лентами к значительно меньше их ширины Ъ, а именно, b/h = 50. Рис. 3.92. 3.322. Найти индуктивность

единицы длины двухпроводной линии, если радиус каждого провода в г\ раз меньше расстояния между их осями. Полем внутри проводов пренебречь, магнитную проницаемость всюду считать равной единице и r\ ^> 1.

3.323. Сверхпроводящее круглое кольцо радиуса а, имеющее индуктивность L, находится в однородном магнитном поле с индукцией В. Плоскость кольца параллельна вектору В, и ток в кольце равен нулю. Затем плоскость кольца повернули на 90° в положение, перпендикулярное к полю. Найти:

а) ток в кольце после поворота; б) работу, совершенную при этом.

3.324. Ток /₀ = 1,9 А течет по длинному замкнутому соленоиду, проволока которого находится в сверхпроводящем состоянии. Найти ток в соленоиде после того, как его растянули, увеличив длину на ц = 5%.

3.325. Кольцо радиуса а = 50 мм из тонкой проволоки радиуса b = 1,0 мм поместили в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,50 мТ так, что плоскость кольца оказалась перпендикулярной к вектору В. Затем кольцо охладили до сверхпроводящего состояния и выключили магнитное поле. Найти ток в кольце после этого. Иметь в виду, что индуктивность тонкого кольца, вдоль которого течет поверхностный ток, L = {i₀a^lny — 2J.

3.326. Замкнутая цепь состоит из последовательно включенных источника постоянной э. д. с. <f и дросселя индуктивности L. Активное сопротивление всей цепи равно R. В момент t = 0 индуктивность дросселя скачком уменьшили в ц раз. Найти ток в цепи как функцию времени t.

146

Указание. При скачкообразном изменении индуктивности полный магнитный поток (потокосцепление) остается неизменным.

3.327. Найти закон изменения во времени тока, текущего через индуктивность L в схеме (рис. 3.93) после замыкания ключа К в момент t = 0.

Рис. 3.93. Рис. 3.94.

3.328. В схеме (рис. 3.94) известны э. д. с. ё источника, сопротивление R и индуктивности катушек L_x и L₂. Внутреннее сопротивление источника и сопротивления катушек пренебрежимо малы. Найти установившиеся токи в катушках после замыкания ключа К.

3.329. Вычислить взаимную индуктивность длинного прямого провода и прямоугольной рамки со сторонами а и Ь. Рамка и прямой провод лежат в одной плоскости, причем ближайшая к проводу сторона рамки длиной b параллельна проводу и отстоит от него на расстояние /.

3.330. Определить взаимную индуктивность тороидальной катушки и проходящего по ее оси бесконечного прямого провода. Катушка имеет прямоугольное сечение, ее внутренний радиус л, внешний Ь. Длина стороны поперечного сечения тора, параллельная проводу, равна h. Число витков катушки N. Система находится в однородном магнетике с проницаемостью \i.

3.331. Два концентрических тонких проводника в форме окружностей с радиусами а и b лежат в одной плоскости. Имея в виду, что а <^Ь, найти:

а) их взаимную индуктивность;

б) магнитный поток, который пронизывает поверхность, натянутую на внешний проводник, когда по внутреннему проводнику течет ток /.

3.332. Небольшой цилиндрический магнит М (рис. 3.95) находится в центре тонкой катушки радиуса а, состоящей из N витков. Катушка подключена к баллисти- р_Ис. 3.95. ческому гальванометру. Активное

сопротивление всей цепи равно R. Найти магнитный момент магнита, если при его удалении из катушки через гальванометр прошло количество электричества q.

147

3.333. Найти приближенную формулу для взаимной индуктивности двух тонких витков одинакового радиуса а, если оси витков совпадают, а их центры находятся друг от друга на расстояние /, причем / J> а.

3.334. Имеются два неподвижных контура с взаимной индуктивностью L₁₂. В одном из контуров начали изменять ток по закону I_t = at, где а — постоянная, t — время. Найти закон изменения тока /_г (t) в другом контуре, индуктивность которого L₂ и сопротивление R.

3.335. Катушка индуктивности L — 2,0 мкГ и сопротивления R — 1,0 Ом подключена к источнику постоянной э. д. с.

<э = 3,0 В (рис. 3.96). Параллельно катушке L,R включено сопротивление R₀ = 2,0 Ом. Найти

количество тепла, которое выделится в катушке после размыкания ключа К. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало.

3.336. На железный тор намотано N = = 500 витков. Найти энергию магнитного поля, „ , р если при токе / = 2,0 А магнитный поток через поперечное сечение тора Ф = 1,0 мВб. Рис. 3.96. 3.337. Железный сердечник, имеющий форму

тора с круглым сечением радиуса а = 3,0 см, несет на себе обмотку из Л⁷ = 1000 витков, по которой течет ток / = 1,0 А. Средний радиус тора b = 32 см. Найти с помощью рис. 3.76 магнитную энергию, запасенную в сердечнике, полагая напряженность поля Н одинаковой по всему сечению и равной его значению в центре сечения.

3.338. Тонкое кольцо из магнетика имеет средний диаметр d = — 30 см и несет на себе обмотку из N = 800 витков. Площадь поперечного сечения кольца S = 5,0 см^г. В кольце сделана поперечная прорезь ширины b = 2,0 мм. Когда по обмотке течет некоторый ток, магнитная проницаемость магнетика р, = 1400. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти:

а) отношение магнитной энергии в зазоре к магнитной энергии в магнетике;

б) индуктивность системы, причем двумя способами — через поток и через энергию.

3.339. Длинный цилиндр радиуса а, заряженный равномерно по поверхности, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью со. Найти энергию магнитного поля, приходящуюся на единицу длины цилиндра, если линейная плотность заряда цилиндра равна к и ц= 1.

3.340. При каком значении напряженности электрического поля в вакууме объемная плотность энергии этого поля будет такой же, как у магнитного поля с индукцией В = 1,0 Т (тоже в вакууме)?

3.341. Тонкое равномерно заряженное кольцо радиуса а = = 10 см вращается вокруг своей оси с угловой скоростью со = = 100 рад/с. Найти отношение объемных плотностей энергии маг

148

нитного и электрического полей на оси кольца в точке, отстоящей от его центра на расстояние / = а.

3.342. Исходя из выражения для объемной плотности магнитной энергии, показать, что работа, затрачиваемая на намагничивание единицы объема пара- или диамагнетика, А — —JB/2.

3.343. Две одинаковые катушки, каждая индуктивности L, соединяют а) последовательно, б) параллельно. Считая взаимную индуктивность катушек пренебрежимо малой, найти индуктивность системы в обоих случаях.

3.344. Два соленоида одинаковой длины и почти одинакового сечения вставлены полностью один в другой. Найти их взаимную индуктивность, если их индуктивности равны L_t и L₂.

3.345. Показать, что магнитная энергия взаимодействия двух контуров с токами, находящихся в вакууме, может быть представлена как W_B3 = (\/p₀)\fS₁R.,dV, где Bi и В₂ — индукции магнитного поля в элементе объема dV, создаваемые отдельно токами одного и другого контуров.

3.346. Найти энергию взаимодействия двух контуров с токами I_tи /₂, если оба контура имеют вид окружностей с радиусами а и b (а <! Ь), центры этих контуров находятся в одной точке и плоскости контуров составляют друг с другом угол

3.347. Пространство между двумя концентрическими металлическими сферами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением р и диэлектрической проницаемостью е. В момент t = 0 внутренней сфере сообщили некоторый заряд. Найти:

а) связь между векторами плотностей тока смещения и тока проводимости в произвольной точке среды в один и тот же момент;

б) ток смещения через произвольную замкнутую поверхность, расположенную целиком в среде и охватывающую внутреннюю сферу, если заряд этой сферы в данный момент равен q.

3.348. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между _;которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конден- * сатор зарядили и отключили от источника напряжения. Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.

3.349. Плоский воздушный конденсатор, площадь каждой пластины которого S = 100 см³, включен последовательно в цепь переменного тока. Найти амплитуду напряженности электрического поля в конденсаторе, если амплитуда синусоидального тока в подводящих проводах 1_т = 1,0 мА и частота тока со = 1,6 -10⁷ рад/с.

3.350. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью ст и диэлектрической проницаемостью е. Расстояние между обкладками d. Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряженность магнитного поля между обкладками на расстоянии г от их оси, если на конденсатор подано переменное напряжение U = U_m cos cot.

149

3.351. Длинный прямой соленоид имеет п витков на единицу длины. По нему течет переменный ток I = I_m sin со/. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния г от оси соленоида. Радиус сечения соленоида R.

3.352. Точечный заряд q движется с нерелятивистской скоростью v = const. Найти плотность тока смещения j_CM в точке, находящейся на расстоянии г от заряда на прямой:

а) совпадающей с траекторией заряда;

б) перпендикулярной к траектории и проходящей через заряд.

3.353. Кольцо радиуса а из тонкого провода, несущее заряд q, приближается к точке наблюдения Р так, что его центр движется прямолинейно с постоянной скоростью v. При этом плоскость кольца все время перпендикулярна к направлению его движения. На каком расстоянии х_т от точки Р будет находиться кольцо в момент, когда плотность тока смещения в точке Р окажется максимальной? Чему равно значение этого тока?

3.354. Точечный заряд q движется с нерелятивистской скоростью v = const. Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора Н" по пунктирной окружности (рис. 3.97), найти Н в точке А как функцию радиус-вектора г и скорости v заряда.

3.355. Доказать с помощью уравнений Максвелла, что:

а) переменное во времени магнитное поле не может существовать без электрического поля;

б) однородное электрическое поле не может существовать при наличии переменного во времени магнитного поля;

в) внутри полой области однородное электрическое (или магнитное) поле может быть переменным во времени.

3.356. Показать, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения электрического заряда, т. е. V-j = —dp/dt.

3.357. Показать, что уравнения Максвелла VxE = —dB/dt и V-B = О являются совместимыми, т. е. первое из них не противоречит второму.

3.358. В некоторой области инерциальной системы отсчета имеется вращающееся с угловой скоростью со магнитное поле, индукция которого равна В. Найти VX Е в этой области как функцию векторов со и В.

3.359. В инерциальной /С-системе отсчета имеется однородное чисто магнитное поле с индукцией В. Найти напряженность электрического поля в К' -системе, которая движется с нерелятивистской скоростью v относительно /С-системы, причем v J_ В. Для решения этого вопроса рассмотреть силы, действующие на воображаемый заряд в обеих системах отсчета в момент, когда скорость заряда в К'-системе равна нулю.

Рис. 3.97.

150

3.360. Большая пластина из неферромагнитного металла движется с постоянной скоростью v = 90 см/с в однородном магнитном поле с индукцией В = 50 мТ, как показано на рис. 3.98. Найти поверхностную плотность электрических зарядов, возникающих на пластине вследствие ее движения.

3.361. Длинный сплошной алюминиевый ~~{"///Ум~~&А

1 ^и

цилиндр радиуса а = 5,0 см вращают вокруг его оси в однородном магнитном поле с индукцией В = 10 мТ. Угловая скорость вращения со = 45 рад/с, причем to ff В. Пренебрегая магнитным полем возникающих зарядов, найти их объемную и поверхностную Рис. 3.98. плотности.

3.362. Нерелятивистский точечный заряд q движется с постоянной скоростью v. Найти с помощью формул преобразования полей индукцию В магнитного поля этого заряда в точке, положение которой относительно заряда определяется радиус-вектором г.

3.363. Показать с помощью формул (З.бз): если в инерциаль-ной /(-системе отсчета имеется только электрическое или только магнитное поле, то в любой другой инерциальной К' -системе будут существовать как электрическое, так и магнитное поле одновременно, причем Е' J_ В'.

3.364. В инерциальной /(-системе имеется только магнитное поле с индукцией В = b {ух —х])/(х² + у²), где b — постоянная, i и j — орты осей х и у. Найти напряженность Е' электрического поля в /('-системе, движущейся относительно /(-системы с нерелятивистской постоянной скоростью v = vk, к — орт оси г. Считать, что ось г' совпадает с осью г. Какой вид имеет поле Е'?

3.365. В инерциальной /(-системе имеется только электрическое поле с напряженностью Е = а (х\ + у])/(х² + у²), где а — постоянная, i и j — орты осей х и у. Найти индукцию В' магнитного поля в /('-системе, которая движется относительно /(-системы с нерелятивистской постоянной скоростью v = vk, к — орт оси г. Считать, что ось г' совпадает с осью г. Какой вид имеет поле В'?

3.366. Убедиться, что формулы преобразования (З.бз) следуют из формул (З.би) при v_Q <^ с.

3.367. В инерциальной /(-системе имеется только однородное электрическое поле с напряженностью Е = 8 кВ/м. Найти модуль и направление

а) вектора Е', б) вектора В' в инерциальной /('-системе, движущейся по отношению к /(-системе с постоянной скоростью v под углом а = 45° к вектору Е. Скорость /('-системы составляет 8 = 0,60 скорости света.

3.368. Решить задачу, отличающуюся от предыдущей лишь тем, что в /(-системе имеется не электрическое, а магнитное поле с индукцией В = 0,8 Т.

151

3.369. Электромагнитное поле имеет две инвариантные величины. Показать с помощью формул преобразования (З.би), что такими величинами являются:

а) ЕВ; б) Е^г — с²В².

3.370. В инерциальной /С-системе отсчета имеются два однородных взаимно перпендикулярных поля: электрическое напряженности Е = 40 кВ/м и магнитное с индукцией В = 0,20 мТ. Найти напряженность Е' (или индукцию В') поля в той К'-системе отсчета, где наблюдается только одно поле (электрическое или магнитное).

Указание. Воспользоваться инвариантами поля, приведенными в предыдущей задаче.

3.371. Точечный заряд q движется равномерно и прямолинейно с релятивистской скоростью, составляющей В-часть скорости света (В = v/c). Найти напряженность Е электрического поля этого заряда в точке, радиус-вектор которой относительно заряда равен г и составляет угол О с вектором его скорости.

3.7. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

ф Сила Лоренца:

F^E-t-givBj. (3.7а)

ф Уравнение движения релятивистской частицы:

" --=F. (3.76)

dt V\-(vlc)

Период обращения заряженной частицы в однородном магнитном поле: Т-3£. (3.7.,

где т—релятивистская масса частицы, m — m₀fy 1 —(у/с)².

ф Бетатронное условие — условие движения электрона по круговой орбите в бетатроне:

где В„ — индукция магнитного поля на орбите, (В)— среднее значение индукции внутри орбиты.

3.372. В момент t = 0 из одной пластины плоского конденсатора вылетел электрон с пренебрежимо малой скоростью. Между пластинами приложено ускоряющее напряжение, меняющееся во времени по закону U = at, где а = 100 В/с. Расстояние между пластинами / = 5,0 см. С какой скоростью электрон подлетит к противоположной пластине?

3.373. Протон, ускоренный разностью потенциалов U, попадает в однородное электрическое поле плоского конденсатора, длина пластин которого в направлении движения равна /. Напряженность поля меняется во времени как Е = at, где а — постоянная. Считая протон нерелятивистским, найти угол между направлениями его

152

движения до и после пролета конденсатора, если протон попадает в поле в момент t = 0. Краевыми эффектами пренебречь.

3.374. Частица с удельным зарядом q/tn движется прямолинейно под действием электрического поля Е = Е₀ — ах, где а — положительная постоянная, х — расстояние от точки, в которой частица первоначально покоилась. Найти:

а) расстояние, пройденное частицей до точки, где она остановилась;

б) ускорение частицы в этой точке.

3.375. Электрон начинает двигаться в однородном электрическом поле с напряженностью Е = 10 кВ/см. Через сколько времени после начала движения кинетическая энергия электрона станет равной его энергии покоя?

3.376. Определить ускорение релятивистского электрона, движущегося вдоль однородного электрического поля напряженности Е, в момент, когда его кинетическая энергия равна Т.

3.377. Релятивистский протон в момент / = 0 влетел со скоростью v₀ в область, где имеется поперечное однородное электрическое поле напряженности Е, причем v₀ J_ Е. Найти зависимость от времени:

а) угла О между вектором скорости v протона и первоначальным направлением его движения;

б) проекции v_x вектора v на первоначальное направление движения.

3.378. Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 500 кВ, пролетает поперечное однородное магнитное поле с индукцией В = 0,51 Т.

Толщина области с полем d = 10"см.(рис. 3.99). Найти угол а отклонения протона от первоначального направления движения.

3.379. Заряженная частица движется по окружности радиуса т = 100 мм в однородном магнитном поле с индукцией В — 10,0 мТ. Найти ее скорость и период обращения, если частицей является:

а) нерелятивистский протон;

б) релятивистский электрон.

3.380. Релятивистская частица с зарядом q и массой покоя т₀движется по окружности радиуса т в однородном магнитном поле с индукцией В. Найти:

а) модуль вектора импульса частицы;

б) кинетическую энергию частицы;

в) ускорение частицы.

3.381. Для каких значений кинетической энергии период обращения электрона и протона в однородном магнитном поле на т) = = 1,0% больше периода их обращения при нерелятивистских скоростях?

3.382. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U — 1,0 кВ, движется в однородном магнитном поле под углом а — 30° к век

Рис. 3.99.

153

тору В, модуль которого В = 29 мТ. Найти шаг винтовой траектории электрона.

3.383. Слабо расходящийся пучок нерелятивистских заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов U, выходит из точки А вдоль оси прямого соленоида. Пучок фокусируется на расстоянии / от точки А при двух последовательных значениях индукции магнитного поля, В_х и В₂. Найти удельный заряд q/m частиц.

3.384. Из точки А, лежащей на оси прямого соленоида, вылетает нерелятивистский электрон со скоростью v под углом а к оси. Индукция магнитного поля В. Найти расстояние г от оси до точки попадания электрона на экран, расположенный перпендикулярно к оси на расстоянии / от точки А.

3.385. С поверхности цилиндрического провода радиуса а, по которому течет постоянный ток /, вылетает электрон с начальной скоростью у₀, перпендикулярной к поверхности провода. Найти, на какое максимальное расстояние удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока.

3.386. Нерелятивистская заряженная частица пролетает электрическое поле цилиндрического конденсатора и затем попадает в однородное поперечное магнитное поле с индукцией В (рис. 3.100). В конденсаторе частица движется по дуге окружности, в магнитном поле — по полуокружности радиуса г. Разность потенциалов на конденсаторе U, радиусы обкладок а и Ъ, причем а < Ъ. Найти скорость частицы и ее удельный заряд q/m.

3.387. Из начала координат О области, где созданы однородные параллельные оси у электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией В (рис. 3.101), вылетает в направлении оси х частица с удельным зарядом q/m. Начальная скорость частицы равна щ. Найти для нерелятивистского случая:

а) координату у_л частицы в момент, когда она я-й раз пересечет ось у;

б) угол а между вектором скорости частицы и осью у в этот момент.

3.388. Узкий пучок одинаковых ионов с удельным зарядом q/m, имеющих различные скорости, входит в точке О (см. рис. 3.101) в область, где созданы однородные параллельные электрическое я

Рис. злоо.

Рис. 3.f0f.

154

магнитное поля с напряженностью Е и индукцией В. Направление пучка в точке О совпадает с осью х. На расстоянии / от точки О находится плоский экран, ориентированный перпендикулярно к оси х. Найти уравнение следа ионов на экране. Показать, что при г <; / — это уравнение параболы.

3.389. Пучок нерелятивистских протонов проходит, не отклоняясь, через область, в которой созданы однородные поперечные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с Е = = 120 кВ/м и В = 50 мТ. Затем пучок попадает на заземленную мишень. Найти силу, с которой пучок действует на мишеиь, если ток в пучке / = 0,80 мА.

3.390. Нерелятивистские протоны движутся прямолинейно в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с Е = 4,0 кВ/м и В = 50 мТ. Траектория протонов лежит в плоскости xz (рис. 3.102) и составляет угол <р = 30* с осью х. Найти шаг винтовой линии, по которой будут двигаться протоны после выключения электрического поля.

Рис. 3.102.

Рис. 3.103.

3.391. Пучок нерелятивистских заряженных частиц проходит, ие отклоняясь, через область А (рис. 3.103), в которой созданы поперечные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией В. Если магнитное поле выключить, след пучка на экране Э смещается на Ах. Зная расстояния а и Ъ, найти удельный заряд q/tn частиц.

3.392. Частица с удельным зарядом q/tn движется в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индук- В\ цией В (рис. 3.104). В момент t = 0 частица находилась в точке О и имела нулевую скорость. Найти для нерелятивистского случая:

а) закон движения частицы х (t) и у (t); какой вид имеет траек тория;

б) длину участка траектории между двумя ближайшими точ ками, в которых скорость частицы обращается в нуль;

Рис. 3.104.

155

в) среднее значение проекции вектора скорости частицы на ось х (дрейфовая скорость).

3.393. Система состоит из длинного цилиндрического анода радиуса а и коаксиального с ним цилиндрического катода радиуса b (b < а). На оси системы имеется нить с током накала /, создающим в окружающем пространстве магнитное поле. Найти наименьшую разность потенциалов между катодом и анодом, при которой термоэлектроны, покидающие катод без начальной скорости, начнут достигать анода.

3.394. Магнетрон — это прибор, состоящий из нити накала радиуса а и коаксиального цилиндрического анода радиуса Ь, которые находятся в однородном магнитном поле, параллельном нити. Между нитью и анодом приложена ускоряющая разность потенциалов U. Найти значение индукции магнитного поля, при котором электроны, вылетающие с нулевой начальной скоростью из нити, будут достигать анода.

3.395. Заряженная частица с удельным зарядом q/m начинает двигаться в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Магнитное поле постоянно и имеет индукцию В, электрическое же меняется во времени как Е = Е_т cos со/, где со = qB/m. Найти для нерелятивистского случая закон движения частицы х (/) и у (/), если в момент / = О она находилась в точке О (см. рис. 3.104). Какой примерно вид имеет траектория частицы?

3.396. Частота генератора циклотрона v = 10 МГц. Найти эффективное ускоряющее напряжение на дуантах этого циклотрона, при котором расстояние между соседними траекториями протонов с радиусом г = 0,5 м не меньше, чем Аг = 1,0 см.

3.397. Протоны ускоряют в циклотроне так, что максимальный радиус кривизны их траектории г = 50 см. Найти:

а) кинетическую энергию протонов в конце ускорения, если индукция магнитного поля в циклотроне В = 1,0 Т;

б) минимальную частоту генератора циклотрона, при которой в конце ускорения протоны будут иметь кинетическую энергию Т = 20 МэВ.

З.ЗБ8. Однократно ионизованные ионы Не⁺ ускоряют в циклотроне так, что максимальный радиус орбиты г = 60 см. Частота генератора циклотрона v = 10,0 МГц, эффективное ускоряющее напряжение между дуантами U = 50 кВ. Пренебрегая зазором между дуантами, найти:

а) полное время процесса ускорения иона;

б) приближенное значение пути, пройденного ионом за весь цикл ускорения.

3.399. Так как период обращения электронов в однородном магнитном поле с ростом энергии быстро увеличивается, циклотрон оказывается непригодным для их ускорения. Этот недостаток устраняется в микротроне (рис. 3.105), где изменение периода обращения электрона ДГ делают кратным периоду ускоряющего поля Т₀.

156

Сколько раз электрону необходимо пройти через ускоряющий промежуток микротрона, чтобы приобрести энергию W = 4,6 МэВ, если AT = 7₀, индукция магнитного поля В = 107 мТ и частота ускоряющего поля v = 3000 МГц?

3.400. Чтобы в циклотроне не возникала расстройка, связанная с изменением периода обращения частицы при возрастании ее энергии, медленно изменяют (модулируют) частоту ускоряющего поля. По какому закону надо изменять эту частоту ю ((), если индукция магнитного поля равна В и частица приобретает за один оборот энергию A W? Заряд частицы q, масса т.

3.401. Частица с удельным зарядом q/m находится внутри соленоида круглого сечения на расстоянии г от его оси. В обмотке включили ток, и индукция магнитного поля стала равной В. Найти скорость частицы и радиус кривизны ее траектории, считая, что за время нарастания тока в соленоиде ее смещение пренебрежимо мало.

3.402. В бетатроне магнитный поток внутри равновесной орбиты радиуса г = 25 см возрастает за время ускорения практически с постоянной скоростью Ф = 5,0 Вб/с. При этом электроны приобретают энергию W — 25 МэВ. Найти число оборотов, совершенных электроном за время ускорения, и соответствующее значение пройденного им пути.

3.403. Показать, что электроны в бетатроне будут двигаться по круговой орбите постоянного радиуса при условии, что индукция магнитного поля на орбите равна половине среднего значения индукции поля внутри орбиты (бетатронное условие).

3.404. Найти с помощью бетатронного условия радиус круговой орбиты электрона, зная зависимость индукции магнитного поля от расстояния г до, оси поля. Рассмотреть этот вопрос на примере поля В = В₀ — аг², где В„ и а — положительные постоянные.

3.405. Показать с помощью бетатронного условия, что напряженность вихревого электрического поля в бетатроне имеет экстремум на равновесной орбите.

3.406. В бетатроне индукция магнитного поля на равновесной орбите радиуса г = 20 см изменяется за бремя М = 1,0 мс практически с постоянной скоростью от нуля до В = 0,40 Т. Найти энергию, приобретаемую электроном за каждый оборот.

3.407. Индукция магнитного поля в бетатроне на равновесной орбите радиуса г изменяется за время ускорения от нуля до В практически с постоянной скоростью.'Считая начальную скорость электрона равной нулю, найти:

а) энергию, приобретенную электроном за время ускорения;

б) соответствующее значение пройденного электроном пути, если время ускорения равно At.

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

4.1. Механические колебания

ф Уравнение гармрнических колебаний и его решение»

Je-|--G>jjx=0, x^acos (ш₀?+а), (4-la)

где »₉—собственная частота колебаний.

ф Уравнение затухающих колебаний и его решение:

X+2fix+<o*x=0, x=a₀e~P^/cos(co^+a). (4.16J

где Р — коэффициент затухания, со — частота затухающих колебаний:

ф Логарифмический декремент затухания X и добротность Q:

Я, = рТ, Q = jt/X, (4.1г)

где Т — 2п/(й.

ф Уравнение вынужденных колебаний и его установившееся решение:

x-\-2^x-\-4}pc=f_tt cos at, х — а cos (at—<p), (4-1д)

где

Jo_ f-„__H§^_

col—

}/" (co« —со²)²+4рЧй²' Максимум амплитуды смещения достигается при

tgf = -_T^c—-. (4.1е)

ГЛ<*-* ⁴ '

«рез = "|/^-2р². (4.1Ж)

4.1« Точка совершает колебания вдоль оси х по закону х => = a cos (со/ — л/4). Построить примерные графики:

а) смещения х, проекции скорости v_x и проекции ускорения w_xкак функций времени /;

б) проекции скорости v_x и проекции ускорения w_x как функций координаты х.

4.2. Некоторая точка движется вдоль оси х по закону х => = a sin² (со/ — л/4). Найти:

а) амплитуду и период колебаний; изобразить график х (/);

б) проекцию скорости v_x как функцию координаты х; изобразить график v_x (х).

158

4.3. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия х = 0. Частота колебаний со = = 4,00 рад/с. В некоторый момент координата частицы х₀ = 25,0 см и ее скорость v_x0 — 100 см/с. Найти координату х и скорость v_xчастицы через / = 2,40 с после этого момента.

4.4. Найти круговую частоту и амплитуду гармонических коле-баний частицы, если на расстояниях х_х и х₂ от положения равновесия ее скорость равна соответственно у. и v₂.

4.5. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0,60 с и амплитудой а = 10,0 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь а/2:

а) из крайнего положения;

б) из положения равновесия.

4.6. В момент / = 0 точка начинает совершать колебания вдоль оси х по закону х = a sin со/. Найти за первые 3/8 периода поеле начала движения:

а) среднее значение проекции ее вектора скорости (v_x};

б) модуль среднего вектора скорости |(v)J;

в) среднее значение модуля скорости (у).

4.7. Частица движется вдоль оси х по закону х — a cos со*. Найти путь, который она пройдет за промежуток времени от / = Q до /.

4.8. В момент / = 0 частица начинает двигаться вдоль оси х так, что проекция ее скорости меняется по закону v_x = 35 cos л/ см/с, где / в секундах. Найти путь, который пройдет эта частица за первые / = 2,80 с после начала движения.

4.9. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х по закону х = a cos со/. Считая вероятность Р нахождения частицы в интервале от —а до +я равной единице, найти зависимость от х плотности вероятности dP/dx, где dP — вероятность нахождения частицы в интервале от х до х + dx. Изобразить график dP/dx в зависимости от х.

4.10. Найти графически амплитуду а колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления:

а) х_х = 3,0 cos (со/ + я/3), х₂ = 8,0 sin (со/ + я/6);

б) х_г = 3,0 cos со/, х_г — 5,0 cos (со/ + я/4), х₃ = 6,0 sin со/.

4.11. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, которые происходят по законам х_г = a cos ©/ и х_% = = a cos 2 со/. Найти максимальную скорость точки.

4.12. При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание точки имеет вид х = = a cos 2,l/-cos 50,0/, где / в секундах. Найти круговые частоты складываемых колебаний и период биений результирующего колебания.

^! 4.13. Точка А колеблется по определенному гармоническому закону в /('-системе отсчета, которая в свою очередь совершает

15»

гармонические колебания по отношению к /С-системе. Оба колебания происходят вдоль одного и того же направления. При частоте колебаний /('-системы 20 или 24 Гц частота возникающих биений точки А в /С-системе оказывается равной v. При какой частоте колебаний /('-системы частота биений точки А станет равной 2v?

4.14. Точка движется в плоскости ху по закону х = a sin со/, у = b cos со/, где а, Ь и со — положительные постоянные. Найти:

а) уравнение траектории точки у (х) и направление ее движения по этой траектории;

б) ускорение точки w в зависимости от ее радиус-вектора г относительно начала координат.

4.15. Найти уравнения траектории точки у (х), если она движется по законам:

а) х = a sin со/, у — a sin 2со/;

б) х = a sin со/, у = a cos 2со/. Изобразить графики этих траекторий.

4.16. Частица массы т находится в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты х как U (х) = U₀ (1 — cos ах), U₀ и а — некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

4.17. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но потенциальная энергия имеет вид U (х) = а/х² — b/х, где а и Ъ — некоторые положительные постоянные.

4.18. Найти период малых вертикальных колебаний шарика массы т = 40 г, укрепленного на середине горизонтально натянутой струны длины / = 1,0 м. Натяжение струны

'Aq считать постоянным и равным F = 10 Н.

4.19. Определить период малых колебаний у]\\ математического маятника — шарика, подвешен-

ного на нити длины / = 20 см, если он находится у в жидкости, плотность которой в т] = 3,0 раза \ меньше плотности шарика. Сопротивление жидко-\ сти считать пренебрежимо малым. V 4.20. Шарик подвесили на нити длины / к точке О стенки, составляющей небольшой угол а с вертикалью (рис. 4.1). Затем нить с ша-Рис. 4.1. риком отклонили на небольшой угол В (В > а) и отпустили. Считая удар шарика о стенку абсолютно упругим, найти период колебаний такого маятника.

4.21. Маятниковые часы установили в кабине лифта, которая начала- подниматься с постоянным ускорением до, причем до<£. На высоте h ускорение кабины изменило свое направление на противоположное, оставшись по модулю тем же. Через сколько времени после начала движения показания часов окажутся верными?

160

- 4.22. Вычислить период малых колебаний ареометра (рис, 4.2), •которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра т = 50 г, радиус его трубки г = 3,2 мм, плотность жидкости р = 1,00 г/см³. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.

4.23. Имеется недеформированная пружина жесткости х = 13 Н/м, концы которой закреплены. В точке, отстоящей от одного из концов пружины на т) == 1/3 ее длины, укрепили небольшое тело массы т — 25 г. Пренебрегая массой пружины, найти период малых продольных колебаний данного тела. Силы тяжести нет.

4.24. Определить период малых продольных колебаний тела массы т в системе (рис. 4.3), если жесткости пружинок равны и_х и щ, а их массы и трение пренебрежимо малы.

4.25. Найти период малых вертикальных колебаний тела массы т в системе (рис. 4.4). Жесткости пружинок равны х_х и х₂, а их массы пренебрежимо малы.

4.26. Небольшое тело у//// массы т закреплено на середине натянутой струны

Рис. 4.2.

/$777777777777/

'$77/////}/////////////, Рис. 4.3.

Рис. 4.4.

Рис. 4.5.

длины 21. Натяжение струны в положении равновесия равно Т₀. Найти угловую частоту малых колебаний тела в поперечном направлении. Масса струны пренебрежимо мала, поле тяжести отсутствует.

4.27. Определить период колебаний ртути массы пг = 200 г, налитой в изогнутую трубку (рис. 4.5), правое колено которой составляет угол О = 30° с вертикалью. Площадь сечения канала трубки S = 0,50 см². Вязкостью ртути пренебречь.

4.28. Однородный стержень положили на два быстро вращающихся блока, как показано на рис. 4.6. Расстояние между осями блоков / = 20 см, коэффициент трения между стержнем и блоками k = 0,18. Показать, что стержень будет совершать гармонические колебания. Найти ик период.

6 И. Е. Иродов

161

4.29. Представим себе шахту, пронизывающую Землю по ее оси вращения. Считая Землю за однородный шар и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) закон движения тела, упавшего в шахту,

б) сколько времени понадобится этому телу, чтобы достигнуть противоположного конца шахты;

в) скорость тела в центре Земли.

4.30. Найти период малых колебаний математического маятника длины /, если его точка подвеса О движется относительно поверхности Земли в произвольном направлении с постоянным ускорением w (рис. 4.7). Вычислить этот период, если / = 21 см, w = g/2 и угол между векторами w и g В = 120°.

Рис. 4.7.

Рис. 4.8.

4.31. В установке (рис. 48) муфта М массы т = 0,20 кг закреплена между двумя одинаковыми пружинками, общая жесткость которых к = 20 Н/м. Муфта без трения может скользить по горизонтальному стержню АВ. Установка вращается с постоянной угловой скоростью со = 4,4 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти период малых колебаний муфты. При каком значении со колебаний муфты не будет?

4.32. Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с амплитудой а = 10 см. Найти коэффициент трения между доской и бруском, если последний начинает скользить по доске, когда ее период колебания меньше Т = 1,0 с.

4.33. Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятника длины 80 см, если в начальный момент маятник:

а) отклонили на угол 3,0° и без толчка отпустили;

б) находился в состоянии равновесия и его нижнему концу сообщили горизонтальную скорость 0,22 м/с;

в) отклонили на 3,0° и его нижнему концу сообщили скорость 0,22 м/с, направленную к положению равновесия.

4.34. Тело А массы т_х = 1,00 кг и тело В массы т₂ = 4,10 кг соединены между собой пружиной, как показано на рис. 4.9. Тело А совершает свободные вертикальные гармонические колебания с амплитудой а = 1,6 см и частотой со = 25 рад/с. Пренебрегая массой пружины, найти

Рис. 4.9.

162

наибольшее и наименьшее значения силы давления этой системы на опорную плоскость.

4.35. Доска, на которой лежит тело массы т, начинает двигаться вертикально вверх по закону у = а (1 — cos со/), где У — смещение из начального положения, со = 11 рад/с. Найти:

а) силу давления тела на доску в зависимости от времени, если а — 4,0 см; изобразить график этой зависимости;

б) минимальную амплитуду колебания доски, при которой тело начнет отставать от нее;

в) амплитуду колебания доски, при которой тело подскочит на высоту п = 50 см относительно начального положения (в момент / = 0).

4.36. К нерастянутой пружине, верхний конец которой закреплен, подвесили и без толчка отпустили тело массы т. Жесткость пружины х. Пренебрегая ее массой, найти:

а) закон движения тела у (/), где у — его смещение из начального положения;

б) максимальное и минимальное натяжения пружины в процессе движения.

4.37. Частица массы т движется под действием силы F = —атг, где а — положительная постоянная, г — радиус-вектор частицы относительно начала координат. Найти траекторию ее движения, если в начальный момент г = r₀i и скорость v = y₀j, где i и j — орты осей хну.

4.38. Тело массы т висит на пружине, прикрепленной к потолку кабины лифта. Жесткость пружины х. В момент / = 0 кабина начала подниматься с ускорением w. Пренебрегая массой пружины, найти закон движения груза у (t) относительно

кабины лифта, если у (0) = 0 и у (0) = 0. Рас- 7771 I смотреть два случая: J

а) w — const;

б) w = at, где а — постоянная. ^

4.39. Тело массы т = 0,50 кг висит на резиновом шнуре с коэффициентом упругости k = 50 Н/м.

Найти максимальное расстояние, на которое можно _t ,|

оттянуть вниз тело, чтобы его колебания еще но- g сили гармонический характер. Какова при этом § энергия колебаний тела? §

4.40. Тело массы т упало с высоты h на чашку 777777л. пружинных весов (рис. 4.10). Массы чашки и

пружины пренебрежимо малы, жесткость послед- ^Рис- ⁴-¹⁰-ней х. Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний и их энергию.

4.41. В условиях предыдущей задачи масса чашки равна М. Найти амплитуду колебаний в этом случае.

4.42. Частица массы т движется в плоскости ху под действием силы, зависящей от скорости по закону F = а {у\ — х]), где а —

163

положительная постоянная, i и j — орты осей х и у. В начальный момент t = О частица находилась в точке х у = 0 и имела скорость v₀ в направлении орта j. Найти закон движения частицы х (t), у (t), а также уравнение ее траектории.

4.43.* Маятник представляет собой легкий тонкостенный сферический сосуд радиуса R, который целиком заполнен водой. Сосуд

укреплен на легком жестком стержне (рис. 4.11).

Расстояние между точкой подвеса О и центром со-/ суда равно /. Во сколько раз изменится период ма-

лых колебаний такого маятника после того, как вода Q=-^S замерзнет? Вязкостью воды и изменением ее объема \^=^~/ при замерзании пренебречь.

^•""^ 4.44. Найти частоту малых колебаний тонкого

Рис. 4.11. однородного вертикального стержня массы т и длины /, который шарнирно укреплен в точке О (рис. 4.12). Суммарная жесткость пружин х. Массы пружин пренебрежимо малы.

4.45. Однородный стержень массы т — 1,5 кг, висящий на двух одинаковых нитях длины / = 90 см (рис. 4.13), повернули на малый угол вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину С. При этом нити отклонились на угол а = 5,0°. Затем стержень отпустили, и он начал совершать малые колебания. Найти:

а) период колебаний;

б) энергию колебаний стержня.

Рис. 4.12. Рис. 4.13. Рис. 4.14.

4.46. Система (рис. 4.14) состоит из горизонтального однородного диска D массы т и радиуса R и тонкого/стержня АО, коэффициент кручения которого к. Найти амплитуду малых крутильных колебаний и их энергию, если в начальный момент диск отклонили на угол ф₀ из положения равновесия и сообщили ему угловую скорость ф₀.

4.47. Однородный стержень массы т и длины / совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти среднюю за период колебания кинетическую энергию стержня, если в начальный момент его отклонили от вертикали на угол г>₀ и сообщили ему угловую скорость

164

4.48. Физический маятник установили так, что его центр тяжести оказался над точкой подвеса. Из этого положения маятник начал двигаться к положению устойчивого равновесия, которое он прошел с угловой скоростью со. Пренебрегая трением, найти период малых колебаний этого маятника.

4:49. Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси с частотой со_х = 15,0 рад/с. Если к нему прикрепить небольшое тело массы т — 50 г на расстоянии / =■ 20 см ниже оси, то частота колебаний становится со₂ = 10,0 рад/с. Найти момент инерции этого маятника относительно оси качания.

4.50. Два физических маятника совершают малые колебания вокруг одной и той же горизонтальной оси с, частотами со_х и со₂. Их моменты инерции относительно данной оси равны соответственно 1_Х и /₂. Маятники привели в состояние устойчивого равновесия и скрепили друг с другом. Какова будет частота малых колебаний составного маятника?

4.51. Однородный стержень длины / совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси 00', перпендикулярной к стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром инерции стержня и осью 00', при котором период колебаний будет наименьшим. Чему он равен?

4.52. Тонкая однородная пластинка в форме равностороннего треугольника с высотой h совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из его сторон. Найти период колебаний и приведенную длину данного маятника.

4.53. Гладкий горизонтальный диск вращают вокруг вертикальной оси О (рис. 4.15) с постоянной угловой скоростью со. На нем находится тонкий однородный стержень АВ длины /, который совершает малые колебания вокруг вертикальной оси А, укрепленной на диске на расстоянии а от оси О. Найти частоту со₀ этих колебаний.

Рис. 4.15.

Рис. 4.16.

4.54. Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рис. 4.16. Известны радиус блока R, его момент инерции / относительно оси вращения, масса тела т и жесткость пружины х. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.

165

4.55. Однородный цилиндрический блок массы М и радиуса R может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси О (рис. 4.17). На блок плотно намотана нить, к свешивающемуся концу которой прикреплен груз А. Этот груз уравновешивает точечное тело массы т, укрепленное на ободе блока, при определенном значении угла а. Найти частоту малых колебаний системы.

4.56. Сплошной однородный цилиндр радиуса г катается без скольжения по внутренней стороне цилиндрической поверхности радиуса R, совершая малые колебания. Найти их период.

Рис. 4.17. Рис. 4.18.

4.57. Сплошной однородный цилиндр массы т совершает малые колебания под действием двух пружин, общая жесткость которых х (рис. 4.18). Найти период этих колебаний в отсутствие скольжения.

4.58. Два кубика, массы которых равны т_х и т₂, соединили невесомой пружинкой жесткости х и положили на гладкую горизонтальную плоскость. Затем кубики немного сблизили и одновременно отпустили. Найти собственную частоту колебаний системы.

4.59. Два шара с массами т_х = - 1,0 кг и щ = 2,0 кг насажены на тонкий гладкий горизонтальный стержень (рис. 4.19). Шары связаны между собой легкой пружинкой с жесткостью х = 24 Н/м. Левому шару сообщили начальную скорость v_x = 12 см/с. Найти:

а) частоту колебаний системы в процессе движения;

б) энергию и амплитуду колебаний.

4.60. Найти период малых крутильных колебаний системы, состоящей из двух дисков, насаженных на тонкий стержень с коэффициентом кручения k. Моменты инерции дисков относительно оси стержня равны 1_х и /₂.

4.61. Модель молекулы С0₂ — три шарика, соединенные одинаковыми легкими пружинками и расположенные в положении равновесия вдоль одной прямой. Такая система может совершать продольные колебания двух типов, как показано стрелками на рис. 4.20. Зная массы атомов, найти отношение частот этих колебаний.

4.62. В закрытом с обоих концов цилиндре, заполненном идеальным газом, находится поршень массы т и площадью S (рис. 4.21).

Рис. 4.19.

166

В состоянии равновесия поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом V₀. Давление газа р₀. Поршень немного сместили из положения равновесия и отпустили. Найти частоту его колебаний, считая процессы в газе адиабатическими, а трение ничтожно малым.

„. О С О 1) ©-тпяялягфтготщгч»

г)

О_С_О


	т К
		is

Рис. 4.20.

Рис. 4.21.

4.63. Небольшой шарик массы т = 21 г, подвешенный на изолирующей нити на высоте h — 12 см от большой горизонтальной проводящей плоскости, совершает малые колебания (рис. 4.22). После того как ему сообщили некоторый заряд q, период колебаний изменился в г\ = 2,0 раза. Найти q.

4.64. Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной к вектору индукции магнитного поля. При изменении индукции поля период колебаний стрелки

уменьшился в т) = 5,0 раза. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо мало.

т а

Рис. 4.22.

\ 1

	— ^ — — ■

	т

Рис. 4.23.

4.65. Контур (рис. 4.23) образован двумя параллельными проводниками, замыкающим их соленоидом с индуктивностью L и проводящим стержнем массы т, который может свободно (без трения) скользить по проводникам. Проводники находятся в горизонтальной плоскости в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В. Расстояние между проводниками /. В момент t — О стержню сообщили вправо начальную скорость v₀. Найти закон его движения х {t), если сопротивление контура пренебрежимо мало.

4.66. Катушка индуктивности L соединяет верхние концы двух вертикальных медных шин, отстоящих друг от друга на расстояние /. Вдоль шин падает без начальной скорости горизонтальный проводник-перемычка массы т — без нарушения контакта с

167

шинами. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном плоскости шин. Найти закон движения проводника х (/).

4.67. Затухающие колебания точки происходят по закону х = = а₀ е^-Р' sin со/. Найти:

а) амплитуду колебаний и скорость точки в момент /-= 0;

б) моменты времени, когда точка достигает крайних положений.

4.68. Тело совершает крутильные колебания по закону ср = ■= ф₀е-Р' cos со/. Найти:

а) угловую скорость ф и угловое ускорение ф тела в момент *= 0;

б) моменты времени, когда угловая скорость становится максимальной.

4.69. Точка совершает затухающие колебания с частотой со и коэффициентом затухания В по закону (4.16). Найти начальную амплитуду а₀ и начальную фазу а, если в момент / = 0 смещение точки и проекция ее скорости равны:

а) х (0) = 0 и v_x (0) = Jc₀; б) х (0) = х₀ и v_x (0) = 0.

4.70. Некоторая точка совершает затухающие колебания с частотой со = 25 рад/с. Найти коэффициент затухания В, если в начальный момент скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в г| = 1,020 раза меньше амплитуды в этот момент.

4.71. Точка совершает затухающие колебания с частотой со и коэффициентом затухания В. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени /, если в момент / = 0:

а) амплитуда ее смещения равна а₀;

б) смещение точки х (0) = 0 и проекция ее скорости v_x (0) = х₀.

4.72. Имеются два затухающих колебания с известными периодами Т и коэффициентами затухания В: 7\ = 0,10 мс, р\ = 100 с^а и Т₂ = 10 мс, В₂ = 10 с^-1. Какое из них затухает быстрее?

4.73. Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания Я;₀ = 1,50. Каким будет логарифмический декремент затухания, если сопротивление среды увеличить в п = 2,00 раза? Во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?

4.74. К невесомой пружине подвесили грузик, в результате чего она растянулась на Ах = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик, если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания К — 3,1.

4.75. Найти добротность осциллятора, у которого амплитуда смещения уменьшается в г| = 2,0 раза через каждые п — ПО колебаний.

4.76. Частицу сместили из положения равновесия на расстояние / = 1,0 см и предоставили самой себе. Какой путь пройдет, колеблясь, эта частица до полной остановки, если логарифмический декремент затухания -К = 0,020?

168

У////Л

О'

■7777777777777777777777. О

Рис. 4.24.

4.77. Найти добротность математического маятника длины I = ■—. 50 см, если за промежуток времени т = 5,2 мин его полная механическая энергия уменьшилась в г| = 4,0-10* раз.

4.78. Однородный диск радиуса R = 13 см может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через край диска. Найти период малых колебаний этого диска, если логарифмический декремент затухания К =1,00.

4.79. Тонкий однородный диск массы т и радиуса R, подвегнен-ный в горизонтальном положении к упругой нити, совершает крутильные колебания, в жидкости. Момент упругих сил со стороны нити N = аср, где а — постоянная, ср — угол поворота из положения равновесия. Сила сопротивления, действующая на единицу поверхности диска, F_t = r\v, где т] — постоянная, v — ског рссть данного элемента диска относительно жидкости. Найти частоту малых колебаний.

4.80. Диск А радиуса R, подвешенный на упругой нити между двумя неподвижными плоскостями (рис. 4.24), совершает крутильные колебания вокруг своей оси 00'. Момент инерции диска относительно этой оси /, зазор между диском и каждой

из плоскостей h, причем h <J R. Найти вязкость газа, окружающего диск А, если период колебаний диска Т и логарифмический декремент затухания 31.

4.81. Проводник в форме квадратной рамки со стороной а, подвешенный на упругой нити, находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией В. В положении равновесия плоскость рамки параллельна вектору В (рис. 4.25). Будучи выведена из положения равновесия, рамка совершает малые колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Момент инерции рамки относительно этой оси /, ее электрическое сопротивление R. Пренебрегая индуктивностью рамки, найти время, через которое амплитуда ее углового поворота уменьшится в е раз.

4.82. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения = 0,10 лежит брусок массы m = 0,50 кг, соединенный горизонтальной неде-формированной пружинкой со стенкой. Жесткость пружинки х = 2,45 Н/см, а ее масса пренебрежимо мала. Брусок сместили так, что пружинка растянулась на х₀ — 3,0 см, а затем отпустили. Найти:

а) период колебаний бруска;

б) число колебаний, которые совершит брусок до остановки.

4.83. Шарик массы m может совершать незатухающие гармонические колебания около точки х = 0 с собственной частотой со₀.

-В

Рис. 4.25.

169

В момент t — О, когда шарик находился в состоянии равновесия, к нему приложили вынуждающую силу F = F₀ cos со/, совпадающую по направлению с осью х. Найти уравнение вынужденных колебаний шарика х (/).

4.84. Частица массы т может совершать незатухающие гармонические колебания под действием упругой силы с коэффициентом к. Когда частица находилась в состоянии равновесия, к ней приложили постоянную силу F, которая действовала в течение т секунд. Найти амплитуду колебаний частицы после окончания действия этой силы. Изобразить примерный график колебаний х (/). Исследовать возможные случаи.

4.85. Шарик массы т, подвешенный к пружинке, удлиняет последнюю на величину Д/. Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по гармоническому закону с амплитудой F₀, шарик совершает вынужденные колебания. Логарифмический декремент затухания равен К. Пренебрегая массой пружинки, найти круговую частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда смещения шарика максимальна. Каково значение этой амплитуды?

4.86. Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при частотах % = 400 рад/с и со₂ = 600 рад/с равны между собой. Найти частоту, при которой амплитуда смещения максимальна.

4.87. При частотах вынуждающей гармонической силы o>i и со₂амплитуда скорости частицы равна половине максимального значения. Найти:

а) частоту, соответствующую резонансу скорости;

б) коэффициент затухания В и частоту затухающих колебаний со частицы.

4.88. Некоторая резонансная кривая соответствует механической колебательной системе с логарифмическим декрементом затухания X = 1,60. Найти для этой кривой отношение максимальной амплитуды смещения к амплитуде смещения при очень малой частоте.

4.89. Под действием внешней вертикальной силы F = F₀ cos со/ тело, подвешенное на пружинке, совершает установившиеся вынужденные колебания по закону х = a cos (со/ — ср). Найти работу силы F за период колебания.

4.90. Шарик массы т = 50,0 г подвешен на невесомой пружинке жесткости х = 20,0 Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы с частотой со = 25,0 рад/с шарик совершает установившиеся колебания с амплитудой а = 1,3 см. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на ср = ³/₄п. Найти:

а) добротность данного осциллятора;

б) работу вынуждающей силы за период колебания.

4.91. Шарик массы т, подвешенный на невесомой пружинке, может совершать вертикальные колебания с коэффициентом затухания 6. Собственная частота колебаний равна со₀. Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по закону F = F₀ cos со/, шарик совершает установившиеся гармонические колебания. Найти

170

а) среднюю за период колебания мощность (Р) силы F;

б) частоту со силы F, при которой <Р> максимальна; чему равна <Т>_макс?

4.92. Вынужденная гармоническая сила F, частоту которой можно менять, не изменяя ее амплитуды, действует в вертикальном направлении на шарик, висящий на невесомой пружине. Коэффициент затухания в г\ раз меньше собственной частоты со„ колебаний шарика. На сколько процентов отличается средняя за период колебания мощность (Р) силы F при частоте, соответствующей резонансу смещения, от максимальной средней мощности (Р)_мякс этой силы?

4.93. Однородный горизонтальный диск, укрепленный в центре на упругом вертикальном стержне, совершает вынужденные крутильные колебания под действием момента сил N — N_mcos(at. Колебания происходят по закону ср = cp_mcos (со/— а). Найти:

а) работу сил трения, действующих на диск, за период колебания;

б) добротность данного осциллятора, если момент инерции диска относительно его оси равен /.

4.2. Электрические колебания

0 Затухающие колебания контура

Я = Ят?~®⁽ ^c°^s (<°' + ^а)'

где

Логарифмический декремент затухания X и добротность Q контура

^М 21

(4.2а)

определяются формулами (4.1г). При слабом затухании:

(4.26)

0 Установившиеся вынужденные колебания при последовательном включении в контур напряжения U = U_m cos (ot: / = /_mcos(to/-q>), (4.2в)

I_mU)L

где

(4.2r)

©L —

tgq>=

©c

Рис. 4.26.

Соответствующая векторная диаграмма напряжений показана на рис. 4.26.

0 Мощность, выделяемая в цепи переменного тока:

P = ty/cosq>, (⁴-2д)

где U и / — действующие (эффективные) значения напряжения и тока:

U = U_m/V2, I=>IJV2. <⁴-^2е)

171

4.94. Под действием некоторой причины свободные электроны в плоской медной пластине сместились на небольшое расстояние х перпендикулярно к ее поверхности. Вследствие этого возник поверхностный заряд и соответствующая возвращающая сила, что привело к возбуждению так называемых плазменных колебаний. Найти круговую частоту этих .колебаний, если концентрация свободных электронов в меди п = 0,85-10²⁹ м^-1..

4.95. В колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкости С и катушки индуктивности L, совершаются свободные незатухающие колебания, при которых амплитуда напряжещя на конденсаторе равна U_m. Найти для произвольного момента-времени связь между током / в контуре и напряжением U на конденсаторе. Решить этот вопрос как с помощью закона Ома, так и энергетически.

4.96. Колебательный контур состоит из конденсатора емкости С, катушки индуктивности L с пренебрежимо малым сопротивлением И ключа. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения U_m и затем в момент t= 0 замкнули ключ. Найти:

а) ток в контуре как функцию времени I(t);

б) э. д. с. самоиндукции в катушке в моменты, когда электрическая энергия конденсатора оказывается равной энергии тока в катушке.

4.97. В колебательном контуре, состоящем из плоского конденсатора и катушки индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением, происходят колебания с энергией W. Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в ц раз. Какую работу совершили при этом?

4.98. "В колебательном контуре (рис, 4.27) индуктивность катушки L = 2,5 мГ, а емкости конденсаторов С\ = 2,0 мкФ и С₂ = 3,0 мкФ. Конденсаторы зарядили до напряжения U = 180 В и замкнули ключ К- Найти:

а) период собственных колебаний;

б) амплитудное значение тока через катушку.

Рис. 4.27. Рис. 4.28.

4.99. Электрическая цепь (рис. 4.28) имеет пренебрежимо малое активное сопротивление. Левый конденсатор зарядили до напряжения Uо и затем — в момент / ='0—"замкнули ключ К- Найти зависимость от времени / напряжений на левом и правом конденсаторах.

172

4.100. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L и конденсатора емкости С. Сопротивление катушки и соединительных проводов пренебрежимо мало. Катушка находится в постоянном магнитном поле, так что суммарный поток, пронизывающий все витки катушки, равен Ф. В момент t = 0 магнитное поле выключили. Считая время выключения очень малым по сравнению с периодом собственных колебаний контура, найти ток в контуре как функцию времени

4.101. В контуре совершаются свободные затухающие колебания, при 'которых напряжение на конденсаторе меняется во времени по закону U = U_me-Vcosa)t. Найти моменты времени, когда модуль напряжения на конденсаторе достигает:

а) амплитудных значений;

б) максимальных (экстремальных) значений.

4.102. Некоторый колебательный контур содержит конденсатор емкости С, катушку с индуктивностью L и активным сопротивлением R, а также ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, после чего ключ замкнули, и начались колебания. Найти отношение напряжения на конденсаторе к его амплитудному значению в момент непосредственно после замыкания ключа.

4.103. В контуре с емкостью С и индуктивностью L происходят свободные затухающие колебания, при которых ток меняется во времени по закону / = /_me^_p'sinco/. Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени и, в частности, в момент t = 0.

4.104. Колебательный контур состоит из конденсатора емкости С = 4,0 мкФ и катушки с индуктивностью L = 2,0 мГ и активным сопротивлением R = 10 Ом. Найти отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора в момент максимума тока.

4.105. Некоторый колебательный контур содержит две последовательно соединенные катушки с активными сопротивлениями R_tи R₂ и индуктивностями Ь_г и L₂, причем взаимная индуктивность их пренебрежимо мала. Эти катушки надо заменить одной так, чтобы частота и добротность контура не изменились. Найти индуктивность и активное сопротивление такой катушки.

4.106. Найти время, за которое амплитуда колебаний тока в контуре с добротностью Q = 5000 уменьшится в т] = 2,0 раза, если частота колебаний v = 2,2 МГц.

4.107. Колебательный контур имеет емкость С = 10 мкФ, индуктивность L = 25 мГ и активное сопротивление R = 1,0 Ом. Через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в е раз?

4.108. На сколько процентов отличается частота со свободных колебаний контура с добротностью Q = 5,0 от собственной частоты со₀ колебаний этого контура?

4.109. В схеме (рис. 4.29) э. д. с. элемента ё = 2,0 В, его внутреннее сопротивление/^- = 9,0 Ом, емкость конденсатора С = 10 мкФ,

173

Рис. 4.29.

индуктивность катушки L = 100 мГ и сопротивление R = 1,0 Ом. В некоторый момент ключ К разомкнули. Найти энергию колебаний

в контуре:

а) непосредственно после размыкания ключа;

б) через t = 0,30 с после размыкания ключа.

4.110. В контуре, добротность которого Q = 50 и собственная частота колебаний v₀ = 5,5 кГц, возбуждаются затухающие колебания. Через сколько времени энергия, запасенная в контуре, уменьшится в л = 2,0 раза?

4.111. Колебательный контур содержит конденсатор с утечкой. Емкость конденсатора С, его активное сопротивление R. Индуктивность катушки L. Сопротивление катушки и проводов пренебрежимо мало. Найти:

а) частоту затухающих колебаний такого контура;

б) его добротность.

4.112. Найти добротность контура с емкостью С = 2,0 мкФ и индуктивностью L — 5,0 мГ, если на поддержание в нем незатухающих колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе U_m = 1,0 В необходимо подводить мощность <Р> = 0,10 мВт. Затухание колебаний в контуре достаточно мало.

4.113. Какую среднюю мощность должен потреблять колебательный контур с активным сопротивлением R = 0,45 Ом, чтобы в нем поддерживались незатухающие гармонические колебания с амплитудой тока 1_т = 30 мА?

4.114. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью. С = 1,2 нФ и катушку с индуктивностью L = 6,0 мкГ и активным сопротивлением R = 0,50 Ом. Какую среднюю мощность нужно подводить к контуру, чтобы поддерживать в нем незатухающие гармонические колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе U_m= 10 В?

4.115. Найти частоту затухающих колебаний контура, показанного на рис. 4.30. Емкость С, индуктивность L и активное сопротивление R предполагаются известными. Выяснить, при каком соотношении между С, L и R колебания возможны.

Рис. 4.30.

а) Рис. 4.31.

=г=£

4.116. Имеются два колебательных контура (рис. 4.31) с конденсаторами одинаковой емкости. При каком соотношении между

174

индуктивностями и активными сопротивлениями катушек частоты и затухание свободных колебаний в обоих контурах будут одинаковыми? Взаимная индуктивность катушек левого контура пренебрежимо мала.

4.117. Контур состоит из последовательно включенных конденсатора емкости С, катушки индуктивности L, ключа и сопротивления, равного критическому для данного контура. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения (7₀ и в момент t = О ключ замкнули. Найти ток / в контуре как функцию времени t. Чему равен /_макс?

4.118. Катушку с активным сопротивлением R и индуктивностью L подключили в момент г = 0 к источнику напряжения U = = U_mcosat. Найти ток в катушке как функцию времени t.

4.119. Цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкости С и сопротивления R, подключили к переменному напряжению U = t7_mcosco/ в момент / = 0. Найти ток в цепи как функцию времени /.

4.120. Длинный однослойный соленоид из проволоки с удельным сопротивлением р имеет на единицу длины п плотно расположенных витков. Толшина изоляции провода пренебрежимо мала. Радиус сечения соленоида равен а. Найти разность фаз между током и переменным напряжением с частотой v, которое подключено к концам соленоида.

4.121. Концы цепи, состоящей из последовательно включенных конденсатора и активного сопротивления R = 110 Ом, подсоединили к переменному напряжению с амплитудным значением U_m = = ПО В. При этом амплитуда установившегося тока в цепи 1_т = '— 0,50 А. Найти разность фаз между током и подаваемым напряжением.

4.122. На рис. 4.32 показана простейшая схема сглаживающего фильтра. На левый вход подают напряжение U = U₀ (1 -f- cosco/). Найти:

а) выходное напряжение U'(t);

б) значение величины RC, при котором амплитуда переменной составляющей напряжения на выходе будет в г\ = 7,0 раза меньше постоянной составляющей, если со = 314 рад/с.

L,R

U С 4= U'

Рис. 4.32.

-о о-

а)

Рис. 4.33.

4.123. Изобразить примерные векторные диаграммы напряжений в электрических цепях, показанных на рис. 4.33, а, б. Внешнее напряжение U предполагается гармоническим с частотой со.

175

4.124. Цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости С = 22 мкФ и катушки с активным сопротивлением R = 20 Ом и индуктивностью L = 0,35 F, подключена к сети переменного напряжения с амплитудой U_m = 180 В и частотой со = 314 рад/с. Найти:

а) амплитуду тока в цепи;

б) разность фаз между током и внешним напряжением;

в) амплитуды напряжения на конденсаторе и катушке.

4.125. Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости С, сопротивления R и катушки с индуктивностью L я пренебрежимо малым активным сопротивлением подключена к генератору синусоидального напряжения, частоту которого можно менять при постоянной амплитуде. Найти частоту, при которой максимальна амплитуда напряжения:

а) на конденсаторе; б) на катушке.

4.126. Переменное напряжение с частотой со = 314 рад/с и амплитудным значением U_m = 180 В подключено к концам цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки с активным сопротивлением /? = 40 Ом и индуктивностью L = = 0,36 Г. При каком значении емкости конденсатора амплитуда напряжения на катушке будет максимальной? Чему равна эта амплитуда и соответствующая амплитуда напряжения на конденсаторе?

4.127. Конденсатор емкости С, пространство между обкладками которого заполнено слабо проводящей средой с активным сопротивлением R, подключили к источнику, переменного напряжения U =. t/_mcosco/. Найти установившийся ток в подводящих проводах в зависимости от времени. Сопротивление проводов пренебрежимо мало.

4.128. Колебательный контур содержит. конденсатор емкости С и соленоид с индуктивностью L_x. Соленоид индуктивно связан с короткозамкнутой катушкой, имеющей индуктивность L₂ и пренебрежимо малое активное сопротивление. Коэффициент их взаимной индуктивности равен L₁₂. Найти собственную частоту данного колебательного контура.

4.129. Найти добротность колебательного контура, в который последовательно включен источник переменной э. д. с, если при резонансе напряжение на конденсаторе в п раз превышает напряжение на источнике.

4.130. Цепь переменного тока, состоящая из последовательно соединенных катушки и конденсатора, подключена к источнику переменной э. д. с, причем индуктивность катушки подобрана так, что ток в цепи максимален. Найти добротность системы, если известно, что при увеличении индуктивности в п раз ток в цепи уменьшается в ц раз.

4.131. Цепь, содержащая последовательно соединенные конденсатор и катушку с активным сопротивлением, подключена к источнику гармонического напряжения, частоту которого можно менять,

174

.не изменяя .амплитуды напряжения. При частотах щ и со₂ амплитуды тока оказались в п раз меньше резонансной амплитуды. Найти: а) резонансную частоту; б) добротность цепи.

4.132. Показать, что при малом затухании добротность контура, в котором совершаются вынужденные колебания, Q « со₀/Дсо, где со₀ — собственная частота колебаний, Дсо — ширина резонансной кривой /(со) на «высоте», в У 2 раз меньшей амплитуды тока при резонансе.

4.133. К концам цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, подают два переменных напряжения одинаковой амплитуды, но разной частоты. Частота одного напряжения равна собственной частоте (со₀), другого — в т] раз больше. Найти отношение амплитуд токов (/₀//), возбуждаемых обоими напряжениями, если добротность системы равна Q. Вычислить это отношение для Q — 10 и 100, если г\ — 1,10.

4.134. Для зарядки аккумулятора постоянным током /₀ требуется /₀ часов. Сколько времени понадобится для зарядки такого аккумулятора от сети через однополу-

периодный выпрямитель, если действую- / щее значение тока тоже равно /₀?

4.135. Найти действующее значение тока, если среднее значение его равно /₀, а сам ток зависит от времени по закону:

а) показанному на рис. 4.34; Рис. 4.34.

б) / ~ | sin со/|.

4.136. Соленоид с индуктивностью L = 7 мГ и активным сопротивлением R = 44 Ом подключили сначала к источнику постоянного напряжения U₀, а затем к генератору синусоидального напряжения с действующим значением U = U₀. При какой частоте генератора мощность, потребляемая соленоидом, будет в rj = 5,0 раза меньше, чем в первом случае?

4.137. К сети с действующим напряжением U = 100 В подключили катушку, индуктивное сопротивление которой X_L — 30 Ом и импеданс Z = 50 Ом. Найти разность фаз между током и напряжением, а также тепловую мощность, выделяемую в катушке.

4.138. Катушка с индуктивностью L = 0,70 Г и активным сопротивлением г — 20 Ом соединена последовательно с безындукционным сопротивлением R, и между концами этой цепи приложено переменное напряжение с действующим значением U =. 220 В и частотой со = 314 рад/с. При каком значении сопротивления R в цепи будет выделяться максимальная тепловая мощность? Чему она равна?

4.139. Цепь, состоящая из - последовательно соединенных конденсатора и катушки, подключена к сети. Изменив емкость конденсатора, добились увеличения выделяемой тепловой мощности в катушке в п = 1,7 раза. На сколько процентов изменилось при этом значение cos ср?

177

4.140. В колебательный контур с добротностью Q = 100 включены последовательно источник синусоидальной э. д. с. с постоянной амплитудой напряжения. При некоторой частоте внешнего напряжения тепловая мощность, выделяемая в контуре, оказывается максимальной. На сколько процентов следует изменить эту частоту, чтобы выделяемая мощность уменьшилась в п = 2,0 раза?

' 4.141. Цепь, состоящую из последовательно соединенных безындукционного сопротивления R = 0Л6 кОм и катушки с активным сопротивлением, подключили к сети с действующим напряжением U = 220 В. Найти тепловую мощность, выделяемую на катушке, если действующие напряжения на сопротивлении R и катушке равны соответственно 0_г = 80 В и U₂ = 180 В.

4.142. Катушка и безындукционное сопротивление R = 25 Ом подключены параллельно к сети переменного напряжения. Найти тепловую мощность, выделяемую в катушке, если из сети потребляется ток / = 0,90 А, а через катушку и сопротивление R текут токи соответственно /_х = 0,50 А и /₂ = 0,60 А.

4.143. Найти полное сопротивление участка цепи, состоящего из параллельно включенного конденсатора емкости С — 73 мкФ и активного сопротивления R = 100 Ом, —для переменного тока частоты со = 314 рад/с.

4.144. Изобразить примерные векторные диаграммы токов в электрических контурах, показанных на рис. 4.35. Предполагается,

г—г "г—\|	в А		_-Л_4-
		L,R

а)

Рис. 4.35.

ё)

что подаваемое между точками А и В напряжение синусоидальное и параметры каждого контура подобраны так, что суммарный ток /₀ через контур отстает по фазе от внешнего напряжения на угол ср.

4.145. Конденсатор емкости С — 1,0 мкФ и катушку с активным сопротивлением R = 0,10 0м и индуктивностью L — 1,0 мГ подключили параллельно к источнику синусоидального напряжения с действующим значением U — 31 В. Найти:

а) частоту со, при которой наступает резонанс;

б) действующее значение подводимого тока при резонансе, а также соответствующие токи через катушку и конденсатор.

4.146. К источнику синусоидального напряжения с частотой со подключили параллельно конденсатор емкости С и катушку с активным сопротивлением R и индуктивностью L. Найти разность фаз между подводимым к контуру током и напряжением на источнике.

178

4.147. Участок цепи состоит из параллельно включенных конденсатора емкости С и катушки с активным сопротивлением R и индуктивностью L. Найти полное сопротивление этого участка для переменного напряжения с частотой со.

4.148. Кольцо из тонкого провода с активным сопротивлением R и индуктивностью L вращают с постоянной угловой скоростью со во внешнем однородном магнитном поле, перпендикулярном к оси вращения. При этом поток магнитной индукции внешнего поля через кольцо изменяется во времени по закону Ф = Ф₀соз со/. Показать, что:

" а) индукционный ток в кольце зависит от времени как / — = /_т sin (со/ — ср), где 1_т = соФ₀/|Л$⁸+ со^а/Д причем tgcp = &L/R;

б) средняя механическая мощность, _Т -г

развиваемая внешними силами для под- И-^' держания вращения, определяется фор- 1 _

_мулой_Р₌_V>a<BJ#/(#"_{+ «э2^2)-}_{_Wff[

4.149. На деревянный сердечник «—JJJJJJl — (рис. 4.36) надеты две катушки: ка- I тушка 1 с индуктивностью Ь_г и замкну- ^ тая накоротко катушка 2 с активным Рис. 4.36. сопротивлением R и индуктивностью L₂. Взаимная индуктивность катушек зависит от расстояния х между ними по закону Ь_п(х). Найти среднее по времени значение силы взаимодействия между катушками, когда по катушке / течет переменный ток 1_г = I₀ cos со/.

4.3. Упругие вопны. Акустика

ф Уравнения плоской и сферической воли:

l=acos(e,t—kx), Ј=^-cos(orf—fer)- (4.3а)

Для однородной поглощающей среды в эти формулы входит множитель соответственно e^-Y* и где у — коэффициент затухания волны, ф Волновое уравнение:

*1 ₊ *1₊?1 ₌ ±*1 (4.36)

ф Фазовая скорость продольных волн в упругой среде (оц) и поперечных волн в струне (v_Ly.

v_t=V~Eto. a₁=y^rf7p7. (4.3в)

где E—модуль Юнга, р —плотность среды, Т — натяжение струны, р_х—ее линейная плотность.

ф Объемная плотность энергии упругой волны:

w=pa²<a²sin²(firf—kx), (w) (4.3г)

ф Плотность потока энергии — вектор Умова:

j=aiv, <j> =v2pa²<o²v. (⁴'³д)

179

ф Уравнение стоячей волны:

| = a cos kx • cos <at.

<4.3e)

О Акустический эффект Доплера:

v + v,

пр

v=v₀

(4.3ж)

О Уровень громкости звука (в белах):

L = Ig (///„)• (4.3з)

ф Связь между интенсивностью / звуковой волны и амплитудой колебания

4.150. За сколько времени звуковые колебания пройдут расстояние / между точками А и В, если температура воздуха между ними меняется линейно от 7\ до 7*2? Скорость звука в воздухе v = а]/ 7\ где а — постоянная.

4.151. Плоская гармоническая волна с частотой со распространяется со скоростью v в направлении, составляющем углы а, В, у с осями х, у, г. Найти разность фаз колебаний в точках среды с координатами х_х, у_ъ г_г и х₂, г/₂, z₂.

4.152. Плоская волна с частотой со распространяется так, что некоторая фаза колебаний перемещается вдоль осей х, у, z со скоростями соответственно v_u v₂, v₃. Найти волновой вектор к, предполагая орты осей координат е*, е_у, е_г заданными.

4.153. В среде К распространяется упругая плоская волна \ = = a cos(co/ — kx). Найти уравнение этой волны в /('-системе отсчета, движущейся в положительном направлении оси х с постоянной скоростью V по отношению к среде К. Исследовать полученное выражение.

4.154. Показать, что любая дифференцируемая функция f(t + ~Ь ах), где а — постоянная, является решением волнового уравнения. Каков физический смысл постоянной а?

4.155. Уравнение бегущей плоской звуковой волны имеет вид | = 60 cos (1800/ — Ъ,3х), где 1 в микрометрах, г-в секундах, х в метрах. Найти:

а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;

б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;

в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебания скорости частиц среды.

4.156. В однородной упругой среде распространяется плоская волна вида \ = a cos (со/ — kx). Изобразить для. момента / = 0:

а) графики зависимостей от х величин 1, o\/dt и dt/dx;

б) направление скорости частиц среды в точках, где £ = 0, для случаев продольной и поперечной волн;

в) примерный график распределения плотности среды р(х) для продольной волны.

180

4.157. В однородней среде распространяется плоская упругая волна вида | = a е"^^х cos (to/ — kx), где а, у, to и k — постоянные. Найти разность фаз колебаний в точках, где амплитуды смещения частиц среды отличаются друг от друга на ц = 1,0%, если у = =■ 0,42 м^-1 и длина волны Л, = 50 см.

4.158. Найти радиус-вектор, характеризующий положение точечного источника сферических волн, если известно, что этот источник находится на прямой между точками с радиус-векторами г_г и г₂, в которых амплитуды колебаний частиц среды равны а_х и а₂. Затухание волны пренебрежимо мало, среда однородная.

4.159. Точечный изотропный источник испускает звуковые колебания с частотой v = 1,45 кГц. На расстоянии г₀ = 5,0 м от источника амплитуда смещения частиц среды а₀ = 50 мкм, а в точке А, находящейся на расстоянии г = 10,0 м от источника, амплитуда смещения в ц = 3,0 раза меньше а₀. Найти:

а) коэффициент затухания волны у;

б) амплитуду колебаний скорости частиц среды в точке А.

4.160. В упругой однородной среде распространяются две плоские волны, одна — вдоль оси х, другая — вдоль оси у: |i = = a cos (to/ — kx), la = a cos (со/ — ky). Найти характер движения частиц среды в плоскости ху, если обе волны:

а) поперечные и направление колебаний одинаково;

б) продольные.

4.161. В среде распространяется незатухающая плоская гармоническая волна. Найти среднюю объемную плотность полной энергии колебаний (w), если в любой точке среды объемная плотность энергии равна w₀ через одну шестую периода колебаний после прохождения максимума смещения.

4.162. Точечный изотропный источник звука находится на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его центр О. Расстояние между точкой О и источником / = 1,00 м, радиус кольца R = 0,50 м. Найти средний поток энергии через площадь, ограниченную кольцом, если в точке О интенсивность звука /₀ = 30 мкВт/м². Затухание волн пренебрежимо мало.

4.163. Изотропный точечный источник, звуковая мощность которого Р = 0,10 Вт, находится в центре круглого полого цилиндра радиуса R = 1,0 м и высоты h = 2,0 м. Полагая, что стенки цилиндра полностью поглощают звук, найти средний поток энергии, падающий на боковую поверхность цилиндра.

4.164. В однородной упругой среде установилась плоская стоячая волна вида | = a cos kx-cos со/. Изобразить:

а) графики зависимостей от х величин | и Ь\/дх в моменты / = 0 и / = 772, где Т — период колебаний;

б) графики распределения плотности среды р(х) для продольных колебаний в моменты / = 0 и / = Т/2;

в) график распределения скоростей частиц среды в момент / — Т/4; указать направления скоростей в этот моментъ пучностях— для продольных и поперечных колебаний.

1Е1

4.165. В однородной среде с плотностью р установилась продольная стоячая волна вида | = a cos kx-cos со/. Найти выражения для объемной плотности:

а) потенциальной энергии w_p (х, /);

б) кинетической энергии w_k (х, /).

Изобразить графики распределения объемной плотности полной энергии w в пределах между двумя соседними узлами смещения в моменты / = 0 и / = Т/4, где Т — период колебаний.

4.166. На струне длины 120 см образовалась стоячая волна, причем точки струны, для которых амплитуда смещения равна 3,5 мм, отстоят друг от друга на 15,0 см. Найти максимальную амплитуду смещения. Какому обертону соответствуют эти колебания?

4.167. Найти отношение частот основного тона двух одинаковых струн после того, как одну из них растянули на % = 2,0%, а другую — на т]₂ = 4,0%. Натяжение считать пропорциональным растяжению.

4.168. Определить, как и во сколько раз изменится частота основного тона натянутой струны, если ее длину укоротить на 35%, а натяжение увеличить на 70%.

4.169. Для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса используется труба с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Найти скорость звука, если расстояние между соседними положениями поршня, при которых наблюдается резонанс на частоте v = 2000 Гц, составляет / = 8,5 см.

4.170. Найти число возможных собственных колебаний столба воздуха в трубе, частоты которых меньше v₀ = 1250 Гц. Длина трубы / = 85 см. Скорость звука v = 340 м/с. Рассмотреть два случая:

а) труба закрыта с одного конца;

б) труба открыта с обоих концов.

Считать, что открытые концы трубы являются пучностями смещения.

4.171. Медный стержень длины / = 50 см закреплен в середине. Найти число продольных собственных колебаний этого стержня в диапазоне частот от 20 до 50 кГц. Каковы их частоты?

4.172. Струна массы m закреплена с обоих концов. В ней возбудили колебания основного тона с круговой частотой со и максимальной амплитудой смещения а_макс. Найти:

а) максимальную кинетическую энергию струны;

б) среднюю за период колебания кинетическую энергию струны.

4.173. В однородном стержне, площадь сечения которого S и плотность р, установилась стоячая волна вида | = a sin kx-cos со/. Найти полную механическую энергию, заключенную между сечениями, которые проходят через соседние узлы смещения.

4.174. Источник звуковых колебаний частоты v₀ = 1000 Гц движется по нормали к стенке со скоростью и = 0,17 м/с. На этой же нормали расположены два неподвижных приемника П_х и Я₂,

182

причем последовательность расположения этих приемников и источника И такая: П₁ — И — Я₂ — стенка. Какой приемник регистрирует биения и какова их частота? Скорость звука v=340 м/с

4.175. Неподвижный наблюдатель воспринимает звуковые колебания от двух камертонов, один из которых приближается, а другой — с такой же скоростью удаляется. При этом наблюдатель слышит биения с частотой v = 2,0 Гц. Найти скорость каждого камертона, если их частота колебаний v₀ = 680 Гц и скорость звука в воздухе v = 340 м/с.

4.176. На оси х находятся приемник и источник звуковых колебаний с частотой v₀ = 2000 Гц. Источник совершает гармонические колебания вдоль этой оси с круговой частотой со и амплитудой с = 50 см. При каком значении со ширина частотного интервала, воспринимаемого неподвижным приемником, будет составлять Av= = 200 Гц? Скорость звука v = 340 м/с.

4.177. Источник звуковых колебаний с частотой v₀ = 1700 Гц и приемник находятся в одной точке. В момент t = 0 источник начинает удаляться от приемника с постоянным ускорением w = = 10,0 м/с². Считая скорость звука v = 340 м/с, найти частоту колебаний, воспринимаемых неподвижным приемником через t = = 10,0 с после начала движения источника.

4.178. Источник звука, собственная частота которого v₀= 1,8 кГц, движется равномерно по прямой, отстоящей от неподвижного наблюдателя на / = 250 м. Скорость источника составляет т] = 0,80 скорости звука. Найти:

а) частоту звука, воспринимаемую наблюдателем в момент, когда источник окажется напротив него;

б) расстояние между источником и наблюдателем в момент, когда воспринимаемая наблюдателем частота v = v_e.

4.179. Неподвижный источник испускает монохроматический звук. К нему приближается стенка со скоростью и = 33 см/с. Скорость распространения звука в среде v = 330 м/с. Как и на сколько процентов изменяется длина волны звука при отражении от стенки?

4.180. На одной и той же нормали к стенке находятся источник звуковых колебаний с частотой v₀ = 1700 Гц и приемник. Источник и приемник неподвижны, а стенка удаляется от источника со скоростью и = 6,0 см/с. Найти частоту биений, которую будет регистрировать приемник. Скорость звука v = 340 м/с.

4.181. Найти коэффициент затухания у звуковой волны, если на расстояниях г_х = 10 м и г₂ = 20 м от точечного изотропного источника звука значения интенсивности звуковой волны отличаются друг от друга в т] = 4,5 раза.

4.182. Плоская звуковая волна распространяется вдоль оси х. Коэффициент затухания волны у = 0,0230 м^-1. В точке х = 0 уровень громкости L = 60 дБ. Найти:

а) уровень громкости в точке с координатой х = 50 м;

б) координату х точки, в которой звук уже не слышен.

183

4.183. На расстоянии г₀ = 20,0 м от точечного изотропного источника звука уровень громкости jL₀ = 30,0 дБ. Пренебрегая затуханием звуковой волны, найти:

а) уровень громкости на расстоянии г ==. 10,0 м от источника;

б) расстояние от источника, на котором звук неслышен. .

4.184. Наблюдатель А, находящийся на некотором расстоянии от звучащего камертона, отметил исчезновение звука на т = 23 с раньше, чем наблюдатель В, находящийся в п = 5,0 раза ближе к камертону. Найти коэффициент затухания В колебаний камертона. Затухание звуковых волн в среде пренебрежимо мало.

4.185. В среде с плотностью р распространяется плоская продольная гармоническая волна. Скорость волны равна v. Считая изменение плотности среды при прохождении волны. Ар <^ р, показать, что:

а) приращение давления в среде Ар = — pv²(dl/dx), где д\/дх — относительная деформация;

б) интенсивность волны определяется формулой (4.3и).

4.186. На пути плоской звуковой волны, распространяющейся в воздухе, находится шар радиуса R = 50 см. Длина звуковой волны к = 20 см, частота v = 1700 Гц, амплитуда колебаний давления в воздухе (&р)_т = 3,5 Па. Найти средний за период колебания поток энергии, падающей на поверхность juapa.

4.187. Точка А находится на расстоянии г = 1,5 м от точечного изотропного источника звука частоты v = 600 Гц. Звуковая мощность источника Р = 0,80 Вт. Пренебрегая затуханием волн и считая скорость звука в воздухе v = 340 м/с, найти для точки А:

а) амплитуду колебаний давления (А/э)_т и ее отношение к давлению воздуха;

б) амплитуду колебаний частиц среды; сравнить ее с длиной волны звука.

4.188. На расстоянии г = 100 м от точечного изотропного источника звука частоты 200 Гц уровень громкости L = 50 дБ. Порог слышимости на этой частоте соответствует интенсивности звука /₀ = 0,10 нВт/м². Коэффициент затухания звуковой волны V = 5,0 м^-1. Найти звуковую мощность источника.

4.4. Электромагнитные волны. Излучение

ф Фазовая скорость электромагнитной волны:

и = с/Кец, где с=1/>^АеоЦ₀-

(4.4а)

ф В бегущей электромагнитной волне:

Е Уев₀=Н V\4W

(4.46)

ф Объемная плотность энергии электромагнитного поля:

(4.4в)

ф Плотность потока электромагнитной энергии — вектор Пойнтинга:

S = [EH].

(4.4г)

184

Плотность потока энергии излучения диполя в волновой зоне:

(4.4д)

где г —расстояние от диполя, Ф— угол между раднус-вектором г и осью диполя.

ф Мощности излучения диполя с электрическим моментом р (t) и заряда ц, движущегося с ускорением w:

1 2р^а

Р-.

4де₀ Зс³

4.189. Электромагнитная волна с частотой

(4.4е)

v= 3,0 МГц переходит из вакуума в немагнитную среду с диэлектрической проницаемостью е = 4,0. Найти приращение ее длины волны.

4.190. Плоская электромагнитная волна падает нормально на поверхность плоскопараллельного слоя толщины / из немагнитного вещества, диэлектрическая проницаемость которого экспоненциально падает от значения е! на передней поверхности до е₂ — на задней. Найти время распространения данной фазы волны через этот слой.

4.191. Плоская электромагнитная волна с частотой v = 10 МГц распространяется в слабо проводящей среде с удельной проводимостью а = 10мСм/м и диэлектрической проницаемостью е = 9. Найти отношение амплитуд плотностей токов проводимости и смещения.

4.192. Плоская электромагнитная волна Е = E_m cos(co/ — kr) распространяется в вакууме. Считая векторы Е_т и к известными, найти вектор Н как функцию времени t в точке с радиус-вектором г = 0.

4.193. В вакууме распространяется .плоская электромагнитная волна Е = E_m cos (at — kr), где Е_т — Е_те_у, к = kt_x, е_х, е_у — орты осей х, у. Найти вектор Н в точке с радиус-вектором г = хе_хв момент: a) t = 0; б) t = t₀. Рассмотреть случай, когда Е_т = 160 В/м, k — 0,51 м^-1, х — 7,7 м и t₀ = 33 не.

4.194. Плоская электромагнитная волна Е = E_mcos(co/ — kx), распространяющаяся в вакууме, наводит э. д. с. индукции <*?„„, в квадратном контуре со стороной /. Расположение контура показано на рис. 4.37. Найти <?_инд(0, если Е_т = 50 мВ/м, частота v = = 100 МГц и I = 50 см.

Рис. 4.37.

Рис. 4.38.

4.195. Исходя из уравнений Максвелла, показать, что для плоской электромагнитной волны (рис. 4.38), распространяющейся

185

в вакууме,

дЕ_ .ав дВ_ _ дЕ dt ~ ^ дх' dt ~~ дх'

4.196. Найти средний вектор Пойнтинга <S> у плоской электромагнитной волны Е = E_mcos(co/ — kr), если волна распространяется в вакууме.

4.197. Плоская гармоническая линейно поляризованная электромагнитная волна распространяется в вакууме. Амплитуда напряженности электрической составляющей волны Е_т = 50 мВ/м, частота v = 100 МГц. Найти:

а) действующее значение плотности тока смещения;

б) среднюю за период колебания плотность потока энергии.

4.198. Шар радиуса R — 50 см находится в немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью е = 4,0. В среде распространяется плоская электромагнитная волна, амплитуда напряженности электрической составляющей которой Е_т = 200 В/м. Какая энергия падает на шар за время t = 1,0 мин?

4.199. В вакууме в направлении оси х установилась стоячая электромагнитная волна, электрическая составляющая которой Е = E_mcos kx'cos со/. Найти магнитную составляющую волны В (x,t). Изобразить примерную картину распределения электрической и магнитной составляющих волны (Е и В) в моменты ( = 0и t=T/i, где Т — период колебаний.

4.200. В вакууме вдоль оси х установилась стоячая электромагнитная волна Е = E_mcos kx ■ cos со/. Найти х-проекцию вектора Пойнтинга S_x(x, /) и ее среднее за период колебаний значение.

4.201. Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого имеют форму дисков радиуса R = 6,0 см, подключен к переменному синусоидальному напряжению частоты со = 1000 рад/с. Найти отношение амплитудных значений магнитной и электрической энергий внутри конденсатора.

4.202. Переменный синусоидальный ток частоты со = 1000 рад/с течет по обмотке прямого соленоида, радиус сечения которого R = 6,0 см. Найти отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергий внутри соленоида.

4.203. Плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность конденсатора равен приращению энергии конденсатора за единицу времени. Рассеянием поля на краях при расчете пренебречь.

4.204. По прямому проводнику круглого сечения течет ток /. Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление R.

4.205. Нерелятивистские протоны, ускоренные разностью потенциалов U, образуют пучок круглого сечения с током /. Найти модуль и направление вектора Пойнтинга вне пучка на расстоянии г от его оси.

1S6

4.206. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, достаточно медленно увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.

4.207. На рис. 4.39 показан участок двухпроводной линии передачи постоянного тока, направление которого отмечено стрелками. Имея в виду, что потенциал ср₂ > Фи установить с помощью вектора Пойнтинга, где /

находится генератор тока (слева, справа?). <-'ipj

4.208. Энергия от источника постоян- I _у

ного напряжения U передается к потреби- т2

телю по длинному прямому коаксиальному ' _зркабелю с пренебрежимо малым активным ^ис'

сопротивлением. Потребляемый ток равен /.

Найти поток энергии через поперечное сечение кабеля. Внешняя проводящая оболочка кабеля предполагается тонкостенной.

4.209. Генератор переменного напряжения U = U₀ cos (at передает энергию потребителю по длинному прямому коаксиальному кабелю с пренебрежимо малым активным сопротивлением. Ток в цепи меняется по закону / = /_Ocos ((at — ср). Найти средний по времени поток энергии через поперечное сечение кабеля. Внешняя оболочка кабеля тонкостенная.

4.210. Показать, что на границе раздела двух сред нормальные составляющие вектора Пойнтинга не терпят разрыва, т. е. 8_Ы = 5_2я.

4.211. Доказать, что у замкнутой системы заряженных нерелятивистских частиц с одинаковым удельным зарядом дипольное излучение отсутствует.

4.212. Найти среднюю мощность излучения электрона, совершающего гармонические колебания с амплитудой а = 0,10 нм и частотой со = 6,5 -10¹⁴ рад/с.

4.213. Найти мощность излучения нерелятивистской частицы с зарядом е и массой т, движущейся по круговой орбите радиуса R в поле неподвижного точечного заряда q.

4.214. Частица с зарядом е и массой т пролетает с нерелятивистской скоростью v на расстоянии b от неподвижной частицы с зарядом q. Пренебрегая искривлением траектории движущейся частицы, найти энергию, теряемую этой частицей на излучение за все время пролета.

4.215. Нерелятивистский протон влетел по нормали в полупространство с поперечным однородным магнитным полем, индукция которого В — 1,0 Т. Найти отношение энергии, потерянной протоном на излучение за время движения в поле, к его первоначальной кинетической энергии.

4.216. Нерелятивистская заряженная частица движется в поперечном однородном магнитном поле с индукцией В. Найти закон убывания (за счет излучения) кинетической энергии частицы во времени. Через сколько времени ее кинетическая энергия уменьшается в е раз? Вычислить это время для электрона и протона.

187

4.217. Заряженная частица движется вдоль оси у по закону y = acos со/, а точка наблюдения Р находится на оси х на расстоянии I от частицы (/ J> а). Найти отношение плотностей потока электромагнитного излучения Sx/S₂ в точке Р в моменты, когда координата частицы у_х = 0 и у₂ = а. Вычислить это отношение, если со = = 3,3- 10^е рад/с и 1= 190м.

4.218. Заряженная частица движется равномерно со скоростью v по окружности радиуса R, лежащей в плоскости ху (рис. 4.40).

На оси х в точке Р, которая отстоит от центра окружности на расстояние, значительно превы-■ ■ Р шающее R, находится наблюда-° х тель. Найти:

а) связь между наблюдаемыми значениями «/-проекции ускорения частицы и ее у-координаты;

б) отношение плотностей потока электромагнитного излучения Si/S_a

в точке Р в моменты времени, когда частица для наблюдателя Р движется к нему и от него, как показано на рисунке.

4.219. Электромагнитная волна, излучаемая элементарным диполем, распространяется в вакууме так, что в волновой зоне на луче, перпендикулярном к оси диполя, на расстоянии г от него, среднее значение плотности потока энергии равно S₀. Найти среднюю мощность излучения диполя.

4.220. Средняя мощность, излучаемая элементарным диполем, равна Р₀. Найти среднюю объемную плотность энергии электромагнитного поля в вакууме в волновой зоне на луче, перпендикулярном к оси диполя, на расстоянии г от него.

4.221. Постоянный по модулю электрический диполь с моментом р вращают с постоянной угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной к оси диполя и проходящей через его середину. Найти мощность излучения такого диполя.

4.222. Свободный электрон находится в поле плоской электромагнитной волны. Пренебрегая влиянием на его движение магнитной составляющей волны, найти отношение средней энергии, излучаемой осциллирующим электроном в единицу времени, к среднему значению плотности потока энергии падающей волны.

4.223. Плоская электромагнитная волна с частотой со падает на упруго связанный электрон, собственная частота которого со₀. Пренебрегая затуханием колебаний, найти отношение средней энергии, рассеянной электроном в единицу времени, к среднему значению плотности потока энергии падающей эолны.

4.224. Считая, что частица имеет форму шарика и поглощает весь падающий на нее свет, найти радиус частицы, при котором гравитационное притяжение ее к Солнцу будет компенсироваться силой светового давления. Мощность светового излучения Солнца Р — 4-Ю²⁶ Вт, плотность частицы р = 1,0 г/см³.

Ч а с т ь 5

ОПТИКА

5.1. Фотометрия и геометрическая оптика

ф Кривая относительной спектральной чувствительности глаза V (А,) показана на рнс. 5.1.

1,0

0,6 0,4

A =f,6 мвт/лм Зля к=0,555мкм

■

(

0,40 0,45 0,Я0 0,53 000 0,65 0,70 0.75

А, мкм

Рис. 5.1.

Сила света / и освещенность Е:

Освещенность, создаваемая точечным изотропным источником:

Е-12£±, (5.16)

где а — угол между нормалью к поверхности и направлением на источник ф Светимость М и яркость L:

" dQ AS cos d'

Для ламбертовского источника L — const и светимость:

M = nL.

(5.1в)

(5.1 г) 189

ф Связь между преломляющим углом в призмы и углом а наименьшего отклонения:

. а+в . б sm —g— ⁼ ^п ^Sln ~2 >

где га — показатель преломления призмы. ф Формула сферического зеркала:

1 + 1 = А

где R — радиус кривизны зеркала ®_Hi

(5Лд)

(5.1е)

Рис. 5.2.

Формулы центрированной оптической системы (рис. 5.2):

?-Т ⁼ ^ф> 7 + f⁼¹' <^5Лж>

Соотношения между фокусными расстояниями и оптической силой:

i'-HL f- ^п Р ¹ ~ ф ' ¹

_ п '

Ф' /

Оптическая сила сферической преломляющей поверхности:

. га' — га

Ф =-=г—.

(5.1з)

(5.1и)

Оптическая сила тонкой линзы в среде с показателем преломления га₀:

п =

О'

И'

где га —показатель преломления линзы.

ф Оптическая сила толстой линзы толщины d:

Ф = ф₁ + Ф₂ -А-ф^. _(5Лл)

Рис. 5.3.

Эта формула справедлива и для системы из двух тонких лииз, между которыми находится среда с показателем преломления га. ф Главные плоскости Я и Я' отстоят от вершин О и О' поверхностей толстой линзы (рис. 5.3) на расстояниях:

(!Ф. „, d Ф*

Х =

п Ф

^Х--"7Г"ф

(5.1м)

190

ф Инвариант Лагранжа — Гельмгольца:

пуи = const. (5.1н)

ф Увеличение оптического прибора:

te Ф'

^r=fSp <^51о>

где ф' и ф—угловые размеры предмета при наблюдении через прибор и без него (в случае лупы и микроскопа угол ф соответствует наблюдению на расстоянии наилучшего зрения /₀=25 см).

5.1. Найти с помощью кривой относительной спектральной чувствительности глаза (см. рис. 5.1):

а) поток энергии, соответствующий световому потоку в 1,0 лм с длиной волны 0,51 и 0,64 мкм;

б) световой поток, приходящийся на интервал длин волн от 0,58 до 0,63 мкм, если соответствующий поток энергии Ф₉ = 4,5 мВт, причем последний распределен равномерно по всем длинам волн этого интервала. Считать, что в данном спектральном интервале функция V(X) зависит линейно от длины волны.

5.2. Точечный изотропный источник испускает световой поток Ф = 10 лм с длиной волны X = 0,59 мкм. Найти амплитудные значения напряженностей электрического и магнитного полей этого светового потока на расстоянии г = 1,0 м от источника. Воспользоваться кривой, приведенной на рис. 5.1.

5.3. Найти среднюю освещенность облучаемой части непрозрачной сферы, если на нее падает:

а) параллельный световой поток, создающий в точке нормального падения освещенность Е₀;

б) свет от точечного изотропного источника, находящегося на расстоянии / = 100 см от центра сферы; радиус сферы R = 60 см и сила света / = 36 кд.

5.4. Определить светимость поверхности, яркость которой зависит от направления по закону L = L₀ cos ®, где О¹ — угол между направлением излучения и нормалью к поверхности.

5.5. Некоторая светящаяся поверхность подчиняется закону Ламберта. Ее яркость равна L. Найти:

а) световой поток, излучаемый элементом AS этой поверхности внутрь конуса, ось которого нормальна к данному элементу, если угол полураствора конуса равен f>;

б) светимость такого источника.

5.6. Над центром круглого стола радиуса R = 1,0 м подвешен светильник в виде плоского горизонтального диска площадью S= 100 см². Яркость светильника не зависит от направления и равна L= 1,6-10* кд/м². На какой высоте от поверхности стола надо поместить светильник, чтобы освещенность периферийных точек стола была максимальной? Какова будет эта освещенность?

5.7. На высоте h — 1,0 м над центром круглого стола радиуса R = 1,0 м подвешен точечный источник, сила света которого / так

191

зависит от направления, что освещенность всех точек стола оказывается равномерной. Найти вид функции /(г>), где г} — угол между направлением излучения и вертикалью, а также световой поток, падающий на стол, если /(0) = /₀ = 100 кд.

5.8. Вертикальный луч проектора освещает центр потолка круглой комнаты радиуса R = 2,0 м. При этом на потолке образуется зайчик площадью S = 100 см². Освещенность зайчика Е = 1000 лк. Коэффициент отражения потолка р = 0,80. Найти наибольшую освещенность стены, создаваемую светом, отраженным от потолка. Считать, что отражение происходит по закону Ламберта.

5.9. Равномерно светящийся купол, имеющий вид полусферы, опирается на горизонтальную поверхность. Определить освещенность в центре этой поверхности, если яркость купола равна L и не зависит от направления.

5.10. Ламбертовский источник имеет вид бесконечной плоскости. Его яркость равна L. Найти освещенность площадки, расположенной параллельно данному источнику.

5.11. Над столом находится светильник — плоский горизонтальный диск радиуса R = 25 см. Расстояние от него до поверхности стола h = 75 см. Освещенность стола под центром светильника Е₀ = 70 лк. Найти светимость этого источника, считая его ламбертовским.

5.12. Светильник, имеющий вид равномерно светящейся сферы радиуса R = 6,0 см, находится на расстоянии h = 3,0 м от пола. Яркость светильника L = 2,0-10* кд/м² и не зависит от направления. Найти освещенность пола непосредственно под светильником.

5.13. Записать в векторном виде закон отражения светового луча от зеркала — через направляющие орты е и е' падающего и отраженного лучей и орт п внешней нормали к поверхности зеркала.

5.14. Показать, что луч света, последовательно отразившийся от трех взаимно перпендикулярных плоских зеркал, изменит свое направление на прямо противоположное.

5.15. При каком значении угла падения ■&! луч, отраженный от поверхности воды, будет перпендикулярен к преломленному лучу?

5.16. Имеются две оптические среды с плоской границей раздела. Пусть ■&!„[, — предельный угол падения луча, а г}_х — угол падения, при котором преломленный луч перпендикулярен к отраженному (предполагается, что луч идет из оптически более плотной среды). Найти относительный показатель преломления этих сред, если sin djnp/sin ■&! = т] = 1,28.

5.17. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной d = 6,0 см. Угол падения ■& = 60°. Найти величину бокового смещения луча, прошедшего через эту пластину.

5.18. На краю бассейна стоит человек и наблюдает камень, лежащий на дне. Глубина бассейна равна h. На каком расстоянии от поверхности воды видно изображение камня, если луч зрения составляет с нормалью к поверхности воды угол ф?

1»2

5.19. Показать, что при преломлении в призме с малым преломляющим углом 6 луч отклоняется на угол а да (я— 1)6 независимо от угла падения, если последний также мал.

5.20. Луч света проходит через призму с преломляющим углом

5 и показателем преломления п. Пусть а — угол отклонения луча. Показать, что при симметричном ходе луча через призму:

а) угол а минимален;

б) связь между углами а и 9 определяется формулой (5.1д).

5.21. Для некоторой стеклянной призмы угол наименьшего отклонения луча равен преломляющему углу призмы. Найти последний.

5.22. Найти пределы, в которых может меняться угол отклонения луча при прохождении стеклянной призмы с преломляющим углом 9 — 60°.

5.23УТрехгранная призма с преломляющим углом 60° дает угол наименьшего отклонения в воздухе 37°. Какой угол наименьшего отклонения даст эта призма в воде?

5.24. Луч света, содержащий две монохроматические составляющие, проходит через трехгранную призму с преломляющим углом

6 = 60°. Определить угол Да между обеими составляющими луча после призмы, если показатели преломления для них равны 1,515 и 1,520 и призма ориентирована на угол наименьшего отклонения.

5.25. Вывести с помощью принципа Ферма законы отражения и преломления света на плоской границе раздела двух сред,

Рис. 5.4.

5.26. Найти построением:

а) ход луча после отражения в вогнутом и выпуклом сферических зеркалах^ (рис. 5.4, где F — фокус, ОО' — оптическая ось);

б) положение зеркала и его фокуса для случаев, показанных на рис. 5.5, где Р и Р' — сопряженные точки.

•Р' »р

р\

а)

Рис. 5.5.

5.27. Определить фокусное расстояние вогнутого зеркала, если: а) при расстоянии между предметом и изображением / == 15 см поперечное увеличение В = —2,0;

7 И. е. Иродов

193

Рис. 5.6,

б) при одном положении предмета поперечное увеличение р\ = —0,50, а при другом положении, смещенном относительно первого на расстояние / = 5,0 см, поперечное увеличение 8₂ = = —0,25.

5.28. Точечный источник, сила света которого /₀ = 100 кд, помещен на расстоянии s = 20,0 см от вершины вогнутого зеркала с фокусным расстоянием f = 25,0 см. Определить силу света в отраженном пучке, если коэффициент отражения зеркала р = 0,80.

5.29. Вывести с помощью принципа Ферма формулу преломления параксиальных лучей на сферической поверхности радиуса R,

разделяющей среды с показателями преломления пап'.

5.30. Параллельный пучок света падает из вакуума на поверхность, которая ограни-. чивает область с показателем преломления п (рис. 5.6). Найти форму этой поверхности — уравнение х (г), при которой пучок будет сфокусирован в точке F на расстоянии f от вершины О. Пучок какого максимального радиуса сечения может быть сфокусирован?

5.31. Точечный источник расположен на расстоянии 20 см от передней поверхности стеклянной симметричной двояковыпуклой

линзы. Толщина линзы равна 5,0 см, радиус кривизны поверхностей 5,0 см. На каком расстоянии от задней поверхности этой линзы образуется изображение источника?

5.32. Перед выпуклой поверхностью стеклянной выпукло-плоской линзы толщины d = 9,0 см находится предмет. Изображение этого предмета образуется на плоской поверхности линзы, которая

- служит экраном. Определить:

а) поперечное увеличение, если радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R = 2,5 см;

б) освещенность изображения, если яркость предмета L — = 7700 кд/м² и диаметр входного отверстия выпуклой поверхности линзы D = 5,0 мм; потери света пренебрежимо малы.

5.33. Найти оптическую силу и фокусные расстояния:

а) тонкой стеклянной линзы в жидкости с показателем преломления п₀ = 1,7, если ее оптическая сила в воздухе Ф₀ = —5,0дп;

б) тонкой симметричной двояковыпуклой стеклянной линзы, с одной стороны которой находится воздух, а с другой — вода, если оптическая сила этой линзы в воздухе Ф₀ = + 10 дп.

5.34. Найти построением:

а) ход луча за собирающей и рассеивающей тонкими линзами (рис. 5.7, где ОО' — оптическая ось, F и F' — передний и задний фокусы);

б) положение тонкой линзы и ее фокусов, если известно положение оптической оси ОО' и положение пары сопряженных точек РР' (см. рис. 5.5); среды по обе стороны линз одинаковы;

194

в) ход луча 2 за собирающей и рассеивающей тонкими линзами (рис. 5.8), если известно положение линзы и ее оптической оси 00' и ход луча /; среды по обе стороны линз одинаковы.

5.35. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием / = = 25 см проецирует изображение предмета на экран, отстоящий от линзы на расстоянии / = 5,0 м. Экран придвинули к линзе на А/ = 18 см. На сколько следует переместить предмет, чтобы опять получить четкое изображение его на эране?

5.36. Источник света находится на расстоянии / = 90 см от экрана. Тонкая собирающая линза, помещенная между источником света и экраном, дает четкое изображение источника при двух положениях. Определить фокусное расстояние линзы, если:

а) расстояние между обоими положениями линзы А/ = 30 см;

б) поперечные размеры изображения при одном положении линзы в т] = 4,0 раза больше, чем при другом.

5.37. Между предметом и экраном, положения которых неизменны, помещают тонкую собирающую линзу. Перемещением линзы находят два положения, при которых на экране образуется четкое изображение предмета. Найти поперечный размер предмета, если при одном положении линзы размер изображения Ь! = 2,0 мм, а при другом h" = 4,5 мм.

5.38. Тонкая собирающая линза с относительным отверстием D : f = 1 : 3,5 (D — диаметр линзы, / — ее фокусное расстояние) дает изображение достаточно удаленного предмета на фотопластинке. Яркость предмета L = 260 кд/м². Потери света в линзе составляют а = 0,10. Найти освещенность изображения.

5.39. Как зависит от диаметра D тонкой собирающей линзы яркость действительного изображения, если его рассматривать:

195

1	-*~5fl см —+
		1 '

Рис. 5.9.

-ЩОдп

ЩОдп

а) непосредственно;

б) на белом экране, рассеивающем по закону Ламберта?

5.40. Имеются две тонкие симметричные линзы: одна собирающая с показателем преломления п_х = 1,70, другая рассеивающая с щ = 1,51. Обе линзы имеют одинаковый радиус кривизны поверхностей R = 10 см. Линзы сложили вплотную и погрузили в воду. Каково фокусное расстояние этой системы в воде?

5.41. Определить фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала, которое представляет собой тонкую симметричную двояковыпуклую стеклянную линзу с посеребренной одной поверхностью.

Радиус кривизны поверхности линзы R — 40 см.

5.42. На рис. 5.9 показана _т(У центрированная система, состоящая из трех тонких линз. Система находится в воздухе. Определить:

а) положение точки схождения параллельного пучка, падающего слева, после прохождения через систему; б) расстояние от первой линзы до точки, находящейся на оси слева от системы, при котором эта точка и ее изображение будут расположены симметрично относительно системы.

5.43. Галилеева труба 10-кратного увеличения при установке на бесконечность имеет длину 45 см. Определить:

а) фокусные расстояния объектива и окуляра трубы;

б) на какое расстояние надо передвинуть окуляр трубы, чтобы ясно видеть предметы на расстоянии 50 м.

5.44. Найти увеличение зрительной трубы кеплеровского типа, установленной на бесконечность, если D — диаметр оправы ее объектива, a d — диаметр изображения этой оправы, образуемого окуляром трубы.

5.45. При прохождении светового потока через зрительную трубу его интенсивность увеличивается в и = 4,0-10* раз. Найти угловой размер удаленного предмета, если при наблюдении в эту трубу угловой размер его изображения if> '= 2,0°.

5.46. Зрительную трубу кеплеровского типа с увеличением Г = 15 погрузили в воду, которая заполнила и ее внутреннюю часть. Чтобы система при тех же размерах стала опять телескопической, объектив заменили другим. Каково стало после этого увеличение трубы в воде? Показатель преломления стекла окуляра п = 1,50.

5.47. При каком увеличении Г зрительной трубы с диаметром объектива D = 6,0 см освещенность изображения объекта на сетчатке глаза будет не меньше, чем в отсутствие трубы? Диаметр зрачка глаза считать равным d₀ = 3,0 мм. Потерями света в трубе пренебречь.

196

5.48. Оптические силы объектива и окуляра микроскопа равны соответственно 100 и 20 дп. Увеличение микроскопа равно 50. Каково будет увеличение этого микроскопа, если расстояние между объективом и окуляром увеличить.на 2,0см?

5.49. Микроскоп имеет числовую апертуру sin а = 0,12, где а — угол полураствора конуса лучей, падающих на оправу объектива. Полагая диаметр зрачка глаза d₀ = 4,0 мм, определить увеличение микроскопа, при котором:

а) диаметр светового пучка, выходящего из микроскопа, равен диаметру зрачка глаза;

б) освещенность изображения на сетчатке глаза не будет зависеть от увеличения (рассмотреть случай, когда световой пучок, проходящий через систему «микроскоп — глаз», ограничен оправой объектива).

5.50. Найти положение главных плоскостей, фокусов и узловых точек двояковыпуклой тонкой симметричной стеклянной линзы с радиусом кривизны поверхностей R = 7,50 см, если с одной стороны ее находится воздух, а с другой — вода.

5.51. Найти с помощью построения положение фокусов и главных плоскостей центрированных оптических систем, показанных на рис. 5.10:

а) телеобъектив — система из собирающей и рассеивающей тонких линз (ft = 1,5 a, f₂ — —• 1,5 а);

a) 6) 6)

Рис. 5.10.

б) система из двух собирающих тонких линз (f_x = 1,5 а, f₂ = = 0,5 а);

в) толстая выпукло-вогнутая линза (d = 4 см, п = 1,5, Ф_х = = + 50 дп, Ф₂ = — 50 дп).

5.52. Оптическая система находится в воздухе. Пусть ОО' — ее оптическая ось, F и F' — передний и задний фокусы, Н и Н'—

-О' О

о) Рис. 5.11.

-О' От

б)

передняя и задняя главные плоскости, Р и Р' — сопряженные точки. Найти построением:

197

а) положение F' и Я' (рис. 5.11, о);

б) положение точки S', сопряженной с точкой 5 (рис. 5.11, б);

в) положение F, F' и Я' (рис. 5.11, в, где показан ход луча до и после прохождения системы).

5.53. Пусть F и F' — передний и задний фокусы оптической системы, Я и Я' — ее передняя и задняя главные точки. Найти построением положение изображения S' точки S для следующих относительных расположений точек S, F, F', Я и Я':

a) FSHH'F'; б) HSF'FH'; в) H'SF'FH; г) F'H'SHF.

5.54. Телеобъектив состоит из двух тонких линз — передней собирающей и задней рассеивающей с оптическими силами Ф_г = = + 10 дп и Ф₂ = — 10 дп. Найти:

а) фокусное расстояние и положение главных плоскостей этой системы, если расстояние между линзами d = 4,0 см;

б) расстояние d между линзами, при котором отношение фокусного расстояния f системы к расстоянию / между собирающей линзой и задним главным фокусом будет максимальным. Чему равно это отношение?

5.55. Рассчитать положение главных плоскостей и фокусов толстой выпукло-вогнутой стеклянной линзы, если радиус кривизны выпуклой поверхности R_x = 10,0 см, вогнутой R₂ = 5,0 см и толщина линзы d = 3,0 см.

5.56. Центрированная оптическая система состоит из двух тонких линз с фокусными расстояниями f_t и f₂, причем расстояние между линзами равно d. Данную систему требуется заменить одной тонкой линзой, которая при любом положении объекта давала бы такое же поперечное увеличение, как и предыдущая система. Каким должно быть фокусное расстояние этой линзы и ее положение отно-

- сительно системы из двух линз?

5.57. Система состоит из собирающей тонкой симметричной стеклянной линзы с радиусом кривизны поверхностей R = 38 см и плоского зеркала, расположенного перпендикулярно к оптической оси линзы. Расстояние между линзой и зеркалом / = 12 см. Какова будет оптическая сила этой системы, если пространство между линзой и зеркалом заполнить водой?

5.58. При какой толщине выпукло-вогнутая толстая стеклянная линза в воздухе будет:

а) телескопической, если радиус кривизны ее выпуклой поверхности больше, чем радиус кривизны вогнутой поверхности, на AR = 1,5 см?

б) иметь оптическую силу, равную —1,0 дп, если радиусы кривизны ее выпуклой и вогнутой поверхностей равны соответственно 10,0 и 7,5 см?

5.59. Найти положение главных плоскостей, фокусное расстояние и знак оптической силы выпукло-вогнутой толстой стеклянной линзы, у которой:

а) толщина равна d, а радиусы кривизны поверхностей одинаковы и равны R;

198

б) преломляющие поверхности концентрические с радиусами кривизны Rt и R₂ (#2 >

5.60. Телескопическая система образована из двух стеклянных шаров, радиусы которых Ri = 5,0 см и R₂ = 1,0 см. Каковы расстояние между центрами этих шаров и увеличение системы, если объективом является больший шар?

5.61. Две одинаковые симметричные двояковыпуклые толстые линзы сложены вплотную. Толщина каждой линзы равна радиусу кривизны ее поверхностей, d = R = 3,0 см. Найти оптическую силу этой системы в воздухе.

5.62. При распространении света в изотропной среде с медленно изменяющимся от точки к точке показателем преломления п радиус кривизны р луча определяется формулой

где производная берется по направлению главной нормали к лучу. Получить эту формулу, имея в виду, что в такой среде справедлив закон преломления п sinft = const, где f> — угол между лучом и направлением grad п в данной точке.

5.63. Найти радиус кривизны светового луча, распространяющегося в горизонтальном направлении вблизи поверхности Земли, где градиент показателя преломления воздуха равен около 3 • Ю^-8 м^-1. При каком значении этого градиента луч света распространялся бы по окружности вокруг Земли?

5.2. Интерференция света

О Ширина интерференционной полосы:

Ах=~Х, (5.2а)

где / — расстояние от экрана до источников, d—расстояние между источниками.

ф Временная и пространственная когерентности. Соответственно длина и раднус когерентности:

'ког ^ ' Рког~ ф , (5.26)

где гр— угловой размер источника.

ф Условие максимумов при интерференции света, отраженного от тонкой пластинки толщины Ь:

26 - sin² = (ft+Va) А- (5-2в)

где ft — целое число.

ф Кольца Ньютона при отражении света от поверхностей воздушной прослойки, которая образована между стеклянной пластинкой и соприкасающейся с ней выпуклой поверхностью линзы радиуса R. Радиусы колец:

г=У"Щ (5.2г)

причем кольца светлые, если k = l, 3, 5.....и темные, если ft =2, 4, 6, ...

Значению £ = 0 соответствует середина центрального темного пятна.

199

5.64. Показать, что при сложении двух гармонических колебаний средняя по времени энергия результирующего колебания равна сумме энергий каждого из них, если оба колебания:

а) имеют одинаковое направление и некогерентны, причем все значения их разности фаз равновероятны;

б) взаимно перпендикулярны, имеют одну и ту же частоту и произвольную разность фаз.

5.65. Найти графически амплитуду колебания, которое возникает в результате сложения следующих трех колебаний одного направления:

■- ч/п

|₁ = acosco/, |₂ = 2asinco/, £₃ = 1,5а cos (со/^ я/3).

5.66. Некоторое колебание возникает в результате сложения когерентных колебаний одного направления, имеющих следующий

вид: |_ft = a cost со/ + (k — 1)ср], где k — номер колебания (k = 1, 2, N), ф — разность фаз между k-u и (k — 1)-м колебаниями. Найти амплитуду результирующего колебания.

5.67. Система (рис. 5.12) состоит из двух точеч« ных когерентных излучателей 1 и 2, которые расположены в некоторой плоскости так, что их ди-польные моменты перпендикулярны к этой плоскости. Расстояние между излучателями d, длина волны излучения К. Имея в виду, что колебания 2 отстают по фазе на ср (ср < л) от колебаний из-найти:

а) углы в которых интенсивность излучения максимальна;

б) условия, при которых в направлении ■& = я интенсивность излучения будет максимальна, а в противоположном направлении — минимальна.

5.68. Неподвижная излучающая система состоит из линейной цепочки параллельных вибраторов, отстоящих друг от друга на расстояние d, причем фаза колебаний вибраторов линейно меняется вдоль цепочки. Найти зависимость от времени разности фаз Дер между соседними вибраторами, при которой главный максимум излучения системы будет совершать круговой «обзор» местности с постоянной угловой скоростью со.

Рис. 5.12.

излучателя лучателя 1,

Рис. 5.13.

5.69. В опыте Ллойда (рис. 5.13) световая волна, исходящая непосредственно из источника S (узкой щели), интерферирует с волной, отраженной от зеркала 3. В результате на экране Э образуется

200

система, интерференционных полос. Расстояние от источника до экрана /= 100 см. При некотором положении источника ширина интерференционной полосы на экране Ах = 0,25 мм, а после того как источник отодвинули от плоскости зеркала на Ah = 0,60 мм, ширина полос уменьшилась в г\ = 1,5 раза. Найти длину волны света.

5.70. Две когерентные плоские световые волны, угол между направлениями распространения которых <; 1, падают почти нормально на экран. Амплитуды волн одинаковы. Показать, что расстояние между соседними максимумами на экране Ах = /\,/ф> где % — длина волны.

5.71. На рис. 5.14 показана интерференционная схема с бизер-калами Френеля. Угол между зеркалами а= 12', расстояния от

Рис. 5.14.

линии пересечения зеркал до узкой щели S и экрана Э равны соответственно г = 10,0 см и Ь = 130 см. Длина волны света К = = 0,55 мкм. Определить:

а) ширину интерференционной полосы на экране и число возможных максимумов;

б) сдвиг интерференционной картины на экране при смещении щели на 6/ = 1,0 мм по дуге радиуса г с центром в точке О;

в) при какой максимальной ширине щели б_макс интерференционные полосы на экране будут наблюдаться еще достаточно отчетливо?

5.72. Плоская световая волна падает на бизеркала Френеля, угол между которыми а = 2,0'. Определить длину волны света, если ширина интерференционной полосы на экране Ах = 0,55 мм.

5.73. Линзу диаметром 5,0 см и с фокусным расстоянием / = = 25,0 см разрезали по диаметру на две одинаковые половины, причем удаленным оказался слой толщины а= 1,00 мм. После этого обе половины сдвинули до соприкосновения и в фокальной плоскости полученной таким образом билинзы поместили узкую щель, испускающую монохроматический свет с длиной волны К = 0,60 мкм. За билинзой расположили экран на расстоянии b = 50 см от нее. Определить:

а) ширину интерференционной полосы на экране и число возможных максимумов;

201

б) максимальную ширину щели 8_макс, при которой интерференционные полосы на экране будут наблюдаться еще достаточно отчетливо..

V^UJS^ Расстояния от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана равны соответственно а = 25 см и Ь = 100 см. Бипризма стеклянная с преломляющим углом б = 20'. Найти длину волны света,

если ширина интерференционной полосы на экране Дл: = 0,55 мм.

5.75. Плоская световая волна с 1 = = 0,70 мкм падает нормально на основание бипризмы, сделанной из стекла (п = 1,520) с преломляющим углом б = 5,0°. За бипризмой (рис. 5.15) находится плоскопараллельная стеклянная пластинка, и пространство между ними заполнено бензолом (п' = = 1,500). Найти ширину интерференционной полосы на экране Э, расположенном за этой системой.

v'5.76. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, отстоящими друг от друга на расстояние d — 2,5 мм. На экране, расположенном за диафрагмой на / = 100 см, образуется система интерференционных полос. На какое расстояние и в какую сторону сместятся эти полосы, если одну из щелей перекрыть стеклянной пластинкой толщины h = 10 мкм?

V5.77. На рис. 5.16 показана схема интерферометра, служащего для измерения показателей преломления прозрачных веществ.

Рис. 5.16.

Здесь S — узкая щель, освещаемая монохроматическим светом X = 589 нм, 1 я 2 — две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых / = 10,0 см, Д — диафрагма с двумя щелями. Когда воздух в трубке / заменили аммиаком, то интерференционная картина на экране Э сместилась вверх на N = 17 полос. Показатель преломления воздуха п = 1,000277. Определить показатель преломления аммиака.

5.78. Электромагнитная волна падает нормально на границу раздела двух изотропных диэлектриков с показателями преломления tii и п₂. Воспользовавшись условием непрерывности тангенциальной составляющей вектора Е на границе раздела и законом сохранения энергии, показать, что на границе раздела вектор Е:

а) проходящей волны не испытывает скачка фазы;

202

б) отраженной волны испытывает скачок фазы на л, если отражение происходит от оптически более плотной среды.

5.79. На тонкую пленку (п = 1,33) падает параллельный пучок белого света. Угол падения ®х = 52°. При какой толщине пленки зеркально отраженный свет будет наиболее сильно окрашен в желтый цвет (X = 0,60 мкм)?

5.80. Найти минимальную толщину пленки с показателем преломления 1,33, при которой свет с длиной волны 0,64 мкм испытывает максимальное отражение, а свет с длиной волны 0,40 мкм не отражается совсем. Угол падения света равен 30°.

5.81. Для уменьшения потерь света из-за отражения от поверхности стекла последнее покрывают тонким слоем вещества с показателем преломления п' = Уп, где п — показатель преломления стекла. В этом случае амплитуды световых колебаний, отраженных от обеих поверхностей такого слоя, будут одинаковыми. При какой толщине этого слоя отражательная способность стекла в направлении нормали будет равна нулю для света с длиной волны X.

у 5.82. Рассеянный монохроматический свет с X = 0,60 мкм падает на тонкую пленку вещества с показателем преломления п = 1,5. Определить толщину пленки, если угловое расстояние между соседними максимумами, наблюдаемыми в отраженном свете под углами с нормалью, близкими к т> = 45°, равно 6f> = 3,0°.

5.83. Монохроматический свет проходит через отверстие в экране Э (рис. 5.17) и, отразившись от тонкой плоско-параллельной стеклянной пластинки Я, образует на экране систе- Рис. 5.17. му интерференционных полос равного

наклона. Толщина пластинки d, расстояние между ней и экраном /, радиусы 1-го и k-ro темных колец r_t и r_k. Учитывая, что /, найти длину волны света.

5.84. Плоская монохроматическая световая волна длины X падает на поверхность стеклянного клина, угол между гранями которого ос <; 1. Плоскость падения перпендикулярна к ребру клина, угол падения тЗ^. Найти расстояние между соседними максимумами интерференционных полос на экране, расположенном перпендикулярно к отраженному свету.

^г ^85^'Свет с длиной волны X = 0,55 мкм от удаленного точечного источника падает нормально на поверхность стеклянного клина. В отраженном 'свете наблюдают систему интерференционных полос, расстояние между соседними максимумами которых на поверхности клина Ах = 0,21 мм. Найти:

а) угол между гранями клина;

б) степень монохроматичности света (АХ/Х), если исчезновение интерференционных полос наблюдается на расстоянии I 1,5 см от вершины клина.

203

■i 5.86. Плоско-выпуклая стеклянная линза выпуклой поверхностью соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R, длина волны света X. Найти.ширину Дг кольца Ньютона в зависимости от его радиуса г в области, где Дг < г.

5.87. Плоско-выпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны R = 40 см соприкасается выпуклой поверхностью со стеклянной пластинкой. При этом в отраженном свете радиус некоторого кольца г = 2,5 мм. Наблюдая за данным кольцом, линзу осторожно отодвинули от пластинки на Д/г = 5,0 мкм. Каким стал радиус этого кольца?

5.88. На вершине сферической поверхности плоско-выпуклой стеклянной линзы имеется сошлифованный плоский участок радиуса г₀ = 3,0 мм, которым она соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R = 150 см. Найти радиус шестого светлого кольца при наблюдении в отраженном свете с длиной волны X = 655 нм.

5.89. Плоско-выпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны сферической поверхности R = 12,5 см прижата к стеклянной пластинке. Диаметры десятого и пятнадцатого темных колец Ньютона в отраженном свете равны а\ = 1,00 мм и &_% = 1,50 мм. Определить длину волны света.

NJ 5.90. Две плоско-выпуклые тонкие стеклянные линзы соприкасаются своими сферическими поверхностями. Найти оптическую силу такой системы, если в отраженном свете с X = 0,60 мкм диаметр пятого светлого кольца d = 1,50 мм.

5.91. Две соприкасающиеся тонкие симметричные стеклянные линзы — одна двояковыпуклая, другая двояковогнутая — образуют систему с оптической силой Ф = 0,50 дп. В свете с X = 0,61 мкм, отраженном от этой системы, наблюдают кольца Ньютона. Определить:

а) радиус десятого темного кольца;

б) как изменится радиус этого кольца, если пространство между линзами заполнить водой?

• 5.92. Сферическая поверхность плоско-выпуклой линзы соприкасается со стеклянной пластинкой. Пространство между линзой и пластинкой заполнено сероуглеродом. Показатели преломления линзы, сероуглерода и пластинки равны соответственно п_х = 1,50, «₂ = 1,63 и п₃ — 1,70. Радиус кривизны сферической поверхности линзы R = 100 см. Определить радиус пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете с X = 0,50 мкм.

5.93. В двухлучевом интерферометре используется оранжевая линия ртути, состоящая из двух компонент с длинами волн А_х = = 576,97 нм и = 579,03 нм. При каком наименьшем порядке интерференции четкость интерференционной картины будет наихудшей?

5.94. В интерферометре Майкельсона использовалась желтая линия натрия, состоящая из двух компонент с длинами волн Х_г —

204

= 589,0 нм и Х,₂ = 589,6 нм. При поступательном перемещении одного из зеркал интерференционная картина периодически исчезала (почему?). Найти перемещение зеркала между двумя последовательными появлениями наиболее четкой интерференционной картины.

5.95. При освещении эталона Фабри — Перо расходящимся монохроматическим светом с длиной волны X в фокальной плоскости линзы возникает интерференционная картина — система концентрических колец (рис. 5.18). Толщина эталона равна.d. Определить, как зависит от порядка интерференции:

а) расположение колец;

б) угловая ширина полос интерференции.

Рис. 5.18.

5.96. Найти для эталона Фабри — Перо, толщина которого А = 2,5 см:

а) максимальный порядок интерференции света с длиной волны X = 0,50 мкм;

б) дисперсионную область АХ, т. е. спектральный интервал длин волн, для которого еще нет перекрытия с другими порядками интерференции, если наблюдение ведется вблизи X = 0,50 мкм.

5.3. Дифракция света

0 Радиус внешней границы k-й зоны Френеля:

'* = ]Л*^. А = 1, 2, 3. ... (5.3а)

0 Спираль Корню (рис. 5.19). Числа на этой спирали —значения параметра v. Для плоской волны v = xV~2/b'k, где х и Ь — расстояния, характеризующие положение элемента dS волновой поверхности относительно точки наблюдения Р, как показано в левом верхнем углу рисунка.

205

0 Дифракция Фраунгофера от щели, свет падает нормально. Условие минимумов интенсивности:

bsmft = ±L\, k = l, 2, 3.....

где Ъ — ширина щели, ■& — угол дифракции.

IHIHI

(035)

Рис. 5.19.

0 Дифракционная решетка, свет падает нормально. Условие главных фра унгоферовых максимумов:

d sin Q = ±kK, k = 0, 1, 2.....

условие добавочных минимумов:

k' .

d sin и = ± ~rr Л, N

Где k'=U 2.....кроме О, ЛГ, 2ЛГ, ...

0 Угловая дисперсия дифракционной решетки:

ЬХ d cos О'

0 Разрешающая способность дифракционной решетки:

R = ~=kN.

где Л? — число штрихов решетки. 206

(5.3в) (5.3г)

"(5.3д> (5.3е)

0 Разрешающая сила объектива

^i? ⁼ o^⁼⁼T22X' ^(53Ж)

где 6ф—наименьшее угловое расстояние, разрешаемое объективом, D—диаметр последнего.

0 Формула Брэгга —Вульфа. Условие дифракционных максимумов:

2dsina = ±R, (5.3з)

где d — межплоскостное расстояние, a — угол скольжения, k=l, 2, 3, ...

5.97. Плоская световая волна падает нормально на диафрагму с круглым отверстием, которое открывает первые N зон Френеля — для точки Р на экране, отстоящем от диафрагмы на расстояние Ь. Длина волны света равна к. Найти интенсивность света /₀ перед диафрагмой, если известно распределение интенсивности света на экране / (г), где г — расстояние до точки Р.

5.98. Точечный источник света с длиной волны X = 0,50 мкм расположен на расстоянии а = 100 см перед диафрагмой с круглым отверстием радиуса г = 1,0 мм. Найти расстояние Ь от диафрагмы до точки наблюдения, для которой число зон Френеля в отверстии составляет k = 3.

v 5.99. Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием, радиус которого г можно менять в процессе опыта. Расстояния от диафрагмы до источника и экрана равны а = 100 см и b = 125 см. Определить длину волны света, если максимум освещенности в центре дифракционной картины на экране наблюдается при г_х = 1,00 мм и следующий максимум при г_г = 1,29 мм.

5.100. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью /₀ падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием. Какова интенсивность света / за экраном в точке, для которой отверстие:

а) равно первой зоне Френеля; внутренней половине первой зоны;

б) сделали равным первой зоне Френеля и затем закрыли его половину (по диаметру)?

5.101. Монохроматическая плоская световая волна с интенсивностью /₀ падает нормально на непрозрачный диск, закрывающий для точки наблюдения Р первую зону Френеля. Какова стала интенсивность света / в точке Р после того, как у диска удалили:

а) половину (по диаметру);

б) половину внешней половины первой зоны Френеля (по диаметру)?

5.102. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью /₀ падает нормально на поверхности непрозрачных экранов, показанных на рис. 5.20. Найти интенсивность света / в точке Р:

а) расположенной за вершиной угла экранов /—3 и за краем полуплоскости 4\

207

б) для которой закругленный край экранов 5—8 совпадает с границей первой зоны Френеля.

Обобщить полученные результаты для экранов /—4 одной формулой; то же — для экранов 5—8.

_ш	р
	_и

Рис. 5.20.

^ | | Л | |

Рис. 5.21.

5.103. Плоская световая волна с X — 0,60 мкм падает нормально на достаточно большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне которой сделана круглая выемка (рис. 5.21). Для точки наблюдения Р она представляет собой первые полторы зоны Френеля. Найти глубину h выемки, при которой интенсивность света в точке Р будет:

а) максимальной;

б) минимальной;

в) равной интенсивности падающего света. 5.104. Плоская световая волна длины X и

интенсивности /₀ падает нормально на большую стеклянную пластинку, противоположная сторона которой представляет собой непрозрачный экран с круглым отверстием, равным первой зоне Френеля для точки наблюдения Р. В середине отверстия сделана круглая выемка, равная половине зоны Френеля. При какой глубине /г этой выемки интенсивность света в точке Р будет максимальной? Чему она равна? ^J 5.105. Плоская световая волна с X = 0,57 мкм падает нормально на поверхность стеклянного (п — 1,60) диска, который закрывает полторы зоны Френеля для точки наблюдения Р. При какой минимальной толщине этого диска интенсивность света в точке Р будет максимальной? Учесть интерференцию света при прохождении диска.

5.106. На пути плоской световой волны с X = 0,54 мкм поставили тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием / = = 50 см, непосредственно за ней — диафрагму с круглым отверстием и на расстоянии Ь = 75 см от диафрагмы — экран. При ка-

20»

ких радиусах отверстия центр дифракционной картины на экране имеет максимальную освещенность?

5.107. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на круглое отверстие. На расстоянии Ь — 9,0 м от него находится экран, где наблюдают некоторую дифракционную картину. Диаметр отверстия уменьшили в ч\ = 3,0 раза. Найти новое расстояние Ь', на котором надо поместить экран, чтобы получить на нем дифракционную картину, подобную той, что в предыдущем случае, но уменьшенную в ч\ раз.

5.108. Между источником света с к — 0,55 мкм и фотопластинкой поместили непрозрачный шарик диаметра D = 40 мм. Расстояние между источником и шариком а — 12 м, а между шариком и фотопластинкой Ь — 18 м. Найти:

а) размер изображения у' на пластинке, если поперечный размер источника у — 6,0 мм;

б) минимальную высоту неровностей, хаотически покрывающих поверхность шарика, при которой последний уже будет загораживать свет.

Примечание. Расчет и опыт показывают, что это происходит тогда, когда высота неровностей сравнима с шириной зоны Френеля, по которой проходит край непрозрачного экрана.

5.109. Точечный источник монохроматического света расположен перед зонной пластинкой на расстоянии а — 1,5 м от нее. Изображение источника образуется на расстоянии b — 1,0 м от пластинки. Найти фокусное расстояние зонной пластинки.

(, 5.И0. Плоская световая волна с к = | .| |

= 0,60 мкм и интенсивностью /₀ падает нор- , __i

мально набольшую стеклянную пластинку, V _ф ^1/1 _v'" _ф

профиль которой показан на рис. 5.22. При fa » -^й—'

какой высоте h уступа интенсивность света Ц

в точках, расположенных под ним, будет:

а) минимальна;

б) вдвое меньше /₀ (потерями на отраже- Рис. 5.22. ния пренебречь).

5.111. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на непрозрачную полуплоскость. На расстоянии b f= 100 см за ней находится экран. Наитие помощью спирали Корню (рис. 5.19):

а) отношение интенсивностей первого максимума и есседкего 'с ним минимума;

б) длину волны света, если расстояние между двумя первыми максимумами Ах = 0,63 мм.

5.112. Плоская световая волна длины 0,60 мкм падает нормально на непрозрачную длинную полоску ширины 0,70 мм. За ней на расстоянии 100 см находится экран. Найти с помощью рис. 5.19 отношение интенсивностей света в середине дифракционной картины и на краях геометрической тени.

5.113. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на длинную прямоугольную щель, за которой на расЪгоянии b = 60 см находится экран. Сначала ширину щели установили такой, что в середине дифракционной картины на экране наблюдался наиболее глубокий минимум. Раздвинув после этого щель на М = 0,70 мм, получили в центре картины следующий минимум. Найти длину волны света.

5.114. Плоская световая волна с X = 0,65 мкм падает нормально на большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне которой сделана длинная прямоугольная выемка ширины 0,60 мм. Найти с помощью рис. 5.19 глубину выемки к, при которой в середине дифракционной картины на экране, отстоящем на 77 см от пластинки, будет максимум освещенности.

5.115. Плоская световая волна с X = 0,65 мкм падает нормально на большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне

которой имеется уступ и непрозрачная полоска ширины а = 0,30 мм (рис. 5.23). На расстоянии Ь= 110 см от пластинки находится экран. Высота уступа h подобрана такой, что в точке 2 на экране интенсивность света оказывается максимально возможной. Найти с помощью рис. 5.19 отношение интенсив-ностей в точках / и 2.

5.116. Плоская монохроматическая световая волна интенсивности /₀ падает нормально на непрозрачный экран, в котором прорезана длинная щель с полукруглым вырезом на одной из сторон (рис. 5.24). Край выреза совпадает с границей первой зоны Френеля для точки наблюдения Р. Ширина щели составляет 0,90 радиуса выреза. Найти с помощью рис. 5.19 интенсивность света в точке Р.

\), 7/, 7/,V ( Ф Ф Ф

Ь 'с

Ah¹

t*-a-

у///////////////>ШШ

Рис. 5.23.

Рис. 5.24.

Рис. 5.25.

5.117. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на непрозрачный экран с длинной щелью, форма которой показана на рис. 5.25. Найти с помощью рис. 5.19 отношение интенсив ностей света в точках 1,2 и 3, расположенных за экраном на одном и том же расстоянии от него, если для точки 3 закругленный край щели совпадает с границей первой зоны Френеля.

5.118. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на непрозрачный экран, имеющий вид длинной полоски с круглым отверстием посередине. Для точки наблюдения Р отверстие представляет собой половину зоны Френеля, причем его диаметр в ч] = 1,07 раза меньше ширины полоски. Найти с помощью

210

рис. 5.19 интенсивность света в точке Р, если интенсивность падающего света равна /₀.

v 5.119. Свет с длиной волны к падает нормально на длинную прямоугольную щель ширины Ъ. Найти угловое распределение интенсивности света при фраунгоферовой дифракции, а также угловое положение минимумов.

5.120. Воспользовавшись результатом, полученным в предыдущей задаче, найти условия, определяющие угловое положение максимумов первого, второго и третьего порядков.

5.121. Свет с длиной волны к = 0,50 мкм падает на щель ширины b = 10 мкм под углом f)₀ = 30° к ее нормали. Найти угловое положение первых минимумов, расположенных по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.

5.122. Плоская световая волна с к = 0,60 мкм падает нормально на грань стеклянного клина с преломляющим углом б = 15°. На противоположной, непрозрачной, грани имеется щель ширины b = 10 мкм, параллельная ребру клина. Найти:

а) угол Af) между направлением на фраунгоферов максимум нулевого порядка и направлением падающего света;

б) угловую ширину фраунгоферова максимума нулевого порядка.

5.123. Монохроматический свет падает на отражательную дифракционную решетку с периодом d — 1,0 мм под углом скольжения а₀ = 1,0°_t Под углом скольжения а = 3,0° образуется фраунгоферов максимум второго порядка. Найти длину волны света.

5.124. Изобразить примерную дифракционную картину, возникающую при дифракции Фраунгофера от решетки из трех одинаковых щелей, если отношение периода решетки к ширине щели равно:

а) двум; б) трем. г 5.125. При нормальном падении света на дифракционную решетку угол дифракции для линии к_г = 0,65 мкм во втором порядке равен 45°. Найти угол дифракции для линии к^ = 0,50 мкм в третьем порядке.

^5.126. Свет с длиной волны 535 нм падает нормально на дифракционную решетку. Найти ее период, если одному из фраунгоферо-вых максимумов соответствует угол дифракции 35° и наибольший порядок спектра равен пяти.

5.127. Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2,2 мкм, если угол между направлениями на фраунгоферовы максимумы первого и второго порядков Af) = 15°.

5.128. Свет с длиной волны 530 нм падает на прозрачную дифракционную решетку, период которой равен 1,50 мкм. Найти угол с нормалью к решетке, под которым образуется фраунгоферов максимум наибольшего порядка, если свет падает на решетку:

а) нормально; б) под углом 60° к нормали.

5.129. Свет с длиной волны к = 0,60 мкм падает нормально на дифракционную решетку, которая нанесена на плоской поверхности плсско-выпуклой цилиндрической стеклянной линзы с радиу

211

сом кривизны R = 20 см. Период решетки d = 6,0 мкм. Найти расстояние между симметрично расположенными главными максимумами первого порядка в фокальной плоскости этой линзы.

5.130. Плоская световая волна с X = 0,50 мкм падает нормально на грань стеклянного клина с углом 6 == 30°. На противоположной грани клина нанесена прозрачная дифракционная решетка с периодом d = 2,00 мкм, штрихи которой параллельны ребру клина. Найти углы между направлением падающего света и направлениями на главные фраунгоферовы максимумы нулевого и первого порядков. Каков максимальный порядок спектра? Под каким углом к направлению падающего света он будет наблюдаться?

5.131. Плоская световая волна длины X падает нормально на фазовую дифракционную решетку, профиль которой показан на рис. 5.26. Решетка нанесена на стеклянной пластинке с показателем преломления п. Найти глубину h штрихов, при которой интенсивность центрального фраунгоферова максимума равна нулю. Каков при этом угол дифракции, соответствующий первому максимуму?

Я О

\ | \ \ А \ \ |

Рис. 5.26. Рис. 5.27.

5.132. На рис. 5.27 показана схема установки для наблюдения дифракции света на ультразвуке. Плоская световая волна с X — = 0,55 мкм проходит через кювету К с водой, в которой возбуждена стоячая ультразвуковая волна с частотой v = 4,7 МГц. В результате дифракции света на оптически неоднородной периодической структуре в фокальной плоскости объектива О с фокусным расстоянием / = 35 см возникает дифракционный спектр. Расстояние между соседними максимумами Ах = 0,60 мм. Найти скорость распространения ультразвуковых колебаний в воде.

5.133. Для измерения методом Майкельсона углового расстояния oj) между компонентами двойной звезды перед объективом телескопа поместили диафрагму с двумя узкими параллельными щелями, расстояние d между которыми можно менять. Уменьшая d, обнаружили первое ухудшение видимости дифракционной картины в фокальной плоскости объектива при d = 95 см. Найти считая длину волны света X — 0,55 мкм.

5.134. Прозрачная дифракционная решетка имеет период d = = 1,50 мкм. Найти угловую дисперсию D (в угл. мин/нм), соответствующую максимуму наибольшего порядка спектральной линии с X = 530 нм, если свет падает на решетку

а) нормально; б) под углом #₀ = 45° к нормали.

212

5.135. Свет с длиной волны к падает нормально на дифракционную решетку. Найти ее угловую дисперсию в зависимости от угла дифракции #.

5.136. Свет с X = 589,0 нм падает нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2,5 мкм, содержащую N = 10 ООО штрихов. Найти угловую ширину дифракционного максимума второго порядка.

5.137. Показать, что при нормальном падении света на дифракционную решетку максимальная величина ее разрешающей способности не может превышать значения 1/к, где / — ширина решетки, к — длина волны света.

5.138. Показать на примере дифракционной решетки, что разность частот двух максимумов, разрешаемых по критерию Рэлея, равна обратной величине разности времен прохождения самых крайних интерферирующих колебаний, т. е. 8v = 1/8/.

5.139. Свет, содержащий две спектральные линии с длинами волн 600,000 и 600,050 нм, падает нормально на дифракционную решетку ширины 10,0 мм. Под некоторым углом дифракции # эти линии оказались на пределе разрешения (по критерию Рэлея). Найти #.

5.140. Свет падает нормально на прозрачную дифракционную решетку ширины / = 6,5 см, имеющую 200 штрихов на миллиметр. Исследуемый спектр содержит спектральную линию с к = 670,8 нм, которая состоит из двух компонент, отличающихся на 8к = 0,015 нм. Найти:

а) в каком порядке спектра эти компоненты будут разрешены;

б) наименьшую разность длин волн, которую может разрешить эта решетка в области к да 670 нм.

5.141. При нормальном падении света на прозрачную дифракционную решетку ширины 10 мм обнаружено, что компоненты желтой линии натрия (589,0 и 589,6 нм) оказываются разрешенными, начиная с пятого порядка спектра. Оценить:

а) период этой решетки;

б) при какой ширине решетки с таким же периодом можно разрешить в третьем порядке дублет спектральной линии с к = 460,0 нм, компоненты которого отличаются на 0,13 нм.

5.142. Прозрачная дифракционная решетка кварцевого спектрографа имеет ширину 25 мм и содержит 250 штрихов на миллиметр. Фокусное расстояние объектива, в фокальной плоскости которого находится фотопластинка, равно 80 см. Свет падает на решетку нормально. Исследуемый спектр содержит спектральную линию, компоненты дублета которой имеют длины волн 310,154 и 310,184 нм. Определить:

а) расстояния на фотопластинке между компонентами этого дублета в спектрах первого и второго порядков;

б) будут ли они разрешены в этих порядках спектра.

5.143. Для трехгранной призмы спектрографа предельная разрешающая способность к/дк обусловлена дифракцией света от краев призмы (как от щели). При установке призмы на угол наименьшего

213

отклонения в соответствии с критерием Рэлея

X/8X = b\dn/dX\,

где b — ширина основания призмы (рис. 5.28), dn/dX — дисперсия ее вещества. Вывести эту формулу.

Рис. 5.28.

5.144. Трехгранная призма спектрографа изгстоЕлена из стекла, показатель преломления которого зависит от длины волны света как п — А + В/Х², где А к В — постоянные, причем В — 0,010 мкм². Воспользовавшись формулой из предыдущей задачи, найти:

а) зависимость разрешающей способности призмы от X; вычислить Х/ЬХ вблизи Х_г = 434 нм и Х₂ = 656 нм, если ширина основания призмы b = 5,0 см;

б) ширину основания призмы, способной разрешить желтый дублет натрия (589,0 и 589,6 нм).

5.145. Какой должна быть ширина основания трехгранной призмы, чтобы она имела такую же разрешающую способность, как и дифракционная решетка из 10 000 штрихов во втором порядке спектра?

5.146. Имеется зрительная труба с диаметром объектива D — = 5,0 см. Определить разрешающую способность объектива трубы и минимальное расстояние между двумя точками, находящимися на расстоянии / = 3,0 км от трубы, которое она может разрешить (считать X — 0,55 мкм).

5.147. Вычислить наименьшее расстояние между двумя точками на Луне, которое можно разрешить рефлектором с диаметром зеркала в 5 м. Считать, что длина волны света X = 0,55 мкм.

5.148. Определить минимальное увеличение зрительной трубы с диаметром объектива D = 5,0 см, при котором разрешающая способность ее объектива будет полностью использована, если диаметр зрачка глаза d₀ = 4,0 мм.

5.149. Имеется микроскоп с числовой апертурой объектива sin а = 0,24, где а — угол полураствора конуса лучей, падающих на оправу объектива. Найти минимальное разрешаемое расстояние для этого микроскопа при оптимальном освещении объекта светом с длиной волны X = 0,55 мкм.

5.150. Найти минимальное увеличение микроскопа с числовой апертурой объектива sin а = 0,24, при котором разрешающая способность его объектива будет полностью использована, если диаметр зрачка глаза d₀ = 4,0 мм.

214

5.151. Пучок рентгеновских лучей с длиной волны X падает под углом скольжения 60,0° на линейную цепочку из рассеивающих центров с периодом а. Найти углы скольжения, соответствующие всем дифракционным максимумам, если X = ²Да.

5.152. Пучок рентгеновских лучей с длиной волны X = 40 пм падает нормально на плоскую прямоугольную решетку из рассеивающих центров и дает на плоском экране, расположенном на расстоянии / = 10 см от решетки, систему у, дифракционных максимумов (рис.

5.29). Найти периоды решетки а и Ь соответственно вдоль осей х и у, если расстояния между симметрично рас-

положенными максимумами второго ~ ' * • " * * ' *~iЈr порядка равны Ах = 60 мм (по оси х) • ' ' . " '

и Ау = 40 мм (по оси у). '.*..*.'

5.153. Пучок рентгеновских лучей • . \ ' падает на трехмерную прямоугольную решетку, периоды которой а, Ь Рис 5.29.

и с. Направление падающего пучка

совпадает с направлением, вдоль которого период решетки равен а. Найти направления на дифракционные максимумы и длины волн, при которых эти максимумы будут наблюдаться.

5.154. Узкий пучок рентгеновских лучей падает под углом скольжения а = 60,0" на естественную грань монокристалла NaCl, плотность которого р = 2,16 г/см³. При зеркальном отражении от этой грани образуется максимум второго порядка. Определить длину волны излучения.

5.155. Пучок рентгеновских лучей с X = 174 пм падает на поверхность монокристалла, поворачивающегося вокруг оси, которая параллельна его поверхности и перпендикулярна к направлению падающего пучка. При этом направления на максимумы второго и третьего порядков от системы плоскостей, параллельных поверхности монокристалла, образуют между собой угол а = 60°. Найти соответствующее межплоскостное расстояние.

5.156. При прохождении пучка рентгеновских лучей с X = = 17,8 пм через поликристаллический образец на экране, расположенном на расстоянии / = 15 см от образца, образуется система дифракционных колец. Определить радиус светлого кольца, соответствующего второму порядку отражения от системы плоскостей с межплоскостным расстоянием d = 155 пм.

5.4. Поляризация света

ф Степень поляризации света:

макс

мии

мин

(5.4а)

ф Закон Малгоса:

I =Iq COS² ф.

(5.46)

215

ф Закон Брюстера:

tgft_B = rc₂/«i- (5.4в)

ф Формулы Френеля для интенсивности света, отраженного от границы раздела двух диэлектриков:

где и /|, — интенсивности падающего света, у которого колебания светового вектора соответственно перпендикулярны и параллельны плоскости падения.

ф Кристаллическая пластинка между двумя поляризаторами Р и Р'. Если угол между плоскостью поляризатора Р и оптической осью 00' пластинки равен 45°, то интенсивность /' света, прошедшего через поляризатор Р', оказывается максимальной или минимальной при следующих условиях:

поляризаторы Р и Р' 6 = 2я& 8 = (2& + 1)л

параллельны	1\\ ----- макс	/\|' = МИН
скрещены	f'l = мин	i'l = макс

(5.4д)

Здесь 6 = 2я (п₀ — п_е) d/k — разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами, fe = 0, 1, 2, ...

ф Естественное и магнитное вращение плоскости поляризации:

ф_ест = а/, Фмагн = У#, (5.4е)

где а— постоянная вращения, V—постоянная Верде,

5.157. Плоская монохроматическая волна естественного света с интенсивностью /₀ падает нормально на экран из двух соприкасающихся поляроидных полуплоскостей. Главное направление одного поляроида параллельно, а другого перпендикулярно к границе раздела поляроидов. Какой характер имеет дифракционная картина за экраном? Какова интенсивность света за экраном в точках плоскости, перпендикулярной к экрану и проходящей через границу раздела поляроидов?

5.158. Плоская монохроматическая волна естественного, света с интенсивностью /₀ падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием, которое представляет собой первую зону Френеля для точки наблюдения Р. Найти интенсивность света в точке Р после того, как отверстие перекрыли двумя одинаковыми поляроидами, главные направления которых перпендикулярны друг к другу, а граница их раздела проходит:

а) по диаметру отверстия;

б) по окружности, ограничивающей первую половину зоны Френеля.

5.159. Линейно поляризованный световой пучок падает на поляризатор, вращающийся вокруг оси пучка с угловой скоростью со = 21 рад/с. Найти световую энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, если поток энергии в падающем пучке Ф₀ = = 4,0 мВт.

216

5.160- Пучок естественного света падает на систему из N = 6 ннколей, плоскость пропускания каждого из которых повернута на угол ср = 30° относительно плоскости пропускания предыдущего николя. Какая часть светового потока проходит через эту систему?

5.161. Естественный свет падает на систему из трех последовательно расположенных одинаковых поляроидов, причем главное направление среднего поляроида составляет угол ср = 60° с главными направлениями двух других поляроидов. Каждый поляроид обладает поглощением таким, что при падении на него линейно поляризованного света максимальный коэффициент пропускания составляет т = 0,81. Во сколько раз уменьшится интенсивность света после прохождения этой системы?

5.162. Степень поляризации частично поляризованного света Р = 0,25. Найти отношение интенсивности поляризованной составляющей этого света к интенсивности естественной составляющей.

5.163. На пути частично поляризованного пучка поместили николь. При повороте николя на угол ср = 60° из положения, соответствующего максимуму пропускания света, интенсивность прошедшего света уменьшилась в ц = 3,0 раза. Найти степень поляризации падающего света.

5.164. На пути естественного пучка света поместили два несовершенных одинаковых поляризатора. Оказалось, что при параллельных плоскостях поляризаторов эта система пропускает в ц = = 10,0 раза больше света, чем при скрещенных плоскостях. Найти степень поляризации света, которую создает:

а) каждый поляризатор в отдельности;

б) вся система при параллельных плоскостях поляризаторов.

5.165. Два параллельных одинаковых по интенсивности линейно поляризованных пучка, плоскости колебаний которых Ni и N₂ повернуты относительно друг друга на некоторый малый угол ср (рис. 5.30), падают на николь. Для уравнивания интенсивностей обоих пучков за николем его главное направление N должно быть установлено по биссектрисе А или В. Определить значение угла ср, при котором поворот николя из положения А на малый угол 8ср <^ ср приводит к относительному изменению интенсивностей обоих пучков А/// на величину в т) = 100 раз большую? чем при повороте на тот же угол из положения В.

5.166. Показать с помощью формул Френеля, что отраженный от поверхности диэлектрика свет будет полностью поляризован, если угол падения удовлетворяет условию tg #_х = п, где п — показатель преломления диэлектрика. Каков при этом угол между отраженным и преломленным лучами?

Рис. 5.30.

217

5.167. Естественный свет падает под углом Брюстера на поверхность стекла. Определить с помощью формул Френеля:

а) коэффициент отражения;

б) степень поляризации преломленного света.

5.168. Плоский пучок естественного света с интенсивностью /₀падает под углом Брюстера на поверхность воды. При этом р = = 0,039 светового потока отражается. Найти интенсивность преломленного пучка.

5.169. На поверхность воды под углом Брюстера падает пучок плоскополяризованного света. Плоскость колебаний светового вектора составляет угол ср = 45° с плоскостью падения. Найти коэффициент отражения.

5.170. Узкий пучок естественного света падает под углом Брюстера на поверхность толстой плоскопараллельной прозрачной пластины. При этом от верхней поверхности отражается р = 0,080 светового потока. Найти степень поляризации пучков /—4 (рис. 5.31).

5.171. На плоскопараллельную стеклянную пластинку (см. рис. 5.31) падает под углом Брюстера узкий пучок света интенсивности /₀. Определить с помощью формул Френеля:

а) интенсивность прошедшего пучка /₄, если падающий свет линейно поля-^Рис- ⁵-³'- ризован, причем плоскость колебаний его

перпендикулярна к плоскости падения; б) степень поляризации прошедшего через пластинку пучка, если падающий свет — естественный.

5.172. Узкий пучок естественного света падает под углом Брюстера на стопу Столетова, состоящую из N толстых плоскопараллельных стеклянных пластин. Найти:

а) степень поляризации Р прошедшего пучка;

б) чему равно Р при N = 1, 2, 5 и 10.

5.173. Определить с помощью формул Френеля:

а) коэффициент отражения естественного света при нормальном падении на поверхность стекла;

б) относительную потерю светового потока за счет отражений при прохождении параксиального пучка естественного света через центрированную оптическую систему из пяти стеклянных линз (вторичными отражениями света пренебречь).

5.174. Световая волна падает нормально на поверхность стекла, покрытого слоем прозрачного вещества. Пренебрегая вторичными отражениями, показать, что амплитуды световых волн, отраженных от обеих поверхностей такого слоя, будут одинаковы при условии

п' = Уп, где п' и п — показатели преломления слоя и стекла соответственно.

218

5.175. На поверхность стекла падает пучок естественного света. Угол падения равен 45°. Найти с помощью формул Френеля степень поляризации:

а) отраженного света; б) преломленного света.

5.176. Построить по Гюйгенсу волновые фронты и направления распространения обыкновенного и необыкновенного лучей в положительном одноосном кристалле, оптическая ось которого:

а) перпендикулярна к плоскости падения и параллельна поверхности кристалла;

б) лежит в плоскости падения и параллельна поверхности кристалла;

в) лежит в плоскости падения под углом 45° к поверхности кристалла, и свет падает перпендикулярно к оптической оси.

5.177. Узкий пучок естественного света с длиной волны X = = 589 нм падает нормально на поверхность призмы Волластона, сделанной из исландского шпата, как показано на рис. 5.32. Оптические оси обеих частей призмы взаимно перпендикулярны. Найти угол б между направлениями пучков за призмой, если угол 6 = 30°.

5.178. Какой характер поляризации имеет плоская электромагнитная волна, проекции вектора Е которой на оси х и у, перпендикулярные к направлению ее распространения, определяются следующими уравнениями:

а) Е_х = Е cos (со/ — kz), Е_у = Е sin (со/ — kz);

б) Е_х = Е cos (со/ — kz), Е_у = Е cos (со/ — kz + я/4);

в) Е_х = Е cos (со/ — kz), Е_у = Е cos (со/ — kz + я)?

5.179. Требуется изготовить параллельную оптической оси кварцевую пластинку, толщина которой не превышала бы 0,50 мм. Найти максимальную толщину этой пластинки, при которой линейно поляризованный свет с длиной волны X — 589 нм после прохождения ее:

а) испытывает лишь поворот плоскости поляризации;

б) станет поляризованным по кругу.

5.180. Кварцевую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси, поместили между двумя скрещенными николями. Угол между главными направлениями николей и пластинки равен 45°. Толщина пластинки d = 0,50 мм. При каких длинах волн в интервале 0,50—0,60 мкм интенсивность света, прошедшего через эту систему, не будет зависеть от поворота заднего николя? Разность показателей преломления обыкновенных и необыкновенных лучей в этом интервале длин волн считать An = 0,0090.

5.181. Белый естественный свет падает на систему из двух скрещенных николей, между которыми находится кварцевая пластинка,

219

вырезанная параллельно оптической оси, толщиной 1,50 мм. Ось пластинки составляет угол 45° с главными направлениями николей. Прошедший через эту систему свет разложили в спектр. Сколько темных полос будет наблюдаться в интервале длин волн 0,55—0,66 мкм? Разность показателей преломления обыкновенных и необыкновенных лучей в этом интервале длин волн считать равной 0,0090.

5.182. Кристаллическая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, имеет толщину 0,25 мм и служит пластинкой в четверть волны для X = 530 нм. Для каких длин волн в области видимого спектра она будет также пластинкой в четверть волны? Считать, что для всех длин волн видимого спектра разность показателей преломления обыкновенных и необыкновенных лучей одинакова и равна п_е — п₀ = 0,0090.

5.183. Кварцевая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, помещена между двумя скрещенными николями так, что ее оптическая ось составляет угол 45° с главными направлениями николей. При какой минимальной толщине пластинки свет с Х_х = = 643 нм будет проходить через эту систему с максимальной интенсивностью, а свет с Х₂ = 564 нм будет сильно ослаблен? Разность показателей преломления обыкновенных и необыкновенных лучей для обеих длин волн считать равной п_е — п₀ = 0,0090.

5.184. Между двумя скрещенными поляроидами поместили кварцевый клин с преломляющим углом 6 = 3,5°. Оптическая ось клина параллельна его ребру и составляет угол 45° с главными направлениями поляроидов. При прохождении через эту систему света с X = 550 нм наблюдается система интерференционных полос. Ширина каждой полосы Ах = 1,0 мм. Определить разность показателей преломления кварца для необыкновенного и обыкновенного лучей указанной длины волны.

5.185. Естественный монохроматический свет интенсивности /₀падает на систему из двух поляроидов, между которыми находится кристаллическая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси. Пластинка вносит разность фаз б между обыкновенным и необыкновенным лучами. Показать, что интенсивность света, прошедшего через эту систему,

/ = ¹/₂I₀ [cos² (ср — ср') - sin 2ср ■ sin 2ср' ■ sin² (6/2)],

где ср и ср' — углы между оптической осью кристалла и главными направлениями поляроидов. Рассмотреть, в частности, случаи скрещенных и параллельных поляроидов.

5.186. Монохроматический поляризованный по кругу свет падает нормально на кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси. За пластинкой находится николь, главное направление которого составляет угол ср с оптической осью пластинки. Показать, что интенсивность света, прошедшего через эту систему,

/ = /„(! + sin 2ср • sin 6),

223

Рис. 5.33.

где б — разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами, которую вносит пластинка.

5.187. Как с помощью поляроида и пластинки в четверть волны, изготовленной из положительного одноосного кристалла (п_е > п₀), отличить:

а) свет левополяризованный по кругу от правополяризованного; . б) естественный свет от поляризованного по кругу и от смеси естественного света с поляризованным по кругу?

5.188. Свет с длиной волны X падает на систему из скрещенных поляризатора Я и анализатора Л, между которыми находится компенсатор Бабине/С(рис. 5.33). Компенсатор состоит из двух кварцевых клиньев, оптическая ось одного из которых параллельна ребру клина, другого — перпендикулярна к нему. Главные направления поляризатора и анализатора составляют угол 45° с оптическими осями компенсатора. Известны также преломляющий угол е Клиньев (6 <С 1) и разность показателей преломления кварца п_е — п₀. При введении исследуемого двупре-ломляющего образца О (его оптическая ось ориентирована так, как показано на рисунке) наблюдаемые интерференционные полосы сдвинулись вверх на бл: мм. Найти:

а) ширину интерференционной полосы Ах;

б) величину и знак оптической разности хода обыкновенного и необыкновенного лучей, которую вносит образец О.

5.189. Вычислить с помощью таблиц приложения разность показателей преломления кварца для право- и левополяризованного по кругу света с длиной волны X = 589,5 нм.

5.190. Линейно поляризованный свет с длиной волны 0,59 мкм падает на трехгранную кварцевую призму Я (рис. 5.34) с преломляющим углом 6 = 30°. В призме свет распространяется вдоль оптической оси, направление которой показано штриховкой. За поляроидом Р наблюдают систему светлых и темных полос, ширина которых Ал: = 15,0 мм. Найти постоянную вращения кварца, а также характер распределения интенсивности света за поляроидом.

5.191. Естественный монохроматический свет падает на систему из двух скрещенных николей, между которыми находится кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно к оптической оси. Найти минимальную толщину пластинки, при которой эта система будет пропускать т) = 0,30 светового потока, если постоянная вращения кварца а = 17 угл.град/мм.

221

5.192. Свет проходит через систему из двух скрещенных николей, между которыми расположена кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно к оптической оси. Определить минимальную толщину пластинки, при которой свет с длиной волны 436 нм будет полностью задерживаться этой системой, а свет с длиной волны 497 нм — пропускаться наполовину. Постоянная вращения кварца для этих длин волн равна соответственно 41,5 и 31,1 угл.град/мм.

5.193. Линейно поляризованный свет с длиной волны 589 нм проходит вдоль оси цилиндрического стеклянного сосуда, заполненного слегка замутненным раствором сахара с концентрацией 500 г/л. При наблюдении сбоку видна система винтообразных полос, причем расстояние между соседними темными полосами вдоль оси равно 50 см. Объяснить возникновение полос и определить удельную постоянную вращения раствора.

5.194. Ячейку Керра поместили между двумя скрещенными николями так, что направление электрического поля Е в конденсаторе образует угол 45° с главными направлениями николей. Конденсатор имеет длину / = 10 см и заполнен нитробензолом. Через систему проходит свет с % = 0,50 мкм. Имея в виду, что в данном случае постоянная Керра В = 2,2-10~¹⁰ см/В², определить:

а) минимальную напряженность электрического поля Е в конденсаторе, при которой интенсивность света, прошедшего через эту систему, не будет зависеть от поворота заднего николя;

б) число прерываний света в одну секунду, если на конденсатор подать синусоидальное напряжение с частотой v = 10 МГц и амплитудным значением напряженности Е_т — 50 кВ/см.

Примечание. Постоянной Керра называют-коэффициент В в формуле п_е — п₀ = ВХЕ².

5.195. Монохроматический плоскополяризованный свет с круговой частотой со проходит через вещество вдоль однородного магнитного поля с напряженностью Я. Найти разность показателей преломления для право- и левополяризованных по кругу компонент светового пучка, если постоянная Верде равна V.

5.196. Некоторое вещество поместили в продольное магнитное поле соленоида, расположенного между двумя поляроидами. Длина трубки с веществом / = 30 см. Найти постоянную Верде, если при напряженности поля Я = 56,5 кА/м угол поворота плоскости поля-

ходящееся в ^продольном магнитном поле, как показано на рис. 5.35. Найти угол, на который повернется плоскость поляризации вышедшего пучка, если длина трубки с веществом равна /,

ризации фх = +5° 10' для одного направления поля и Ф₂ = —3°20' для противоположного направления поля.

Рис. 5.35.

5.197. Узкий пучок плос-кополяризованного света проходит через правовращающее положительное вещество, на-

222

его постоянная вращения а, постоянная Верде V и напряженность магнитного поля Я.

5.198. Трубка с бензолом длины / = 26 см находится в продольном магнитном поле соленоида, расположенного между двумя поляроидами. Угол между главными направлениями поляроидов равен 45°. Найти минимальную напряженность магнитного поля, при которой свет с длиной волны 589 нм будет проходить через эту систему только в одном направлении (оптический вентиль). Как будет вести себя этот оптический вентиль, если изменить направление данного магнитного поля на противоположное?

5.199. Опыт показывает, что телу, облучаемому поляризованным по кругу светом, сообщается вращательный момент (эффект Садовского). Это связано с тем, что данный свет обладает моментом импульса, плотность потока которого в вакууме М = //со, где / — интенсивность света, со — его круговая частота колебаний. Пусть поляризованный по кругу свет с длиной волны X = 0,70 мкм падает нормально на однородный черный диск массы т = 10 мг, который может свободно вращаться вокруг своей оси. Через сколько времени его угловая скорость станет со₀ = 1,0 рад/с, если / = 10 Вт/см²?

5.5. Дисперсия и поглощение света

ф Согласно элементарной теории дисперсии диэлектрическая проницаемость вещества:

₁ ₊ y«.fH (5.5а) к

где n_k — концентрация электронов с собственной частотой щ^.

ф Связь между показателем преломления и диэлектрической проницаемостью вещества:

п=УТ. (5-56)

ф Фазовая v и групповая и скорости:

со _ Т' ^u~dk'

со da

^V = T> ^и ⁼ ~ль- (⁵-^5в)

ф Формула Рэлея:

ф Закон ослабления узкого пучка электромагнитного излучения:

/ = /₀е-К _(55д)

где ц = к + к', \i, х, х' —линейные показатели ослабления, поглощения и рассеяния.

5.200. Свободный электрон находится в поле монохроматической световой волны. Интенсивность света / = 150 Вт/м², его частота to = 3,4-Ю¹⁵ рад/с. Найти:

а) амплитуду колебаний электрона и амплитуду его скорости;

223

б) отношение FJF₉, где F„ и f, — амплитудные значения сил, действующих на электрон со стороны магнитной и электрической составляющих поля световой волны; показать также, что это отношение равно у₂ v/c, где v — амплитуда скорости электрона, с — скорость света.

Указание. В уравнении движения электрона можно не учитывать действие магнитной составляющей поля (как будет видно из расчета, оно пренебрежимо мало).

5.201. Электромагнитная волна с частотой со распространяется в разреженной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме равна п₀. Пренебрегая взаимодействием волны с ионами плазмы, найти зависимость:

а) диэлектрической проницаемости плазмы от частоты;

б) фазовой скорости электромагнитной волны от ее длины волны к в плазме.

5.202. Найти концентрацию свободных электронов ионосферы, если для радиоволн с частотой v = 100 МГц ее показатель преломления п = 0,90.

5.203. Имея в виду, что для достаточно жестких рентгеновских лучей электроны вещества можно считать свободными, определить, на сколько отличается от единицы показатель преломления графита для рентгеновских лучей с длиной волны в вакууме к = 50 пм.

5.204. Электрон, на который действует квазиупругая сила kx и «сила трения» ух, находится в поле электромагнитного излучения. Е-составляющая поля — меняется во времени по закону/: = E₀cos со/. Пренебрегая действием магнитной составляющей поля, найти:

а) уравнение движения электрона;

б) среднюю мощность, поглощаемую электроном; частоту, при которой она будет максимальна, и выражение для максимальной средней мощности.

5.205. В ряде случаев диэлектрическая проницаемость вещества оказывается величиной комплексной или отрицательной и показатель преломления — соответственно комплексным (п' = п + Щ или чисто мнимым (п' — tx). Написать для этих случаев уравнение

плоской волны и выяснить физи-ческий смысл таких показателей преломления.

5.206. При зондировании разреженной плазмы радиоволнами различных частот обнаружили, что радиоволны с к> к₀ = 0,75 м ис-

-*т пытывают полное внутреннее отражение. Найти концентрацию сво-Рис. 5.36. бодных электронов в этой плазме.

5.207. Исходя из определения групповой скорости и, получить формулу Рэлея (5.5г). Показать также, что и вблизи к = к' равна отрезку v', отсекаемому касательной к кривой v (к) в точке к' (рис. 5.36).

224

5.208. Найти зависимость между групповой и и фазовой и скоростями для следующих законов дисперсии:

а) v~l/Vk

б) v ^ k;

в) V г*~> 1 /со².

Здесь к, k и со — длина волны, волновое число и круговая частота.

5.209. В некоторой среде связь между групповой и фазовой скоростями электромагнитной волны имеет вид uv = с², где с — скорость света в вакууме. Найти зависимость диэлектрической проницаемости этой среды от частоты волны, е (со).

5.210. Показатель преломления сероуглерода для света с длинами волн 509, 534 и 589 нм равен соответственно 1,647, 1,640 и 1,630. Вычислить фазовую и групповую скорости света вблизи к = 534 нм.

5.211. Плоский световой импульс распространяется в среде, где фазовая скорость v линейно зависит от длины волны к по закону v = а -\- Ьк, а и b — некоторые положительные постоянные. Показать, что в такой среде форма произвольного светового импульса будет восстанавливаться через промежуток времени т = 1/Ь.

5.212. Пучок естественного света интенсивности /₀ падает на систему из двух скрещенных николей, между которыми находится трубка с некоторым раствором в продольном магнитном поле напряженности Н. Длина трубки /, линейный показатель поглощения раствора к и постоянная Верде У. Найти интенсивность света, прошедшего через эту систему.

5.213. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью /₀ падает нормально на плоскопараллельную пластинку, коэффициент отражения каждой поверхности которой равен р. Учтя многократные отражения, найти интенсивность прошедшего света, если:

а) пластинка идеально прозрачная (поглощение отсутствует);

б) линейный показатель поглощения равен я, а толщина пластинки d.

5.214. Из некоторого вещества изготовили две пластинки: одну толщиной di = 3,8 мм, другую — а\ — 9,0 мм. Введя поочередно эти пластинки в пучок монохроматического света, обнаружили, что первая пластинка пропускает т_х = 0,84 светового потока, вторая — т₂ = 0,70. Найти линейный показатель поглощения этого вещества. Свет падает нормально. Вторичными отражениями пренебречь.

5.215. Монохроматический пучок проходит через стопу из N = 5 одинаковых плоскопараллельных стеклянных пластинок каждая толщиной / = 0,50 см. Коэффициент отражения на каждой поверхности пластинок р = 0,050. Отношение интенсивности света, прошедшего через эту стопу пластинок, к интенсивности падающего света т = 0,55. Пренебрегая вторичными отражениями света, определить показатель поглощения данного стекла.

8 и. е. иродов

225

5.216. Монохроматический пучок света падает нормально на поверхность плоскопараллельной пластины толщины /. Показатель поглощения вещества пластины линейно изменяется вдоль нормали к ее поверхности от значения щ до х₂. Коэффициент отражения от каждой поверхности пластины равен р. Пренебрегая вторичными отражениями, определить коэффициент пропускания такой пластины.

5.217. Пучок света интенсивности /₀ падает нормально на плоскопараллельную прозрачную пластинку толщины /. Пучок содержит все длины волн в диапазоне от к_г до Х\ одинаковой спектральной интенсивности. Определить интенсивность прошедшего через пластинку пучка, если в этом диапазоне длин волн показатель поглощения линейно зависит от % в пределах от щ до х₂ и коэффициент отражения каждой поверхности равен р. Вторичными отражениями пренебречь.

5.218. Светофильтр представляет собой пластинку толщины d с показателем поглощения, зависящим от длины волны X по формуле

и (К) = а (1—V^o)² см"¹,

гдеаиХ₀ — некоторые постоянные. Найти ширину полосы пропускания этого светофильтра М, — ширину, при которой ослабление света на краях полосы в г) раз больше, чем ослабление при Х₀. Коэффициент отражения от поверхностей светофильтра считать одинаковым для всех длин волн.

5.219. Точечный монохроматический источник, испускающий световой поток Ф, находится в центре сферического слоя вещества, внутренний радиус которого равен а, наружный — Ь. Линейный показатель поглощения вещества равен х, коэффициент отражения поверхностей —р. Пренебрегая вторичными отражениями, найти интенсивность света на выходе из этого вещества.

5.220. Во. сколько раз уменьшится интенсивность узкого пучка рентгеновского излучения с длиной волны 20 пм при прохождении свинцовой пластинки толщины d = 1,0 мм, если массовый показатель ослабления для данной длины волны излучения ц/р = 3,6 см²/г?

5.221. Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны 62 пм проходит через алюминиевый экран толщины 2,6 см. Какой толщины надо взять свинцовый экран, чтобы он ослаблял данный пучок в такой же степени? Массовые показатели ослабления алюминия и свинца для этого излучения равны соответственно 3,48 и 72,0 см²/г.

5.222. Найти для алюминия толщину слоя половинного ослабления узкого пучка монохроматического рентгеновского излучения, если соответствующий массовый показатель ослабления ц/ р = 0,32 см²/г.

5.223. Сколько слоев половинного ослабления в пластинке, которая уменьшает интенсивность узкого пучка рентгеновского излучения в т] = 50 раз?

226

5.6. Оптика движущихся источников

ф Эффект Доплера при v <1 с:

Дм v „ — = — cos #, ш с

(5.6а)

где у —скорость источника, Ф — угол между направлением движения источника и линией наблюдения.

ф Эффект Доплера в общем случае:

где р = £>/с.

ф При # = 0 эффект Доплера называют продольным, при ф = я/2 — поперечным.

ф Эффект Вавилова —Черенкова:

где Ф — угол между направлением распространения излучения и вектором скорости v частицы.

5.224. В опыте Физо по определению скорости света расстояние между зубчатым колесом и зеркалом / = 7,0 км, число зубцов г = =- 720. Два последовательных исчезновения света наблюдали при скоростях вращения колеса п_г = 283 об/с и п_г = 313 об/с. Найти скорость света.

5.225. Источник света движется со скоростью и относительно приемника. Показать, что при v <^ с относительное изменение частоты света определяется формулой (5.6а).

5.226. Одна из спектральных линий, испускаемых возбужденными ионами Не⁺, имеет длину волны А = 410 нм. Найти доплеров-ское смещение ДА, этой линии, если ее наблюдать под углом 0' = 30^е* к пучку движущихся ионов с кинетической энергией Т — 10 МэВ.

5.227. При наблюдении спектральной линии А = 0,59 мкм в направлениях на противоположные края солнечного диска на его экваторе обнаружили различие в длинах волн на 6А = 8,0 пм. Найти период вращения Солнца вокруг собственной оси.

5.228. Эффект Доплера позволил открыть двойные звезды столь удаленные, что разрешение их с помощью телескопа оказалось невозможным. Спектральные линии таких звезд периодически становятся двойными, из чего можно предположить, что источником являются две звезды, обращающиеся вокруг их центра масс. Считая массы обеих звезд одинаковыми, найти расстояние между ними и их массы, если максимальное расщепление спектральных линий равно (ДАД)т = 1,2-10~⁴, причем оно возникает через каждые т = 30 дней.

5.229. Плоская электромагнитная волна частоты со₀ падает нормально на поверхность зеркала, движущегося навстречу с релятивистской скоростью V. Воспользовавшись формулой Доплера,

(5.6в)

8* 227

найти частоту отраженной волны. Упростить полученное выражение для случая V с.

5.230. Радиолокатор работает на длине волны X = 50,0 см. Определить скорость приближающегося самолета, если частота биений между сигналом передатчика и сигналом, отраженным от самолета, в месте расположения локатора равна Av = 1,00 кГц.

5.231. Имея в виду, что фаза волны со/— kx есть инвариант, т. е. не меняется при переходе от одной инерциальной системы к другой, определить, как преобразуются входящие в нее частота со и волновое число k. Рассмотреть одномерный случай.

5.232. С какой скоростью удаляется от нас некоторая туманность, если известно, что линия водорода X = 434 нм в ее спектре смещена в красную сторону на 130 нм?

5.233. С какой скоростью должна была бы двигаться автомашина, чтобы красный свет светофора (X та 0,70 мкм) превратился в зеленый (X' та 0,55 мкм)?

5.234. По некоторой прямой движутся в одном направлении наблюдатель со скоростью Vx = Уз с и впереди него источник монохроматического света со скоростью и₂ = ³Л^С- СобствеятгатгЧастота света равна со₀. Найти частоту света, которую зафиксирует наблюдатель.

5.235. Одна из спектральных линий атомарного водорода имеет длину волны X = 656,3 нм. Найти доплеровское смещение этой линии АХ, если ее наблюдать под прямым уг-

0 _^ лом к пучку атомов водорода с кинетической энергией Т = 1,0 МэВ (поперечный доплер-эффект).

5.236. Источник, испускающий электромагнитные сигналы с собственной частотой " со₀ = 3,0-10¹⁰ рад/с, движется с постоян-

Рис. 5.37. ной скоростью v = 0,80 с по прямой, от-

стоящей от неподвижного наблюдателя Р на расстоянии / (рис. 5.37). Найти частоту сигналов, воспринимаемых наблюдателем в момент, когда:

а) источник окажется в точке О;

б) наблюдатель увидит его в точке О.

5.237. Узкий пучок электронов проходит непосредственно над поверхностью металлического зеркала, на котором нанесена диф-

ракционная решетка с периодом !др^ d — 2,0 мкм. Электроны движутся со скоростью v, близкой к с, пер-пендикулярно к штрихам решетки. ^■Лф _v При этом наблюдается видимое

Ш^тШШШШШ: излучение - траектория электро-

нов имеет вид полоски, окраска Рис. 5.38. которой меняется в зависимости от

угла наблюдения # (рис. 5.38). Объяснить это явление. Найти длину волны наблюдаемого излучения при т> = 45°.

228

5.238. Газ состоит из атомов массы т, находящихся в термодинамическом равновесии при температуре Т. Пусть со₀ — собственная частота излучаемого атомами света.

а) Показать, что спектральное распределение излучаемого света определяется формулой

г _ т с— а(1— сй/сйо)²

'в — '0^е >

(/„ — спектральная интенсивность, соответствующая частоте со₀, а = mc²/2kT).

б) Найти относительную ширину Лй>/ю₀ данной спектральной линии, т. е. ширину линии между частотами, при которых /_ш = /₀/2.

5.239. В среде, движущейся с постоянной скоростью K<Jc относительно инерциальной /(-системы, распространяется плоская электромагнитная волна. Найти скорость этой волны в /(-системе, если показатель преломления среды равен п и направление распространения волны совпадает с направлением движения среды.

5.240. Аберрация света заключается в том, что при наблюдении звезды кажутся смещенными от истинного положения на небосводе (из-за движения Земли по орбите). Направление на звезду в плоскости эклиптики периодически меняется, и звезда совершает кажущиеся колебания в пределах угла 8f> = 41". Найти скорость Земли на орбите.

5.241. Показать, что преобразование угла f> между направлением распространения света и осью х при переходе от К- к /('-системе отсчета определяется формулой

a, cos#—В

COS v = -j-₅-*к ,

1 — 6 COS V

где В = К/с, К — скорость /('-системы относительно /(-системы. Оси х и х' обеих систем отсчета совпадают.

5.242. Найти угол полураствора конуса, в котором будут видны звезды, расположенные в полусфере для земного наблюдателя, если двигаться относительно Земли с релятивистской скоростью V, отличающейся от скорости света на 1,0%. Воспользоваться формулой из предыдущей задачи.

5.243. Найти условия, при которых заряженная частица, движущаяся равномерно в среде с показателем преломления п, будет излучать свет (эффект Вавилова — Черенкова). Найти также направление этого излучения.

Указание. Рассмотреть интерференцию колебаний, возбуждаемых частицей в разные моменты времени.

5.244. Найти наименьшие значения кинетической энергии электрона и протона, при которых возникает черенковское излучение в среде с показателем преломления п = 1,60. Для каких частиц это значение кинетической энергии Т_мин = 29,6 МэВ?

5.245. Определить кинетическую энергию электронов, которые в среде с показателем преломления п — 1,50 излучают свет под углом ■& = 30³ к направлению своего движения.

22»

5.7. Тепловое излучение. Квантовая природа света

ф Энергетическая светимость:

Af₈ = -£-„, (5.7а)

где и — объемная плотность энергии теплового излучения. ф Формула Вина и закон смещения Вина:

u_a = ©3f (fo/T), Т\_т = Ь, (5.76)

где Х_т—длина волны, соответствующая максимуму функции щ. ф Закон Стефана — Больцмана:

М_ъ = аТ*. (5.7в)

где а — постоянная Стефана — Больцмана. ф формула Планка:

й<о«_I

""""^е^-Г <^57г>

Ф Формула Эйнштейна для фотоэффекта:

_Й0)=Л + -^р • (5.7д)

ф Эффект Комптона:

ДА,=2яй_с(1—cosfl), (5.7е) где к_с = Н/шс—комптоновская длина волны.

5.246. Показать с помощью формулы Вина, что

а) наиболее вероятная частота излучения со_вер со Т;

б) максимальная спектральная плотность теплового излучения ("^макс <к> V^s;

в) энергетическая светимость М₃ со Т⁴.

5.247. Имеется два абсолютно черных источника теплового излучения. Температура одного из них Т_г = 2500 К. Найти температуру другого источника, если длина волны, отвечающая максимуму его испускательной способности, на АК = 0,50 мкм больше длины волны, соответствующей максимуму испускательной способности первого источника.

5.248. Энергетическая светимость абсолютно черного тела М₃ = = 3,0 Вт/см². Определить длину волны, отвечающую максимуму испускательной способности этого тела.

5.249. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет излучения. Оценить время, за которое масса Солнца уменьшится на 1%.

5.250. Найти температуру полностью ионизованной водородной плазмы плотностью р = 0,10 г/см³, при которой давление теплового излучения равно газокинетическому давлению частиц плазмы.

230

Иметь в виду, что давление теплового излучения р = и/3, где и — объемная плотность энергии излучения, и что при высоких температурах вещества подчиняются уравнению состояния идеальных газов.

5.251. Медный шарик диаметра d = 1,2 см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика Т₀ = = 300 К. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, ^— через сколько времени его темпе- ( ^

штлфа уменьшится в ц = 2,0 раза. ( ^J «-/

,2 ■> 4ii.252. Имеются две полости (рист~5.39) с малыми отверстиями одинаковых диаметров d — 1,0 см _Рис ₅₃₉

и абсолютно отражающими наружными поверхностями. Расстояние между отверстиями /= 10 см. В полости / поддерживается постоянная температура Т_х = 1700 К- Вычислить установившуюся температуру в полости 2.

Указание. Иметь в виду, что абсолютно черное тело является косинусным излучателем. , . 5.253. Полость объемом V = 1,0 л заполнена тепловым излучением при температуре Т = 1000 К- Найти:

а) теплоемкость C_v; б) энтропию S этого излучения.

5.254. Считая, что спектральное распределение энергии теплового излучения подчиняется формуле,Вина и (со, Т) = А(о³е-^аа>'^т, где а = 7,64 пс • К/рад, найти для температуры Т = 2000 К наиболее вероятную:

а) частоту излучения; б) длину волны излучения.

5.255. Получить с помощью формулы Планка приближенные выражения для объемной спектральной плотности излучения и_ш:

а) в области, где йсо <^ kT (формула Рэлея — Джинса);

б) в области, где Йсо ^> kT (формула Вина).

5_;256_v Преобразовать формулу Планка для объемной спектральной плотности излучения и_а от переменной со к переменным v (линейная частота) и к (длина волны).

5.257. Найти с помощью формулы Планка мощность излучения единицы поверхности абсолютно черного тела, приходящегося на узкий интервал длин волн ДА = 1,0 нм вблизи максимума спектральной плотности излучения, при температуре тала^Т = 3000 К-х *572§8?^На рис. 5.40 показан график функции fy(x), которая характеризует относительную долю общей мощности теплового излучения, приходящуюся на спектральный интервал от 0 до х. Здесь х = к/к_т (к_т — длина волны, отвечающая максимальной спектральной плотности излучения).

Найти с помощью этого графика:

а) длину волны, которая делит спектр излучения на две энергетически равные части при температуре 3700 К.;

231

б) долю общей мощности излучения, которая приходится на видимую часть спектра (0,40—0,76 мкм) при температуре 5000 К;

в) во сколько раз увеличится мощность излучения в области длин волн к > 0,76 мкм при возрастании температуры от 3000 до 5000 К.

О Ofl fffi 0,6 ЦВ 1,0 1,Z Ifi \6 1$ 2,0 2,2 X Рис. 5.40.

5.259. Найти с помощью формулы Планка выражения, определяющие число фотонов в 1 см³ полости при температуре Т в спектральных интервалах (со, со + dco) и (к, к + dk).

5.260. Точечный изотропный источник испускает свет с к = = 589 нм. Световая мощность источника Р = 10 Вт. Найти:

а) среднюю плотность потока фотонов на расстоянии г — 2,0 м от источника;

б) расстояние от источника до точки, где средняя концентрация фотонов п = 100 см^-3.

5.261. Показать с помощью корпускулярных представлений, что импульс, переносимый в единицу времени плоским световым потоком, не зависит от его спектрального состава, а определяется только потоком энергии Ф₉.

5.262. Лазер излучил в импульсе длительностью г = 0,13 мс пучок света с энергией Е = 10 Дж. Найти среднее давление такого светового импульса, если его сфокусировать в пятнышко диаметром d = 10 мкм на поверхность, перпендикулярную к пучку, с коэффициентом отражения р = 0,50.

. 5.263. Короткий импульс света с энергией Е = 7,5 Дж в виде узкого почти параллельного пучка падает на зеркальную пластинку с коэффициентом отражения р = 0,60. Угол падения ■& = 30°. Определить с помощью корпускулярных представлений импульс, переданный пластинке.

232

5.264. Плоская световая волна интенсивности / = 0,20 Вт/см²падает на плоскую зеркальную поверхность с коэффициентом отражения р = 0,8. Угол падения ft = 45°. Определить с помощью корпускулярных представлений значение нормального давления, которое оказывает свет на эту поверхность.

5.265. Плоская световая волна интенсивности / = 0,70 Вт/см²освещает шар с абсолютно зеркальной поверхностью. Радиус шара R = 5,0 см. Найти с помощью корпускулярных представлений силу светового давления, испытываемую шаром.

5.266. На оси круглой абсолютно зеркальной пластинки находится точечный изотропный источник, световая мощность которого Р. Расстояние между источником и пластинкой в и раз больше ее радиуса. Найти с помощью корпускулярных представлений силу све-. тового давления, испытываемую пластинкой.

5.267. В /(-системе отсчета фотон с частотой со падает нормально на зеркало, которое движется ему навстречу с релятивистской скоростью V. Найти импульс, переданный зеркалу при отражении фотона:

а) в системе отсчета, связанной с зеркалом;

б) в /(-системе.

5.268. Небольшое идеально отражающее зеркальце массы т = = 10 мг подвешено на невесомой нити длины / = 10 см. Найти угол, на который отклонится нить, если по нормали к зеркальцу в горизонтальном направлении произвести «выстрел» коротким импульсом лазерного излучения с энергией Е = 13 Дж. За счет чего зеркальце приобретет кинетическую энергию?

5.269. Фотон с частотой со₀ испущен с поверхности звезды, масса которой М и радиус R. Найти гравитационное смещение частоты фотона А(о/со₀ на очень большом расстоянии от звезды.

5.270. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке в т) = 1,5 раза длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на ДА = 26 пм. Найти первоначальное напряжение на трубке.

5.271. Узкий пучок рентгеновских лучей падает на монокристалл NaCl. Наименьший угол скольжения, при котором еще наблюдается зеркальное отражение от системы кристаллических плоскостей с межплоскостным расстоянием d = 0,28 нм, равен а = 4Л°. Каково напряжение на рентгеновской трубке?

'■• 5-272. Найти длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если скорость электронов, подлетающих к антикатоду трубки, v = 0,85с, где с — скорость света.

5.273. Определить красную границу фотоэффекта для цинка и максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с его поверхности электромагнитным излучением с длиной волны 250 нм.

5.274. При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с длинами волн К_г = 0,35 мкм и А,₂ = 0,54 мкм обнаружили, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в ц — 2,0 раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла.

233

5.275. До какого максимального потенциала зарядится удаленный от других тел медный шарик при облучении его электромагнитным излучением с длиной волны А = 140 нм?

5.276. Найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, вырываемых с поверхности лития электромагнитным излучением, напряженность электрической составляющей которого меняется со временем по закону Е = а (1 + cos со/) cos со₀/, где а — некоторая постоянная, со = 6,0-10¹⁴ рад/с и со₀ = 3,60-10¹⁵ рад/с.

5.277. Электромагнитное излучение с длиной волны % = 0,30 мкм падает на фотоэлемент, находящийся в режиме насыщения. Соответствующая спектральная чувствительность фотоэлемента J = = 4,8 мА/Вт. Найти выход фотоэлектронов, т. е. число фотоэлектронов на каждый падающий фотон.

5.278. Имеется вакуумный фотоэлемент, один из электродов которого цезиевый, другой — медный. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, подлетающих к медному электроду, при освещении цезиевого электрода электромагнитным излучением с длиной волны 0,22 мкм, если электроды замкнуть снаружи накоротко.

5.279. Фототок, возникающий в цепи вакуумного фотоэлемента при освещении цинкового электрода электромагнитным излучением с длиной волны 262 нм, прекращается, если подключить внешнее задерживающее напряжение 1,5 В. Найти величину и полярность внешней контактной разности потенциалов данного фотоэлемента.

5.280. Составить выражение для величины, имеющей размерность длины, используя скорость света с, массу частицы т и постоянную Планка h. Что это за величина?

5.281. Показать с помощью законов сохранения, что свободный электрон не может полностью поглотить фотон.

5.282. Объяснить следующие особенности комптоновского рассеяния света веществом:

а) независимость смещения ДА, от природы рассеивающего вещества;

б) увеличение интенсивности смещенной компоненты рассеянного света с уменьшением атомного номера вещества, а также с ростом угла рассеяния;

в) наличие несмещенной компоненты в рассеянном излучении.

5.283. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на рассеивающее вещество. При этом длины волн излучения, рассеянного под углами fli = 60° и д₂ = 120°, отличаются друг от друга в л = 2,0 раза. Считая, что рассеяние происходит на свободных электронах, найти длину волны падающего излучения.

5.284. Фотон с энергией йсо = 1,00 МэВ рассеялся на свободном покоившемся электроне. Найти кинетическую энергию электрона отдачи, если в результате рассеяния длина волны фотона изменилась на г| = 25%.

5.285. Фотон с длиной волны А = 6,0 пм рассеялся под прямым углом на покоившемся свободном электроне. Найти:

а) частоту рассеянного фотона;

234

б) кинетическую энергию электрона отдачи.

5.286. Фотон с энергией Нол = 250 кэВ рассеялся под углом ■О = 120° на первоначально покоившемся свободном электроне. Определить энергию рассеянного фотона.

5.287. Фотон с импульсом р = 1,02 МэВ/с, где с — скорость света, рассеялся на покоившемся свободном электроне, в результате чего импульс фотона стал р' = 0,255 МэВ/с. Под каким углом рассеялся фотон?

5.288. Фотон рассеялся под углом г> = 120° на покоившемся свободном электроне, в результате чего электрон получил кинетическую энергию Т = 0,45 МэВ. Найти энергию фотона до рассеяния.

5.289. Найти длину волны рентгеновского излучения, если максимальная кинетическая энергия комптоновских электронов Т_шкс = = 0,19 МэВ.

5.290. Фотон с энергией ha = 0,15 МэВ рассеялся на покоившемся свободном электроне, в результате чего его длина волны изменилась на ДА = 3,0 пм. Найти угол, под которым вылетел компто-новский электрон.

5.291. Фотон с энергией, в и = 2,0 раза превышающей энергию покоя электрона, испытал лобовое столкновение с покоившимся свободным" электроном. Найти радиус кривизны траектории электрона отдачи в магнитном поле В = 0,12 Т. Предполагается, что электрон отдачи движется перпендикулярно к направлению поля.

5.292. Фотон, испытав столкновение с релятивистским электроном, рассеялся под углом т) = 60°, а электрон остановился. Найти комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона.

Ч а с г ь 6

АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА*)

6.1. Рассеяние частиц. Атом Резерфорда—Бора

0 Угол на который рассеивается заряженная частица кулоновским полем неподвижного ядра, определяется формулой:

_<7i<72

^s 2 2bT'

(6.1a)

где J

-кинети-

Qi и ^a —заряды частицы и ядра, Ь — прицельный параметр,

._, ческая энергия налетающей частицы.

/0 Формула Резерфорда. Относительное число частиц, рассеянных в элементарном телесном угле dQ под углом О к первоначальному направлению их движения:


		1"
		Серия ■ • Пашет
	Серия Бальмера Серия , , Лаипана

N \АТ ) sin* (0/2)

(6.16)

где п — число ядер фольги на единицу ее поверхности, dQ = sin0 d$ d<p.

0 Обобщенная формула Бальмера (рис. 6.1):

Рис. 6.1.

me*

(6.

где со —частота перехода (рад'с) между энергетическими уровнями с квантовыми числами п_х и п₂, R — постоянная Ридберга, Z — порядковый номер водородо-подобиого иона.

6.1. Вычислить согласно модели Томсона радиус атома водорода и длину волны испускаемого им света, если известно, что энергия ионизации атома Е = 13,6 эВ.

6.2. Альфа-частица с кинетической энергией 0,27 МэВ рассеялась золотой фольгой на угол 60°. Найти соответствующее значение прицельного параметра.

6.3. На какое минимальное расстояние приблизится а-частица с кинетической энергией Т = 0,40 МэВ (при лобовом соударении):

а) к покоящемуся тяжелому ядру атома свинца;

б) к первоначально покоившемуся легкому свободному ядру Li⁷?

*) В этой части все формулы даиы в гауссовой системе.

236

6.4. Альфа-частица с кинетической энергией Т = 0,50 МэВ рассеялась под углом г) = 90° на кулоновском поле неподвижного ядра атома ртути. Найти:

а) наименьший радиус кривизны ее траектории;

б) минимальное расстояние, на которое она сблизилась с ядром.

6.5. Протон с кинетической энергией Т и прицельным параметром Ь рассеялся на кулоновском поле неподвижного ядра атома золота. Найти импульс, переданный данному ядру в результате рассеяния. *

6.6. Протон с кинетической энергией Т = 10 МэВ пролетает на расстоянии Ь = 10 пм от свободного покоившегося электрона. Найти энергию, которую получит электрон, считая, что траектория протона прямолинейная и за время пролета электрон остается практически неподвижным.

6.7. Частица с кинетической энергией Т рассеивается на сферической потенциальной яме радиуса R и глубины U₀, т. е. полем, в котором потенциальная энергия частицы имеет вид

где г — расстояние от центра ямы. Найти связь между прицельным параметром частицы b и углом г), на который она отклонится от первоначального направления движения.

6.8. Неподвижный шар радиуса R облучают параллельным потоком частиц, радиус которых г. Считая столкновение частицы с шаром упругим, найти:

а) угол г) отклонения частицы в зависимости от ее прицельного параметра Ь;

б) относительную долю частиц, которые после столкновения с шаром рассеялись в интервале углов от г) до г) + dr);

в) вероятность того, что частица, испытавшая соударение с шаром, рассеется в переднюю полусферу (г) < л/2).

6.9. Узкий пучок а-частиц с кинетической энергией 1,0 МэВ падает нормально на платиновую фольгу толщины 1,0 мкм. Наблюдение рассеянных частиц ведется под углом 60° к направлению падающего пучка при помощи счетчика с круглым входным отверстием площади 1,0 см², которое расположено на расстоянии 10 см от рассеивающего участка фольги. Какая доля рассеянных а-частиц падает на отверстие счетчика?

6.10. Узкий пучок а-частиц с кинетической энергией Т = = 0,50 МэВ и интенсивностью / = 5,0-10⁵ част./с падает нормально на золотую фольгу. Найти ее толщину, если на расстоянии г = 15 см от рассеивающего участка под углом г) = 60° к направлению падающего пучка плотность потока рассеянных частиц J = = 40 част./(см²-с).

6.11. Узкий пучок а-частиц падает нормально на серебряную фольгу. За ней установлен счетчик, регистрирующий частицы,

237

рассеянные в соответствии с формулой Резерфорда. При замене серебряной фольги на платиновую той же массовой толщины число регистрируемых в единицу времени а-частиц возросло в л = 1,52 раза. Найти порядковый номер платины, считая, что порядковый номер серебра и массовые числа обоих элементов известны.

6.12. Узкий пучок а-частиц с кинетической энергией Т = = 0,50 МэВ падает нормально на золотую фольгу, массовая толщина которой pd = 1,5мг/см². Интенсивность пучка /₀ = 5,0-10⁵ част./с. Найти число а-чаетиц, рассеянных фольгой за т = 30 мин в интервалах углов:

а) 59—61°; б) свыше г>₀ = 60°.

6.13. Узкий пучок протонов, имеющих скорость v = 6-Ю⁶ м/с, падает нормально на серебряную фольгу толщины d = 1,0 мкм. Найти вероятность рассеяния протонов в заднюю полусферу (г) > > 90°).

6.14. Узкий пучок а-частиц с кинетической энергией Т = — 600 кэВ падает нормально на золотую фольгу, содержащую п = = 1,1 • 10¹⁹ ядер/см². Найти относительное число а-частиц, рассеивающихся под углами ■& < т)₀ = 20°.

6.15. Узкий пучок протонов с кинетической энергией Т = = 1,4 МэВ падает нормально на латунную фольгу, массовая толщина которой pd = 1,5 мг/см². Весовое отношение меди и цинка в фольге равно соответственно 7 : 3. Найти относительное число протонов, рассеивающихся на углы свыше f>₀ = 30°.

6.16. Найти эффективное сечение ядра атома урана, соответствующее рассеянию а-частиц с кинетической энергией Т — 1,5 МэВ в интервале углов свыше т)₀ = 60°.

6.17. Эффективное сечение ядра атома золота, отвечающее рассеянию моноэнергетических а-частиц в интервале углов от 90 до 180°, равно Да = 0,50 кб. Определить:

а) энергию а-частиц;

б) дифференциальное сечение рассеяния da/dQ (кб/ср), соответствующее углу ■& = 60°.

6.18. Согласно классической электродинамике электрон, движущийся с ускорением w, теряет энергию на излучение по закону

dE 2е* .

— =--w

dt ЪФ '

где е — заряд электрона, с — скорость света. Оценить время, за которое энергия электрона, совершающего колебания, близкие к гармоническим с частотой to = 5-Ю¹⁵ рад/с, уменьшится в т) = = 10 раз.

6.19. Воспользовавшись формулой из предыдущей задачи, оценить время, в течение которого электрон, движущийся в атоме водорода по круговой орбите радиуса г = 50 пм, упал бы на ядро. Для простоты считать, что вектор w все время направлен к центру атома.

238

6.20. Показать, что частота со фотона, возникающего при переходе электрона между соседними круговыми орбитами водородо-подобного иона, удовлетворяет неравенству со„ •< со < со„₊₁, где со„ и со_п+1 — частоты обращения электрона вокруг ядра на этих круговых орбитах. Убедиться, что при п -»- оо частота фотона со со„.

6.21. Частица массы т движется по круговой орбите в центрально-симметричном потенциальном поле U(r) = /гг²/2. Найти с помощью боровского условия квантования возможные радиусы орбит и уровни энергии этой частицы.

6.22. Вычислить для атома водорода и иона Не⁺:

а) радиус первой боровской орбиты и скорость электрона на ней;

б) кинетическую энергию и энергию связи электрона в основном состоянии;

в) потенциал ионизации, первый потенциал возбуждения и длину волны резонансной линии (п' — 2->- п = 1).

6.23. Вычислить круговую частоту обращения электрона на второй боровской орбите иона Не⁺.

6.24. Найти для водородоподобных систем магнитный момент ц„, соответствующий движению электрона на п-й орбите, а также отношение магнитного момента к механическому ц_п/М_п. Вычислить магнитный момент электрона, находящегося на первой боровской орбите.

6.25. Вычислить индукцию магнитного поля в центре атома водорода, обусловленного движением электрона по первой боровской орбите.

6.26. Рассчитать и изобразить в шкале длин волн спектральные интервалы, в которых заключены серии Лаймана, Бальмера и Пашена для атомарного водорода. Выделить на этой шкале видимую область спектра.

6.27. Какой серии принадлежит спектральная линия атомарного водорода, волновое число которой равно разности волновых чисел следующих двух линий серии Бальмера: 486,1 и 410,2 нм? Какова длина волны этой линии?

6.28. Вычислить для атомарного водорода:

а) длины волн первых трех линий серии Бальмера;

б) минимальную разрешающую способность спектрального прибора, при которой возможно разрешить первые 20 линий серии Бальмера.

6.29. Излучение атомарного водорода падает нормально на дифракционную решетку ширины / = 6,6 мм. В наблюдаемом спектре под некоторым углом дифракции ■& оказалась на пределе разрешения (по критерию Рэлея) 50-я линия серии Бальмера. Найти этот угол.

6.30. Какому элементу принадлежит водородоподобный спектр, длины волн линий которого в четыре раза короче, чем у атомарного водорода?

239

6.31. Сколько спектральных линий будет испускать атомарный водород, который возбуждают на я-й энергетический уровень?

6.32. Какие линии содержит спектр поглощения атомарного водорода в диапазоне длин волн от 94,5 до 130,0 нм?

6.33. Найти квантовое число п, соответствующее возбужденному состоянию иона Не⁺, если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн 108,5 и 30,4 нм.

6.34. Вычислить постоянную Ридберга R, если известно, что для ионов Не⁺ разность длин воли между головными линиями серий Бальмера и Лаймана ДА = 133,7 им.

6.35. У какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана равна 59,3 нм?

6.36. Найти длину волны головной линии той спектральной серии ионов Не⁺, у которой интервал между крайними линиями Асо = 5,18 • 10" рад/с.

6.37. Найти энергию связи электрона в основном состоянии водородоподобных ионов, в спектре которых длина волны третьей линии серии Бальмера равна 108,5 нм.

6.38. Энергия связи электрона в основном состоянии атома Не равна Е₀ = 24,6 эВ. Найти энергию, необходимую для удаления обоих электронов из этого атома.

6.39. Найти скорость фотоэлектронов, вырываемых электромагнитным излучением с длиной волны X = 18,0 нм из ионов Не⁺, которые находятся в основном состоянии и покоятся.

6.40. С какой минимальной кинетической энергией должен двигаться атом водорода, чтобы при неупругом лобовом соударении С другим, покоящимся, атомом водорода один из них оказался Способным испустить фотон? Предполагается, что до соударения оба атома находятся в основном состоянии.

6.41. Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Какую скорость приобрел атом?

6.42. В условиях предыдущей задачи найти, на сколько процентов энергия испущенного фотона отличается от энергии соответствующего перехода в атоме водорода.

6.43. Покоящийся ион Не⁺ испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Этот фотон вырвал фотоэлектрон из покоящегося атома водорода, который находился в основном состоянии. Найти скорость фотоэлектрона.

6.44. Найти скорость возбужденных атомов водорода, если при наблюдении их излучения под углом ■& = 45° к направлению движения данных атомов длина волны головной линии серии Лаймана оказалась смещенной на АХ = 0,20 нм.

6.45. Согласно постулату Бора — Зоммерфельда при периодическом движении частицы в потенциальном поле должно выполняться следующее правило квантования:

<§>раг—2яйя,

24*

где р — импульс частицы, йт — ее элементарное перемещение, п — целые числа. Воспользовавшись этим правилом, найти разрешенные значения энергии частицы массы т, которая движется:

а) в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины / с бесконечно высокими стенками;

б) по окружности радиуса г;

в) в одномерном потенциальном поле U = ах²/2, где а — положительная постоянная;

г) по круговой орбите в центральном поле, где потенциальная энергия частицы U = —а/г, а — положительная постоянная.

6.46. Найти с учетом движения ядра атома водорода выражения для энергии связи электрона в основном состоянии и для постоянной Ридберга. На сколько процентов отличается энергия связи и постоянная Ридберга, полученные без учета движения ядра, от соответствующих уточненных значений этих величин?

6.47. Найти для атомов легкого и тяжелого водорода (Н и D) разность:

а) энергий связи их электронов в основном состоянии;

б) длин волн головных линий серии Лаймана.

6.48. Вычислить расстояние между частицами системы в основном состоянии, соответствующую энергию связи и длину волны головной линии серии Лаймана, если системой является:

а) мезоатом водорода, ядром которого служит протон (в мезоатоме вместо электрона движется мезон, имеющий тот же заряд, но массу в 207 раз большую);

б) позитроний, который состоит из электрона и позитрона, движущихся вокруг общего центра масс.

6.2. Волновые свойства частиц

@ Дебройлевская длина волны частицы с импульсом р:

Я = . (6.2а)

А* • ДР* ^> (6.26)

dt 2т '

(6.2в)

где "F — полная волновая функция, яр — ее координатная часть, V² — оператор Лапласа, Е и U — полная и потенциальная энергии частицы. В сфгрических координатах:

_Г„__д , 1 д I д \ , 1 _/го _ч

^v"- дг* ¹ г дг ^т /-2 sin й дЬ {^Sm®4Wj ⁺ ~^s№$~d^' ^{Ь-^2Г)

24*

Коэффициент прозрачности потенциального барьера U (х):

D = ехр

j У~2т (U — Е) dx

(6.2д)

где Хх и х₂ — координаты точек, между которыми £/>£.

6.49. Вычислить дебройлевские длины волн электрона, протона и атома урана, имеющих одинаковую кинетическую энергию 100 эв.

6.50. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 до 50 пм?

6.51. Нейтрон с кинетической энергией Т = 25 эВ налетает на покоящийся дейтон (ядро тяжелого водорода). Найти дебройлевские длины волн обеих частиц в системе их центра инерции.

6.52. Две одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпендикулярно друг к другу с дебройлевскими длинами волн %х ^и ^2- Найти дебройлевскую длину волны каждой частицы в системе их центра инерции.

6.53. Найти дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующую их наиболее вероятной скорости при комнатной температуре.

6.54. Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны молекул водорода, находящихся в термодинамическом равновесии при комнатной температуре.

6.55. Получить выражение для дебройлевской длины волны А, релятивистской частицы, движущейся с кинетической энергией Т. При каких значениях Т ошибка в определении А по нерелятивистской формуле не превышает 1% для электрона и протона?

6.56. При каком значении кинетической энергии дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине волны?

6.57. Найти дебройлевскую длину волны релятивистских электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра А_к = 10,0 пм?

6.58. Параллельный поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины Ъ =1,0 мкм. Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние / = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума Ах = 0,36 мм.

6.59. Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенциалов U = 25 В, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми d = 50 мкм. Определить расстояние между соседними максимумами дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии / = 100 см от щелей.

6.60. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает под углом скольжения т> = 30° на естественную грань монокристалла

242

алюминия. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными этой грани монокристалла, d = 0,20 нм. При некотором ускоряющем напряжении U₀ наблюдали максимум зеркального отражения. Найти U₀, если известно, что следующий максимум зеркального отражения возникал при увеличении ускоряющего напряжения в У) = 2,25 раза.

6.61. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол f> = 55° с нормалью к поверхности, наблюдается максимум отражения четвертого порядка при энергии электронов Т = 180 эВ. Вычислить соответствующее значение межплоскостного расстояния.

6.62. Узкий пучок электронов с кинетической энергией Т = = 10 кэВ проходит через поликристаллическую алюминиевую фольгу, образуя на экране систему дифракционных колец. Вычислить межплоскостное расстояние, соответствующее отражению третьего порядка от некоторой системы кристаллических плоскостей, если ему отвечает дифракционное кольцо диаметра D = 3,20 см. Расстояние между экраном и фольгой / = 10,0 см.

6.63. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов U, падает на поверхность металла, внутренний потенциал которого Ui = 15 В. Найти:

а) показатель преломления металла для электронов с U = 150 В;

б) отношение U/U_h при котором показатель преломления отличается от единицы не более чем на л = 1,0%.

6.64. Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна /. Найти возможные значения энергии частицы, имея в виду, что реализуются лишь такие состояния ее движения, для которых в пределах данной ямы укладывается целое число деброй-левских полуволн.

6.65. Интерпретировать квантовые условия Бора на основе волновых представлений: показать, что электрон в атоме водорода может двигаться только по тем круговым орбитам, на которых укладывается целое число дебройлевских волн.

6.66. Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость электрона, протона и шарика массы 1 мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.

6.67. Оценить с помощью соотношения неопределенностей неопределенность скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома I = 0,10 нм. Сравнить полученную величину со скоростью электрона на первой боровской орбите данного атома.

6.68. Показать, что для частицы, неопределенность местоположения которой Ах = к/2л, где % — ее дебройлевская длина волны, неопределенность скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.

243

6.69. Свободный электрон первоначально был локализован в области размером / = 0,10 нм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей время, за которое ширина соответствующего волнового пакета увеличится в т) =-- 10 раз.

6.70. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером / = 0,20 нм.

6.71. Электрон с кинетической энергией Т да 4 эВ локализован в области размером / = 1 мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.

6.72. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна /. Оценить с помощью соотношения неопределенностей силу давления электрона на стенки этой ямы при минимально возможной его энергии.

6.73. Частица массы m движется в одномерном потенциальном поле U — kx²/2 (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.

6.74. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра.

6.75. Параллельный пучок атомов водорода со скоростью v = — 600 м/с падает нормально на диафрагму с узкой щелью, за которой на расстоянии / = 1,0 м расположен экран. Оценить с помощью соотношения неопределенностей ширину б щели, при которой ширина изображения ее на экране будет минимальной.

6.76. Найти частное решение одномерного временного уравнения Шрёдингера для свободно движущейся частицы массы т.

6.77. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины / с абсолютно непроницаемыми стенками (0 <; х < /). Найти вероятность пребывания частицы в области Уз I «S'х ==с ²/₃/.

6.78. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна /. Найти нормированные волновые функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета координаты х в середине ямы.

6.79. Доказать, что волновые функции стационарных состояний частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками являются ортогональными, т. е. удовлетворяют условию

$ i|v|v я* = 0, если п' Ф п. Здесь / — ширина ямы, п — целые о

числа.

6.80. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы / такова, что энергетические уровни расположены весьма густо.

244

Найти плотность уровней dN/dE, т. е. их число на единичный интервал энергии, в зависимости от Е. Вычислить dN/dE для Е = 1,0 эВ, если / = 1,0 см.

6.81. Частица массы т находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти:

а) возможные значения энергии частицы, если стороны ямы равны 1_Х и /₂;

б) значения энергии частицы на первых четырех уровнях, если яма квадратная со стороной /.

6.82. Частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (0 << х << < а, 0 < у <с Ъ). Определить вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области 0 < х < а/3.

6.83. Частица массы т находится в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Сторона куба равна а. Найти:

а) собственные значения энергии частицы;

б) разность энергий 3-го и 4-го уровней;

в) энергию 6-го уровня и соответствующее ему число состояний (кратность вырождения).

6.84. Показать с помощью уравнения Шрёдингера, что в точке, где потенциальная энергия частицы U(x) имеет конечный разрыв, волновая функция остается гладкой, т. е. ее первая производная по координате непрерывна.

6.85. Частица массы т находится в одномерном потенциальном поле U(x), вид которого показан на рис. 6.2, где (7(0) = со. Найти:

а) уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в области Е < U₀; привести это уравнение к виду

sin/W = ±kl yti²/2ml²U~₀, где k = Y2mElh. Показать с помощью графического решения данного уравне- о / ^ ния, что возможные значения энергии частицы образуют дис- Рис 6.2. кретный спектр;

б) минимальное значение величины /²(У₀, при котором появляется первый энергетический уровень в области Е <с U₀. При каком минимальном значении l²U₀ появляется n-й уровень?

6.86. Воспользовавшись решением предыдущей задачи, определить вероятность нахождения частицы с энергией Е = U₀/2 в области х > /, если l²U₀ = (³/₄я)^г U²/m.

6.87. Найти возможные значения энергии частицы массы т, находящейся в сферически-симметричной потенциальной яме U(r) = = 0 при /•</■(« U(r) = оо при г = г₀, для случая, когда движение частицы описывается волновой функцией ф(г), зависящей только от г.

245

Указание. При решении уравнения Шрёдингера воспользоваться подстановкой ар(/-) = %{г)/г.

6.88. Имея в виду условия предыдущей задачи, найти:

а) нормированные собственные функции частицы в состояниях, где ty(r) зависит только от г;

б) для основного состояния частицы наиболее вероятное значение г_вер, а также вероятность нахождения частицы в области г < г_аер.

6.89. Частица массы т находится в сферически-симметричной потенциальной яме U(r) = 0 при г < г₀ и U(r) = U₀ при г> г₀.

а) Найти с помощью подстановки тр(/-) = %(r)/r уравнение, определяющее собственные значения энергии Е частицы при Е < U₀, когда движение описывается волновой функцией тр(/-), зависящей только от г. Привести это уравнение к виду

s'mkr₀ = ±kr_oy~H²/2tnroU₀, где k = ]/2тЕ/Н.

б) Определить значение величины гЦ]_й, при котором появляется первый уровень.

6.90. Волновая функция частицы массы т для основного состояния в одномерном потенциальном поле U(x) = kx²/2 имеет вид ip(x) = Ае-⁰"², где А — нормировочный коэффициент, а — положительная постоянная. Найти с помощью уравнения Шрёдингера постоянную а и энергию Е частицы в этом состоянии.

6.91. Определить энергию электрона атома водорода в стационарном состоянии, для которого волновая функция ty(r) = Л(1 + + аг)е~^аг, где А, а и а — некоторые постоянные.

6.92. Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид ty(r) =Ae-^r/ri, где А —некоторая постоянная, г_х — первый боровский радиус. Найти:

а) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром;

б) среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон;

в) среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра.

6.93. Найти средний электростатический потенциал, создаваемый электроном в центре атома водорода, если электрон находится в основном состоянии, для которого волновая функция ip(/") = = A e~^r/ri, где А — некоторая постоянная, г_х — первый боровский радиус.

6.94. Частицы с массой т и энергией £ движутся слева на потен-

₁

"о

⁰ ^х циальный барьер (рис. 6. 3). Найти:

Рис. б.з. а) коэффициент отражения R

этого барьера при Е > U₀; б) эффективную глубину проникновения частиц в область х > 0 при Е •< U₀, т. е. расстояние от границы барьера до точки, где плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в е раз.

246

6.95. Воспользовавшись формулой (6.2д), найти для электрона с энергией Е вероятность D прохождения потенциального барьера, ширина которого / и высота U₀, если барьер имеет форму, показанную:

а) на рис. 6.4;

б) на рис. 6.5.


А
_I_

₁₁

Рис. 6.4.

Рис. 6.5.

-I О I Рис. 6.6.

6.96. Найти с помощью формулы (6.2д) вероятность D прохождения частицы с массой т и энергией Е сквозь потенциальный барьер (рис. 6.6), где U{x) = U₀(l — х²//²).

6.3. Свойства атомов. Спектры

0 Спектральные обозначения термов: ^K(L)j, где x = 2S+l—мультиплет-ность, L, S, / — квантовые числа,

L =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.....

(L): S, Р, D, F, G, Н, 1, ...

О Термы атомов щелочных металлов:

(п + а)²'

где Я —постоянная Ридберга, a — ридберговская поправка. На рис. -6.7 показана схема термов атома лития. 0 Механические моменты атома:

M_L = ti Yh (Z.+1), аналогично M_s и Mj.

(6.3а)

(6.36)

0 Правила Хунда:

1) наименьшей энергией обладает терм с максимальным значением 5 при данной электронной конфигурации и максимально возможным при этом 5_Иакс значении L;

2) для основного (нормального) терма J' = \L — S\, если подоболочка заполнена менее чем наполовину, и / = Z. + S в остальных случаях,

0 Распределение Больцмана:

^Ni ₌ вг _е-(Е,-Е,)/кТ

(б.Зв)

где gi и gi — статистические веса (кратности вырождения) соответствующих уровней,

247

0 Вероятности переходов атома в единицу времени между уровнем 1 и более высоким уровнем 2—для спонтанного и индуцированного излучения и поглощения:

где A₂i, B₂i, В_и — коэффициенты Эйнштейна, и_и —спектральная плотность излучения, отвечающая частоте со перехода между данными уровнями.

Резная серия

Диффуз-'ная серия

м-

I-серия

Рис. 6.7.

К-серия Рис. 6.8.

Из •*3

-4 3

Связь между коэффициентами Эйнштейна:

giB₁₂ = g₂B₂i, В₂₁л²с³Йсоз

Л₂

0 Схема возникновении рентгеновских спектров (рис. 6.8). 0 Закон Мозли для /С_а-линий:

со_к =3/₄/?(Z_a)*,

(б.Зд)

(б.Зе)

где о —поправка, равная для легких элементов единице.

0 Магнитный момент атома и фактор (множитель) Ланде:

_{^8УЛГй),в,}_{g=.+J(J+1)+^+.1i)-Mf'+1)}

(б.Зж)

Зеемановское расщепление спектральных линий в слабом магнитном

поле:

Дсо = (т^ — т^₂) ц_ВВ/П.

(б.Зз)

0 При излучении вдоль магнитного поля зеемановские компоненты, обусловленные переходами mi = m₂, отсутствуют.

6.97. Энергия связи валентного электрона атома лития в состояниях 2S и 2Р равна соответственно 5,39 и 3,54 эВ. Вычислить рид-берговские поправки для S- и Р-термов этого атома.

248

6.98. Найти ридберговскую поправку для ЗЯ-терма атома натрия, первый потенциал возбуждения которого 2,10 В, а энергия связи валентного электрона в основном 35-состояпии 5,14 эВ.

6.99. Найти энергию связи валентного электрона в основном состоянии атома лития, если известно, что длина волны головной линии резкой серии А,_х = 813 нм и длина волны коротковолновой границы этой серии А,₂ = 350 км.

6.100. Определить длины волн спектральных линий, возникающих при переходе возбужденных атомов лития из состояния 3S в основное состояние 2S. Ридберговские поправки для S- и Р-термов равны —0,41 и —0,04.

6.101. Длины волн компонент желтого дублета резонансной линии натрия, обусловленной переходом 3P->3S, равны 589,00 и 589,56 нм. Найти величину расщепления ЗР-терма в эВ.

6.102. Головная линия резкой серии атомарного цезия представляет собой дублет с длинами волн 1358,8 и 1469,5 нм. Найти интервалы в частотах (рад/с) между компонентами следующих линий этой серии.

6.103. Выписать спектральные обозначения термов атома водорода, электрон которого находится в состоянии с главным квантовым числом п = 3.

6.104. Сколько и каких квантовых чисел J может иметь атом в состоянии с квантовыми числами S и L, равными соответственно:

а) 2 и 3; б) 3 и 3; в) 5/2 и 2?

6.105. Найти возможные значения полных механических моментов атомов, находящихся в состояниях ⁴Р и ^SD.

6.106. Найти максимально возможный полный механический момент и соответствующее спектральное обозначение терма атома:

а) натрия, валентный электрон которого имеет главное квантовое число п — 4;

б) с электронной конфигурацией ls²2p3d.

6.107. Известно, что в F- и D-состояниях число возможных значений квантового числа J одинаково и равно пяти. Определить спиновый механический момент в этих состояниях.

6.108. Атом находится в состоянии, мультиплетность которого равна трем, а полный механический момент — Н ]/20. Каким может быть соответствующее квантовое число L?

6.109. Найти возможные мультиплетности х термов типа: а) Ю₂; б) "А,,; в)

6.110. Некоторый атом, кроме заполненных оболочек, имеет три электрона (s, р и d) и находится в состоянии с максимально возможным для этой конфигурации полным механическим моментом. Найти в соответствующей векторной модели атома угол между спиновым и полным механическими моментами данного атома.

6.Ш Атом находится в состоянии со спиновым квантовым числом 5=1, имея полный механический момент ft ]/б. В соответствующей векторной модели угол между спиновым и полным

249

механическими моментами ■& = 73,2°. Написать спектральный символ терма этого состояния.

6.112. Выписать спектральные символы термов двухзлектронной системы, состоящей из одного р-электрона и одного d-электрона.

6.113. Система состоит из d-электрона и атома в ²А_/гсостоянии. Найти возможные спектральные термы этой системы.

6.114. Установить, какие из нижеперечисленных переходов запрещены правилами отбора: ²Ds/_t ->- ²Py_t, ³Р_Х -у ²S_t/₂, ³F₃ -у ³Р₂,

6.115 Определить суммарную кратность вырождения 3D-состоя -ния атома лития. Каков физический смысл этой величины?

6.116. Найти кратность вырождения состояний ²Р, ^aD и ⁱF с максимально возможными значениями полного механического момента.

6.117. Написать спектральное обозначение терма, кратность вырождения которого равна семи, а квантовые числа L и S связаны соотношением L = 35.

6.118. У атома какого элемента заполнены К.-, L- и Af-оболоч-ки, 45-подоболочка и наполовину 4/>-подоболочка?

6.119. Используя правила Хунда, найти основной терм атома, незаполненная подоболочка которого содержит:

а) три /з-электрона; б) четыре р-электрона.

6.120. Найти с помощью правил Хунда полный механический момент атома в основном состоянии, если его незаполненная подоболочка содержит:

а) три d-электрона; б) семь d-электронов.

6.121. Воспользовавшись правилами Хунда, найти число электронов в единственной незаполненной подоболочке атома, основной терм которого:

a) ³F₂; б) ²Рз_/2; в) ⁶S_V,.

6.122. Написать с помощью правил Хунда спектральный символ основного терма атома, единственная незаполненная подоболочка которого заполнена:

а) на 1/3, и 5 = 1; б) на 70%, и S = 3/2.

6.123. Единственная незаполненная подоболочка некоторого атома содержит три электрона, причем основной терм атома имеет L = 3. Найти с помощью правил Хунда спектральный символ основного состояния данного атома.

6.124. Найти с помощью правил Хунда магнитный момент основного состояния атома, незамкнутая подоболочка которого заполнена ровно наполовину пятью электронами.

6.125. Какая относительная часть атомов водорода находится в состоянии с главным квантовым числом п = 2 при температуре Т = 3000 к?

6.126. Определить отношение числа атомов газообразного натрия в состоянии ЗР к числу атомов в основном состоянии 3S при температуре Т = 2400 К. Известно, что переходу ЗР -у 3S соответствует спектральная линия с длиной волны А = 589 нм.

250

6.127. Вычислить среднее время жизни возбужденных атомов, если известно, что интенсивность спектральной линии, обусловленной переходом в основное состояние, убывает в п. = 25 раз на расстоянии / = 2,5 мм вдоль пучка атомов, скорость которых v = 600 м/с.

6.128. Разреженные пары ртути, атомы который практически все находятся в основном состоянии, осветили резонансной линией ртутной лампы с длиной волны К = 253,65 нм. При этом мощность испускания данной линии парами ртути оказалась Р = 35 мВт. Найти число атомов в состоянии резонансного возбуждения, среднее время жизни которого т = 0,15 мкс.

6.129. Атомарный литий с концентрацией « = 3,6-10¹⁶ см"³находится при температуре Т = 1500 К. При этом мощность излучения резонансной линии к = 671 нм {2Р ->- 2S) в расчете на единицу объема газа Р = 0,30 Вт/см³. Найти среднее время жизни атомов лития в состоянии резонансного возбуждения.

6.130. Атомарный водород находится в термодинамическом равновесии со своим излучением. Найти:

а) отношение вероятностей индуцированного и спонтанного излучений атомов с уровня 2Р при температуре Т = 3000 К;

б) температуру, при которой эти вероятности станут одинаковыми.

6.131. Через газ с температурой Т проходит пучок света с частотой со, равной резонансной частоте перехода атомов газа, причем На> ^> kT. Показать, учитывая индуцированное излучение, что коэффициент поглощения газа х = >с₀(1 — e~^ftM/*⁷'), где х₀ — коэффициент поглощения при Т -> 0.

6.132. Длина волны резонансной линии ртути К = 253,65 нм. Среднее время жизни атомов ртути в состоянии резонансного возбуждения т=0,15 мкс. Оценить отношение доплеровского уши-рения этой линии к ее естественной ширине при температуре газа Т = 300 к.

6.133. Найти длину волны /Са-линии меди (Z = 29), если известно, что длина волны /Са-линии железа (Z = 26) равна 193 пм.

6.134. Вычислить с помощью закона Мозли:

а) длину волны /С_а-линии алюминия и кобальта;

б) разность энергий связи К- и L-электронов ванадия.

6.135. Сколько элементов содержится в ряду между теми, у которых длины волн ТСа-линий равны 250 и 179 пм?

6.136. Найти напряжение на рентгеновской трубке с никелевым антикатодом, если разность длин волн /Са-линии и коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра равна 84 пм.

6.137. При некотором напряжении на рентгеновской трубке с алюминиевым антикатодом длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра равна 0,50 нм. Будет ли наблюдаться при этом /С-серия характеристического спектра, потенциал возбуждения которой равен 1,56 кВ?

251

6.138. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке от U_L = 10 кВ до U₂ = 20 кВ интервал длин волн между К_а-линией и коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра увеличился вп = 3,0 раза. Определить порядковый номер элемента антикатода этой трубки.

6.139. У какого металла в спектре поглощения разность частот К- и L-краев поглощения рентгеновских лучей составляет Асо = = 6,85 • 10¹⁸ рад/с?

6.140. Вычислить энергию связи К-электрона ванадия, для которого длина волны L-края поглощения k_L = 2,4 нм.

6.141. Найти энергию связи L-электропа титана, если разность длин волн головной линии /С-серии и ее коротковолновой границы ДА, = 26 пм.

6.142. Найти кинетическую энергию и скорость фотоэлектронов, вырываемых ^«-излучением цинка с /С-оболочки атомов железа, для которого край j^-полосы поглощения к_К = 174 пм.

6.КЗ. Вычислить фактор Лайде для атомов:

а) в S-состояниях; б) в синглетных состояниях.

6.144« Вычислить фактор Ланде для следующих термов:

a) «F_Vl; б) Ю_ч- в) ⁵/у, г) д) ³Р₀.

6.145. Вычислить в магнетонах Бора магнитный момент атома:

а) в ^'-состоянии;

б) в состоянии ²/\₂;

в) в состоянии с S = 1, L = 2 и фактором Ланде g = ⁴/з-

6.146. Определить спиновый механический момент атома в состоянии D₂, если максимальное значение проекции магнитного момеьта в этом состоянии равно четырем магнетонам Бора.

6.147. Атом в состоянии с квантовыми числами L — 2, S=\ находится в слабом магнитном поле. Найти его магнитный момент, если известно, что наименьший возможный угол между механическим моментом и направлением поля равен 30°.

6.148. Валентный электрон атома натрия находится в состоянии с главным квантовым числом п = 3, имея при этом максимально возможный полный механический момент. Каков его магнитный момент в этом состоянии?

6.149. Возбужденный атом имеет электронную конфигурацию Is² 2s² 2р 3d и находится при этом в состоянии с максимально возможным полным механическим моментом. Найти магнитный момент атома в этом состоянии.

6.150. Найти полный механический момент атома в состоянии с S = у а и L = 2, если известно, что магнитный момент его равен нулю.

6.151. Некоторый атом находится в состоянии, для которого S = 2, полный механический момент М = а магнитный момент равен нулю. Написать спектральный символ соответствующего терма.

6.152. Атом в состоянии ²Рз/₂ находится во внешнем магнитном поле с индукцией В = 1,0 кГс. Найти с точки зрения векторной мо

252

дели угловую скорость прецессии полного механического момента этого атома.

6.153. Атом в состоянии ²Pi/₂ находится на осп витка радиуса г = 5 см с током / = 10 А. Расстояние между атомом и центром витка равно радиусу последнего. Какой может быть максимальная сила, действующая на атом со стороны магнитного поля этого тока?

6.154. Атом водорода в нормальном состоянии находится на расстоянии г = 2,5 см от длинного прямого проводника с током /= 10 А. Найти силу, действующую на атом.

6.155. Узкий пучок атомов ванадия в основном состоянии ⁴/⁷з_/г пропускают по методу Штерна и Герлаха через поперечное резко неоднородное магнитное поле протяженностью /_х = 5,0 см. Расщепление пучка наблюдают на экране, отстоящем от магнита на расстояние 1_г — 15 см. Кинетическая энергия атомов Т =22 мэВ. При каком значении градиента индукции В магнитного поля расстояние между крайними компонентами расщепленного пучка на экране будет составлять б = 2,0 мм?

6.156. На сколько подуровней расщепится в слабом магнитном поле терм:

а) ³Р₀; б) «Л,,; в) «Z>_Vj?

6.157. Атом находится в магнитном поле с индукцией В = = 2,50 кГс. Найти полную величину расщепления в электрон-вольтах следующих термов:

а) Ю; б) *F_y

6.158. Какой эффект Зеемана (простой, сложный) обнаруживают в слабом магнитном поле спектральные линии, обусловленные следующими переходами:

а) *Р -> \S; б) Ю_Чг -+ в) ^SD, -+ ³Р₀; г) Ч_ъ -у *Я₄?

6.159. Определить спектральный символ терма атома, если полная ширина расщепления этого терма в слабом магнитном поле с индукцией В = 3,0 кГс составляет А£ = 104 мкэВ.

6.160. Известно, что спектральная линия А = 612нм атома обусловлена переходом между синглетными термами. Вычислить интервал ДА между крайними компонентами этой линии в магнитном поле с индукцией В = 10,0 кГс.

6.161. Найти минимальное значение индукции В магнитного поля, при котором спектральным прибором с разрешающей способностью к/Ык = 1,0 • 1С⁵ можно разрешить компоненты спектральной линии к = 536 нм, обусловленной переходом между синглетными термами. Наблюдение ведут в направлении, перпендикулярном к магнитному полю.

6.162. Спектральная линия, обусловленная переходом ³D₁ ->-³Р₀, испытывает зеемановское расщепление в слабом магнитном поле. При наблюдении перпендикулярно к направлению магнитного поля интервал между соседними компонентами зеемановской структуры линии составляет До» =1,32- 10¹⁰ рад/с. Найти индукцию В магнитного поля в месте нахождения источника.

253

6.163. Длины волн дублета желтой линии натрия (²Р -> ²5) равны 589,59 и 589,00 нм. Найти:

а) отношение интервалов между соседними подуровнями зее-мановского расщепления термов ^гРу, и ²Pi/₂ в слабом магнитном поле;

б) индукцию В магнитного поля, при которой интервал между соседними подуровнями зеемановского расщепления терма ⁱPy_i

будет в т] = 50 раз меньше естественного расщепления терма ^гР.

6.164. Изобразить схему возможных переходов в слабом магнитном поле между термами ²Рз/_а и ²5i/₂. Вычислить для магнитного поля В = 4,5 кГс смещения (в рад/с) зеемановских компонент этой линии.

6.165. Одну и ту же спектральную линию, испытывающую аномальный эффект

Зеемана, наблюдают в направлении 1, а также в направлении 2 — после отражения от зеркала (рис. 6.9). Сколько зеемановских компонент будет наблюдаться в обоих направлениях, если спектральная линия обусловлена переходом: а) ²Л_/г-> ²S,_/2; б) 'P^'SJ

6.166. Вычислить полное расщепление Асо спектральной линии ³Z?₃—>-⁸Р₂ в слабом магнитном поле с индукцией В = 3,4 кГс.

-Уз

Рис. 6.9.

6.4. Молекулы и кристаллы

Ф Вращательная энергия двухатомной молекулы:

(6.4а)

где /—момент инерции молекулы.

Ф Колебательная энергия двухатомной молекулы:

E_e = to(»+Vi). (6.46)

где со — собственная частота колебаний молекулы.

Ф Средняя энергия квантового гармонического осциллятора при темпера* туре Т:

<£} =

fiat

ftco

Jlti>/kT_

Ф Формула Дебая. Молярная колебательная энергия кристалла:

i/=9/?e

где в—дебаевская температура,

в/г

Т \* С x*dx

e = fao„

ф Молярная колебательная теплоемкость кристалла при Т <^.в:

(6.4в)

(6.4г)

(6.4д) (6.4е)

254

ф Распределение свободных электронов в металле вблизи абсолютного нуля:

dn= V~E.dE, (6.4ж)

где dn — концентрация электронов с энергиями Е, E-\-dE. Энергия Е отсчи-тывается от дна зоны проводимости. ф Уровень Ферми при T — Q:

^Е^-ш (^Зл2«)^2/3> <⁶-^4з>

где п — концентрация свободных электронов в металле.

6.167. Определить угловую скорость вращения молекулы S₂, находящейся на первом возбужденном вращательном уровне, если расстояние между ее ядрами d = 189 пм.

6.168. Найти для молекулы НО вращательные квантовые числа двух соседних уровней, разность энергий которых 7,86 мэВ. Расстояние между ядрами молекулы 127,5 пм.

6.169. Найти механический момент молекулы кислорода, вращательная энергия которой £ = 2,16 мэВ, а расстояние между ядрами d = 121 пм.

6.170. Показать, что интервалы частот между соседними спектральными линиями чисто вращательного спектра двухатомной молекулы имеют одинаковую величину. Найти момент инерции и расстояние между ядрами молекулы СН, если интервалы между соседними линиями чисто вращательного спектра этих молекул Дсо = 5,47 • 10¹² рад/с.

6.171. Найти для молекулы HF число вращательных уровней, расположенных между нулевым и первым возбужденным колебательными уровнями, считая вращательные состояния не зависящими от колебательных. Собственная частота колебаний этой молекулы равна 7,79 ■ 10¹⁴ рад/с, расстояние между ядрами — 91,7 пм.

6.172. Оценить, сколько линий содержит чисто вращательный спектр молекул Вг₂, собственная частота колебаний которых со = = 6,08 • 10¹³ рад/с и момент инерции / = 3,46 • 10~³⁸ г-см².

6.173. Найти для двухатомной молекулы dN/dE (число вращательных уровней на единичный интервал энергии) в зависимости от вращательной энергии Е. Вычислить эту величину для молекулы иода в состоянии с вращательным квантовым числом J = 10. Расстояние между ядрами этой молекулы равно 267 пм.

6.174. Найти отношение энергий, которые необходимо затратить для возбуждения двухатомной молекулы на первый колебательный и первый вращательный уровни. Вычислить это отношение для следующих молекул:

Молекула и, 10" рад/с d, пм

а) Н₂ 8,3 74

б) HI 4,35 160

в) 1₂ 0,40 267

255

Здесь со — собственная частота колебаний молекулы, d — расстояние между ее ядрами.

6.175. Собственная частота колебаний молекулы водорода равна 8,25 • 10¹⁴ рад/с, расстояние между ядрами — 74 пм. Найти отношение числа этих молекул на первом возбужденном колебательном уровне (t>= 1) к числу молекул на первом возбужденном вращательном уровне (/ = 1) при температуре Т = 875 К. Иметь в виду, что кратность вырождения вращательных уровней равна 2J + 1.

6.176. Вывести формулу (6.4в), используя распределение Больцмана. Получить с помощью нее выражение для молярной колебательной теплоемкости CV_K0J] двухатомного газа. Вычислить CV кол Д^ля газа, состоящего из молекул С1₂, при температуре 300 К. Собственная частота колебаний этих молекул равна 5,63 • 10¹⁴ рад/с.

6.177. В середине колебательно-вращательной полосы спектра испускания молекул НС1, где отсутствует «нулевая» линия, запрещенная правилом отбора, интервал между соседними линиями До = 0,79- 10¹⁸ рад/с. Вычислить расстояние между ядрами молекулы НС1.

6.178. Вычислить длины волн красного и фиолетового спутников, ближайших к несмещенной линии, в колебательном спектре комбинационного рассеяния молекул F₂, если длина волны падающего света К₀ = 404,7 нм и собственная частота колебаний молекулы со = 2,15 • 10¹⁴ рад/с.

6.179. Найти собственную частоту колебаний и коэффициент квазиупругой силы молекулы S₂, если в колебательном спектре комбинационного рассеяния света длины волн красного и фиолетового спутников, ближайших к несмещенной линии, равны 346,6 и 330,0 нм.

6.180. Найти отношение интенсивиостей фиолетового и красного спутников, ближайших к несмещенной линии, в колебательном спектре комбинационного рассеяния света на молекулах С1₂ при температуре Т = 300 К, если собственная частота колебаний этих молекул со = 1,06 • 10¹⁴ рад/с. Во сколько раз изменится это отношение при увеличении температуры вдвое?

6.181. Рассмотреть возможные типы колебаний следующих линейных молекул:

а) С0₂ (О — С — О); б) С₂Н₂ (Н — С — С — Н).

6.182. Определить число собственных поперечных колебаний струны длины / в интервале частот со, со -f- dco, если скорость распространения колебаний равна v. Считать, что колебания происходят в одной плоскости.

6.183. Имеется прямоугольная мембрана площадью S. Найти число собственных колебаний, перпендикулярных к ее плоскости, в интервале частот со, со + dco, если скорость распространения колебаний равна v.

6.184. Найти число собственных поперечных колебаний прямоугольного параллелепипеда объемом V в интервале частот со, со -f- doi, если скорость распространения колебаний равна v.

256

6.185. Считая, что скорости распространения продольных и поперечных колебаний одинаковы и равны v, определить дебаев-скую температуру:

а) для одномерного кристалла — цепочки из одинаковых атомов, содержащей п₀ атомов на единицу длины;

б) для двумерного кристалла — плоской квадратной решетки из одинаковых атомов, содержащей п₀ атомов на единицу площади;

в) для простой кубической решетки из одинаковых атомов, содержащей «₀ атомов на единицу объема.

6.186. Вычислить дебаевскую температуру для железа, у которого скорости распространения продольных и поперечных колебаний равны соответственно 5,85 и 3,23 км/с.

6.187. Оценить скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого 0 = 396 К.

6.188. Получить выражение, определяющее зависимость теплоемкости одномерного кристалла — цепочки одинаковых атомов — от температуры Т, если дебаевская температура цепочки равна 0. Упростить полученное выражение для случая Т J> 6.

6.189. Для цепочки одинаковых атомов частота колебаний со зависит от волнового числа k как со = со_макс sin(fez/2), где со_макс — максимальная частота колебаний, k = 2л/к — волновое число, соответствующее частоте со, а — расстояние между соседними атомами. Воспользовавшись этим дисперсионным соотношением, найти зависимость от со числа продольных колебаний, приходящихся на единичный интервал частот, т. е. dN/da, если длина Цепочки равна /. Зная dN/doi, найти полное число N возможных продольных колебаний цепочки.

6.190. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм меди, дебаевская температура которой в = = 330 К.

6.191. На рис. 6.10 показан график зависимости теплоемкости кристалла от температуры (по Дебаю). Здесь С_кл — классическая теплоемкость, 6 — дебаевская температура. Найти с помощью этого графика:

а) дебаевскую температуру для серебра, если при Т — 65 К его молярная теплоемкость равна 15 Дж/(моль • К);

б) молярную теплоемкость алюминия при Т = 80 К, если при Т = 250 К она равна 22,4 Дж/(моль - К);

в) максимальную частоту колебаний для меди, у которой при Т = 125 К теплоемкость отличается от классического значения на 25%.

6.192. Показать, что молярная теплоемкость кристалла при температуре Т <; 0, где в — дебаевская температура, определяется формулой (6.4е).

6.193. Можно ли считать температуры 20 и 30 К низкими для железа, теплоемкость которого при этих температурах равна 0,226 и 0,760 Дж/(моль • К)?

9 И. Е. Иродов

257

6.194. Вычислить среднее значение энергии нулевых колебаний, приходящейся на один осциллятор кристалла в модели Дебая, если дебаевская температура кристалла равна 0.

с/е„

О 0,2 0,4 0,6 0,8 Т/в-

Рис. 6.10.

6.195. Изобразить спектр распределения энергии колебаний кристалла по частотам (без учета нулевых колебаний). Рассмотреть два случая: 7 = 6/2 и 7 = 6/4, где 6 — дебаевская температура.

6.196. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона (звукового кванта) в меди, дебаевская температура которой равна 330 К.

6.197. Воспользовавшись формулой (6.4ж), найти при 7=0:

а) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, если их концентрация равна п;

б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если известна их максимальная кинетическая энергия 7_макс.

6.198. Сколько процентов свободных электронов в металле при 7 = 0 имеет кинетическую энергию, превышающую половину максимальной?

6.199. Найти число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при 7 = 0, если уровень Ферми E_F = 3,07 эВ и плотность натрия равна 0,97 г/см³.

6.200. До какой температуры надо было бы нагреть классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии свободных электронов в меди при 7 = 0? Считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон.

258

• 6.201. Вычислить интервал (в электронвольтах) между соседними уровнями свободных электронов в металле при 7 = 0 вблизи уровня Ферми, если концентрация свободных электронов п = = 2,0 • 10²² см~³ и объем металла V = 1,0 см³.

6.202. Воспользовавшись формулой (6.4ж), найти при 7 = 0:

а) распределение свободных электронов по скоростям;

б) отношение средней скорости свободных электронов к их максимальной скорости.

6.203. Исходя из формулы (6.4ж), найти функцию распределения свободных электронов в металле при 7 = 0 по дебройлев-ским длинам волн.

6.204. Вычислить давление электронного газа в металлическом натрии при 7=0, если концентрация свободных электронов в нем п = 2,5 • 10²² см^-3. Воспользоваться уравнением для давления идеального газа.

6.205. Повышение температуры катода в электронной лампе от значения 7 = 2000 К. на А7 = 1,0 К увеличивает ток насыщения на и = 1,4%. Найти работу выхода электрона из материала катода.

6.206. Найти коэффициент преломления металлического натрия для электронов с кинетической энергией 7 = 135 эВ. Считать, что на каждый атом натрия приходится один свободный электрон.

6.207. Найти минимальную энергию образования пары электрон — дырка в чистом беспримесном полупроводнике, электропроводность которого возрастает в п = 5,0 раз при увеличении температуры от 7х = 300 К до 7₂ = 400 К-

6.208. При очень низких температурах красная граница фотопроводимости чистого беспримесного германия Х_к = = 1,7 мкм. Найти температурный коэффициент сопротивления данного германия при комнатной температуре.

6.209. На рис 6.11 показан график зависимости логарифма электропроводности от обратной температуры (7, кК) для некоторого полупроводника /г-типа. Найти с помощью

этого графика ширину запрещенной зоны полупроводника и энергию активации донорных уровней.

6.210. Удельное сопротивление некоторого чистого беспримесного полупроводника при комнатной температуре р = 50 Ом-см. После включения источника света оно стало р_х = 40 Ом-см, а через t = 8 мс после выключения источника света удельное сопро-

Рис. 6.11.

259

.тивление оказалось р₂ = 45 Ом-см. Найти среднее время жизни электронов проводимости и дырок.

6.211. При измерении эффекта Холла пластинку из полупроводника /?-типа ширины /г= 10 мм и длины / = 50 мм поместили в магнитное поле с индукцией В = 5,0 кГс. К концам пластинки приложили разность потенциалов U — 10 В. При этом холлов-ская разность потенциалов оказалась U_H = 50 мВ и удельное сопротивление р = 2,5 Ом-см. Найти концентрацию дырок и их подвижность.

6.212. При измерении эффекта Холла в магнитном поле с индукцией В = 5,0 кГс поперечная напряженность электрического поля в чистом беспримесном германии оказалась в г) = 10 раз меньше продольной напряженности электрического поля. Найти разность подвижностей электронов проводимости и дырок в данном полупроводнике.

6.213. В некотором полупроводнике, у которого подвижность электронов проводимости в т) = 2,0 раза больше подвижности дырок, эффект Холла не наблюдался. Найти отношение концентраций дырок и электронов проводимости в этом полупроводнике.

6.5. Радиоактивность

Q Основной закон радиоактивного распада:

О Связь между постоянной распада Я, средним временем жизни т и перш> дом полураспада Т:

* 1 In 2

*.= - = — . (6.56)

ф Удельная активность — это активность единицы массы вещества.

6.214. Зная постоянную распада К ядра, определить:

а) вероятность того, что оно распадется за промежуток времени, от 0 до t;

б) его среднее время жизни т.

6.215. Какая доля радиоактивных ядер кобальта, период полураспада которых 71,3 дня, распадется за месяц?

6.216. Сколько 6-частиц испускает в течение одного часа 1,0 мкг изотопа Na²⁴, период полураспада которого равен 15 ч?

6.217. При изучении 8-распада радиоизотопа Mg²³ в момент t = 0 был включен счетчик. К моменту t_t = 2,0 с он зарегистрировал Ni 8-частиц, а к моменту t₂ = 3^ — в 2,66 раза больше. Найти среднее время жизни данных ядер.

ч) 6.218: Активность некоторого препарата уменьшается в 2,5 раза за 7,0 суток. Найти его период полураспада.

6.219. В начальный момент активность некоторого радиоизотопа составляла 650 част./мин. Какова будет активность этого препарата но истечении половины его периода полураспада?

МО

6.220. Найти постоянную распада и среднее время жизни радиоактивного изотопа Со⁵⁵, если известно, что его активность уменьшается на 4,0% за час? Продукт распада нерадиоактивен.

6.221. Препарат U²³⁸ массы 1,0 г излучает 1,24-10⁴ а-частиц в секунду. Найти период полураспада этого изотопа и активность препарата.

6.222. Определить возраст древних деревянных предметов, если известно, что удельная активность изотопа С¹⁴ у них составляет 3/5 удельной активности этого изотопа в только что срубленных деревьях. Период полураспада ядер С¹⁴ равен 5570 лет.

6.223. В урановой руде отношение числа ядер U²⁸⁸ к числу ядер Pb²⁰⁶ т) = 2,8. Оценить возраст руды, считая, что весь свинец РЬ²⁰⁶ является конечным продуктом распада уранового ряда. Период полураспада ядер U²³⁸ равен 4,5 • 10* лет.

6.224. Вычислить удельные активности изотопов Na²⁴ и U²³⁵, периоды полураспада которых равны соответственно 15 ч и 7,1 • 10⁸ лет.

6.225. В кровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего радиоизотоп Na²⁴ активностью А = 2,0-10³ расп./с. Активность 1 см³ крови, взятой через t = 5,0 ч, оказалась А' — = 16 расп./(мин-см³). Период полураспада данного радиоизотопа Т = 15 ч. Найти объем крови человека.

6.226. Удельная активность препарата, состоящего из активного кобальта Со⁵⁸ и неактивного Со⁵⁹, составляет 2,2 • 10¹² расп./(с • г). Период полураспада Со⁵⁸ равен 71,3 суток. Найти отношение массы активного кобальта в этом препарате к массе препарата (в %).

6.227. Некоторый препарат содержит две 6-активные компоненты с различными периодами полураспада. Измерения дали следующую зависимость натурального логарифма активности препарата от времени t в часах:

t 0 1 2 3 5 7 10 14 20 In А 4,10 3,60 3,10 2,60 2,06 1,82 1,60 1,32 0,93

Найти периоды полураспада обеих компонент и отношение чисел радиоактивных ядер этих компонент в момент t = 0.

6.228. Радиоизотоп Р³², период полураспада которого Т — = 14,3 сут, образуется в ядерном реакторе с постоянной скоростью (? = 2,7-10⁹ ядер/с. Через сколько времени после начала образования этого радиоизотопа его активность станет А = 1,0 х X 10⁹ расп./с?

6.229. Радиоизотоп Aj с постоянной распада К_± превращается в радиоизотоп А₂ с постоянной распада К₂. Считая, что в начальный момент препарат содержал только ядра изотопа А_1; найти:

а) закон накопления радиоизотопа А₂ со временем;

б) промежуток времени, через который активность радиоизотопа А₂ достигнет максимума.

6.230. Решить предыдущую задачу, если Х_г = Х₂ = К.

6.231. Радиоизотоп А_г испытывает превращения по цепочке Ai -*• Аа Аз (стабилен) с соответствующими постоянными рае-

1М

вада Xi и А,₂. Считая, что в начальный момент препарат содержал только ядра изотопа А_х в количестве JV₁₀, найти закон накопления стабильного изотопа А₃.

6.232. Радиоактивный изотоп Bi²¹⁰ распадается по цепочке

Bi²¹⁰^Po²¹⁰-^Pb²⁰⁶ (стабилен),

где постоянные распада К = 1,60-10"^в с"¹, Я₂ = 5,80-lO^c^-1. Вычислить а- и 8-активности препарата Bi²¹⁰ массы 1,00 мг через месяц после его изготовления.

6.233. а) Какой изотоп образуется из а-активного Ra²²⁶ в результате пяти а-распадов и четырех 8~-распадов?

б) Сколько а- и 8--распадов испытывает U²³⁸, превращаясь в конечном счете в стабильный изотоп РЬ²⁰⁶?

6.234. Покоившееся ядро Ро²⁰⁰ испустило а-частицу с кинетической энергией Т_а = 5,77 МэВ. Найти скорость отдачи дочернего ядра. Какую долю полной энергии, освобождаемой в этом процессе, составляет энергия отдачи дочернего ядра?

6.235. Определить количество тепла, которое выделяет 1,00 мг препарата Ро²¹⁰ за период, равный среднему времени жизни этих ядер, если известно, что испускаемые а-частицы имеют кинетическую энергию 5,3 МэВ и практически все дочерние ядра образуются непосредственно в основном состоянии.

6.236. Альфа-распад ядер Ро²¹⁰ (из основного состояния) сопровождается испусканием двух групп а-частиц с кинетическими энергиями 5,30 и 4,50 МэВ. В результате испускания этих частиц дочерние ядра оказываются соответственно в основном и возбужденном состояниях. Найти энергию v-квантов, испускаемых возбужденными ядрами.

6.237. Средний пробег а-частицы в воздухе при нормальных условиях определяется следующей формулой R = 0,9S-10~²⁷yJS см, где v₀ (см/с) — начальная скорость а-частицы. Воспользовавшись этой формулой, найти для а-частицы с начальной кинетической энергией 7,0 МэВ:

а) ее средний пробег;

б) среднее число пар ионов, которые образует данная а-частица на всем пути R, а также на первой половине его, считая, что энергия образования одной пары ионов равна 34 эВ.

6.238. Найти энергию Q, выделяющуюся при В"- и 8⁺-распадах и при /С-захвате, если известны массы материнского атома М_я, дочернего атома М_л и электрона т.

6.239. Найти с помощью табличных значений масс атомов максимальную кинетическую энергию 8-частиц, испускаемых ядрами Be¹⁰, и соответствующую кинетическую энергию отдачи дочерних ядер, которые образуются непосредственно в основном состоянии.

6.240. Оценить количество тепла, выделенного за сутки в калориметре 6~-активным препаратом Na²⁴, масса которого гп 1,0 мг. Считать, что 8-частицы в среднем имеют кинетическую энергию,

262

равную Уз максимально возможной при данном распаде. Период полураспада Na²⁴ Т = 15 ч.

6.241. Вычислить с помощью табличных значений масс атомов кинетические энергии позитрона и нейтрино, испускаемых ядром С¹¹ в случае, если дочернее ядро не испытывает отдачи.

6.242. Найти кинетическую энергию ядра отдачи при позитрон-ном распаде ядра N¹³ в том случае, когда энергия позитрона максимальна.

6.243. Определить с помощью табличных значений масс атомов скорость ядра, возникающего в результате /(-захвата в атоме Be⁷, если дочернее ядро оказывается непосредственно в основном состоянии.

6.244. Возбужденные ядра Ag¹⁰⁹, переходя в основное состояние, испускают или у-кванты с энергией 87 кэВ, или конверсионные /(-электроны (их энергия связи 26 кэВ). Определить скорость этих электронов.

6.245. Свободное покоившееся ядро 1г¹⁹¹ с энергией возбуждения Е = 129 кэВ перешло в основное состояние, испустив у-квант. Вычислить относительное изменение энергии у-кванта, возникающее в результате отдачи ядра.

6.246. С какой относительной скоростью должны сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных ядер 1г¹⁹¹, чтобы наблюдалось максимальное поглощение у-квантов с энергией е = = 129 кэВ?

6.247. Источник у-квантов расположен на h = 20 м выше поглотителя. С какой скоростью необходимо перемещать вверх источник, чтобы в месте расположения поглотителя полностью скомпенсировать гравитационное изменение энергии у-квантов, обусловленное полем тяготения Земли?

6.248. На какую минимальную высоту необходимо поднять источник у-квантов, содержащий возбужденные ядра Zn⁶⁷, чтобы при регистрации на поверхности Земли гравитационное смещение линии Мёссбауэра превзошло ширину этой линии? Известно, что регистрируемые у-кванты имеют энергию е = 93 кэВ и возникают при переходе ядер Zn⁶⁷ в основное состояние, а среднее время жизни возбужденного состояния т = 14 мкс.

6.6. Ядерные реакции

ф Энергия связи ядра:

Е_св = гт_я + (А-г)т_п-М, (6.6а)

где Z—заряд ядра (в единицах е), А —массовое число, т_н, т_п и М— массы атома водорода, нейтрона и атома, соответствующего данному ядру. Для расчетов удобнее пользоваться формулой:

£_Св = ^2Лн + И-2)Д_я-Д, (6.66)

где Д_н, Д_я и Д —избыток массы атома водорода, нейтрона и атома, соответствующего данному ядру.

263

ф Энергетическая схема ядерной реакции

m + /W->/W* ->m' + /W'+Q (б.бв)

показана на рис^ 6.12, где т + М и т' + М' — суммы масс покоя частиц до и после реакции, Т и Т' — суммарные кинетические энергии частиц до и после реакции (в системе центра инерции), Е* — энергия возбуждения промежуточ-j ного ядра, Q —энергия реакции, Е и Е'—

энергии связи частиц m и т' в промежуточном ядре, 1, 2, 3 — уровни энергии промежуточного ядра.

О Пороговая (минимальная) кинетическая энергия налетающей частицы, при которой становится возможной эндоэнергетиче-ская ядерная реакция:

^т + ^м i„ ,

/77//Y

Т'

m'+tl'

пор -

(б.бг)

Рис 6.12.

где m и УИ —массы налетающей частицы и ядра мишени.

6.249. Альфа-частица с кинетической энергией Т_а = 7,0 Мэв упруго рассеялась на первоначально покоившемся ядре Li^e. Определить кинетическую энергию ядра отдачи, если угол между направлениями разлета обеих частиц 0 = 60°.

6.250. Нейтрон испытал упругое соударение с первоначально покоившимся дейтоном. Определить долю кинетической энергии, теряемую нейтроном:

а) при лобовом соударении;

б) при рассеянии под прямым углом.

6.251. Определить значение максимально возможного угла, на который рассеивается дейтон при упругом соударении с первоначально, покоившимся протоном.

6.252. Считая радиус ядра равным R = 0,13]/Л" пм, где А — его массовое число, оценить плотность ядер, а также число нуклонов в единице объема ядра.

6.253. Написать недостающие обозначения (х) в следующих ядерных реакциях:

а) В¹⁰ (х, a) Be⁸;

б) О¹⁷ (d, п) х\

в) Na²³ (р, х) Ne²⁰;

г) х(р, п) Аг³⁷.

6.254. Показать, что энергия связи ядра с массовым числом А и зарядом Z может быть определена по формуле (6.66).

6.255. Найти энергию связи ядра, которое имеет одинаковое число протонов и нейтронов и радиус, в полтора раза меньший радиуса ядра А1²⁷.

6.256. Найти с помощью табличных значений масс атомов:

а) среднюю энергию связи на один нуклон в ядре О¹⁶;

б) энергию связи нейтрона и а-частицы в ядре В^ц;

2«*

в) энергию, необходимую для разделения ядра О¹⁶ на четыре одинаковые частицы.

6.257. Найти разность энергий связи нейтрона и протона в ядре В¹¹. Объяснить причину их различия.

6.258. Вычислить энергию, необходимую для разделения ядра Ne²⁰ на две а-частицы и ядро С¹², если известно, что энергии связи на один нуклон в ядрах Ne²⁰, Не⁴ и С¹² равны соответственно 8,03, 7,07 и 7,68 МэВ.

6.259. Вычислить в а. е. м. массу:

а) атома Li⁸, энергия связи ядра которого 41,3 МэВ;

б) ядра С¹⁰, у которого энергия связи на один нуклон равна 6,04 МэВ.

6.260. Известны энергии связи Е_ъ Е₂, E_s и £₄ ядер, участвующих в ядерной реакции А_у + Л₂-> А₃ + Л₄. Найти энергию этой реакции.

6.261. Считая, что в одном акте деления ядра U²³⁵ освобождается энергия 200 МэВ, определить:

а) энергию, выделяющуюся при сгорании одного килограмма изотопа U²³⁵, и массу каменного угля с теплотворной способностью 30 кДж/г, эквивалентную в тепловом отношении одному килограмму

IJ235.

б) массу изотопа U²³⁵, подвергшегося делению при взрыве атомной бомбы с тротиловым эквивалентом 30 килотонн, если тепловой эквивалент тротила равен 4,1 кДж/г.

6.262. Сколько тепла выделяется при образовании одного грамма Не⁴ из дейтерия Н²? Какая масса каменного угля с теплотворной способностью 30 кДж/г эквивалентна в тепловом отношении полученной величине?

6.263. Вычислить с помощью табличных значений масс атомов энергию на один нуклон, которая выделяется при протекании-термоядерной реакции Li^e + Н² 2Не*. Сравнить полученную величину с энергией на один нуклон, освобождающейся при делении ядра U²³⁵. . .

6.264. Определить энергию реакции Li⁷ + р -> 2Не*, если известно, что энергии связи на. один нуклон в ядрах Li⁷ и Не⁴ равны соответственно 5,60 и 7,06 МэВ.

6.265. Найти энергию реакции N¹⁴ (а, р) О¹⁷, если кинетическая энергия налетающей а-частицы Т_а = 4,0 МэВ и протон, вылетевший под углом $ = 60° к направлению движения а-частицы, имеет кинетическую энергию Т_р = 2,09 МэВ.

6.266. Определить с помощью табличных значений масс атомов энергию следующих реакций:

а) Li⁷(/?, - л) Be⁷;

б) Be⁹ (я, у) Be";

в) Li⁷ (а, п) В¹⁰;

г) О¹⁶ (d, а) N¹⁴.

6.267.: Найти с помощью табличных значений масс атомов скорости продуктов реакции B¹⁰(n, a) Li⁷, протекающей в, резудьтате взаимодействия весьма медленных нейтронов с покоящимися ядрами бора.

6.268. Протоны, налетающие на неподвижную литиевую мишень, возбуждают реакцию Li' (р, п) Be⁷. При каком значении кинетической энергии протона возникший нейтрон может оказаться покоящимся?

6.269. Альфа-частица с кинетической энергией Т = 5,3 МэВ возбуждает ядерную реакцию Ве⁹(а, я) С¹², энергия которой Q = = +5,7 МэВ. Найти кинетическую энергию нейтрона, вылетевшего под прямым углом к направлению движения а-частицы.

6.270. Протоны с кинетической энергией Т = 1,0 МэВ бомбардируют литиевую мишень, в результате чего наблюдается ядерная реакция р + Li⁷ -> 2Не⁴. Найти кинетическую энергию каждой а-частицы и угол между направлениями их разлета, если разлет происходит симметрично по отношению к направлению налетающих протонов.

6.271. Частица массы m налетает на покоящееся ядро массы М, возбуждая эндоэнергетическую реакцию. Показать, что пороговая (минимальная) кинетическая энергия, при которой эта реакция становится возможной, определяется формулой (б.бг).

6.272. Какую кинетическую энергию необходимо сообщить протону, чтобы он смог расщепить покоящееся ядро тяжелого водорода Н², энергия связи которого Е_св = 2,2 МэВ?

6.273. При облучении моноэнергетическим пучком протонов мишеней из лития и бериллия было обнаружено, что реакция U>(p, п) Be⁷ — 1,65 МэВ идет, a Be⁹ (р, я) В⁹ — 1,85 МэВ не идет. Найти возможные значения кинетической энергии протонов.

6.274. Для возбуждения реакции (я, а) на покоящихся ядрах В¹¹ пороговая кинетическая энергия нейтронов Т_пор = 4,0 МэВ. Найти энергию этой реакции.

6.275. Вычислить пороговые кинетические энергии протонов для возбуждения реакций (р, ri) и (р, d) на ядрах Li⁷.

6.276. Найти с помощью табличных значений масс атомов пороговую кинетическую энергию а-частицы для ядерной реакции Li⁷(a, ri) В¹⁰. Какова при этом скорость ядра В¹⁰?

6.277. Нейтрон с кинетической энергией Т = 10 МэВ возбуждает ядерную реакцию С¹²(/г, a) Be⁹, порог которой Тпор = 6,17 МэВ. Найти кинетическую энергию a-частиц, вылетающих под прямым углом к падающим нейтронам.

6.278. На сколько процентов пороговая энергия у-кванта превосходит энергию связи дейтона (£_св = 2,2 МэВ) в реакции Y + Н² -»- я + р?

6.279. Протон с кинетической энергией Т = 1,5 МэВ захватывается ядром Н². Найти энергию возбуждения образовавшегося ядра.

6.280. Выход ядерной реакции С¹³ (d, ri) N¹⁴ имеет максимумы при следующих значениях кинетической энергии Т_{ налетающих дейтонов: 0,60, 0,90, 1,55 и 1,80 МэВ. Найти с помощью табличных

266

значений масс атомов соответствующие энергетические уровни промежуточного ядра, через которые идет эта реакция.

6.281. Узкий пучок тепловых нейтронов ослабляется в т] = 360 раз после прохождения кадмиевой пластинки, толщина которой d = 0,50 мм. Определить эффективное сечение взаимодействия этих нейтронов с ядрами кадмия.

6.282. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность узкого пучка тепловых нейтронов после прохождения слоя тяжелой воды толщиной d = 5,0 см. Эффективные сечения взаимодействия ядер дейтерия и кислорода для тепловых нейтронов равны

.соответственно а_х = 7,0 б и сг₂ ⁼ 4,2 б.

6.283. Узкий пучок тепловых нейтронов проходит через пластинку из железа, для которого эффективные сечения поглощения и рассеяния равны соответственно а_а = 2,5 б, сг^ = 116. Определить относительную долю нейтронов, выбывших из пучка в результате рассеяния, если толщина пластинки d = 0,50 см.

6.284. Выход ядерной реакции с образованием радиоактивных изотопов можно характеризовать двояко: либо отношением w числа ядерных реакций к числу бомбардирующих частиц, либо величиной k — отношением активности возникшего радиоизотопа к числу бомбардировавших частиц. Найти:

а) период полураспада образующегося радиоизотопа, считая, что w и k известны;

б) выход до реакции Li⁷ (р, п) Be⁷, если после облучения литиевой мишени пучком протонов (в течение t = 2,0 ч при токе в пучке /= ЮмкА) активность изотопа Be⁷ оказалась А = 1,35-10⁸ расп./с, а его период полураспада Т = 53 сут.

6.285. Тонкую золотую фольгу, состоящую из стабильного изотопа Аи¹⁹⁷, облучают по нормали к поверхности тепловыми нейтронами, плотность потока которых J = 1,0-10¹⁰ част ./(с-см²). Масса фольги m = 10 мг. В результате захвата нейтронов возникает Р-активный изотоп Аи¹⁹⁸, эффективное сечение образования которого а = 98 б и период полураспада Т = 2,7 сут. Найти:

а) время облучения, за которое число ядер Аи¹⁹⁷ уменьшится на ц = 1,0%;

б) максимальное число ядер Аи¹⁹⁸, которое может образоваться в процессе длительного облучения.

6.286. Тонкую фольгу из некоторого стабильного изотопа облучают тепловыми нейтронами, падающими по нормали к ее поверхности. В результате захвата нейтронов возникает радиоактивный изотоп с постоянной распада К. Найти закон накопления этого радиоизотопа N(t) в расчете на единицу поверхности фольги. Плотность потока нейтронов равна J, число ядер на единицу поверхности фольги п и эффективное сечение образования активных ядер о.

6.287. Золотую фольгу массы m = 0,20 г облучали в течение t = 6,0 ч потоком тепловых нейтронов, падающим по нормали к ее поверхности. Через т = 12 ч после окончания облучения ак-

267

тивность фольги оказалась А — 1,9-10⁷ расп./с. Найти плотность потока нейтронов, если эффективное сечение образования ядра радиоактивного изотопа а = 96 б, а его период полураспада Т — = 2,7 сут.

6.288. Сколько нейтронов будет в сотом поколении, если процесс деления начинается с N₀ = 1000 нейтронов и происходит в среде с коэффициентом размножения к = 1,05?

6.289. Найти число нейтронов, возникающих в единицу времени в урановом реакторе, тепловая мощность которого Р = 100 МВт, если среднее число нейтронов на каждый акт деления v = 2,5. Считать, что при каждом делении освобождается энергия Е — = 200 МэВ.

6.290. В ядерном реакторе на тепловых нейтронах среднее время жизни одного поколения нейтронов т = 0,10 с. Считая коэффициент размножения k = 1,010, найти:

а) во сколько раз увеличится количество нейтронов в реакторе, а следовательно и его мощность, за время t = 1,0 мин;

б) период реактора Т, т. е. время, за которое его мощность увеличится в е раз.

6.7. Элементарные частицы

ф Выражения для полной энергии и импульса релятивистской частицы:

£ = т₀с2 + 7\ рс = Ут (Г + 2т₀с²), (6.7а)

где Т — кинетическая энергия частицы.

ф При рассмотрении столкновения частиц полезно использовать инвариантную величину;

Е*—рФ = тЪс*1 (6.76)

где Е и р — полная энергия и импульс системы до столкновения, т₀—масса покоя образовавшейся частицы.

ф Пороговая (минимальная) кинетическая энергия частицы т, налетающей на покоящуюся частицу М, для возбуждения эндоэнгргетической реакции ш+УИ -»■ /ni+m₂ + ... :

^пор =-КМ- ' ' *

где т, М, ть Щ> ■■■ — массы покоя соответствующих частиц, ф Квантовые числа, приписываемые элементарным частицам: Q— электрический заряд, L —лептонный заряд, В—барионный заряд,

Т — изотопический спин, T_z — его проекция, S—странность, S = 2(Q} — В, К —гиперзаряд, Y=B-\-S.

ф Связь между квантовыми числами сильно взаимодействующих частиц: 0=7^2- = ^+(6.7г)

ф При взаимодействии частиц выполняются законы сохранения Q, L и В зарядов. В сильных взаимодействиях выполняются также законы сохранения S (или У), Т и его проекции T_z.

6.291. Вычислить кинетические энергии протонов, импульсы которых равны 0,10, 1,0 и 10 ГэВ/с, где с — скорость света.

6.292. Найти средний путь, проходимый л-мезонами с кинетической энергией, которая в т] = 1,2 раза превышает их энергию покоя. Среднее время жизни очень медленных я,-мезонов т₀ = 25,5 не.

6.293. Отрицательные л-мезоны с кинетической энергией Т = = 100 МэВ пролетают от места рождения до распада в среднем расстояние / = 11 м. Найти собственное время жизни этих мезонов.

6.294. Имеется узкий пучок лг-мезонов с кинетической энергией Т, равной энергии покоя данных частиц. Найти отношение потоков частиц в сечениях пучка, отстоящих друг от друга на / = 20 м. Собственное среднее время жизни этих мезонов т₀ = 25,5 не.

6.295. Остановившийся л⁺-мезон распался на мюон и нейтрино. Найти кинетическую энергию мюона и энергию нейтрино.

6.296. Найти кинетическую энергию нейтрона, возникшего при распаде остановившегося 2~-гиперона п + л").

6.297. Остановившийся положительный мюон распался на позитрон и два нейтрино. Найти максимально возможную кинетическую энергию позитрона.

6.298. Покоившаяся нейтральная частица распалась на протон с кинетической энергией Т = 5,3 Мэв и лГ-мезон. Найти массу этой частицы. Как она называется?

6.299. Отрицательный л-мезон с кинетической энергией Т = = 50 МэВ распался на лету на мюон и нейтрино. Найти энергию нейтрино, вылетевшего под прямым углом к направлению движения я-мезона.

6.300. 2⁺-гиперон с кинетической энергией Тх, = 320 МэВ распался на лету на нейтральную частицу и л⁺-мезон, который вылетел с кинетической энергией Т_л = 42 МэВ под прямым углом к направлению движения гиперона. Найти массу покоя нейтральной частицы (в МэВ).

6.301. Нейтральный л-мезон распался на лету на два у-кванта с одинаковой энергией. Угол между направлениями разлета ■у-квантов б = 60°. Найти кинетическую энергию л-мезона и энергию каждого у-кванта.

6.302. Релятивистская частица с массой покоя m в результате столкновения с покоившейся частицей массы М возбуждает реакцию рождения новых частиц: m + М -у т_х + т₂ + где справа записаны массы покоя возникших частиц. Воспользовавшись инвариантностью величины Е² — р²с², показать, что пороговая кинетическая энергия частицы т для этой реакции определяется формулой (6.7в).

6.303. Позитрон с кинетической энергией Т = 750 кэВ налетает на покоящийся свободный электрон. В результате аннигиляции возникают два у-кванта с одинаковыми энергиями. Определить угол между направлениями их разлета.

6.304. Найти пороговую энергию у-кванта, необходимую для образования:

а) пары электрон — позитрон в поле покоящегося электрона;

б) пары п~ — п⁺-мезонов в поле покоящегося протона.

6.305. Протоны с кинетической энергией Т налетают на неподвижную водородную мишень. Найти пороговые значения Т для следующих реакций:

а) Р + Р-+Р + Р + Р+Р; б) р + р-ур + р + п⁰.

6.306. Водородную мишень облучают л-мезонами. Вычислить пороговые значения кинетической энергии этих мезонов, при которых становятся возможными следующие реакции:

а) п- + р-+К⁺ + Ъ-, б) л° + р-+К⁺ + А».

6.307. Найти странность S и гиперзаряд Y нейтральной элементарной частицы, у которой проекция изотопического спина Т_г = == +^х/г ^и барионный заряд В = +1. Что это за частица?

6.308. Какие из нижеследующих процессов запрещены законом сохранения лептонного заряда:

1) n-+p + e- + v; 4) p + e--+n + v;

2) n+-^Li+-fe--fe+; 5) ii+-> е+-f-v + v;

3) n~ ->- lit -f v; 6) K~ -> li~ -f v?

6.309. Какие из нижеследующих процессов запрещены законом сохранения странности:

1) лг + р-> Е-+ /<;+; 4) п + р->Л° + Е+;

2) n- + p-»-2+ + ff-; 5) л--f-n-> 3- + К* + К-,.

3) я- + р-+К⁺ + К- + Щ 6) K- + p-+Q- + K+ + !W

6.310. Указать причины, запрещающие нижеследующие процессы:

1) Е-->Л°-+л-; 4) п + р->Е+ + Л°;

2) л- + р-+К⁺ + К-, 5) я--+\1- + е* + е-,

3) K- + n-+Q- + K+ + K⁰', 6) _H,-->_e- + v, + v

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

1.1. v = //2т=3,0 км/ч.

1.2. (и) = 2и₀ (о* + w₂)/(2y₀+ fi + w₂).

1.3. Д/=тК1-4<у>/шт=15 с.

1.4. а) 10 см/с; б) 25 см/с; в) /₀= 16~с; г) 2,5 в 0,7 см/с^а.

1.5. (ri--r₂)/| г_х-г₂ \ = (у₂-у₁)/\ у₂—у_х |.

1.6. и' = Ку| + и² + 2и₀усозфк»40 км/ч, ср' = 19\

1.7. «

=3,0 км/ч.

1.8^ 1^9. 1Л0 1.11, 1.12

(1-oJ/o'")-¹^-!. x_A/T_s = ri/j/Tf-1=1,8. fl=arcsin (1/л) + я/2 = 120°. . /=^/2(1 -sin ■t>) = 22 м. / = (vx + «₂) V u_x^Ј=2,5 м. t=2a/3v.

5 * J 2 7

						1
					*/
					_-'
					\
					\
						\
. 7	г	3	и	5	6	7	t

а)

Рис. f.

1.13. Из рис. 1, а видно, что скорость сближения точек ^ГА и В равна о —и cos а, где угол а зависит от времени. Для встречи точек необходимо, чтобы были выполнены два условия:

5 (v — ucosa)dt = l, cosa dt = ux, о о

где т—искомое время. Из этих двух выражений следует, что

T=U//(l>2— ф).

271

16. t_m^-

1.14. Xi — x₂ — l — wx (^ + t/2)=0,24 km. Навстречу поезду со скоростью V = 4,0 м/с. \

^1.15. а) 0,7 с; б) соответственно 0,7 и 1,3 м.

.Vih + Vzh , _ | I1V2 — hoi I Щ + Щ Vvf + vi

1.17. CD^l/Vrf-1-

1.18. См. рис. 1, б.

1Л9>>а) (а)=яЯ/т=50 см/с; б) j <v> | = 2Я/т = 32 см/с; в) | <w> |=2я/?/т³ = = 10 'см/с».

/1.20. a) v=a(l—2аг), w = — 2аа = const; б) At=l/oc, s — c^s^

!' (1— t/2x)vot при г"=ёт,-

[1 + (1— г/т)²] о„*/2 при /=гт.

Соответственно 24 см и 34 см. <"'

1.22. а) а = се²г/2, да = а²/2; б) (o)=a)/s/2,

1.23. a) s = (2/3a)t)3/2. б) r = 2F"iya.

<l3l>a) у=—х*6/а⁸; б) v=ai — 2Wj, w = — 26j, u=j/"a² + 46²f², a>=26; в) tga = a/2W; г) <v)=ai —«j, | <v> | = V&+W.

1.25. a) y = x—x²a/a; 6) a=aj/l +(1 — 2oct)², a> = 2aa=const; в) t_a=\/a.

1.26. a) s—aav, б) я/2.

1.27. v_a=V 0+а²) ш/26 .

1.28. a) r = V + gJ²/2; 6) <v>,= v₀Ј#/2, _v<v> = vo-^ixol]^²;

ф20 a) t = 2(i)₀/e^r) sin a;

б) /i = (t»S/2g) sin² a, l = {vl!g) sin 2a, a = 76»;

в) у = л; tg a — (g/2i>§ cos² a) x²; r) Ri = oj/g cos a, R₂=(v%!g) cos² a.

1.30. См. рис. 2.

1.31. *=8/isina.

1.32. Через 0,41 или 0,71 мид в зависимости от начального угла.

1.33. At = ^L ~~^Si"fr^~~ =" с-/г V £ coswx+cos <k

{ 1.34.) а) x=(a/2v₀) у²; б) w<=av_a, w_t=z = а%/^1 + (ay/^F, ш_л = а^/J/ 1 + (ay/v₀)². 1.35. а) у=*(Ь$а)х?; б) R = v²/w_n = d²/]/ш²-ш£ = (a/6) [ 1 + (xb/a)²]^3/2 . (U36)v = V2ax.^ 1.37. w = aV l + (4;m)^J=»0,8 м/с²:

U&.a) 0^^/(1 + aoi!/^) = a₀e~^s/-^R; 6) w = V2 vURe^2s/R = 1^2 o²/i?. ?1.39) tga = 2s/#.

Y.40. а) да„=а²со²/Я = 2,6 м/с²,

,=aco²=3,2 м/с²; 6)

■■а&У 1 ~(R/2a)² = 2,5 м/с², /_m = ± a Kl-Я²/2а² = ± 0,37 м. '4.41. R = a*/2bs, w=a ]Л + (Ш²1а?р.

1.42. а) ш = 2аа², R=l/2a; б) w = bv²/q², R=a²/b.

1.43. d = 2#co = 0,40 м/с, да = 4Яй)²=0,32 м/с². w = (v/t) l/T+4a²F= 0,7 м/с².

1.45. со =2лли/7 =2,0- 10³ ряд/с.

1.46. a) <co)=2a/3=4 рад/с, = ^3oF=6 рад/с²; 6) 0 = 2j/3a& = = 12 рад/с².

1.47. t=y^r(4/a) tga=7 с.

1.48. <й)> = со₀/3. , 1.15)а) ф = (1 —щ/а; б) со=ш₀е

1.50. со_г = + |/ 2jJ₀ sin ф', см. рис. 3.

1.51. а) y — v²l$x (гипербола);

5) y = V %~^х/<>> (парабола).

1.52. а) а_л=о^а/Я = 2,0 м/с², вектор

,-at

Рис. 3.

,_о = 0:

<5)

= u Kl+(1— ш^//?)³ = 2,5 см/с²,

направлен все время к центру колеса; б) s=8/? = 4,0 м.

1.53. а) v_A — 2wt = 10 см/с, и_й = 1^2 atf = 7 см/с = 2ш1Л+(^²/2/?)²=5,6 _см/са — ц)%ЗД = 2,5 см/с².

1.54.}/?_д=4г, Я_в=2|/2г.

1.55. со = |Ло_г + й)|=5 рад/с, р = со₁£о₂= 12 рад/с². (Г.Щ а) co=fltf К 1 +(,btjdf =8 рад/с, 0=а К 1 +(2W/a)²= 1Д рад/с²; б) 17». ^ЧП57. а) со = v/R cos a = 2,3 рад/с, 60°; б) 0 = (u/R)* tg а=-2Д рэд/с². Ь55. co = ft>o |/"1 +№о«М)² = 0,6 рад/с, R = R_a Kl +со;^ = 0,2 рад/с². ^59?) Дт = 2mw/(g -j- ш).

щ—к(ггц + Щ (\+k)m„

1.60. w=

-g. Г =

m„ + От! + m₂

-£ cosa <c

1.61. a) F=~~^-^fe)^^gC0SK~~; 6) tga_MHH = -~~^'+^²~~. у ' • m_x-\-m₂ m₁ + m_i

1.62. fe = [(rf — l)/(T)^a+ 1)] tga=0 16.

1.63. a) Wj/mt > sinct-f kcosc^&j^m /пц <sin«—fecosct; в) since-< mgiai< sin a + k cos a.

(t .64)> w₂ = g (T|—sin a—k cos a)/_(T) + 1) = 0,05 g. 1765. При tsЈzt_a ускорения w_t = aJ₂ = aЈ/(m,+m₂); при t^st_a Wi—kgm₂jm_x, w₂ = (at—Ш₂ц)1пц. Здесь /₀=kgm₂ (m, + -\-m₂)/am-. См. рис. 4. -

1.66. tg2a = — Щ, a=49"; f_H._1H= = 1,0 с

1.67. tg R=fe; ■ 7'_HHH = /ng(sina+ +* cosa)/Kl~+R

_ mg² cos a _ _ m²g^s cos a

1.68. a) o =

Л.бэ)и = / (2g/3a) sin a. 1.70. т = ^2//(Зш + *£)'.

(wi —/w₂)g+2m.,w₍₎

Рис. 4.

1.71. ау

4m_Tm₂

(g —w₀).

mi-

m₁-\-m₂

(g-w₀); 6) F =

m,+ m₂

1.72. w = 2g(2n — sina)/(4r)+l).

273

4mim₂ + mo (mi -f m₂) Jh74. lF_Tp = 2tmM/(M-m)P. %.T6. r=^(4 + T₎)/3g(2-r₁)=l,4 c.

1.76. Я = 6/111/(11+ 4) = 0,6 м.

1.77. Шд=г/(1+т)с^²-вб), w_B=g/(tga + r\c\ga%

1.78. w=gV~2/(2 + k + M/m). i.7%w_ma = g(l-k)/(l+k).

1.81. w--

1.82. ai =

kc=8 (1 + Ь ctg a)/(ctg a—k). -g sin a cos a/(sin²a + m\lm%). mg sin a

<F> |=^_r.

M + 2m (1 —cosa) ' 1.83. a) |<F>|=2^2_wa²/ji/?; 6) JJStC 2,1, 0,7 и 1,5 кН.

1.85. a) w=.gV l + 3cos²^, 7'=3mgcos'&; 6) 7' = mgK3; в) cos 0=1/^3, = 54,7°.

1.86. =»53^э.

1.87. ■& = ar.ccos(2/3) =^48*, v = V~2gR/3.

1.88. e = 1/(н/тш²—1). От направления вращения не зависит. ,1-89. г = Я/2,\^,_е = У,/Щ

1.90. s=V₈RKfeW²-1=60 м.

1.91. D=sЈa У kg/a-

1.92. 7* = (ctg ■&+со²/?/?) mg/2.

1.93. а) Рассмотрим малый элемент нити на блоке (рис. 5). Вследствие

k da. Проинтегрировав это уравнение, получим & = (1пг)₀)/л; б) ш=_г(т|-т1₀)/(т1 + п₀).

1.94^ F = (mu²/tf)cos²a.

его невесомости dT = dF_Tp=k dF_n и dF_n = Tda. Отсюда dT/T

Рис. 5.

1.95. F = —wu)²r, где г—радиус-вектор частицы относительно начала координат; F — ma)²Vx²-{-y².

1.96. a) Ap = mgt; б) | Др | =— 2т (v₀g)/g.

1.97. а) р = ат³/6; б) s=ax⁴/12m.

U98. s = (со/ — sin cor) F_a/m(Ј>², см. рис. 6. 1.99.-1 = я/со; s — 2F₀/m(u²; и_ыакс = F„/mco.

274

1.100. a) v = v<p ^irlm, t~+co; 6) v = v₀—sr/m, s, ¹ ii In T) ■

; в) <₀> =

'полн

= V₀

1.102. s= — tga, Умакс³*!/ —sin a tga. Указание. Чтобы привести

уравнение движения к виду, удобному для интегрирования, надо представить ускореняе как dv/dt и затем произвести замену переменных по формуле dt = dx/v.

1.103. s = Ve^a t—t<,)³/m, где t_a—kmg/a — момент времени, с которого начнется движение. При t sg t₀ путь s = 0.

1.105. а) y = (2F/mco)sin (cof/2); 6) As = 8F/mw², (v)=iF/nma>.

1.106. t>=D₀/(l+cos<p). Указание. Здесь ш_т = —поэтому в = = — Wjc+const. Из начального условия следует, чго const = o₀. Кроме того,

V_X=V СОЭф.

1.107. ш=[1 — cos (//#)] Rg/l. _

1.108. а) _а=УЩЩ; б) cos fl₀= i±a^±^Ј-, где т) = ш»/_г, $₀^17^э.

1.109.'При «<1, включая и отрицательные значения, r_yct = (miP/a)W~ⁿK

1.110. Если (Ј>²R>g, то имеются два положения равновесия: Of=0 и Ф₂ = = arccos (g/aPR). Если co².R<g, то положение равновесия только Oi=0. Пока существует одно нижнее положение равновесия, оно устойчиво. При появлении же второго положения равновесия (оно всегда устойчиво) нижнее положена становится неустойчивым.

1.111. h «а (<os²/u) sin ф = 7 см, где со — угловая скорость вращения Земли.

1.112. F — m Vg² + со⁴/"²+(2v'со)²=8 Н.

1.113. F_KO? = 2ma²r ]/l +(y₀/wr)² = 2,8 Н.

1.114. >а) u>' = (Ј>²R; б) F„_H = mcoV K(2i<V)²— 1.

1.115. f_a6=m(u²/?K5/9=8 Н, F_Kop = ²/₃mco²/? ]^5-f 8g/3co*/? = 17 Н.

1.116. a) F=2mva> sin ф = 3,8 кН, где со —угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси; б) F = mco (со/? совф ± 2у) sin ф, F₊ = 33 кН, F_=25 кН, где знак плюс соответствует движению с запада на восток, знак минус —наоборот, R — радиус Земли.

1.117. Отклонится на восток на расстояние х =» ²/₃соЛ l>^r2li/g = 24 см. Здесь со--угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси.

1.118. A = F (т_г—т₁) = — 17 Дж.

1.119. А=таЧ*/8.

1.120. F=2asVl + (s/#)²>

1.121. A=mg(h + kl).

1.122. А = — kmgll(\— Јctga) = — 0,05 Дж.

1.123. ^гмин —

1.124. А = — (1 — ri) iyngr//2 = — 1,3 Дж.

1.125. </⁵>=0, P = mg(gt—y₀sina).

1.126. P = mRat, (P) = mRat/2.

1.104". v' = y₀/K 1 + kvymg.

275

1.127. a) (P) = —kmgVo/2 = —2 Вт; б) P_aaKC = -^¹/₂mv$V"ag.

1.128. А = Vynco² (/■» — /•;') = 20 Дж.

1.129. Л_мин = у₂/г (А/)², где А = ^/(4-!+^).

1.130. /4=3mg/4a, AU=mg/2a.

1.131. a) r„ = 2a/b, устойчиво; б) F_mKC = b*/27a². См. рис. 7.

Рис. 7.

1.132. а) Нет; б) эллипсы, отношение полуосей которых а/6 = КрУк; тоже эллипсы, но с а/6 = р/а.

1.133. Потенциальным является второе поле сил. 1.134.'s=t!²/2g(sina-|-fecosa), А mvlk/2 (&-f-tga); 1.135./=?//2; s_HaKc=fl.

1.136. t)=²/₃^g/l/3.

1.137. p_M4„=V^r%/; T = 3mg. . 1.138. / = /²/2do#.

1.139. Д/ = (1 -\-V\ +2kl/mg) mglk.

1.140. [/ = ]/"19_г/₀/32==1,7 м/с '

1.141. A = ^- . . _A~~\~^C0Si~~ * -°-⁰⁹ Д»»

2 (sin Ф+Acos w)cos и

1.142. /4 = h^ri(l+ti)/2(l—г))², где r)=mu)²/x.

1.143. w_c=g(mi — m₂fl(mi+m₂f:

1.145. /- = {g/co²)tg 0 = 0,8 см, r = m#/cosft=5 H.

1.146. a) F_Tp = mgfsince + (co²//g)cosa] = 6 H; б) со </g(Ј—tg «)//(1+ A tg a) = 2 рад/с.

1.147. а) V=Kv,-J-m₂v₂)/(mi+m₂); б) Т = ц (v_x- — v₂)²/2, где р. =

1.148. E = Ј-|-mV²/2.

J.149. £ = ц. (vf-\- у|)/2, где u = m_]m₂/(m₁-f-m₂). -

1.150. p = p₀-|-/ng/, где p₀ = mv₁-j-m₂v₂, m = m₁ + m₂; r_c = v₀r-|-g^/2/2, где v„—(mj vj -I- щ v₂)/(mЈ+ m₂).

1.151. v_c — xY*H4l(m_x -\-m₂).

1.152. a) l_asKZ = l» + F/x, /_мин = /₀; 6) l_mKC = L+2m₁F/x(m_i+m₂), /_и1Ш=/₀-

1.153. а) Д/ > 3mg/>t; 6) h= (l+кД l/mg) mg/8x = 8«g/k. 1.164. vi = -mv/(Al-ffl), v_a=Mv/(M-m).

1И55. у_зад„ = У„-_ж^и; v_nep = v₍₎+_WT^_Fu. , ,_си 2т _л. m (2/И+ 3m)

-fm/2 (М + т) > 1.

1.157. р = ²/₃т ^2^7=3,5 кг • м/с.

1.158. Ap = /n|/"2gA(l + T))/(l— Т]) = 0,2 кг ■ м/с. 1.150. а)1 = _ «_Г; ₆₎F = --^L_-^-.

1.160. 1 = /пГ/2/И.

1.161. т=(р cos а — М V2gl sin a)/Mg sin а.

1.162. a) v = (2M/m) Уgl sin (ft/2); б) T]=«l— m/M.

1.163. ft=/Wy²/2g(M + /n).

1.164. 1) A=—tig/i, где ц = тМ/{п + М); 2) Да.

1.166. v=l,0i + 2,0j —4,0k, y==«4,6 м/с.

1.167. ДТ = —ц (vt —v₂)²/2, где ц = /п₁/и₂/(т₁ + /п₂).

1.168. a) T)=2m₁/(/n_l + /n₂); б) Т1=4т_]т₂/(/и₁-|-/Пг)²-

1.169. a) mi/m₂=l/3; б) пц/т^Х +2 cos 6 = 2,0.

1.170. Ti=V2COs²a=0,25.

Ы71. е«,кс = »(1+/2 (ti-l))=l,0 км/с.

1.172. Будет двигаться в ту же сторону, но со скоростью v' = ₌ (j — У\ — 2т)) о/2. Прит)<1 скорость' у'= т)У/2 = 5 см/с.

1.173. AT/r = (l+/n/Al)tg²d + /n/M-l = —40%. ^:' -

1.174. а) р = ц]/"й[+Й1; б) r = V₂H(ff + fI)- Здесь ц = /и,/п₂/(/я, + т₂).

1.175. sin d_MaKC = /n₂/,n₁.

1.176. v' = —v (2— т)²)/(6 — т]²). Соответственно при ri меньшем, равном и большем У2-

1.178. Пусть в некоторый момент t ракета имела массу т и скорость v (относительно интересующей нас системы отсчета). Рассмотрим инерцнальную систему отсчета, имеющую ту же скорость, что и ракета в данныи"момет. В этой системе отсчета приращение импульса системы «ракета —выброшенная порция газа» за время dt есть dp = m dv+,u dt ■ u = F dt- Дальнейшее очевидно.

1.179. v=— u In («в/т).

1.180. _m = m^-^wt'^u.

1.181. « = (tt/u₀) In (m_a/m).

F , m₀ F

1.182. v = — In ■" —

li m„ — ' т₀ — ц1 '

1.183. v=Ff//no(l+n</m,>), w= F/m₀(l +ц//т₀)².

1.184. v = V2gh In (///г).

1.185. N=2H^/"a/6.

1.186. Л1 = ^^ngv^ cos a; M = (/nt>3/2g) sin² a cos a = G7 кг • м²/с.

1.187. а) Относительно всех точек прямой, перпендикулярной к стенке и проходящей через точку 0; б) | ДМ\ — 2mvl cosa.

1.188. Относительно центра окружности. | ДМ | = 2 )^r 1 — (g/co²/)² /«g*/со.

1.189. | Д М| = ftmV.

1.190. М = /wco Dj-f².

/,777

1.191. m=2kryv%.

1.192. v₀=VWJcosb.

1.193. F=ma>lr*/r».

1.194. M_z = Rmgt.

1.195. M = Rmgt sin ос. He изменится.

1.196. M' = M —[г₀р]. В случао, когда p = 0, т. е. в системе центра инерции.

1.198. M = W™o-

1.199. е_макс=»/па§/х/§. Решение удобно прозести в системе центра инерции.

1.200. T = 2nyMlv³=225 суток.

1.201. а) В 5,2 раза; б) 13 км/с, 2,2-10-* м/с².

1.202. T = nV(r + R)³/2yM. Достаточно рассмотреть движение по окружности, радиус которой равен большой полуоси данного эллипса, т. е. (/' + /?)/2—■> по Кеплеру период обращения будет тем же.

1.203. Падение тела на Солнце можно рассматривать как движение по очень вытянутому (в пределе вырожденному) эллипсу, большая ось которою практически равна радиусу R земной орбиты. Тогда по Кеплеру (2х/Т)² = = [(R/2)/R]³, где т—время падения (время половины оборота по вытянутому эллипсу), Т — период обращения Земли вокруг Солнца. Отсюда х=Т/4У~2 =

е= 65 СуТ.

1.204. Не изменятся.

1.205. 1=УуМ (Г/2п)2.

1.206. а) U^ — ym^/r; б) U = — у (mMjl) In (1 +//а), F=ymM/a (a + t).

1.207. M — m'\f2ym_Qr_xT^(r_x-\-r^), где m_c—масса Солнца.

1.208. E — T -ft/ — — ymm^a, где m_c—-масса Солнца.

1.209. r_m = -^~-[\ ±Y\—(2 — r() T) sin²a], где r) = r„vЦут_с, m_c— масса

^,-²¹⁰- ^rmhh ⁼ (V^/nc/°o) [V ¹ +('^ao/V'ⁿc)²— 1]. где m_c—масса Солнца. 1.211. а) Рассмотрим сначала тонкий сферический слой радиуса р и массы

____ , б/И. Энергия взаимодействия частицы

/у^ ^с элементарным поясом 8S этого слоя

рируя по всем слоям шара, получим U = — ymMjr; б) F_r = — df/oY = = — утМ/г².

1.212. Рассмотрим сначала тонкий сферический слой вещества (рис. 9). Постровм конус с малым углом раствора и вершиной в точке А. Площади участков, вырезанных этим конусом в слое, dS*: dS₂=r\: г\. Массы же выре-

Солнца.

есть (рис. 8)

Рис. 8,

278

занных участков пропорциональны площадям этих участков. Поэтому силы притяжения к ним частицы А равны по модулю и противоположны по направо лению. Дальнейшее очевидно.

dmj~dS]

Рис. 9.

Рис. 10,

1.213. 1.214.

А=— ^s/₂ymM/R.

Г i

■R. -R-

См. рис. 10.

при r^R, (уМ/лЗ)г при r>zR; _f ³/₂(1— r²/3R>)yM/R при \ — уМ/r при

1.215. G = —*/₃л,ур\. Поле внутри полости однородное.

1.216. p = z/₈(l—ryR*)YM*/nRK Около 1,8-10^е атм.

1.217. а) Разобьем сферический слой на малые элементы, каждый массы б/и. Тогда энергия взаимодействия каждого элемента со всеми остальными 6£У=—ymbm/R. Суммируя по всем элементам и учитывая, что каждая пара взаимодействующих элементов войдет в результат дважды, получим U = —ym²/2R; б) £У= — 3ym²/5R.

( 4,5 сут

I 0,84 ч ; 0,0006.

1.218. Д<=» 1.219

2я

,3/2

УуМ ЗД/-/2/- + 6 Wi : ш₂: ш₃ = 1 : 0,0034 :

1.220. 32 км; 2650 км.

1.221. h = Rl(2gRlvl-\).

1.222. h=R(gR/v* — l).

1.223. r=-\^ryM (Г/2я)² = 4,2- 10» км, где М риод обращения вокруг собственной оси; 3,1 км/с,

1.224. /И = (4я²Л³/77'²) (1+Г/т)²=6- 10»* кг, Земли вокруг собственной оси.

(6 = 0), (6=2).

и Т — масса Земли и ее пе-0,22 м/с².

где Т — период обращения

2kR . -. ГуМ ■--у- + у V ^км/^с-

-УМ i

R* \ '

2nR

Уум)~

Т У уМ/

Здесь М — масса Земли, Г —ее период обращения вокруг собствен-

1.225.

= 4,9 м/с²ной оси.

1.226. В 1,27 раза.

1.227. Убыль полной энергии Е спутника за время dt есть — dE = Fv dt. Представив £ и и как функции расстояния г между спутником и центром Луны, преобразуем это уравнение к виду, удобному для интегрирования. В результате получил! т=а (Уц—l) m/а, УgR.

1.228. У! = 1,67 км/с, и₂ = 2,37 км/с.

1.229. Av = VyMjR (1 - Y~2) = — 0,70- км/с, где M и R — масса и радиус Луны.

1.230. Да = V~gR (1^2 — l) = 3,27 км/с, где g—нормальное ускорение свободного падения, R — радиус Земли.

1.231. r = nR/(l-J_ry~r\) = 3,8- 10⁴ км.

1.232. A*&ym(M₁/R₁ + M_i/R₂) = l,3-№ кДж, где М и Я-масса и радиус Земли и Луны.

1.233. о₃^.У 2af + (K2-l)² 17 км/с. Здесь o5 = _vAf₃/K, Л1₃ и R — масса и радиус Земли; VJ = 7M_C//-, /И_с —масса Солнца, /- — радиус орбиты Земли.

1.234. l = 2aF₂/mw= 1,0 м.

1.235. N = (aB — ЬА)к, где к —орт оси г; 1 = \аВ — ЬА [ff А- + В².

1.236. г=|оЛ-6В i/VT^+fi⁵-

1.237. /⁷_PaBH = 2F. Эта сила параллельна диагонали АС, а точка приложения ее расположена на середине стороны ВС.

1.238. a) /=i/₃m/2; б) / = У₃т (а² + б²).

1.239. а) /=1/₂яр6Я* = 2,8 г • м²; б) / = з/₁₀ш#».

1.240. I = ^lUmR*.

1.241. / = (37/72) тЯ² = 0,15 кг-м².

1.242. / = ²/₃тй².

1.243. а) <o=gf/#(l + M/2/n); б) T=mg*t*/2 (1 + М/2т).

1.244. T = i/₂mg, w₀=gmr*/I.

1.245. co=K6Fsin <р//н/.

1 94й в— —^milg 7f т_; (m + 4m₂)

^то> ^p (_т1 + т₂ + т/2)К • T₂ т₂(т + 4/и₁)'

,.247. /1 = - .

m + 2 (otj +m₂)

1.248. я = (1 + k°-) <o*R/$nk (k+l)g.

1.249. t^litoRjkg.

1.250. <co)=¹/₃cd₍,.

1.251. Р = 2т^х/Я/(/И + 2т).

1.252. a) k Ss ²h tg а; б) Г = ⁵/_]4mg²/² sin² a.

1.253. a) 7=¹/e'"g=13 H, р = ²/з^/Я = 5. 10² рад/с^а; 6) P = "-;₃mg4.

1.254. w' = ²/₃(g-w₀), F=V₃m(g-w₀).

1.255. ffi)=gsina/(l+//m/-²) = l,6 м/с².

1.256. F_mKZ = 3kmgl(2-3k); w_aaKC = 2kg/(2-3k).

1.257. a) »_ _m(I ₊ _p) , б) Л--2m(l+p) *

1.258. T = i/_lamg.

■1.259. w = 3j (M + 3m)/(M + 9m + //Я²).

,.260. a) _ffl^(^ + 2m₂> _y= f* (3m, +2m₂) m_t (m_t + m₂) ' 2m! (m_x -f m.₂j

1.261. ffi.'₁=f/(m₁ + ²/₇m₂); а>₂ = */₇щ.

1.262. a) /=V₃ca₀R/feg; б) Д = -Ve^R².

1.263. со=У 10g(ff + /-)/17r*.

1.264. v₀ = VVagtf (7 cos a - 4) = 1,0 м/с,

1.265. v₀ = VSgR.

1.266. T = mv*.

1.267. T = y₁₀mv* (1 + ²/₇/-²/#²).

1.269. W = ¹/₂4"iw²l!²sin2{>.

1.270. cosft = ³/₂g/to²/.

1.271. Ax=i/₂ka._

1.272. t/=to₀//lA+3m/yW.

1.273. F = e/₂p²/m7 = 9 H. . . , 3m—4M „ ^t274- ⁸⁾ ^V ^Зт+ЛМ^ ^} ^F-T(l+4Af/3m)«J_ 1.275- a) v = (M/m) Y^gTsm (a/2); б) Др = /И |Лд^ sin (a/2); в) *«*²/₃(. 1.276. a) to = (l-f-2m/M)to₀; б) Л = 1/₂ям>5#²(1 + 2/п//И).

^2/ni" л? __ mi/n₂# du'.

8Mu²

1.277. а) ф =

1.278. a) to

2mj + m₂

/,(!>!+ /₂t0₂

Ф'; 6) N_zб) Л=-

2mx + OT₂

(%—(0₂)²

₊ > " " 2(/i + /.₂)

1.279. v' = v(4 — ti)/(4 + t|), co= 12u// (4+ л). При т] = 4 и т]>4.

1.280. a)^₉₀o = V2^/(/ + /₀), Л₁₈₀. = 2/«ш«//; б) JV = /Ja>J/(/ + /₀).

б) | ДЖ| = ¹/12'«ш/2ап2в';

1.281. co = >^A2g/; =6,0 рад/с; F = mgl₀/l = 25 Н.

1.282. а) М = ¹l_ntrmV^t sin ft, /И_г = М sin ft; в) Af =¹/₂4'"и²г^г sin 2ft.

1.283. a) co' = mgi//cu=0,7 рад/с; 6) F =

= ягсо'²£ sin ft= 10 мН. См. рис 11.

1.284. tu = (g+to);/jw#² = 3- 10² рад/с.

1.285. &' = ml \/~gZ + w*/Ico = 0,8 рад/с. Вектор и' составляет с вертикалью угол ft = = arctg (w/g) = 6°.

1.286. f'=²/₆m/<²tuto'/J = 0,30 кН.

1.287. /⁷_маКС=ятг²ф,_пш//7' = 0,09 кН.

1.288. N = 2nnlv/R = 6 кН-м.

1.289. Fro6 — 2nnIv/Rl = 1,4 кН. На такую величину сила давления на наружный рельс возрастет, а иа внутренний—уменьшится.

1.290. р = аЕДГ=2,2. 10³ атм, где а—коэффициент теплового расширения. „Аг/г = 20 атм; б) р=^2а_тДг/г = 40 атм. Здесь а_т — предел

= 0,8- Ю² об/с, где а_т — предел прочности, р—плот-

1.291. а) р^а„ прочности стекла.

1.292. n = V2o_m/p/nl--ность меди. _

1.293. п = Ка_/л/р/2лЯ = 23 об/с, где а_т — предел прочности, р —плотность свинца. _

1.294. х IVmg/2Kd²E = 2,5 см.

1.295. e=¹/₂F₀/Ј5.

1.296. T^fcnuPlU-rW), Дг = 1/₃р«²/³/£, где р-плотность меди.

1.297. ДУ = (1—2р.) F(/Ј = l,6 мм³, где ц — коэффициент Пуассона меди.

1.298. a) A/ = V-₂pg'²/Ј; б) AV/V = (1-2(A) Aljl. Здесь р-плотность, ц— коэффициент Пуассона меди.

1.299. a) AV7V=-3(l-2(x)p/Ј; б) 0 = 3 (1 -2ц)/£. "

2И

1.300. R = ¹/_sEh²/pgl²=0A2 км, где р — плотность стали.

1.301. а) Здесь /V не зависит от х и равен N₀. Интегрируя дважды исходное уравнение с учетом краевых условий dy/dx(0)=0 и (/(0) = 0, получим y = (N₀/2EI) х². Это уравнение параболы. Стрела прогиба X = N₀l²/2El, где /=а*/12.

б) В данном случае N (x) — F (1-х) и y=(F/2EI)(l — x/3) х²; K = FP/ZEl, где / то же, что и в предыдущем пункте.

1.302. X=FP/48EI.

1.303. a) Х = ³/^1*/ЕН²; б) X^kpgl^/Eh². Здесь р —плотность стали.

1.304. k = ^a/$pl⁵/Eh², где р —плотность стали.

1.305. a) q> = (l/2nr^aArG)-N; б) <p=(2l/nr*G) • iV.

1.306. /V = n(rfl — dl)G<p/32/=0,5 кН • м.

1.307. P = i/₂nr*G<pti>=l7 кВт.

1.308. /V = (4 -r*)l(rl -r\).

1.309. l7=y₂mЈe²/p = 0,04 кДж, где р —плотность стали.

1.310. а) с/ = 1/_вяг²'³Р²£²/£; 6)U = ²/₃nr²lE (М/1)². Здесьj> — плотность стали.

1.311. А ^1/_влШ³Е/1 = 0,08 кДж.

1.312. с/ = 1/1Я/-*Оф²/; = 7 Дж.

1.313. u = i/₂G<p²r²/l².

1.314. и = 1/₂6 (pg/i)² = 23,5 кДж/м³, где R — коэффициент сжимаемости.

1.315. Pi> р₂, x>i<.v_a. Плотность линий тока растет при переходе от точки / к точке 2. _

1.316. Q = S₁S.₂V2gAh/(S'j-Sf).

1.317. Q = S V2gMp₀/p.

1.318. v = V~2g (Ai+/i2P2/pi) = 3 м/с, где pi и p₂ —плотности воды и керосина.

1.319. Л = 25 см; /_маКс = 50 см.

1.320. /i = i/₂i)²/g —Л₀ = 20 см.

1.321. p = p₀ + pg/i (1 — R\/r²), где Ri<r <#₂, р₀— атмосферное давление.

1.322. A = i/₂pV³/s²t², где р —плотность воды.

1.323. x = V2h/gS/s.

1.324. и = йй J/^/A—1.

1.326. F = 2pg5A/i=0,50 Н.

1.327. F = pgbl(2h-l) = b Н.

1.328. N=plQ²/nr² = 0,7 Н ■ м.

1.329. F = pg/i(5-s)²/5 = 6 Н.

1.330. а) Параболоид вращения: 2 = (co²/2g)r², где 2—высота от поверх* ности жидкости на оси сосуда, г — расстояние от оси вращения; б) p = po-f-

+ ¹/2р^г².

1.331. Р = япш²Я⁴/Л = 9 Вт.

1.388. .)»-«, J^(i-^); 6)/V=4_OTlco₂-^L-.

1.334. a) Q = V₂ny₀R²; б) r = Veit/R²p^; в) F_Tp = 4nr\lv_a; г) Др = 4пЬ₀/Я².

1.335. В левом конце трубки дополнительный напор ДЛ = 5 см сообщает кинетическую энергию жидкости, втекающей в трубку. Из условия pv²/2 =*

= pgAh получим v = y'2gAh= 1,0 м/с.

282

1.336. Искомое отношение равно е^аЛ*=5.

1.337. v_a=vi ^Г*^т2 = 5 мкм/с.

1.338. d = "l/ ¹⁸ *1—_5 _MMi _где р _и р_плотности глицерина и

У (P-po)Pog

свинца.

1.339. <= —Н^- In « = 0,20 с.

1.340. t> = c Ух\ (2 — ц) = 0,1с, где с —скорость света.

1.341. а) Р = а(1+]/4 — зр²); б) Р = а (КП^+1/4=р«). Здесь р = У/с.

1.342. /„ = / Y( 1 — р² _sinз щ I — р²)== 1,08 м, где B = f/c.

1.343. a) tg W = -^!Lr, отсюда ft'= 59°; 6) S = S₀Kl-P²cos²ft = = 3,3 м². Здесь p = t;/c.

1.344. r = c|/^r(2-~j ~ = 0,6- 10» _M/c.

1.345. l₀=c&t' /1 — (Д1/Дг')² = 4,5 м.

1.346. s=cAr]/ 1 —(Д<о/Д0² = 5 м.

1.347. а) ДА) = C/f) Vl — (vie)² =1,4 мке; б) /' = /)Л - (и/с)² = 0,42 км.

1.348. ;₀ = ^/>^А1 — (и/с)² =17 м.

1.349. /0 = ^^^2 = 6,0 м, v—cVl — Д^/Ддта = 2,2 • 10⁸ м/с.

1.351. Частица, двигавшаяся впереди, распалась позже на время Дг = = ф/с (1 — р²)=20 мке, где р = о/с.

1.352. a) /₀ = flZ^lfc^; _б) * * ₌(i_/i_₍„_/c).)_/e/0 или

t_B-t_A=(l+V\-(vlcf)l_ulv. _ _

1.353.a) t(B) = l₀/v, t(B') = (l₀/v)Vl-(v/c)*; 6) t (A) = (l₀/v) УI - (v/cf,

t (A').= h/v.

1.354. С «точки зрения» /(-часов см. рис. 12.

А'

^{-е-е-е-е-е-е-е*}

Рис. 12.

1.355. дс=(1->^АГ^Р²)с/р, где P = V/c.

1.356. Для этого необходимо убедиться в том, что при &t=t_a—ti>0 и Дг' = /^-^>0.

283

1.357. а) 13 нс; б) 4,0 м. Указание. Воспользоваться инвариантностью интервала.

,₃₅₈. _o,₌J^№m

l-v_xV/<?

1.359. а) » = »1+Ог= 1,25с; б) v = (v₁ + v₂)/(l+v₁v₂/c²)= 0,91с.

1.360. /=^о(1-Р²)/(1+Р²). где р = у/с.

1.361. a) v = Yv\ + 4\ б) v = Vv'i + VI — iv^/c)².

1.362. где р = У/с.

_1.363._{tgO' =}~~_^"^У~~_{. где}_p_{= F/c.}

^ь cos •cr — V/v ^г

1.364. tg Q = v'V/c² У\ —(V/c)².

1.365. a) w' = w(l — Р²)^3/2/(1-Ри/с)3; б) ю' = а>(1— р²). Здесь p = V/c.

1.366. Воспользуемся связью между ускорением ш' и ускорением и в системе отсчета, связанной с Землей:

и/ = (1-*²/с²)-³/²

Эта формула приведена в решении предыдущей задачи (пункт а), где следует положить V = v. Проинтегрировав данное уравнение (при o/ = const), получим v = w't/Y 1 -{-(w't/c)². Искомый путь t = (y^rl -f (w't/c)² — 1) с²/ш' =0,91 светового года; (с—и)/с = 1/з (с/ш'г")² = 0,47%.

1.367. Имея в виду, что и = a/ty/l + (w't/c)², получим

т _г ,___п

Г df" с , ш'т . -| / , , / w't \² „ -

То= \ -7= . = -—In--Ь 1/ 1+ - =3,5 мес.

J Vl + (w'tlc)² w' l о У \ с J J о

1.368. m/m₀<=« 1/7^2 (1 — P) ===== 70, где P = t>/c

1.369. »=cV^rT)(2-f-T])/(l-f-T))=0,6c, где с —скорость света. Здесь использовано определение плотности как отношение массы покоя тела к его объему.

1.370. (c-v)/c= 1-[1 +(т₀с/р)²Г^1/2 = 0,44%.

1.371. v = (с/1]) /^i^n = i/₂c 1Й72. Л = 0,42тоС² вместо О.НтоС².

1.373. ч = 72<:/3 = 2,6- 108 _м/с.

1.374. При е<1 отношение Г/т₀с²<*/₃е== 0,013.

1.375. p = Vt (Т + 2т₀с²)/с = 1,09 ГэВ/с, где с —скорость света,

1.376. £ = (//ее) /Г (Г + 2/noc²), Р = 77/е.

1.377. p = 2nmv²/(\ — и²/с²).

1.378. v=Fct/Ym%c²+F4², I = Y(m<f²/F)² +с*Р — m^/F.

1.379. F = /noC²/a.

1.380. а) В двух случаях: F || v и F 1 v; б) Fj_ = m₀w/)A — р², F|| = = m₀w/(l— р²)^3/2, где p = t;/c.

1.382. е' = е]^(1-Р)/(1+Р), где p = V/c, V=³/₉c.

1.383. E² — p²c² = mlcⁱ, где m₀ —масса покоя частицы.

184

1.384. а) Т = 2/n₀c² (/1 + T/2m₀c*- 1) = 777 МэВ, р = /у_ящТ = 940 МэВ/с; б) V=c/r/(r-f2m₀c²) = 2,12 - 108 _к/с.

1.385. М₀ = /2т₀ (Г+гтоС²)"^, V = с У~ТЦТ+ 2т_ас²).

1.386. Г' = 2Г (7Ч-2/ЛоС²)/тоС²=1.43. 10» ГэВ.

1.387. £_1макс = ~~^т» + ^т2~(^ОТ2 + ^/г'з)³~~ _С2, Частица m_t будет иметь нан-

ято

большую энергию в том случае, когда энергия системы двух других частиц т₂ и m_s будет наименьшей, т. е. когда они движутся как единое целое. ч ооо , 1 — (т,'т_а)^2и,с „

1.38S. vc = ——-—-——. Воспользоваться законом сохранения импульса l+(m/m₀)^J"/^e

(подобно решению задачи 1.178) и релятивистской формулой преобразования скорости.

2.1. т = р1/Др/р₀==30 г, где р₀ — нормальное атмосферное давление.

2.2. р = Ч₂(р₁Т₂/Т₁-\р) = 0Л0 атм.

2.3. m₁/m₂ = (l— а/М₂)/(а/М_г —1) = 0,50, где a = mRT/pV.

О Л _п:__ГЧ У'Ч I '"2/ 1 г Т---------*--

^гЛ- ^p-RT{m₁/M₁ + m₂/M₂)-¹'⁵ ^r/jb^2.5. a) p = (v₁ + v₂-_T-v₃)/?7/F = 2,0 атм; б) M=(v₁M_i + v₂M₂ + \>₃M_s)/(\_i + + v₂ + v₃) = 36,7 г/мол ь.

2.6. Г=Г„т)'(т)²-1)/т)(т)'²-1) = 0,42 кК.

___1п Г|_

■ ^П~ 1п(1+ДУ/У) *

' 2.8. р = _РоеТ ^Ct/V-

2.9. t={V/C) In т)=1,0 мин.

2.10. A7 = (mg+p„AS) //£ = 0,9 К.

2.11. а) Г_мзкс = ²/₃(р„/Д)У^73о:; б) Г_маВС = р„/ерЧ?.

2.12. p_№„ = 2tf/o7V

2.13. dT/dh = Mg/R = 33 мК/м. ' 2.14. dT/dh= —MЈ\n—\)lnR.

2.15. 0,5 и 2 атм.

2.16. a) A="/?77Mg=8,0 км; б) Л«sT)i?7/Mg=0,08 км.

2.17. m = (l-e-^/*/)_poS/g.

со .со

2.18. А_с = | Apdft/J pdh=RT/Mg.

2.19. а) р = р₀(1—йА)^я, Л<1/а; б) р = р₀/(1+o/i)^re. Здесь n = MgjaRT_v

2.20. р^е^²'²/^.

2.21. р_ид=рЯГ/М = 280 атм; p = pRT/{M — pb) — ар²/М² = 80 атм.

2.22. а) 7' = a(V'-b)(l+r|)/W(rjV + &) = 133 К; б) р = Д77(У-&)— _ а/У² = 9,9 атм.

2.23. а=У²(Г₁₍С2-7'₂р₁)/(7₂ —7j) = 185 атм • л²/ моль²; b = V — RX X (Г₂ - Г,)/(й - pi) = 0,042 л/моль.

2.24. х=У²(У-*)²/[/?ГКз-2а (1/ —6)2].

2.25. T>a/bR.

2.26. l7 = pV/(V-l)=10 МДж.

1*5

2.27. AT=^lkMv*(y — \)jR.

2.28. Г = Г,Т, (p₁Vi + P₂V₂)l(_PlVгТ^ + р^У^); p = (ftV, + _ftV,)/(V, +VJ.

2.29. Д{/ = — роУЛГ/Го (v— 1)= — 0,25 кДж, Q'=— AU.

2.30. <Э = ЛуУ^-1)=7 Дж.

2.31. Л = ЛДГ = 6',60 кДж, AU = Q —RAT =1,00 кДж; y = Q/(Q-RAT) = = 1,6.

2.32. Q=vi?r₀ (1 —l/n) = 2,5 кДж.

2.34. с_к=0,42 Дж/(г-К), c_p = 0,65 Дж/(г • К).

2.35. Л = ЯГ(и—1—Inn). .

2.36. Л' = р„У₀ In [(n + l)²/4r]].

2.37. v = l + (n— 1)/(Q/V#r₀— Inn) = 1,4.

2.38. См. рис. 13, где V — изохорический процесс, р —изобарический! Т— изотермический, S — адиабатический.

а)

Рис. 13.

2.39. а) r=r₀r|^(v-1>/v = 0,56KK; б) Л' = #Г₀ (n^(v-^1)/v-1)/(y~ 1) == = 1,6 кДж.

2.40. При адиабатическом сжатии Дольше в « = (r|^v ¹ — 1 )/(у — 1) I п tj = = 1,4 раза. /

2.41. Г = Г₀[(п+1)²/4п]<^?-^1)/2.

2.42. v = V2yRT/(y — \) М = 3,3 км/с.

2.43. <Э = ЯДГ(2 —y)/(y-1)-

2.45. С_п = Й (n-y)j(n—l) (у — I); С_п<0 при 1<«<у.

2.46. C=R (п-^-у)/(п—1) (у— 1)= —4,2 Дж/(К ■ моль), где га = 1па/1пр\

2.47. a) Q=K(n-y)A77(n-l)(y-l)==0,ll кДж; б) А = -RAT/(n- 1)== = 0,43 кДж.

* 2.48. a) At7 = aFl(n²-l)/(y-l); б) Л =V₂aV% (ту²-1); в) C = V₂fl X X (Y+1)/(Y-1)-

2.49.а) C=-R{(y-l); 'б) TV^-^X)'² = const; в) Л=2ЯГ„Х

X(l-4^(,-^1)/J)/(Y-l)'

2.50. а) A = (\-a)RAT; б) C = R/(y — l)-f R(1 -а); С<0 при а>

>y/(y-1)-

2.51. а) A = AU(y-\)/a; Q = AU[\+(y-l)!a]; б) C=R'(y-l) + R/a.

286

2.52. a) C = C_v+R/aV; б) С = С„+R/(l +aV).

2.53. a) C=yR/(y—O+aR/Po^: ⁶) = p₀(V_S! — V₁)/(y-\y, A = ₌ _л ₍v₂_ v,) + a In (V₂/Vi); Q = VPo (V_s- V,)/(v -1) + a In (VyVi)-

2.54. a) C = C_p + RT„/aV; 6) Q =aC„ (V_s-V,) + RT, In (V₂/V,).

2.55. a) Ve-^aT,R= const; б) Ге*^/ру = const; в) V-ar = const.

2.56. а) Л = а1п11-КГ,(т1-1)/(_Т-1); 6) pV^-^-const.

2.57. A = RT\n^V^^ + a{~--~], где а и Ь_постоянные Ван-дер-Ваальса.

2.58. a)_KAU = a/Vi-a/V₂ = 0,U кДж; б) Q = RT In ^^.=3,8 _кДж,

2.59. a) r(V-6)^R/Cv=const; б) С_р-С^= , ~~__ga~~ ~~_(у~~ ~~^_b)t/RTVf~~

,_e0. ₄,,_₁^«tiL₌_3,0K.

2.61. Q = v²a (V₂ — V₁)/V₁V₂ = 0,33 кДж.

2.62. п = р/йГ = 1 -105 см-з; <(/> = 0,2 мм.

2.63. р = (1 +Т)) mRTfMV = 1,9 атм* где М —масса моля азота N₂.

2.64. n — (p/kT—p/m₂)/(l — m₁/m₂)= 1,6 • 10¹⁹ см~³, где mi и m₂ —массы

1/(ЗЛГ —2) для объемных молекул, ■³/г) Для линейных молекул.

молекул гелия и азота.

2.65. p = 2nmv² cos² ■&= 1,0 атм, где т —масса молекулы азота.

2.66. i = 2/(pu²/p —1) = 5.

2.67. v/v_KB = V(i + 2)/3i; а) 0,75; б) 0,68.

( (3N — 3)kT для объемных молекул, 2.-68. <е)=<

l (3/V — ?/₂) для линейных молекул.

Соответственно 1/2 и l/(2N —5/₃). ' - -

2.69. а) C„=7.R. 7=⁹/т; б) C„=(3tf-8/«)R. т = (6ЛГ-3)/(6ЛГ-5);

в) C„=3(tf-1)R, y=(N-²/₃)/(N-l).

' -MS:;

Для одноатомных молекул j4/Q = ²/₆.

2.71. Af = R/(c_p —6^ = 32 г/моль; i = 2/(cjc_v— 1) =5.

.2.72. а) »=2 (Cp/R-1) = 5; б) t = 2[C/R + l/(n-l)] = 3, где n = i/₈-показатель политропы.

2.73. Y = (5vi + 7v₂)/(3_Vl+5v₂).

2.74. Увеличится на Ap/p = Mu²/iRr = l,2%, где i = 5.

2.75. а) v_KB = V~3RT/M = 0,47 км/с, <е>=³/₂йГ = 6,0. \0гЪ Лж\у&) v*_B= 3 lA2fer/np <i3₌о, 15 м/с.

2.76. В if = 7,6 раза.

2.77. Q = i/₂(ri²-l)»mRr/Af = 10 кДж.

2.78. ю_кв=У~!гТ/1 = 1,4- 10⁹ рад/с.

2.79. <е>_вр = АГ₀т)2/« = 0,7- 10"²» Дж.

2.80. Уменьшится в i)(f+l>/< _ра3) _где ,-_=5>

2.81. Уменьшилась в ^— ^— ²) = 2,5 раза.

2.82. C = VaR(« + 1) = 3R.

28?

'2.83. f_BCp —/2р/р =0,45 км/с, (v) =0,51 км/с, и_ка = 0,55 км/с.

2.84. а) бЛ//^ = (8/У^гя)е-1бт) = 1,66о/₀;б) 6tf/JV = 12^1^ e^-3/2fir)== 1,8594.

2.88. а) Г= "У~~'Г°^Т>~~- = 330 К; б) „ = lA^ Л1"_П 4£ In (гл,/^) ^ч' ' J/ /п TJ — 1 '

m_N (Ди)2

2.87. Г = —- _ =0,37 кК.

2ft(l-]/m_N/m₀)²

^2.88.^{v=YZkTln{ni2l"^=}^{1,61 км/с.}

2.89. r = V₃/nu^a/^.

2.90. ^dN/N^~_fJ'\-^mv^^2kT 2KV_±dv_±dv_x.

2.91. (v_x) = 0, (\а_х\)=УШ/Ш.

2.92. (v_x)=kTlm.

2.93. v = V*n<o>, где <») =К~8Л77ят.-

2.94. p = J 2то_ж • dra (и_д) = лйГ, где dra (о*) = (m/2nkT)^t/2 п ■ _&~^твМ^2кт _dt>x

2.95. <1/1/> = У 2т/лАГ=4/п <»>.

2.96. dN/N = 2л (KkT)-³'²e-^e/kT Vi d&; е_аер = VaW; нет.

2.97. 6Л7# = ЗКб7ле~^3/28т| = 0,9%.

2.98. Искомая величина

со

4» 2„ Г.₁₍^,,_Л

W (я£Г)^3/2

Главную роль в значении интеграла играют наименьшие значения е, а именно f. =s= tg. Медленно изменяющийся множитель Уг можно вынести из-под знака интеграла, взяв его значение при е = е₀- Тогда

AN/N =2VIJ^kf e-^e"^/kT. 2.S9. а) р_вер = У 3677m; б) 8_вер = йГ.

оо

2.100. dv= \ drt(dQ/4n)t)Cosft = n(2ftTMm)^l/2sinftcosftdft.

Я/2

2.101. rfv = f d«(dQ/4n)ucosO = n(m/2.^r)^V2e^_ml'^2/2*⁷'t)³dy.

2.102. F = (kT/Ah) In T) = 0,9- 10 ¹⁹ H.

2.103. N_A = {6RT/nd³At>gh) In л = 6,4 • 10^ моль-i.

2.104. T)/T)₀ = e^(Ai'-^A)'^,g,1/R7 =1,39.

2.105. _л ₌ .*Пп(я₁/я₁)

(m₂ —m_t)g ^-2.106. He изменится.

288

_/4

2.107. {U)=kT. He зависит.

2.108. wz*,r)RT/Ml^7Qg.

2.109. M ■■--^2RT^

(p —Po) (r* — r\)ы- '

2.110. co=/(2/?77M/²) In ii =280 рад,'с.

2.111. a) dN = n₀e~^ar!/kT4-лгЧг\ 6) r_acp-.

--VkT/a;

в) dN/N = (a/nkT)^V2e ^ar"'^/kT4nr4r, г) увеличится в rj^3/2 раза. 2.112. a) dN = (2xno/a^V2)e-^b'^/kr flldU; б) U_BCD = i/₂kT. 2.}13. Во втором случае.

2.114. а) Т}= 1 — га¹ -^у = 0,25; б) _Ч = 1 -и¹^-1 ₌ 0.18.

2.115. 8=(1—Т])/т1 = 9.

2.116. т)=1-2Гз/(Г₁-1-Г₂).

2.117. r|=l-«¹-V = 60%.

2.118. Tj=l-n-^(,-^,/v).

2.119. »i=l — (« + ?)/(! + V«)-

2.120. В обоих случаях т)=1-

In п ' я—I •

2.121. В обоих случаях ii=l—2_—L ^J я In я

«-1

2.122. г]=1 —

2.123. a) rj= 1

2.124. а) ц=1

2.125. г]

Я In П '

У(я-')

я — l -f- (у — l)« In и ' (т — I) In V

пУ—l

y(n — l)rtY-i

6) ₄ = 1.

я-'+(Т-1) Inn Y(n-l)

Tlnv + (T-1)/(Y-1) *

2.126. ^Г'','"* _n. ¹ т1пя + (т—l)Y/(Y-^0

2.127. ti= 1 —2--^t-.

(1+Y)("+Kt)

^2.128.^{Неравенство}^{-y^-}^—^{^ sЈ}

sg 0 только усилится, если заменить 7\ иа Г_макс и Гз —на Г_М1Ш. Тогда Qi/r_MaKC —

-QifT,

мин

; 0. Отсюда

V+dV

' макс

- , ИЛИ Г) < Т)

Рис. 14.

Карпо

2.129. По теореме Карно ЬА',Щ_Х = dT jT. Найдем выражения для 6Л и &?_х. Для бесконечно малого цикла Карно (его можно считать параллелограммом 1234, показанным на рис. 14)

6Л = dp ■ dV = {др/дТ) _v dT ■ dV, 6Qi = dU₁₂ + _PdV = [(dU;dV)_T + _p j <JF. Остается подставить последние два выражения в первое. 10 И. Е. Иродов

2.130. a) AS = ^^=19 Дж/(К-моль); б) AS = ^^ = 25 Дж/(К-моль).

2.131. « = e^AS^=2,0.

2.132. AS = v#lnn = 20 Дж/К-

2.133. AS = —^LJlE-j. lnn= -10 Дж/К-

2.134. AS = (vlna —lnP)v/?/(v—1)=—11 Дж/К-

lnp

2.135 . S₂ — Si = \R In a

= 0,5 Дж/К.

Y-l.

2.136. AS = ⁽"~^Y)* ~~_1ч~~ Int.

₍„_1)(_Y_1)

2.137. AS = -~~^v(Y+1,^)/?~~ In « = 46 Дж/К-■

2.138. V_m = YPo/a(l+Y)-

2.139. Г = Г₀ + (#/а) ln(F/F₀).

2.140. AS=#ln [(V₂-b)/(Vi-b)].

2.141. Д5 = С„1п(Г_а/Г₁) + /г In [(^-6)7(^-6)].

2.142. 5 = аГз/3.

2.143. AS = m [a In (ТуГ^ + б (^-^=2,0 кДж/К-

2.144. C — Sjn; С < 0 при и < 0.

2.145. 7'=r₀e^(S_So)/C, см. рис. 15.

2.146. а) С=-а/Т; б) Q = a In (Г^); в) Л = а In (Г₁/Г₂) + С^(Г₁-Г₂).

2.147. а) т] = (и—1)/2я; б) т) = (« — l)/(n +1).

2.148. AS = vЈlnn = 20 Дж/К-

2.149. At/ = (2V-i-l)/?r₀/(_Y-l), AS = #ln2.

2.150. После быстрого расширения давление будет больше.

2.151. AS=viR In (l+n)+v₂Ј In (l + l/n) = = 5,1 Дж/К.

2.152. Д5 = m-tCi In (Г/Г^ + m₂c₂ In (T/T₂) = = 4,4 Дж/К, где T=(m_lc_lT_i + m_ic_iT₂)/(m_lc_l + m^a), Cj и c₂ — удельные теплоемкости меди и воды.

(7\ + 7\)²

Рис. 15.

2.153. AS = C_yIn-lg (</т)

4ГЛ

2.154. а) Р= 1/2"; б) /V = ^ь~~^ ⁷~~ «=80, где т ~ 10"3_С—среднее время пролета атомом гелия расстояния порядка размера сосуда.

2.155. О_вер = ЛМ/[(Л72) !]2 ₌ ₂52. P_Nfl = Q_Kp/2^N = 2А,6%.

2.156. Р_п= ~~^Nl~~ ; соответственно i/зг. ⁵/зг, ²⁰/₃2. ²⁰/з2. ?/зг. VsS-

« ! (/V — м) 1 2

N !

2.157. Р„=-

pⁿ(l-pf-", где p = V7W

n ! (N—n) !

2.158. d = |^6/n«₀Ti² = 0,4 мкм, где п₀ — число Лошмидта; («)=1/т|² = = 1,0. 10*.

2.159. Увеличится в Q/Q₀ = (l+ДГ/Г₀)^,Л?л/2= 10¹'³¹"¹⁰"" раз.

2.160. а) Ap = 4a/d=13 атм; б) Ap = 8a/d = l,2- 10"? атм.

290

2.161. A = 4a/pgd = 21 см.

2.162. a=VePod(l-4³/«)/№-l>-

2.163. p=p₀ + pgA+4a/d = 2,2 атм. / / ^

2.164. ft=[p₀(n³-l)+4a(^-l)/d]/pg=5 м. А" -л/

^T^Art=4ai^jL|(d₂-di)/did₂pg=ll мм- , #</fc<>!

2Ш. R~=2a/pgA = 0,6 мм. * ~^?р^1$1&С

2.167. * = J/(l+p₀d/4a)=l,4 см. * i/<?L

2.168. a = [pgA + p₀//(/-A)J d/4 cos ©. / /

2.169. A=4a/pg(d₂-4) = ⁶ см. ^fffsJ

2.170. A = 2acosd/pg*6<p._ ^ _

2.171. y^V^~~^-^LV⁰^~~ =°'⁹ ^CM^

2.172. R₂—Ri <=a¹1_sf>gh^sla = 0,20 мм. _ы

_s 2.173. m^nR²^ cos ft | (ft²-l)/gA = 0,7 кг. /fdCO)fr__ JZ^T *

2.174. F^2am/pA²=l,0 H. ^' ^ ■

«2Л76. F=2a^/pgrf2=i3 H. 4JJMJbL~~ЈL--

2.177. *=2/_ЧЯ./аЛ =

2.178. Q = 2naVpg. ^/ zf , -^T 2.1Ж a) f=nad²=3 мкДж; 6) F=2nad²=10 мкДж. ' U<l'' f §

2.180. AF = 2nad²(2^_1/3 — l)= —1,5 мкДж.

2.181. A'= F+pV Ь (p/Po), где F = 8nR²a, p = p₀+4a/R, К=*/зяД³-// , ,

2.182. C-C_p=i/₂R/(l+³/₈Po'-/a)- -friUeS&Mci*-*'/ 2.184. a) AS = -2 (da/аТ) До; 6) AU = 2 (а -T ■ da/dT) Да. *fe-rfy . 4f> ----Л = ДтК77Л* = 1,2 Дж.

m_n = (K-/nV^)/(y;-V^) = 20 г, Г_п = 1,0 л. Здесь V^-удельный

sss Mpo (V₀ — V)/RT = 2,0 г, где p₀ —нормальное атмосферное

.(n—i)/(jv —1): _ч=1/(ЛГ + 1). ^^УЛ^у

am (q-{-RT/M) = 2A МДж, где д —удельная теплота парообра-

(О—/доД7') £ pry*¹* ■

2.190. А «и ~~р ^ ^~~ ~~+qM/RT)~~ ^см' ^где ^С—удельная теплоемкость воды,

ДГ=100К, q — удельная теплота парообразования воды, Г —ее температура кипения.

2.191. А = тс (Г — 7"₀) RTjqM = 25 Дж, где с—удельная теплоемкость воды, Т — начальная температура пара, равная температуре кипения воды (это видно из условия), q—удельная теплота конденсации пара.

"2Л92. d=;4aAf/TipR7=0,2 мкм, где р —плотность воды.

2.193. h=tjp₀ VM/2nRT =0,35 г/(с ■ см²), где р₀ —нормальное атмосферное давление.

2.194. p=nV2nRT/M =0,9 нПа.

2.195. Др = а/Км =1,7- 10⁴ атм.

2.196. pi=*Јpq. Приблизительно 2- 10* атм.

2.198. a=ⁱ⁷)_tlR*T*_Kp/p_Kp = 3fi атм - л²/моль², & = 1/₈К7_кр/р_кр = 0,043 л/моль. 10* " _Z9i

2.199. Vi_p = Wkp/^Pkp = ⁴.⁷ <=^м3/г-

2.200. (tt + 3/v²)(3v —1) = 8т, т=1,5.

2.201. a) V_MaKC = 3um/7W = 5,0 л; б) p_MnKC = a/276² = 230 атм.

2.202. 7_Кр = 8/.₂₇а/йЯ = 0,30 кК, p_KO = V₃M/6 = 0,34 г/см».

2.203. •п, = ⁸/зМРкр/р/?7^,_ко = 0,25, _где р_ плотность эфира при комнатной температуре.

2.204. Применим уравнение (2.4д) к обратимому изотермическому циклу 1-2-3-4-5 — 3 — 1:

T§dS = §dU+§pdV. Так как первые два интеграла равны нулю, то и ^pdV=0. Последнее может быть только при равенстве площадей / и //.

Заметим, что эти рассуждения не применимы, например, к циклу 1 — 2 — 3—/. Он необратим, ибо включает совершаемый в точке 3 необратимый переход из однофазного состояния в двухфазное.

2.205. т) = с | t \/q = 0,25, где q— удельная теплота плавления льда; при t= — 80 °С.

2.206. Д7 = — (TAV'/q) Др= — 7,5 мК, где q — удельная теплота плавления льда.

2.207. V'_nn ==к qAT/TAp = 1,7 м³/кг, q — удельная теплота парообразования, Г = 373 К-

2.208. Рнп^РоО +qMAT/RT2) = 1,04 атм, где q — удельная теплота парообразования, Ро — нормальное атмосферное давление, ДГ=1,1 К-

2.209. Am/m = (qM/RT — \) Д7/7 = 5%. [qM ( 1 1 \\

1-у--~т)\' упрощения допустимы для не

слишком широкого интервала температур, значительно меньших критической.

2.211. т) ^ cpTAV/q² = 0,03, где с —удельная теплоемкость льда, 7 «=273 К. q — удельная теплота плавления.

2.212. а) 216 К, 5,1 атм; б) соответственно 0,78, 0,57 и 0,21 кДж/г.

2.213. AS = m[cln(r₂/7\.) + ?/7'₂ + tf//W]=7,6 кДж/К.

2.214. Д₅«*_?„_л/Г₁ + с1п(Г₂/Г₁)+_9пар/Г₂+Л/уИ = 9,0 ДжДг • К)-

2.215. AS = mc In (7/7_х) = —10 Дж/К, где с—удельная теплоемкость меди, 7 = 273 К (при данных условиях лед растает частично).

2.216. а) При ,т₂с₂/₂ < яад лед растает не весь и

AS = т₂с₂ -1 - In -Јj j = 9,2 Дж/К;

2.210. р = р₀ехр

б) при т₂с₂^ > tniq лед растает весь и

AS=^+c₂' 1

^{AS=^-+c2}^{fmt In ~}^-^m2
In^{Щ =}^{18 Дж/К,}^'й'

где 7 = т_г + т₂

_2.217._{AS = m9f4--4-W}_mcf_{-p--1-ln^) = °.48}_Дж/К-

\ 7_Х Г₂У \ 7_t Ti

2.218. С = С_р-₉Л1/7=—74 Дж/(К ■ моль), где C_p = Ry/(y-l).

2.219. AS = ^Л1/7₂-)-C_D In (7₂/7i).

292

2-.220. а) т) «= 0,37; б) т) 0,23.

2.221. Х=Д//1пт|.

2.222. а) Р = е"^а'; б) (t) = l/a.

2.223. а) Х = 0,06 мкм, т=0,13 не; б) Я = 6 Мм, т = 3,8 ч.

2.224. В 18 раз.

2.225. X=(2jiJV_л/36)^2/3 (A7-₀/V"2 лр₀) = 84 нм.

2.226. v = ndip₀N_A V2y/MRT₀ =5,5 ГГц.

2.227. а) 0,7 Па; б) 2 ■ №⁴ см~³, 0,2 мкм.

2.228. a) v = V~2ntPn <о> = 0,74 • 10» с"¹; б) ч = Ч_гУ2 nd*n* (о) = 1,0 X X 1029 C-1.CM-S, где n = p₀/kT₀, (v) = V&RT/nM.

2.229. а) Я = const, v^/f; б) Я ~ 7\ v~l/V"7\

2.230. a) А = const, v увеличится в У п раз; б) Я уменьшится в п раз, v увеличится в п раз.

2.231. а) Я~ V, v~V-^6/s; б) А~р~^5/7, v~p^6/7; в) А~7-^5/2, у~Г³.

2.232. а) Я-V, v ~ у-<^я+'>/'; б)Я~р-^1/л, v~ p<ⁿ +'^"j в) А ~ __ri/(i —п)_> v^jC+D/Zfri-l).

2.233. а) С=1/₄Я (l+2t) = 23 Дж/(К ■ моль); б) C=7₂P(i + 2) = = 29 Дж/(К • моль).

2.234. п = ге₀е^_'^/г, где x = 4V/S<w>, <у) = КЗД7упМ.

2.235. Увеличится в (1 +т])/(1 +]^т)) раз.

2.236. Увеличилось в а³/р"=2,0 раза.

2.237. a) D увеличится в п раз, т] = const; б) D увеличится в л³''² раза, *) — вУп раз.

2.238. D уменьшится в л⁴/⁵«=6,3 раза, т] увеличится в я^|/,5яв1,6 раза.

2.239. а) я = 3; б)я = 1; в)л=1.

2.240. ~0,18 нм.

2.241. d_Ar/d_He= 1,7.

2.242. N₁^2nrp>R^!>/AR; р = У2 kT/nd²nAR = 0,7 Па.

2.243. t] = (1/R!— l/RDN^ma.

2.244. /V = V₂nTi<uaVA-

2.245. N = ¹/₃aa*p У~ШЩг.

2.247. Г = (и^//! + х₂Г₂//₂)/(х₁//₁ + х₂//₂).

2.248. х = (/i + /₂)/( V*i+fj/xj).

2.249. Г (jr) = Г_г (T^T^fl¹; q = (a//) In (T₂/Ti).

2.250. Д7^, = (Д7')₀е-а', где a = (l/d +1/C₂) Sx/7.

2.251. r=7'₁{l+(x//)[(7^,₂/7'₁)³/²-l]}²/³, где *-расстояние от пластины с температурой T_v

2iR^²(T^3/2— ТЩ

²'²⁵²' ⁹⁼⁼ 9х~~»²Ы²Ы~~ УМ ⁼⁴'° ^ВТ/М2' ^ГД6 ¹' ⁼ ³' ^d-*™_Mft диа-метр атома гелия.

2.253. Я = 23 мм>/, следовательно, газ ультраразрежеииый; 9 = р<о)Й-/₁)/6Г(у-1) = 22 Вт/м*. где <о) = V~8RT/nM. Т=Ч%(7\ + Г₂).

293

2.255. Т = ТГ ^T*-^Ti ¹ ¹ ¹

2.256. Г = Г„ + (Я² — /-²)tt)/4x.

2.257. r = r₀-|-(R² — л²)ю/6х.

3.1. Отношение F_3],/F_Tp равно соответственно 4- 10⁴² и 1 • I О³*; o/m=0,86 ■ IO"" ^л/кг.

3.2. Около 2 • 10i5 Н.

3.3. dq/dt=³f₂a Y~2ne₀mg/l.

3.5. АГ— ^q4°

8я²е₀/-² "

3.6. E = 2,7i — 3,6j. £ = 4,5 кВ/м. q7 p__^_

^з-^8, ^Ј=="2S4^-

3.9. £ =-—^—5г»тг. При 1Ъ>г напряженность £«»—2— как для

4яе₀ (т-²+/²)^3/2 4ле₀/²

точечного заряда. Е_тКй = ——Л- при l = rl\^r2,

6 У 3 п&цг^г

3.10. Е- ^iqR~

3.11. £ =

4яе₀л^

4ne_nR

3.12. а) £ =—; б) £=- ^ , при дс># напряженность

4e₀R 4e₀(^+RT^/2

3.13. a) £ =- ; 6) £ =---. В обоих случаях при

4гоу^а² + /-² 4п8₀(г²—а²)

г>>а напряженность Јg» ^

3.14. £ — ~~4_явоу~~ ■ Вектор Е направлен под углом 43° к иити_в

3.16. E=-i/₃a/-/e₀.

3.17. Е= — ¹/₃ка₀/г₀, где к —орт оси г, от которой отсчитывается угол О. Как видно, поле внутри данной сферы однородное.

3.18. Е= - V₀aR²/e₀.

3.19. | Ф j = ¹/2^R/Јo- Знак Ф зависит от выбора направления нормали к кругу.

294

3.20. I Ф I =

. Знак Ф зависит от выбора направления

нормали к кругу.

3.21. \Ф\=Ч&Ч>гЛ№-г§1Ь>-

3.22. Ј_MaKc = tyneo*-

3.23. Е = ¹/г°о/⁸о> причем направление вектора Е соответствует углу ф = я.

3.24. Ф = 4лДа.

3.25. а) Е =

Зе₀

1-*-

при /■ г£ Л, Е =

Рой³

12е₀/-'

_г при г =з R; б) £_макс =

= ¹/₉РоЛ/б₀ при r_m = *lsR-

3.26. <7 = 2лЯ²а, Я = ¹/г«/8о-

3.27. Е =

Ро

• (l — е ^аг3). Соответственно Я s

Зе„

и £ =

Ро

Зв„ал^г

3.28. E = Vsap/8o.

3.29. Е=¹/г^аР/^ео. ^ГД^е вектор а направлен к оси полости, Ч ¹

Зе₀а/-²

3.30. Дф=-

2лв₀рД /1+(а/й)²

■ 1п т| = 5 кВ,

3.31. _ф£-ф₂=_

3.32. <p = ^l/_zoR/e₀, £^, = 1/₄а/ео-

3.33. _Ф=— (Vl+(«/')*-0. £ = — (l

2е„\ /Р+Л*

При / —> 0 потен-

циал ф =

при 1>R потенциал Ф^^,

4лб₀/²

где

2в„

2е„' ^£<7=слРЛ

3.34. ф = аЛ/п8₀.

3.35. Е=—а, т. е. поле однородное.

3.26. а) Е= — 2a(xi— у)); б) Ь= --a(yi-\-x\). Здесь i, j —орты осей х, у. См. рис. 16, соответствующий случаю о>0.

Рис. 16,

3.37. Е = — 2 (axi + ay) + fczk)^ Я = 2 Va² (*² + г/²) -f- 6²z². а) Эллипсоид вращения с полуосями V<P/a и V?/*- б) При ф > 0 однополостной гиперболоид

295

вращения, при ф = 0 прямой круговой конус, при <р<0 двуполостной гиперболоид вращения.

3<?

3.39. £ = Y^E'_r + ^EX⁼⁼ ~~4_ng~~ _гз Kl+3cos²f}, где Е_г — радиальная, а Ец —

перпендикулярная к ней составляющие вектора Е.

г. лп с Р 3 cos² #— 1 _ р 3 sin ft cos ft _

³-⁴⁰-^£*=4я^-7S-' ^Ј-L ⁼ 4Se--7»-^: ^Elp ^B ^T04KaX'

лежащих на боковой поверхности конуса с осью вдоль г и утлом полураствора ft, для которого cos ft= 1/|/3~ (fti = 54,7°, ft₂= 123,5°). В этих точках Е = Е_Х =

рУ"2

Ъ,г-

4Л8₀/-⁸ '

3.41. R = j7

3.42. ф

4 jigqEq

3.43. _ф =

2л8₀г

COS ft,

л:

2л8₀/-²

Г» Ј.V ~ ~

где E__v— проекция

4ле„ (tf² + *²)^3/2 ' 4л8„ (Я² + *²)^5/2

вектора Е на ось х. Графики этих зависимостей показаны на рис. 17. При

| х | > R потенциал ф я» Тщ^~~ " ^Е*"

2я&о*³

		_V
N \



	0

Рис. 17.

Рис. 18.

3.44. q> = -

2е₀ /*² + /^

E* = --

2e₀(x² + R²f²

el I, x \ _r alR²3.45. ф«а±— 1-- I Я=в-

P .. P

2e₀(x² + R²y

См. рис. 18.

При no-

,,3/2

тенциал ф ;t ■

и E-.

о т" где p = nR-al. В формулах для ф знак

хЛ8л.£³

плюс соответствует пространству со стороны положительно заряженной пластины, а знак минус —со стороны отрицательно заряженной пластины.

3.46. a) F = 0; б) F =--; в) F =

2яеу²

3.47. F--

Зо²

2ле₀/⁴

3.48. ф= — ал'(/~|-const.

- = 2,1 • Ю-" н.

296

3.49. (f = ay^—jc²| + consi.

3.50. (p= — у (ax + bz) + const

3.51. p = 6s₀a*.

3.52. р = 2е₀ДфЛ*²; Ј = pd/e₀.

3.53. p=—6e₀a.

3.54. q = 4l Vnsokx.

₃.₅₆._а)^(1&_1Ь!_;б)я=₂(1 '

8я8₀' ^ о К 5 / Я8_в(

(2/2 -I)?²

3.57. £ =

3.58. F=

32лз,!²Зр²

32д8₀/⁴

³-⁵⁹' ^а=-2^+7^' ^<7инд=~^<7" ³-⁶⁰- ^а> ^fl=W^;6)a=ir^W

3.61. а) <т=— ; б) о(г)=- ~~,^К~~

la г. 1 о 1

3.62. а) ff=--—775-; ^б) ■^е ⁼--;--777 Ф =- X

' 2я(/² + Я²)^3/2 4я8„ 4/² [l+1/i (Я/0²]^V 4ле₀

4я8о/

^Х R У /1+4 (//Я)² /'

3.63. ф = —-

3.64. ф=-т^л—( —~-^-+ р-^т 4яео \ г Rx Я₂

b Oi ( l/r — l/a при asg; г г< 6,

3.65. о-> =--Oi; Ф = -г^ X < .,' _ .

^ч- a ⁴¹ ^т 4яв₀ I (l—b/a)/r при /-^u.

3.66. а) £₂₃ = Лф/d, £₁₂ = £₃₄ = Vz^sl б) | о_х | = с₄ = 4&>Ayld, <х₂ = I о» | = = ³/₂б₀Дф/4.

3.67. Oi= —о (l—x)!l, q₂=~qxjl. Указание. Если заряд q мысленно «размазать» равномерно по плоскости, проходящей через этот заряд и параллельной пластинам, то ясно, что заряды q_t и о₂ не изменятся. Изменится только их распределение, и электрическое поле станет простым для расчета.

I. 3.68. dF/dS = ¹/₂o²/e₀-

^з-^бв-^F=-ж£я²-=⁰-⁵ ^кн-

3.70. £ = 1/₄пЯ²аз/8„.

3.71. N = j-—~~"."f~~ _г =3 • 10³, где л₀ — концентрация молекул.

(в — 1) ь₀л

3.72. F^-^~

4я²е„г?

297

, -. ( \,\R (притяжение),

3.73. a) x = R/V2; б) , _г .„

' 0.29Я (отталкивание). См. рис. 19.

3.74. Р=⁶-' Лт.

8 4пг³-

3-1

Рис. 19.

■я-

х з.7б. ₉;_нутр=-₉(8-1)/8,

?наруж = ?(⁸-¹)/⁶-3.77. См. рис. 20.

^ЕА

3.78. £ = /cos² а„ + s² sin² а₀ = = 5,2 В/м; tga=etga₀, отсюда a=74°; _q/_~~^s°(^g—1)~~ Ј_oCOsa₀=64 п К л/м².

Dab а)

Рис. 20.

0 а

3.79. a) §j Е dS == ~~⁸ _£ ¹~~ лЯ²£₀ cos ft; б) D dr = — g₀ (в — 1) /£₀ sin ft.

3.80. _а)£ fP'/«*.npHJ<d.

I. pd/e„ при / > d,

/-p/²/2se₀ при Jsgd, *^_ I—(d/2s + / —d)pd/8₀ при /^d. Графики зависимостей E_x(x) и ф (*) см. на рис. 21. б) a'=pd (е— l)/s, р'=-р(е-1)/в.

Рис. 21.

3.81. а) £ =

С р/"/Зео8 при г <: R,

\ рй³/3е_и/-² при r> R; X (в —1)/Зе. См. рис. 22.

^б) р'=—р(8—1)/е, о'=рДх

298

£ = а/2ле₀(1+е) г* .

⁷ ¹ - в вакууме и в диэлектрике.

3.82. Е = — dP/4e₀R-

3.83. Е=-Р„(1-*²Л*²)/ео. t/ = 4dP„/3e„.

3.84. а) £₁=2е£„/(8+1), £₂ = 2£„/(е +1), D^A^eeeEo/^ + l); б) Јi = Е₀, Е_г=£₀/8. Ј>i = D₂ = е₀Е₀.

3.85.а) Јi = Ј₂ = Ј₀. Ј>i = e„E₀, D₂=eDi; б) Јi=Ј₂=2Ј₀/(₈+1), D_x = = 2е„£„/(е + 1), D₂ = eD_v

3.86. £ = о/2л8₀ (6 + 1) г²-

3.87. р = р₀б/(е —1) = 1.6 г/см³, где 8 и р₀—диэлектрическая проницаемость и плотность керосина.

3.88. а' =(е-1)ев£ = 3,5 нКл/м², _о' = лД²(е-1)е₀£ = 10 пКл.

3.89. а) Воспользовавшись непрерывностью нормальной составляющей вектора d на границе диэлектрика, получим а'= — qlifi — 1)/2я/-³ (е +1), при *-*0 а'ч-0; б) о'=-о(е-1)/(б+1).

3.90. £ = о²(8-1)/16пбо/²(в + 1).

391 _в ₌ {Ч1^2п^+^г)^гг-^ъ ^вакУУ^ме>

\ eo/2ix(l+e) г²—в диэлектрике;

' 1-й

ф=0/2п8о(1 +8) Г )

3.92. а'=^(8—1)^/^6(8+1); при /-*-0 а'-*0.

3.93. a' = ql (е — 1 )/2лг³е.

3.94. E! = Prt/8od (в зазоре), Е₂= — (1 — h/d) Р/е„, d_l = d₂ = Prt/i.

3.95. р' = —2а, т. е. от г не зависит.

3.96. а) Е= — Р/Збо.

3.97. Е₀ = ¹/з(е + 2)Е.

3.98. Е = ЗЕ₀/(8+2), Р = Зе_вЕ₀(8-1)/(8+2).

3.99. Е = —Р/2е₀.

3.100. Е = 2Е₀/(е+1); Р = 2еоЕ„{е- 1)/(е +1). ЗЮ1 С 4n8₀efli

³'^101, ^С~ 1 + (е-1)№'

3.102. Напряженность уменьшилась в V2(8+l) раз; o=i/₂CЈ (е — 1)/(е+1).

З.юз. а) С= —iЈ—-; б) а' = 8„[/ <«*-^ei) + 4/61 + ^2/62 814 + 83^2

3.104. а) С=8₀(в₂—81) S/d In (e₂/8i); б) р'= —q (е₂ - e^/dSe².

3.105. С=4пеоа/1п (R₂/Ri).

3.106. При условии 8iRiЈi_m = e₂R₂Ј_2m.

3.107. U = R₁E₁ [In (R₂/Ri) + (8!/е₂) In (tf₃/R₂)l-

3.108. С «= пво/ln (6/a).

3.109. С s» 2лво/1п (6/a).

3.110. C«s2n8oea. Указание. При 6^>a можно считать, что заряды распределены по поверхности шариков практически равномерно.

3.111. Cs=s4ne₀a.

3.112. а) C_o6iu=Ci + C₂+C₃; б) С_о6щ=С.

3.113. а) C = 2eoS/3d; б) C = 3e₀S/2d.

3.114. t/^t/i(l+Ci/C₂)=9 кВ. 3.115; t/ = f/(l+3T] + if)=10 В.

3.116. 0^=0(1^5 — l)/2=0,62C. Поскольку цепь бесконечна, все звенья, начиная со второго, могут быть заменены емиостью С_х, равной искомой.

299

3.117. ^ = 7/^ = 10 В, (/_а = ₉/С₂ = 5В, где <7 = (ф_д - ф_в +1) X X СгС^ + Сг).

3.118. I/₁ = (g₂-fi)/(l+C₁/C,), Ј/₂ = (gi-Ј₂)/(l+C₂/C,).

3.119. g=!^₁-I₂|C₁C₂/(C₁ + C₂).

3.120. _Фд-ц>_в = Ш _{~~c₁+%)~(C₃¹+C_i)~~ ■ ^ПрИ У^словии Ci/C₃ = C₃/Q.

³"^Ш- ^ ~~1/С₁ ₊ 1/С₂+1/Сз~~ -⁰'⁰⁶ ^МКЛ-

3.122. _?1 = gC₂, ₉₂=-fC₁C₂/(C₁ + C₂).

3.123. _9l = £С, (Cj - C₂)/(C, + C₂) = - 24 мкКл, q₂ = f C₂ (С* - C₂)/(Ci + C₂)= = -36 мкКл, _?3 = # (C₂ —C_x)= +60 мкКл.

3.124. Ф_Л-Ф_В = (С₂1₂-СД)/(С₁ + С₂ + С₃).

i .ок „ ^₂C₂ + ^₃C₃ —^ (C₂-fC₃) ^Сх + ^зСэ — ё₂ (Ci + C₃)

3.125. ф₁ ₌-г. j_ Г. J_ -. ф2=--------

d+C₂+C₃ ' Ci + C₂ + C₃_ Ш\С\^г(%чР₂ — $₃ (C₁-\-C₂)

c1 + c2 + C3

_2C_lC₂ + C₃{C₁+C?)

Ci + C_t+2C_a •

3.127.a) W = (/2+4) _?2/4я8₀а; 6) W = (Y~2—4) q*/4ntw, ъ) W ■■

3.126. С_общ=

3.127. a) W

= — Y~2 q²/4ne_ija.

3.128. -^-t.

3.129. W = — <7²/8лг₀*.

3.130. W = q_lq₂/4ne_al.

3.131. AW = — v2^²CiC₂/(Ci + C₂)= — 0,03 мДж.

3.132. Q = g²CC₀/(2C+C₀).

3.133. q = ¹/2ci'|. Интересно, что полученный результат не зав^ит от Щ±,

3.134. ^ = ^ + ^ + ^=4^(2| + |₂ + ^)-

3.135. a) W = 3<7²/20jte₀R; б) W₁/W₂=l/5.

3.136. W = (<?²/8я.еое) (1/а—1/6) = 27 мДж.

3.137. Л = (?²/8яе₀) (1/Ri-1/R₂).

3.138. A=iS^l('-±

4ле₀ \ Ri R₂,

3.139. Fi = c²/2eo-

3.140. A = (₉²/8jte₀)(l/a-l/6).

3.141. a) A = q²(x₂ — x₁)/2E₀S; 6) A = Ј„SU² (x₂ —х_})2хгХ₂.

3.142. a) A = ¹,'₂CU²r\/(\ — ti)² = 1,5 мДж; 6) A = ¹/₂CU²r\e (&— l)/[e — ц X X (8—1)]² = 0,8 мДж.

3.143. Др = е₀е(8— l)c/²/2d² = 7 кПа = 0,07 атм.

3.144. h = (e² — 1) c²/2e₀e²pg.

3.145. F = nRe₀(z— 1) U²',d.

3.146. /V=(8— l)8₀R²c/²/4d.

3.147. /=2neoaЈi) = 0,5 мкА.

3.148. /«=2ne„(e— I) rvU/d = 0,l\ мкА.

3.149. a) a = (a₁+not₂)/(l+ti); 6) a(a₂ + ti«i)/( 1 +1)-

3.150. a) ?/„R; 6) '/_1SR; в) 3/₄R.

300

3.151. R_X = R(V3 -1).

3.152. Я = (1+/1+4Д₂/Я₁)/?₁/2 = 6 0м. У к а з а н и е. Поскольку цепь бесконечна, все звенья, начиная со второго, могут быть заменены сопротивлением, равным искомому сопротивлению Я-

3.153. Подключим мысленно к точкам А к В источник напряжения U. Тогда U=IR = I₀Ro> ^гД^е ^, ^— ^ток ^в подводящих проводах, /₀ —ток в проводнике АВ.

Ток /₀ можно представить как суперпозицию двух токов. Если бы ток / «втекал» в точку А и растекался по сетке на бесконечность, то по проводнику АВ — из симметрии — шел ток 1/4. Аналогично, если бы ток / поступал в сетку из бесконечности и «вытекал» из точки В, то по проводнику АВ шел тоже ток 1/4. Наложив друг на друга оба эти решения, получим /₀=//2. Поэтому R = R₀/2.

3.154. R = (p/2nl) In (Ь/а).

3.155. Я = р (6 — а)/4лаЬ. При &-»- со Я = р/4яа.

3.156. p = 4nMabj(b~ а)С\х\ц.

3.157. Я = р/2ла.

3.158. a) }=2аШ/рг*; б) Я = р/4яа.

3.159. a) j = lU/2pr²b (l/а); б) R_t = (р/л) In (1/а).

3.160. / = UC/pzz_u = 1,5 мкА.

3.161. ЯС = рее₀-

3.162. а = D_n = D cos а; /=£> sin а/ее₀р.

3.163. I = US (a₂—Oi)/d In (a₂/o"i) = 5 нА.

3.165. <7 = e₀(P2-Pi) /•

3.166. ст = е₀6' (e₂p₂ — SiPi)/(pidi+p2fly. o" = 0 при eip! = e₂p₂.

3.167. q = e₀I (E2P2 —eipi).

3.168. p = 2e₀(/(r₁-l)/d²(ri+l).

3.169. a) R_l = 2na/S*; 6) E = 2na//SK

3.170. r= — RC In (1 — (//(/₀) = 0,6 мке.

3.171. p = x/e₀eln2 = l,4-10" Om-m.

3.172. / = [(n-l)g^,/R]e-^T>^wc.

3.173. а = ^/(г]+1) = 2,0 В.

3.174. ф1-ф₂ = (^1-1₂)Я₁/(/?1 + Я₂)-|^,1=-4 В.

3.175. R — R2 — R1, Дф = 0 у источника тока с внутренним сопротивлением Я₂.

3.176. а) / = а; б) ф_л — ф_в = 0.

3.177. _фл_ф_в=(^₁_^₂)Л_1/(Р₁ ₊ /?₂)=:_0,5 В.

3.178. /₁ = ^Я₂/(ЯЯ₁ + Я₁Я₂ + Я₂Я) = 1,2 А, /₂ =/Л/Я, = 0,8 А.

3.179. (/ = U₀Rx/[Rl + Ro(l- х) x/iy, при R > Я₀ У f о

3.180. g = (g₁i?2 + ^i)/'№ + /?₂). Яг = Я!Я₂/(Я1 + Я₂).

3.181. / = (Я^₂ — R$i)l(RRi + R1R2 + Я₂Я) = 0,02 А, направление тока— слева направо (см. рис. 3.44).

3.182. а) /₁=[Я₃(^₁-1₂) + Я₂(^₁ + 8'з)]/(Я₁Я2 + Я₂Яз + ЯзЯ₁) = 0,06А; б) Ф_Л-Ф_В = ^₁-/₁Я₁ = 0,9 В.

3.183. / = (Ri + Я₃) + #оЯз]/[Я (Я₂ + Я₃) + Я₂Я₃].

3.184. Ф_д-Ф_в = [^₂Яз(^ + «2)-М1(^Я2+Яз)]/(Я₁Я₂ + Я₂Яз+Я₃Я₁) = = — 1,0 В.

301

3.185. /₁=[Л₃(ф1-ф2) + Л2(ф1-фз)]/№Л2 + адз+ад1) = 0,2 А.

3.186. ⁷ = ( _Я1 [1 + _RiRi (R^+R^R.R, (R₂ + /ад] - ») = ¹ >° ^A- ^ToRидет от точки С к точке Z).

3.187. R_AB = r(r + 3R)/(R + 3r).

3.188. [/ = (1 —

3.189. a) Q=*/₃q*R/At; б) Q = i/₂ In 2 • з²Я/Дг.

3.190. К = ЗЯ₀.

3.192. Q==/(£-(/) = 0,6 Вт, Я=-Ш=-2,0 Вт.

3.193. I = U/2R; P_M№C = U²/4R; r) = V₂.

3.194. На 2т) = 2о/₀.

3.195. T-T₀ = ([-eT^kt/c)U²/kR.

3.196. K* =+Кг) =12 Ом.

3.197. K = KiK₂/(Ki + K2); Q_makc = (^iK2+^2Ki)²/4R₁i?₂(7?₁ + _JR₂).

3.198. n=VNr/R = 3.

3.199. Q = V2Cg²Ki/(Ki + K2) = 60 мДж.

3.200. a) Air=-V2Ct/²t)/(l-t))=-0,15 мДж; ,6) A = 7₂Ct/²rj/(l-t)) = = 0,15 мДж.

3.201. ДГ=-1/₂(е- \)CU²= — 0,5 мДж, А_мех = i/a (е— 1) Ct/² = 0,5 мДж.

3.202. Ляа^х/₂ео(е—1) t/²/pgd², где р —плотность воды.

3.203. а) <? = <7ое~'^/е<|£р; б) Q = (l/a-l/6) а*/8ле₀е.

3.204. a) g = g₀(l-e^_T/jRC) = 0,18M^;6)Q = (l-e-^2T/sc)g₀V2C = 82 мДж.

3.205. a) l = (U_uIR)t-^2tl^RC; б) Q^V^l/J.

3.206. e/m = la>r/qR=[,8- 10U Кл/кг.

3.207. p = lim/e = 0,40 мкН • с.

3.208. s = enl (v)/j ~ 10? м, где л — концентрация свободных электронов, (v) — средняя скорость теплового движения электрона.

3.209. a) t=enlS/I = 3 Мс; б) F=ert/p/= 1,0 МН, где р —плотность меди.

3.210. Е = (//2яе₀г) Vm/2eU = 32 В/м, Д_ф = (//4яе₀) ]/"/и/2е{/ = 0,80 В.

3.211. а) р(х)=-*/₉8о«~^2/3; б) / = 4/₉e<^^3/2yli7m.

3.212. n = /d/e(«J- + «j-)t/S = 2,3. 10⁸ см~з.

3.213. «₀ = q)e'²/2(/₀-

3.214. а) n, = /_Hac/eV = 6. 10» см"³--с-*; б) п = УИф^:=6 ■ 10? см"³.

3.215. г=(т|—1)/1Лтг_г =13 мс.

3.216. r = s₀t)t//en₍-d² = 4,6 сут.

3.217. I=ev(fi^.

3.218. / = (е°«* — 1) егц/а.

3.219. а) В=ц„//2Я=6₎3 мкТ; б) В = р₀К²//2 (К²+*²)^3/2=2,3 мкТ.

3.220. В = лц₀/ tg (я//г)/2я#. При я->-оо В = ц₀//2Д.

3.221. В = 4ц₀//яа sin ф = 0,10 мТ.

3.222. B = (n — q> + \g(p) р₀//2яЯ=28 мкТ. _

3.223. а) В = -Ш*^+ -?-); б) В=-^-^ + Ш.

' 4я \ a b I' ' 4я \ 4а ' Ъ j

3.224. В ;=» Цо/г//4я²Кл где г — расстояние от прорези.

3.225. В = ц₀//л²Я.

3.230. В

_Ч

3.233. В =

3.226. а) В = (ц₀/4я)(я//Я); б) В = (ц₀/4я) (1 +Зл/2) I/R; в) В = (ц₀/4я) X Х(2 + я)//Я.

:. 3.227. В = (ио/4п)//2/г = 2,0 мкТ. _

3.228. а) В = (и_ю/4я)У^/4 + я²//Я = 0,30 мкТ; б) В = (ц₀/4л)/2 + 2я + я² X _Х//Я = 0,34 мкТ; в) В = (Цо/4я)/2//Я = 0,11 мкТ.

3.229. а) В = Цо(/2; б) B = |i₀i между плоскостями и В = 0 вие плоскостей. p.₀jx внутри пластины, H₀jd вие пластины.

3.231- В том полупространстве, где находится прямой провод, В = р,₀//2яг, г —расстояние от провода, В другом полупространстве В = 0.

3.232. Даииый интеграл равен

( VaM-o [j'l при r^R, I V2H0 fjr]P³/r²npH л=эЯ.

3.234. B = V2P-o [J']> ^т- е. поле в полости однородное.

3.235. /(л) = (6/ц₀)(1+а) г*'К

3.236. В = щ,п//]/"1 +(2/?/0².

3.237. а) В = 1/гЦоЛ/ (l - х/У~х* + #²)₍где х > 0 вие соленоида и х <; 0

внутри соленоида; см. рис. 23; б) x₀=R (1 — 2п)/2 ]/"т) (1 — т^) «=> 5R.

3 238 В = I V'-(^A^)² = 0,29 мТ, т < Я,

\ (цо/4я)2///- = ОД)4 мТ, г>Я.

3.239. п^Л7я = 8- Ю².

3.240. Ф = (ц₀/4я) /=1,0 мкВб/м.

3.241. Ф = Ф₀/2 = |х₀я/5/2, где Ф₀ —поток вектора В через поперечное сечение соленоида вдали от его торцов.

3.242. Ф = (цо/4л)2/М1пт1 = 8 _мквб.

3.243. р_от = 2яЛ³В/Ц₀ = 30 мА-м².

Рис. 23.

3.244. р

3.245. а) В =

= i/₂^/d² = 0,5 А Ца/N In (b/a)

= 7 мкТ; б) р_т = 1/₃л/^ (а² + а6 + 6²) = 15 мА - м².

2 (6 —а)

3.246. a) B = V2Ho°«^; б) р_т

3.247. B = ²/₃fi₀o-(0/? = 29 пТ.

3.248. р_т-

3.249. В =

3.250. FjF_a = ц₀е₀и² = (у/с)² = 1,00 • 10".

3.251. а) /^?₁ = и₀/²/4Д = 0,20 мН/r.i; б) £₁ ₌

3.252. B — nd²o_m/4RI = 8 кТ, где а_от —предел прочности меди.

3.253. B = (2pgS//)tgd=10 мТ, где р —плотность меди.

3.254. B = Amgl/NIS = 0,4 Т.

3.255.3) /^?=2ц₀//₀/я(4т1²-1) = 0,40мкН; б) Л = (ц₀а//₀/л) X

X 1п[(2п + 1)/(2п-1)] = 0.Ю мкДж.

3.256. Я = |/'ц₀/8₀(1пт1)/я = 0,36 кОм.

3.257. /^?₁ = ц₀^/л²Я.

= ц₀/²/я/ = 0,13 мН/м.

3.258. F,=

|Ц 2/_t/₂4я ln(l+6/a).

303

3.259. £! = В²/2и₀.

3.260. Во всех трех случаях F₁ = (B\ — В|)/2ц.₀. Сила действует вправо. Ток в листе (проводящей плоскости) направлен за чертеж.

3.261. Др = /В/а = 0,5 кПа.

3.262. p = pV²/&t²/?².

3.263. p = V2Uo"²A

3.264. 1_гф = У2Р_пр!^пЯ.

3.265. Р = ФВ*йЩ(Я + pd/S)²;

3.266. (/ = ¹/4lio/²/Jt²7?²ne = 2 пВ.

3.267. я = /В/е£=2,5 • 10²⁸ м^-1; почти 1 : 1. 3.208. и„ = 1/пВ = 3,2 • 10-з _М2/₍в._С).

при R = pd/S мощность Р = Р_М

3.269. a) F--1г.

3.270. 3.271. 3.272.

= 0; б) £ = (,и₀/4я.)2/р_от//-², F fj В; в) F = (р₀/4я) 2/р_от/г²,

F=(_N/4a) ЗлЯ²/р_от/(Я²+х²)^5/2. ^ = з/_аЦоР1„_гр_зт/я/⁴ = 9 нН. /' = 2Bx³/p₀R² = 0,5 к А.

3.273. В' = В ]/ u² sin² а + cos² а.

3.274. а) §Н d"S^#²Bcosft-(p.— 1)/рр₀; б) § В dr = (f— р) В/ sin ft.

3.275. а) /^_ов = х/; б) /;_б = _Х/; - противоположные стороны.

3.276. См. рис. 24.

3.277. В :

Р1Ц2

Рис. 24.

fll + P-2 ЯГ '

3.278. В = 2В₀р/(1+р).

3.279. В = ЗВ₀р/(2 + р.).

3.280. Я_с = #/// = 6 кА/м.

3.281. Я=«6В/ро^ = 0,10 кА/м.

3.282. При b <^ R проницаемость р «а 2nRB/(p₀/V/ — 6В) = 3,7-10³.

1,0- 10*.

3.283. Я = 0,06 кА/м, р_макс

3.284. Из теоремы о циркуляции вектора Н получаем

В:

ylgNI р₀яЛ ff_=1|51 _0;

987Я (кА/м).

6 6

Кроме того, между В и Я имеется зависимость, график которой показан на рис. 3.76. Искомые значения Я и В должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям. Решив эту систему уравнений графически, получим Я «=.-0,26 кА/м, Вя=1,25 Т и р = В/ц₀Я^4. 10».

3.285. f^VaX-SSVpo-

3.286. а) х_т = 1 /У 47; б) _х = p₀F_MaKC /ё7о7КВ| = 3,6-10~*.

3.287. Л ^ V27.VB²/M-o-

3.288. %i = ByVbwja .

3.289. I = Bvl/(R+R_u), где /?_р1 = /?₁К₂/(/?₁ + /?₂).

3.290. а) Аф =

3.291. \" Edr-

^,,'₂й)'-о²/п/е = 3,0 нВ; б) Дф = -V₂<aBd²= —10 мВ.

(У«<вВа» = 20 ыВ.

304

3.292. ^ ⁼ ¹/г(—Ba$t, где п=\, 2, ... —номер полуоборота, которому принадлежит данный момент t. График Si (t) показан на рис. 25, где t_n =■

= V 2лл/р.

3.293. /„ня = ^а/г' ^гяе a = ¹/&olvI/nR. а, Цо 2la-v

3.295. Ш₁ = Va («а³В² + 2mg sin иО/аВ.

3.296. v = -

3.297. ш =

mgP sin а В²/²g sin а

1 +г²В²С/га '

3.298. <P)=V₂(":wa²B)²/R.

3.299. B = V₂<?R/WS = 0,5 Т.

Рис. 25.

3.300. q =

2яР b-a'

е. от L не зависит.

3.301. а) / = J^ЈlnA_; _б) _f " fHAinl

2nR a R \ 2л a

2.302. а) s = VjmR/PB>; б) Q — ^mvl

3.303. ^v = -^_m-(^l— ^e"^a). ^гД^е a=B4*/mR.

3.304. а) По круговому проводнику —no часовой стрелке, в перемычке тока нет; б) во внешнем проводнике —по часовой стрелке; в) в обоих круговых проводниках —по часовой стрелке; в перемычке тока нет; г) в левой части «восьмерки» —по часовой стрелке.

3.305. / = ¹/4шВ₀(а —Ь)/р = 0,5 А.

3.306. g_im = ¹/₃na²Na>B₀.

3.307. ^ = ³/₂ш/&² = 12 мВ. , _ ( ¹/2Н^п!г ^ПР^И г < а,

\ ⁱk\i_unia²lr при г > а. 3.399. / = ¹/₄|x₀«Si//p = 2 мА, где р — удельное сопротивление меди. 3.310. Е = ¹1₂аЬ (г]-1)/(г| + 1).

3.308. Е--

3.311. ю =

чч12 F - №^2t/2

3.313. Q = V₃a²T³/R.

3.314. / = i/₂(f>² — a²)Pft/p.

3.315. / = >^А4лг₀/./ц₀ =0,10 км. „ „. г t*e mR

3.316. ^—^~ , ^гД^е Р ^и Ро —удельное сопротивление и плотность меди.

3.317. t= — ~ In (1 — т)) = 1,5 с.

3.318. т =

ность меди.

4л грр₀|1ц₀

= 0,7 мс, где р — удельное сопротивление, р₀ — плотч

3.319. L₁=-^-lntj = 0,26 мкГ/м,

11 И. Е. Иродов

305

3.320. L=-g-p.№In[l+|).

3.321. L₁ = p.₀A/6 = 25 вГ/м.

3.322. Li=-!^In(r]-l).

3.323. а) / = ла²В/1; б) А = у₂к²а*В²/Ь.

3.324. / = /₀(1+г)) = 2 A.

3.325. / = , ⁿf--=50 A,

3.326. / = -|- [l + (ц-1) e-'¹^].

3.327. / = -|(l_e-^²ⁱ).

³'³²⁸- ^7l-R(Z.₁ ₊ Z.₂)' ^h=R(L₁ ₊ L₂) '

3.329. L_l2=-^,n(.₊±).

3.330. L_i2 = i^InA.

2л a

3.332. p_m = 2aRql\x_aN.

3.333. ^и^/гИоЛЛ⁴/*³-

3.334. /₂ =-2^ ([_e-^).

3.336. №=1/₂Л^Ф/ = 0,5 Дж.

3.337. ^=ВЯл²а²6 = 2,0 Дж, где Я = 1/₂Л?//л6.

3.338. a) W₃/W_a^pib/_nd = 3,0; б) Z.-jgL = ₀,15 Г.

3.339. №₁ ₌ |Л(Л²а>²а²/8л.

3.340. £ = В//ё₀]1₀"=3-108 В/м.

3.341. ш_м/ш₉ = s₀|i₀Q)²a⁴/Z²= 1,1 • 10-15. , а) 1_общ = 21; б) L_o6m=L/2.

3.344. L₁₂ = /L₁L₂.

3.346. W₁₂=i!^i/₁/₂cosO.

3.347. a) j_CM=-j; б) /_см = 9/е₀8р.

3.348. Кроме тока проводимости следует учесть ток смещения.

3.349. Ј_OT = /_OT/e₀q>s = 7 В/см.

3.350. Я = Я_отсо8(о>г+а), где Я_от = -Ц^)/"о²+(е₀ешД г а определяется

формулой tga = e₀e<B/a.

при r<zR,

7е.-{ ^

I 1/₂ВЯ²/л

3.351. /_см

при /•>#.

Здесь В = [1₀и/_от(в² sin <вг. 306

3.353. x_m = 0, /с

3.354. H -- L

4лдЗ

4л/-³

3.355. а) Если В (/), то У X Е = — dB/dt Ф 0. Не равенство же нулю пространственных производных Е-поля (V X Е ф 0) возможно только при наличии электрического поля.

б) Если В (г), то Vx Е= — dB/dt ф 0. В однородном же поле VxE=0.

в) По предположению, E = af(f), где а—вектор, ие зависящий от координат, / (г) —произвольная функция времени. Тогда — dB/dt = V X Е = 0, т. е. В-поле не зависит от времени. Вообще говоря, это противоречит уравнению VxH = dD/dr, ибо левая часть его в данном случае оказывается ие зависящей от времени, правая же часть —зависящей. Исключением является случай, когда f (г) — линейная функция, В этом случае однородное Е-поле может быть переменным во времени.

3.356. Возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения VxH = J+3D/3r. Имея в виду, что дивергенция ротора всегда равна нулю, получим 0 = V - j +

+ — (V • D). Остается учесть, что V • D = р.

3.357. Возьмем дивергенцию от обеих частей первого уравнения. Так кан дивергенция ротора всегда равна нулю, то V • (dB/dt) = 0, или -J^-(V-B) = 0,

Отсюда V-B = const, что действительно ие противоречит второму уравнению.

3.358. ?хЕ = [йВ].

3.359. E'==[vBJ.

3.360. ff=s₀tiB = 0,40 пКл/м².

3.361. р=— 2еоюВ=— 0,08 иКл/м³; а=в_втВ = 2 пКл/м². 3.362.

4я г³

3.364. Е' = 6г/г², где г—расстояние от оси г'.

3.365. В'= ' ^где ''—расстояние от осн г'.

3.367. а) £'=£ У¹ ₁^P~~"^C^f^C'~~ =9 кВ/м; tga' = ^~, откуда а'^ «Б1-; б) В'= мкТ.

3.368. a)F = -Pp^=1.4 „В/м; б) В'=В j/"JLlEl^L ₌₀.9 Т.

c)Al —pa Г 1-p²

O-KaSl⁰. ...

3.370. B' = B>^1— (E/cBf =40,15 мТ.

3.371. Пусть заряд q движется в положительном направлении оси я iC-системы отсчета. Перейдем в /С'-систему, в начале координат которой этот заряд покоится (оси х' и х обеих систем совпадают, оси у' н у — параллельны).

В /С'-системе поле заряда имеет наиболее простой вид: Е'=—---^-г',

11*

307

н в плоскости х, у

4яе₀ г ^J 4яе„ г

Теперь совершим обратный переход в исходную /(-систему. В момент, когда заряд q проходит через начало координат /(-системы, проекции х, у вектора г связаны с проекциями х', у' вектора г' соотношениями

x = r cos Ф=х' У~\ — (и/с)², y=rsm$=y'. Кроме того, согласно преобразованиям, обратным (З.би),

Е_Х = Е'1 Еу = Еу/У~1-Ш*. Решив совместно все эти уравнения, получим

1 qr l-fl²4ле„ г» (1—0² sin²*)³-'²Следует обратить внимание на то, что в данном случае (v = const) вектор Е ■коляинеарен вектору г.

3.372. v = y^r»!₂ale/m = K км/с.

„ „_,„ , at² 1 Г т

^3.373.^t^{^—y^.}

3.374. а) х = 2Е₀/а; б) w = qE₀/m.

3.375. J-^+^-S.O

сеЕ

рЕ

3.376. w

E = E_xi + Ej-^ _ _^ _if _о_ ₂,

т₀0+Т/т₀с²)з •

_eEt г_

3.377. a) tg* =-У 1— (VQ/'cy, где е и т₀ — заряд и масса протона;

б) v_x = v₀/Vl + 0 -vile²) (eEtjm^f .

3.378. а = arcsin ^</В |/'j = 30°.

3.379. а) а = reB//n= 100 км/с, Г = 2ят/еВ = 6,5 мке;

б) ц = с/]Л +(тос/гсВ)² =0,51 с, Т=-^£= = 4,1 не.

ей/1-(и/с²)

3.380. a) p = qrB; б) 7^, = /n₀c²(/l + (огВ//п₀с)'² — l); в) а>=

3.381. T = timoc². Соответственно 5 кэВ и 9 МэВ.

3.382. А1 = 2я У~2ти/еВ² cos а = 2,0 см.

³'³⁸³- ^^ma=P~~(B,-_Bl)^~~

3.384. r = 2p I sin (ш/2) I, где p = -^-sin«, ф = ——-

г \ vri 11> « к _eg т _macosa

л11+(/п₀с/₉лВ)²]-

3.385. r_MaKC = ae^u»^/b, где & = -!£-^/-U U

/■В In (b/а)' ⁴¹ r*B² In (Ь/о) '

о оо-7 ч 2я~тЕп² v₀B

3.387. а) у_я = —__; б) tg«=-₁^_r.

308

3.38S. z = / tgУ '• ^ПР^И г</ это уравнение упрощается: у ==г

= (2mE/ql²B²) г².

3.389. F = mEljqB = 20 мкН.

„ .., 2птЕ , „

3.390. Д/ = —5^- tg m = 6 см.

3.391. д/т=-^-.

3.392. а) х = а (cor—sin cor); у = а (1 — cos саг), где a = mE/qB², 00 = 176 т. Траекторией является циклоида (рис. 26). Движение частицы представляет собой

Рис. 26.

движение точки иа ободе круга радиусом а, катящегося без скольжения вдоль оси х так, что его центр перемещается со скоростью v=E,'B; б) s = 8mE,lgB²i в) (v_x} = E/B.

т \4л j b 2b

3.393. U = 2

3.394. В

Ъ² — а²

2т

..... а • •• в

3.395. У—~2^ * sin at, x=-^-(sin0t—wtcoswt), где a = qE_m/m. Траектория имеет вид раскручивающейся спирали.

3.396. U> 2яЧ²тгДг/е=0,10 MB. _

3.₃₉₇. _а) _T ₌ iЈgL₌₁₂ _МэВ; б) v_mH = ± ^J- ₌₂₀ МГц.

3.398. а) г =

2т n²vmr²ell

4n³v²mr²

= 17 мкс; б) s«a- ,, =0,74 км. Указание.

Здесь s~ 2 t<_n~ У,)/"» , где у„— скорость частицы после n-го прохожде-

п = 1

^N — ^N _

ния ускоряющего промежутка. Так как N велико* то ^ У~п j J^"" dn.

1 о

3.399. rt = 2nvW/eBc² = 9.

3.400. o)=w₀/>^A 1-Ьаг, где &o=qB!m, a = qB&W/лтЧ².

3.401. v = ^lkrqBlnt, p = r/2.

3.402. W = №yed) = 5- 10^е оборотов, s = 2nr/V = 8- 10³ км.

3.403. С одной стороны,

dp d(D

d/ 2лг dt *

где p —импульс электрона, г — радиус орбиты, Ф —магнитный поток внутри нее.

309

С другой стороны, dp/dt можно найти, продифференцировав соотношение р = егВ при r = const. Из сравнения полученных выражений следует, что dB₀ldt = ¹j₂ {dB/dt). В частности, это условие будет выполнено, если В₀ = */₂(В).

3.404. а₀ = /2В₀/За.

3.405. rfЈ/d7=B(r₀) — ¹/₂<В) = 0.

3.406. ДТГ=2лг²еВ/Дг = 0,10 кэВ.

3.407. a) W = {V\+ (reB/ntocf — l) т_ас²; б) s=WAt/reB. 4.1. а) См. рис. 27; б) (v_x/aa)² + (х/а)² = 1 и w_x= — со²*.

Рис. 27.

4.2. а) Амплитуда равна а/2, период Т = л/ш, см. рис- 28, а; б) = 4a>²* (a — см. рис. 28,6.

Як

Рис. 28.

4.3. *=acos (юг+а) =

-29 см, -v_x=—81 см/с, где u=V~x*-{-(v_x0/)², o=arctg(—у_л0/(вд:о).__

4.4. ■(o=V(vl-vl)/(xl—xl), a = y(vtxi^v$xl)/(;vl-vl).

4.5. а) <ч) = За/Т = 0,50 м/с; б) <у> = 6а/Г = 1,0 м/с.

4.6.a)<,,> = i^;6)|<v>, ²^ — - 2-4-УЮ

Зл

а<в'; в) (у) = ■

Зя

-аш.

f а[л

К а [п

а [я+1 — cos (юг — ил/2)], л—четное, [я+sin (cd< — ял/2)], я — нечетное.

Здесь я—целое число отношения 2ю//л.

4.8. s = 0,6 м.

4.9. dP/dx=\/n V~a²—ж².

310

4.10. В обоих случаях а=7.

4.11. Смаке = 2,73 аа>.

4.12. 47,9 и 52,1 рад/с, 1,5 с.

4.13. 18 или 26 Гц.

4.14. а) х²/а²+y²/b² = 1, по часовой стрелке; б) w= — со²г.

4.15. а) у² = 4х²({— х²/а²); б) у = а (1 — 2х²/а²). См. рис. 29.

4.16. Т2 = я У~т/а²и₉. '

4.17. Т = 4паУ~та/Ь².

4.18. T = nV~ml/F =0,2 с.

4.19. Г = 2я У"т]//£(т1 —1) = 1,1 с.

4.20. Г=2 /V/g [я/2 + arcsin (а/р¹)].

4.22. Г=У"4ят/р§г²=2,5 с.

4.23. Г = 2я|^Лт) (1—11) т/к =0,13 с.

4.24. Г=2я У"т/(%+Ха).

4.25. Г = 2я]/7п/х, где x = x_lx₂/(xi+x₂).

4.26. ® = У2Тфп7.

4.27. Г=2я Vm/Spg (1 + сот *) = 0,8 с..

4.28. Г = яУ~277% = 1,5 с.

4.29. а) i'+(g/R) jc = 0, где д:—смещение тела относительно центра Земля, R—ее радиус, g—нормальное ускорение свободного падения; б) т=nVR/g = = 42 мин; в) у = VgR = 7,9 км/с.

4.30. Т=2лУ~Щ~й— w | =0,8 с, где | g—w | = — 2gai cos p.

4.31. Г = 2я//х/т—0)2 = 0,7 с, о)Э=У"х/т=10 рад/с.

4.32. * = 4я²а/§Г2 = 0,4.

4.33. a) d = 3,0°cos3,5r; б) д = 4,5° sin 3,5*; в) 0 = 5,4* cos (3,5г + 1,0). Здесь t в секундах.

4.34. F=(mi+m₂)g±m₁a(o² = № и 40 Н.

Рис 29.

2й ]Ai+t,—г[

, где Ti = a»,'i

w 1—j/l—Г)

311

4.35. a) F = mg^+~coi^y см.- рис. 30; б) a_B11H=g/<o² = 8 см; *) а-(юКЩ?"—1)^/(02 = 20 см.

F/mg>

2Л lot

б) T_HM = 2mg, Т_к

4.36. а) у = (1 — cos <о/) mg/к, где (0 = |^/5

4.37. (A,-/r₀)2+afe/y₀)2=l..

4.38. а) j/ = (l— cos wr) да/ы>²; б) у = (<ог— sin <ог) а/d³. Здесь a> = Vx/m.

4.39. A/i_MaKC = mg/Ј==10 см, Ј = m²g³/2ft=4,8 мДж. 4:40. а = (mg/x) Kl + 2/«/mg, £ = mgft + m²g²/2x.

. 4».41. a = (mg/x) V\ -f 2ях/(т + /И) g. 4.42. Запишем уравнение движения в проекциях на оси х к. у: х = »</, # = — (ох, где о = а/т. Их интегрирование (с учетом начальных условий) дает х = (и₀/(0) (1—coswr), у— (y₀/w) sin мг. Отсюда (x —и₀/«)² + у² = (ио/Ы))². Это уравнение окружности цадиуса и₀/ч> с центром в точке х₀ = Уо/<о, J/o=0.

^4.43. Увеличится в +²/б (К//)² раз. Здесь учтено, что вода до замерза-вия движется поступательно, и система ведет себя как математический маятник.

4.44. (й-

2н/

4.45. а) Т

4.46. ф_т =

21 \.- ' mg = 2nK7/3i=l,l с; фо/l + т/?-ф5/2Лф₀

б) Е--, £ =

4.47. (Т) = V.»4gWo^s + V«/n/*#;. 4?48. 7^, = 4я/ш.

4.49.' I = mP (шз — g/')/(»? — юЦ) = 0,8 г •

4.50. ^/(/tcaf + ^D-Vi + Za)-

4.51. х = //2 /3 , Г_мин = 2_л l/f/g К3 .

4.52. T^nVUfg, «„р==Л/2.

4.53. <й_в = ]/"Заш²/2/.

4.54. <о₀ = }^к/(т + ///?²).

^j.^mgla?--

= 0,05 Дж.

4.55. W₀ =

2mg cos a

4.56. Г

4.57. Г = я )/~3/л/2я,

MR + 2mR (1 + sin a)

312

• 4.58."е>₀ = У"й/|1. где ц == т^Цпц + т₂).

4.59. a) <o = ]^x/j.i = 6 рад/с; б) Ј = 7₂j.tDj = 5 мДж, a = is₁/=2 см. Здесь ц = /п₁т₂/(т,+т₂).

4.60. Т = 2п\ПЧк> где /'=/,/)/(/,+ /;).

4.61. <o₂/o)₁ = ']/l+2т₀/тс^=:::г 1'^> ^гД^е ^шо ^и ^тС—^массы атшов кислорода ■ углерода.

4.62. <o = S y~2yp₀/mV₀, где у—показатель адиабаты.

4.63. q = 4hVsiE_Bmg(rf—1)=2,0 мкКл.

4.64. Индуиция поля увеличилась в г|²=25 раз.

4.65. дс = (у₀/<о) sin tot, где <й = 1ВУтС.

4.66. х = (1 — coso^)g/o)², где ю = /£//шТ.

4.67. а) Оо и а₀с>; б) f„ = —^arctg-p~ + nnj, где я = 0, 1, 2, ...

• 4.68. а) ф (0)= -р_фо, _Ф (0) = ([5²-<о²) _Фо; б) ;„ = -^--(arctg+яя),

где «=0, 1, 2, ...

| vi I Г —я/2, е:ли х₀ > О,

4.69. а) а₀ = -±°- а={ ' .°

' " ш ' I + я/2, если х₀ < 0;

6>- ав= I х₀1 V"l + ф/w)^, а = arctg(—£/&>)>; причем —я/2 <а< 0, если Жо > О, и я/2 < а < я, если х„ < 0.

4.70. p = o>V'^rT)²^^rT=5 с"¹.

4.71. а) у(0=%/ш² + ре-^; б) и (г) = !*„ | V1 + (Р/«о)² е~^.

4.72. Ответ зависит от того, какой смысл вкладывать в данный вопрос. Во времени затухает быстрее первое колебание. Если же взять дяя каждого колебания его естественный масштаб времени—период Т, то за это время быстрее затухает второе колебание.

4.73. X = rikblY 1 + (1 - я²) (А₀/2я)² = 3,3, п' = V~l +(2nJK_cf = 4,3 раза.

4.74. Т = |/'(4л* + A²) Ax/g=0,70 с.

4.75. Q = nn/lni)=5. Ю².

4.76. s =ь / (1 + е^_Я/2)/(1 -е-^я/2) = 2 м.

4.77.Q = V₂|/"₇^-l=l,3.10².

4.78. Г=]Л/ (4я^а+А,²)Я/2=0,9 с.

4.79. ш =

,/" 2« /яг)К² V^sVmR* \ m j '

4.80. п=2Ш/яЯ*7\

4.81. х=2Д//а*В².

4.82. а) 7" = 2л ]/т/>с=0,28 с; б) л = (х₀—Д^'4Д = 3,5 колебания, здесь Д =kmg/x.

4.83. х = -^^V(coso)₀^—cos »0-

co^z — 0)5

4.84. Уравнения движения и их решения:

t гс т, x'+<u;ix=Ј/m, jc = (1 — cos (o„t) Fjk, tSzx, * + й>²дс = 0, x = a cos [«o (г—x) + a],

313

где a>l = k/tn, а и а— произвольные постоянные. Из условия непрерывности х и к в момент t=x находим искомую амплитуду:

а = (2/76)1 sin Кг/2) |.

4.85. (Орез

-,/• 1-(У2я)² g _ ^₀А/ /, , 4я*\

~~ Г 1+(У2я)² Л/ ' ^pe3~4nmg \¹⁺"хГ/'

4.86. со_рез=1^(со|+со|)/2 = 5,1 • IO² _рад/с.

4.87. а) ш₀ = У^Гш₁(о₂; б) Р = | со₂ — сох |/2 ^З", а = ]Ло!С0₂ — (со₂—a>x)²/12^

4.88. г] = (1+>.²/4я²)яЛ=2,1.

4.89. Л = яа/⁷₀ sin ф.

4.90. a) Q=Vs У (siting* ср -¹ ⁼°'^35: ^б) ^=«ma²(G)²-«>;)tgcp = = 6 мДж. Здесь щ=У х/т.

₄ ₉₂ <Г)..«с-(У_ »00

_{4.93. а) А —б)}_{Qa/(«-« + ^/W^-l}_д

<u Sill Оь

_&_{,_}

■ 4.94. со = ]/пе²/еот=1,65-10" рад/с.

4.95. t/² + /²L/C=t/^.

4.96. a) / = /_msin(uot, где I_m = U_m УШ, о>„=1 /У/Х; б) 4%_i = Ujf2.

4.97. Л = (г|² —1)Г.

4.98. a) T=2nfL (С_х + С₂) =0,7 мс; б) /_т = £/У(С_Х+С₂)Д,=8 А.

4.99. f/ = ^х/₂ (1 ± cos cor) U₀, где знак плюс—для левого конденсатора, знйк минус —для правого; co = ]/2/Z,C.

4.100. / = -^cos(r/j/IC).

4.101. a) t„ = — ; б) f„=—arctg ^+лп. Здесь л=0, 1, 2, ...

4.102. (7₀/СУ_т = ]/~1-

Я²С

4L ^-

4.103. U_c = /_т /L/C е-Р¹* sin (со*+а), причем tg а = w/g; t/_c (0) = /_т X

+ Р²/со²) •

4.104. W_LjW_c = L/CR²=5.

4.105. L = L₁ + L₂, /? = R_l+R₂.

4.106. f=-^-In л=0,5 с.

nv ^J

^4.107.ⁿ^{-^yg^X-X*.}

4.108. '^=l-₇-1-^—!—= 0.5%.

coo J/1 + 1/(2Q)² 8Q-

4.109.3) W₀ = i/gi(L + CR°-)/(r + Ry- = 2,Q мДж; _: .6) W = W_u<T^m[L = ■■ 0,10 мДж.

314

4.1Ю. te&₁S-r.\ni\=l,0 мс.

~~ 2 \ ~Т

1. При решении

^4.111.^{Л)*~У^--£-;}^6)Q

следует учесть, что dq/dt—1 — Г, где q—заряд конденсатора, / — ток чере? катушку, /'—ток утечкн (/' = С///?).

4.112. Q=i^l/-£ = 1,0. 10².

²{?) У L

4.113. </>>=/? </²)=1/₂Л/^ = 20 мВт.

4.114. (Р) =y₂RCUm/L=5 мВт.

4.115. <o=|^__i^_; /?<j/-

.... 1 , 1 1 1,1 1

^4.116.^{-— + — = _ н -н- + -5}^-=-р--

4.117. /=^fe^_:

4.118. /=

t/VLC . _I ₌ _IuaKz==^y^ в момент г_т = уТС. [cos (о*—ф) — cos ф ■ e^-W?/L], tg ф=(dL/R.

U„

■[cos(cor—ф)—совф-е ^ilRC\ tg9 =

4.119. /=-_r_

K/?³ + I/(«C)²" ~ " (oRC

4.120. Ток отстает no фазе от напряжения на угол ф, определяемый урав-

нением tg ф

4пр

4.121. Ток опережает по фазе напряжение иа угол ф=60°, определяемый уравнением tg ^=Vi.U_mIRl_mf~ 1.

4.122. а) t/' = t/₀-f-C/_mcos(o)f—а), где U_m = U₀/Vl + (to/?C)², a = е= arctg ((oRC); 6) RC=V^f— l/co=22 мс.

4.123. См. рис. 31.

Рис. 31.

4.124. a) I_m = U_m/\fR²-\-(u>L— 1/соС)²=4,5 А; б) tg₉ =

coL—1/соС R

Ф=—60° (ток опережает напряжение); в) U_с = I_т/(оС=0,65 кВ, U_L = = 1_ту^гЖ+Ш^=0,50 кВ.

315

4.125. а) (й = /ш§-2Р²; б) w = <в»Уш³-2§\ где w= = l/LC, 0 = K/2L.

4.126. При C = -^27 = 28 мкФ; U_L = U_mV~l + (aL/Rf = 0,54 кВ; 1/_с.

: t7_mO)Z./i? = 0,51 кВ.

4.127. / = /_mcos(«>r+(p), где /_m = -^/l+ (<oi?C)² и tgcp=a>i?C.

4.129. Q = V^r«³ — 4f 4.130.

⁴ У (я-1)² 4

4.133. /o//=V"l + (Q² + V4) (л² —1)²/л². соответственно 2,2 и 19.

4.134. r = V₂^o-

4.135. а) / = -^-/₀^1,15/₀; 6) /=-^-l,ll/₀. .

УЗ у 8

4.136. v=-^_rK"ii-l =2 кГц.

4.137. Ток отстает по фазе от напряжения на ip = arccos у 1 —

Г/2 _

37°, P = y₂-']/Z~-Xl =0,16 кВт.

U²

4.138. При R = o)L —г = 0,20 кОм; Р_маК(, = ^Ц-= 0,11 кВт.

2C0L

4.139. Увеличилось на Vn—1^30%. _

4.140. При Q>1 отношение Д<о/со₀ яа V2 Кя— 1/Q=0,5%.

4.141. P₂ = V₂(U*-Ul-Ul)/R = 3Q Вт.

4.142. P₁ ₌ V₂(/²— /?-/| Д = 2,5 Вт.

4.143. Z=«//l+((oCR)² = 40 Ом.

4.144. См. рнс. 32.

7> _Р^СЬ_

~1^жпряжений\^. напряжений

ф напряжений

^гЛ^---^.4^г

Рис. 32.

4.145. а) со_рез = ]/~-^-^ = 3• 10* рад/с; б) /=Ш?СД.=3 мА,

i_L-uvm-ij> а, 'с="]/~т-(¥)^2=1>0 ^А-

4.146. _<gy~~^(«'+^-^~~.

316

4.140. •4.150. 4.151.

((oCRf+(1— co-CL)²

2(^ + со^гЦ) дх 21

Дф = ! (*i — «:) ^c°s a + (J/i—J/2) cos P + (2i—z₂) cos 7 |.

4.152. k = co( — + ₊

^1 ^2 t'3

4.153. 4.155.

4.156.

E = acos |(1— V/v)at—kx'], где » = co/fe.

а) аД = 5,1 • Ю-?; _б) n_m = ll см/с, 3,2- 10-*; в) (дЦдх)_т = Ъ,2 • 10"*, f (5J/5jc)_m, где a=0,34 км/с—скорость волны. См. рис. 33.

^Щ3*^{'".....-'км}

Рис. 33.

4.157. Дф=-|^я-1п(1-г])«₉^-=0,3 рад.

4.158. г = (а₁г₁ + а₂г₂)/(й₁ + а₂).

4Л59. а) у= =0,08 м^; б) _0(n=^«L=15 см/с.

Рис. 34.

4.160. а) См. рис. 34, а- Частицы среды в точках на сплошных прямых (у—х ± пк, я = 0, 1, 2, ...) колеблются с максимальной амплитудой, на пунктирных же прямых—не колеблются вовсе.

317

б) См. рис. 34,6. Частицы среды в точках на прямых у=х±пК, д=х± ±(п±¹/₂)к и у=х ± (я ± К колеблются соответственно вдоль этих пря* мых, перпендикулярно к ним и движутся по окружностям (здесь n = 0, 1. 2, ...). В остальных точках частицы движутся по эллипсам.

4.161. (w) = ²/₃w₀.

4.162. <Ф> = 2л/²/ Л--— ¹ ^=20 мкВт.

4.163. <Ф) = Р/К1+(2Я/Л)²=0,07 Вт.

4.164. а) и б)—см. рис. 35; в)—см. рис. 36.

Рис. 37.

4.165. a) (Bp^i/spa^sin² to-cos²ci)/; б) m_k=¹!фа²ш^ъ cos² fe» • sin² of. См. рис. 37.

31S

4.166. а_маКС=5 мм; третьему оберюну.

4.167. У^^ЩШ 1_А.

4.168. Увеличится в т) = ~~, , .,/.~~—=2 раза.

' 1 + Al/l ^r

4.169. t)=2/v = 0,34 км/с.

V V

4.170. a) v„ = -^r (2и+1), шесть колебаний; б) v„=-₂^- (я+1), тоже шесть колебаний. Здесь я = 0, 1, 2, ...

4.171. v„=^^i ^/"-~- = 3,8(2/г+1) кГц; четыре колебания с частотами 26,6, 34,2, 41,8 н 49,4 кГц.

4-172. а) 7" _акс=1/4"«о2а*_акс; б) <7>=V₈m<D²a»_MEKC.

4.173. W =y_tnSp(oW/k.

4.174. v=2v₀tw/(t>²— u²)as2v₀u/v=l,0 Гц.

4.175. u = —(K^rl+(v/v₀)²-l)=«-|^- = 0,5 м/с.

4.176. о = (V~l + (Av/vo)² — l) = 34 рад/с.

4.177. v=Vo/К1 + 2wtjv = 1,35 кГц.

4.178. a) v = v₀/(l—1)²)=5 кГц; 6) /• = /]Л+т]²=0,32 км.

4.179. Уменьшается на 2uj{v -f- u)=2,0%.

4.180. v=2v₀"/(t)+u)=0,60 Гц.

4.181. _Y = ll(!ti^ = 6.10-3 _M-i.

2(r₂ —r_x)

4.182. a) L' = L—20vxlge = 50 дБ; б) x = 0,30 км.

4.183. a) L=L₀+20Ig(r₀/r) = 36 дБ; б) r>0,63 км.

4.184. р = (1п/г)/т = 0,07 c~K

4.185. а) Рассмотрим движение плоского элемента среды толщиной dx с единичной площадью поперечного сечения. Согласно второму закону Ньютона pdx-\=—dp, где dp—приращение давления на длине dx. Учитывая, что |=к² (д^Цдх²)— волновое уравнение, перепишем предыдущее равенство в виде

5²£

pv*-^-dx=-dp.

Проинтегрировав это уравнение, получим

Др = — ру² —[- const.

В отсутствие деформации (волны) избыточное давление Др=0. Отсюда const=0.

4.186. <>=nJ?²(Ap)y2pvA=ll мВт.

4.187. а) (Др)_т = УриР/2л/-² = 5 Па, (Др)_т/р=5 • 10-8; б) а=(Др)_т/2яур»= sa3 мкм, а/А.=5- 10-е.

4.188. P=4n/V^v'7₀- 10^L=1,4 Вт, где L в белах.

4.189. ДА.=(1/]/ё~—l)c/v=— 50 м.

4.190. <=2 {Vei-Ve₂) l/c In (8!/е₂).

3f9

4.191. /7/_CM = c/2.nvee₀ = 2.

4.192. H= £-]Л?₀/11о[кЕ_т] cos(ckt), где с—скорость волны в вакууме.

4.193. а) II = е_гЕ_тУё^Г_а cos kx=-0,30e₂; б) H = e_zЈ_m Уё^Г* X X cos (ckt„ — £х) = 0,18е_г. Здесь e_z — орт оси г, Я в А'м.

4.194. §_инд = /£_т [coscoi —cos(co/ — со//с)] = 25 cos (со/+ я/3) мВ. Здесь Ы/с = я/2>.

4.196. <S> = V₂kF₀c²Јm/co.

4.197. а) /_см = я j/"2e₀vЈ_m==0,20 мА/м²; б) <S> = V2EocЈm = 3,3 мВт/м².

4.198. Здесь :>Г, где Т — период колебаний, поэтому W —¹f_i Уеё^Г₉ X X Е~тпКЧ=Ъ кДж.

4.199. B = B_m sin £х • sin со/, где В_ш 1 Е_т, причем В_т = Е_т[с.

4.200. S_x = Ч^сЕ'т sin 2кх ■ sin 2ш/, <S_A.) =0.

4.201. WJW₃ = 4_se._a^R² = 5,0- 10'^.

4.202. №₉/tt7_M = V₈e₀M.₀co²tf² = 5,0. Ю"¹».

4.204. Ф₅=/'^.

4.205. S =/² К'т7м7/4я²е₀/-².

4.207. Слева.

4.208. Ф = Ш.

4.209. <Ф) = ¹/2^о/оС05ф.

4.211. Электриче;кий дипольный момент системы р = ^ ег_; = (e/m) Mr_Cfгде М — масса системы, г_с — радиус-вектор ее центра инерции. Так как мощность излучения Р~р²~ г^, а в нашем случае г_с = 0, то и Р = 0.

1 e²a²fo«

4.212. =—i--4rЈ- = 5- Ю-" Вт. ^х ' 4ле₀ Зс³

4.213. Р =

2 / ?г²

(4лб₀)³ Зс³ \ тЯ' 4 214 '

4.215. AU7/r = i/₃f³5/E₀c³m² = 2- 10-«.

4.216. T = T₀e~^at, где a = Ча^Вупеа&п³. Через , 2,5 с для электрона,

(а

1,6 • 10¹⁰ с = 0,5 • 10³ лет для протона.

4.217. S_t/S₂ = tg²(co//c) = 3.

4.218. а) Пусть г—момент времени, когда частица находится в определен» ной точке х, у окружности, а f — момент, когда информация об этом доходит до точки Р. Обозначив наблюдаемые значения у-координаты в точке Р через у' (см. рис. 4.40), запишем

r = t+^l-=±@-, y'(t') = y(t).

Искомое ускорение найдем двукратным дифференцированием у' по

dy' _ dy _ dy dt d-y' _ dt d (dy'\_ v"- v'c — y;R

dt' dt' dt dt' dt" dt' dt \dt' j R (l—vylcRp где учтено, что x = R sin u>t, j/ = Rcosco/ и a> — v/R.

320

б) Плотность потока энергии электромагнитного излучения S пропорциональна квадрату //-проекции наблюдаемого ускорения частицы. Отсюда S_x/S₂ =■ = (1+»/с)*/(1-г/с)*.

4.219. =e/₃nr2S„.

4.220. <»=³/₈Р₀/я/-²;.

4.221. P^VeP^/neoC³.

4.222. (P)/(S) = (e*/m)yi/6n.

4.224. P = 3P/16itcvpM_c=«0,6 мкм.

5.1. а) 3 и 9 мВт; б) Ф = ¹/₂ (Vi + V₂) Ф_э/Л = 1,6 лм, где Л = 1,6 мВт/лм, и V₂ — значения относительной с ектральной чувствительности глаза для

данных длин волн.

5.2. Ет = Уц₀/е,₀ AOftnrWx, отсюда Ј_m = l,l В/м, #_т = 3,0 мА/м. Здесь Л = 1,6 мВт/лм, V% — относительная спектральная чувствительность глаза для данной длины волны.

5.3. a) <E>=V₂Јo; б) <^Ј>⁼¹~~~^"i^f^/03~~ ^ ⁼ ⁵° ^лк-

5.4. /W = ²/₃nL₀.

5.5. a) 0 = nZ.ASsin-d; б) M=nL.

5.6. ЫК, E = LS/4P² = 40 лк.

5.7. / = /₀/cos³#, Ф = я/₀#²//г² = 3-10² _лм.

5.8. £макс = (9/16л ]/"3) pЈS/R² = 0,21 лк, на расстоянии P/VlF от потолка.

5.9. E = nL.

5.10. Е = я£.

5.11. M = E_a{\+h-/R*) = 7 ■ 10² лм/м².

5.12. E₀ = TiLR²/h2 = 25 лк.

5.13. е'=е—2 (en) п.

5.14. Пусть n_x, п₂, п₃— орты нормалей к плоскостям данных зеркал, а е₀, ti, е₂, е₃ — орты первичного луча и лучей, отраженных от первого, второго и третьего зеркал. Тогда (см. ответ предыдущей задачи):

ei = eo.—2 (е₀п!) п!, e₂ = ei —2 (е^) п₂, е₃ = е₂ — 2 (е₂п₃) п₃. Сложив почленно левые и правые части этих выражений, нетрудно показать» что е₃= — е₀.

5.15. 0_I = arctgrt = 53'>.

5.16. л₁/п₂=1]/"т)²^Л = 1,25.

5.17. х = [1 —— sin² 0)/(л²- sin² О)] d sin 0 = 3,1 см.

5.18. h' = (hn? cos³ д)/(л² — sin² fl)^3/2.

5.21. 6=83°.

5.22. От 37 до 58".

5.23. a = 8,7°.

2 sin (8/2)

5.24. Aa = — ^v ¹ An = 0,44'.

У 1 — n- sin² (6/2)

5.27. a) /Wp7(l-B²) = 10 см; 6) f = lfafa/(fa-fa) = 2,5 см.

5.28. /' = p/₀/²/(/-s)² = 2,0. 10³ кд.

321

5.29. Пусть S—точечный источник света и S'— его изображение (рис. 38). По принципу Ферма оптические длины всех лучей, вышедших из S и собравшихся в S', одинаковы. Проведем окружности из центров S и 5' радиусами ! 50 и S'M. Тогда оптические пути (DM) и (0В) должны быть равны: ;

n-DM = n'-0В. (*)

Но для параксиальных лучей DM я» A0 + 0C, где АО я» я²/(—2s) и ОС «а p«h'^s/2R. Кроме того, 0В = 0С — ВС =w/i'²/2R — h'³fts'. Подставив эти выражения в (*) и имея в виду, что h'<=ah, получим п'[&' — n/s = (rc' — n)lR.

Рис. 38.

5.30. х^^^ЛГШБ^), ,_иакс=^(^йТ),

5.31. 6,3 см.

5.32. а) р = 1 —d (я—1 )/_nR=— 0,20; б) £ = jt«²Z)²L/4d²=42 лк.

5.33. а) Ф = Ф₀(и —и₀)/(и —1) = 2,0 дп, /'= — /=л₀/Ф = 85 см; б) Ф =. ■=¹/₂Фо(2п — п₀— 1)/(п —1) = 6,7 дп, '/=1/ф«а15 см, /' = п₀/Ф«а20 см. Здесь л и я₀—показатели преломления стекла и воды.

5.35. Дх «*Д//*/(/ —/)*=0,5 мм.

5.36. а) /=[/²-(Д/)²]/4/ = 20 см; б) /=/+/тГ)² = 20 см.

5.37. й = уТЛ" = 3,0 мм.

5.38. £ = (1-а) лШ²/4/2=15 лк.

5.39. а) Не зависит от D; б) пропорциональна D².

5.40. / = я₀/?/2(л_г— и₂) = 35 см, где п₀—показатель преломления воды.

5.41. f=R/2 (2п —1) = 10 см.

5.42. а) Справа от последней линзы на расстоянии 3,3 см от нее; б) / =я «= 17 см.

5.43. а) 50 и 5 см; б) отодвинуть на 0,5 см.

5.44. T=D/d.

5.45. ф=1р7|/"т[=0,6'.

5.46. Г" = (Г + 1) —-—^2- —1=3,1, где л₀—показатель преломления

^по vⁿ—V

воды.

5.47. Г ==S = 20.

5.48. Г = 60.

5.49. а) Г=2а/₀/^₀=15, где 1₀—расстояние наилучшего видения (25 см); б) r«=2a/₀/d₀.

322

5.50. Главные плоскости совпадают с центром линзы. Фокусные расстоя» ния в воздухе и воде: /= — 1/Ф= —11 см, /' = я₀/Ф= + 15 см. Здесь Ф =• = (2п — я₀—1)/R, где я и я₀— показатели преломления стекла и воды. Узловые точки совпадают и расположены в воде на расстоянии х=/' -}-/=3,7 см от линзы.

5.51. См. рис. 39.

а) б) в)

Рис. 39,

5.54. а) Оптическая сила системы Ф = <1>1+Ф₂ — c№^₂= + 4 дп, фокусное расстояние равно 25 см. Обе главные плоскости расположены перед собирающей линзой: передняя — на расстоянии 10 см ст собирающей линзы, задняя — на расстоянии 10 см от рассеивающей линзы (х=йФ₂/Ф и х' = — </Ф₁/Ф); б) d = 5 см; около */₈.

5.55. Оптическая сила данной линзы Ф = ф₁-_Т-Ф₂ — (d/n) ФхФ₂, х=* = <^Ф₂/яФ=5,0 см, дг' = —£?ф1/яФ=2,5 см, т. е. обе главные плоскости расположены вне линзы со стороны ее выпуклой поверхности.

5.56. /=2—гЫ^—-г-. Линзу надо поместить в передней главной плоскости

Ji-rh — d

системы, т. е. на расстоянии x=fid/(f₁-\-f₂ — d) от первой линзы.

5.57. Ф = 2Ф'— 2Ф'²//я₀=3,0 дп, где Ф' = (2я — п₀— l)fR, п и я₀ — показатели преломления стекла и воды.

5.58. a) d = nARt(n—1)=4,5 см; б) rf = 3,0 см.

5.59. a) <3>—d(n — 1)²/яЯ^а>0, главные плоскости лежат со стороны выпуклой поверхности иа расстоянии d Друг от друга, причем передняя главная плоскость удалена от выпуклой поверхности линзы на расстояние R/(n— 1); б) Ф = (1/К_г—l/!?i)(n—1)/я<0; обе главные плоскости проходят через общий центр кривизны поверхностей л низы.

5.60. d = ¹/2«(Ri+R2)/(n —1)=9,0 см, Г = К,/К₂=5,(>.

5.61. Ф = 2(я²—1)/я²# = 37 Дп.

5.63. р = 3 • 107 _Ы; gradrt = l,6-10-Т м-*.

5.65. 1,9а.

6.66. Представим k-e колебание в комплексном виде

£*=ае'1^а'+<*-¹><Р1 = _а£е'^и<,

где at=ae^^fe ^— ¹*^<р—комплексная амплитуда. Тогда комплексная амплитуда результирующего колебания

Л*= |] ae'<*-^,),P=a[l-fe^f«'-fe^f2,P-_r....-_r.e^^/v-^,)^|P] = a(e^-l)/(e'^,P-l), k = \

323

После умножения А* иа комплексно сопряженную величину и извлечения квадратного корня получим действительную амплитуду

- cos УУф _ sin (Л/ф/2) 1—совф ^— sin (ф/2)

5.67. а) совф= (6 — ф/2я)kjd, 6 = 0, ±1, ±2,...; б) ф=я/2, яД = = 6+1/4. k=Q, 1, 2, ...

5.68. Дф = 2я [6 —(d/Я) sin (co/ + a)], где 6=0, ±\, ±2, ...

5.69. X = 2AxAhll (ч\— 1) = 0,6 мкм.

5.71. а) Дж = Я (й + л)/2аг = 1,1 мм, 9 максимумов; б) сдвиг картины бдг = ■= (6/г)5/=13 мм; в) картина будет еще достаточно отчетлива, если &х«£Д*/2, отсюда б_макс = (1 +r/b) Х/4а = 43 мкм. ~ 5.72. Х, = 2аДх = 0,64 мкм.

5.73. a) Дж = А//а = 0,15 мм, 13 максимумов; б) полосы будут наблюдаться еще достаточно отчетливо, если 8х г£ Дж/2, где 6х—сдвиг интерференционных картин от крайних элементов щели, отсюда 5_накс=Х/²/2о6 = 37 мкм.

5.74. Я = 2аб(я — 1) Ддг/(а + р) = 0,6 мкм.

5.75. Дл:^ Я/26 (я — я') = 0,20 мм.

5.76. Полосы сместятся в сторону перекрытой щели иа расстояние Дх = = я/ (я—l)/d = 2,0 мм.

5.77. я' = n + NX/l = 1,000377.

5.78. а) Пусть векторы Е, Е' и Е* соответствуют падающей, отраженной и проходящей волнам. Из непрерывности тангенциальной составляющей на границе раздела следует, что

е_х+е;=е;. (1)

Плотность потока энергии S = [E Н], а так как Н = Е Veso, или Я ~яЕ, где я = Уе—показатель преломления, то S~nE² и по закону сохранения энергии

4^E% = ⁿiK + ⁿ-2^E'x- (2)

Исключив E.J. из (1) и (2), получим

^=2Е_Л/К + "₂). (3)

Отсюда видно, что знаки е^ и E_t совпадают, т. е. на границе раздела колебания световых векторов соответствующих волн происходят всегда синфазио. б) Из (1) и (3) следует, что

Ex = E-t (п_г — п₂)/(я! + щ),

т. е. при n_a>n_t знаки Е% и е_т противоположны — на границе раздела происходит скачок фазы отраженной волны иа п. Если же я₂-<Я], то скачка фазы иет.

5.79. d = i/₄X (1 -f2Ј)/j/>— sin² di = 0,14 (1 +26) мкм, где 6 = 0, 1, 2, ...

5.80. d_Mm, = 0,65 мкм.

5.81. d = y_ik(l+2k)/V~n, где 6 = 0, 1, 2, ...

, , |Лг² — sin² ft , _

5.82. d = k . ₀„ ~~е_Д~~ =1а мкм.

sin 2# • од

324

2a Vn"- — sin²*!

5.85. a) 6 = у₂а/иД.>с = 3"; б) Дл/Л =i ДхД = 0,014.

5.86. Ar^i/ikR/r.

5.87. r' = K>² —2ЯД/г==1,5 мм.

5.88. г = j/>j> + (k — V₂) Atf = 3,8 мм, где ft = 6.

5.89. X = V4 (^| — (^2 — fei) = 0,50 мкм, где k\ и ^ — номера темных колец.

5.90. Ф = 2 (л—1) (2ft —1) A/d²=2,4 дп, где ft — номер светлого кольца.

5.91. a) r = V~2kX (л-1)/Ф = 3,5 мм, где ft = 10; б) г' = г/|/"л7=3,0 мм, где n_tt—показатель преломления воды.

5.92. г = У¹/* (1 + 2k) XR/n₂ = 1,3 мм, где ft = 5.

5.93. ft_MHli = ViM** - Xj) = 140.

5.94. Условие перехода от одной четкой картины к следующей:

(fe+ 1) Ai = ftA_2>

где ft— некоторое целое число. Соответствующее перемещение Д/г зеркала определяется уравнением 2Art=ftA₂. Из этих двух уравнений получим

MAiA₂ X² _Л о

2(а₂ —Ai) 2Да

5.95. а) Условие максимумов: 2d cos Ф = ftA; отсюда следует, что с ростом угла ft, т. е. радиуса колец (см. рис. 5.18), порядок интерференции ft убывает, б) Взяв дифференциал от обеих частей предыдущего уравнения и имея в виду, что при переходе от одного максимума к следующему ft изменяется на единицу, получим 6* = ¹/_iX/d sin ф; отсюда видно, что угловая ширина полос уменьшается с ростом угла т. е. с уменьшением порядка интерференции.

5.96. a) ft_MaKC = 2d/A=l,0- 105; б) Да = A/ft = A²/2d = 5 пм.

^5.97.^{/. = -j^r}^J^!(r)rdr.

2_ bNX

5.98. b = ar²l(kXa—r²) = 2,0 м. . 5.99. а = (/"§ — r\) (a + 6)/2afc = 0,60 мкм.

5.100. а) I**=4l₀, /«а2/₀; б) /<=«/„.

5.101. а) /*=0; б) / <=а/₀/2* "

5.102. а) /,^e/i₆/i). U^Uh, h^/uh. h=lv /^(1—,ф/2я)²/₀;

б) /_B«?²⁵/ie/o. le^VJo, /₇^^4lWo. /<=«(1+Ф/2я)²/₀. Здесь ф — угол, закрываемый экраном.

5.103. а) h = X(k+³/_g)/(n— l) = l,2(ft + ³/₈) мкм; б) Л= 1,2 (ft+'/s) мкм;

в) h=\,2k или l,2(ft + ³/₄) мкм. Здесь ft = 0, 1, 2,

5.104. Л=л(й + ³/₄)/(/г—1), где 6 = 0, 1, 2, ...;

5.105. /г_и„_н ^ A (fe-f 6/_g)/(n — 1) = 2,5 мкм, где ft =2. Tl0677=Уfttyfc/(6—f) = 0,90КГ мм, где ft=l, 3, 5, ...

5.107. fc' = 6/i,²=l,0 м.

5.108. а) y' = yb/a = 9 мм; б) /г_мин «в яМ,/£> (a + £>) = 0,10 мм.

♦ 325

5.109. / = abl(a + 6) = 0,6 м. Это значение соответствует главному фокусу, помимо которого существуют и другие.

5.110. а) « = 0,60(26+1) мкм; б) ft=0,30(2fe + l) мкм. Здесь fe = 0, 1, 2,...

5.111. а) /_маКС//_мин«= 1,7; б) л = 2 (Дх)²/Ь (v₂ — t>i)² = 0,6 мкм, где vt _ир_а—соответствующие значения параметра на спирали Корню.

5.112. /_сер//кр=«2,6.

5.113. \=(Ali)²l2b (t»₂ — v₁)ⁱ=Q,b5 мкм, где v_t н v₂ — соответствующие зна< чения параметра на спирали Корню.

5.114. h^'k(k+^sU)l(n—\), где 6 = 0, 1, 2, ...

5.115. I₂lh^ 1,9.

5.116. /«=2,8/₀.

5.117. /i :/₂ :/₃ <== 1 : 4 : 7,

5.118. /«=/,,.

5.119. /#со (sin²а)/а², где a = (nfcA)sinfl; 6stnd = 6X„ 6=1, 2, 3, ....

5.120. Условие максимума приводит к трансцендентному уравнению tga .= = a, где a = (лЬД) sin д. Решение этого уравнения (графически или подбором) дает следующие значения корней: %= 1,43л, а₂ = 2,46л, сс₃ = 3,47л. Отсюда istn*i=l,43X„ Ь sin©₂=2,46)v, Ь sin %=ЪАТк.

5.121. 6 (sin sin d₀) = fe^; Для 6=+1 и 6= — 1 углы О равны.соот-ветственно 33° и 27°.

5.122. а) A0 = arcsm (л sin 6) —6=7,9°; б) из условия b (sin А^—л sin 6) = = ±Х получим Дд=д₊1—d_i = 7,3°.

5.123. Х«=(а²—а.%) d/26 = 0,6 мкм,

5.125. 55°.

5.126. d = 2,8 мкм.

5.127. %=(d sin Щ/У 5—4cos Дф = 0,54 мкм.

5.128. а) 45°; б) 64°. "

5.129. х = 2Я/(л— l)/(d/X,)«—1 = 8 см.

5.130. Из условия d [я sin 6 — sin (6 + ftfe)]=6X, получим d₀= —18,5*. d_+I = 0°; 6_макс=+6, d_+e=+78,5». См. рис.40.

5.131. A_fe = X,(fe—1/г)/(л—О. ^гД^е fe=l, 2, ...; a sin <)*=Х,/2.

5.132. i> = Xv//Ax=l,5 км/с.

к=1

к=0

Г L

Рис. 40.

Рис. 41.

5.133. Каждая звезда дает в фокальной плоскости объектива свою дифракционную картину, причем их нулевые максимумы отстоят друг от друга на угол ip (Р^ис- 41). При уменьшении расстояния d угол д между соседними максимумами в каждой дифракционной картине будет увеличиваться, н когда О

326

станет равным 2ip, наступит первое ухудшение видимости: максимумы одной системы полос совпадут с минимумами другой. Таким образом, из условия 0=2ip и формулы sind = yd' получим гр«зЯ/2й = 0,06'.

5.134. a) D = kjdV\— (6tyrf)² = 6,5 угл.мин/нм, где 6 = 2; 6)1»=.

= k/dVl — (kl/d—sin #₀)² = 13 угл.мин/нм, где 6=4.

5.135. dfyda, = (tg ■»)/*,.

5.136. Afl = a/iVi /1 — (6Vd)² = 11\

5.139. d=46°.

5.140. а) В четвертом; б) 6X_mhhs=»№/1=7 пм.

5.141. a) d = 0,05 мм; б) 1 = 6 см.

5.142. а) 6 и 12 мкм; б) в первом порядке нет, во втором да.

5.143. Согласно критерию Рэлея максимум линии с длиной волны % должен совпадать с первым минимумом линии Запишем оба условия Для угла наименьшего отклонения через оптические разности хода крайних лучей (см. рис. 5.28):

bn — (DC+CE) = Q, b(n+dn) — (DC+CE)='K + b'k.

Отсюда ЬЬп ssa'X. Дальнейшее очевидно.

5.144. а) 1/8%=2ЬВ/№; соответственно 1,2- 10» и 0,35 • 10⁴; б) 1,0 см.

5.145. Около 20 см.

5.146. R = 7-10*, Д(/_иинй»4см.

5.147. Около 50 1».

5.148. Пусть Atp и Aip' — минимальные угловые расстояния, разрешаемые соответственно объективом трубы и глазом (Atp= 1,22 X/D, Aip' = 1,22 \/d₀). Тогда искомое увеличение трубы T_mm = A\p'/Aty = Dld₀ = 13.

5.149. d_M11H=0,6U/sina=l,4 мкм.

5.150. Пусть d_mm—наименьшее разрешаемое расстояние для объектива микроскопа, Дф—угол, под которым виден объект с расстояния наилучшего видения /о (25 см), и Дчр'—минимальное угловое расстояние, разрешаемое глазом (Дф' = 1,22 X/d₀). Тогда искомое увеличение микроскопа Г_мин = Aty'/A-ф =• = 2(/₀/do)sina = 30.

5.151. 26, 60, 84, 107 и 134^е.

5.152. а = 0,28 нм, Ь = 0М нм.

5.153. Пусть a, Р и у — углы между направлением на дифракционный максимум и направлениями решетки вдоль периодов а, 6 и с соответственно. Тогда значения этих углов определятся из условий: а(1—соза) = 6₁Я, 6cos$ = — кцХ и с cosу= АД- Имея в виду, что cos²a+cos²P + cos²y = l, получим

.__

^л= Xhlaf + ikjbf + ^lc)² '

2 ³ ПгГ

5.154. Х = -^у sin а=244 пм, где 6=2, т—масса молекулы NaCl.

^S,15S- ^d ⁼ TihT^72J" ^ + *I-²*i^cos(a/2) =0,28 нм, где k_t и 6₂— -порядки отражения.

5.156. r = /tg2a = 3,5 см. где а—угол скольжения, определяемый условием 2d sin а=6Я..

5.157. /₀/4.

317

- 5Л58. а) /₀; б) 2/₀.

5.159. £^, = пФ₀/0) = 0,6 мДж.

5.160. г1 = ¹/г(со5ф)^2(Л'-¹⁾ = 0_>12.

5.161. /о//= ~~, ²,~~ ^60.

Т³ COS⁴ ф

5.162. /,_1ОЛ//_ест = Р/(1-Р) = 0,3.

5.163. Р==(т) —1)/(1—лсоз2ф) = 0,8.

5.164. а) Представим естественный свет в виде двух взаимно перпендикулярных составляющих с интенсивностями /о- Пусть каждый поляризатор пропускает в своей плоскости долю a_t света с плоскостью колебаний, параллельной плоскости поляризатора, и долю а_г— в перпендикулярной плоскости. Тогда при параллельных и перпендикулярных плоскостях поляризаторев системы интенсивность прошедшего через нее света будет равна соответственно

^/ii=^ai^/o+^a]^/o> •'_i. = ai«2^/o+a₂a₁/₀, причем по условию /ц//^=т).

С другой стороны, степень поляризации, создаваемая каждым поляризатором в отдельности,

Po = (ai—Oa)/(ai-f-aa). Исключив щ и из этих формул, получим

Ро = У(ц-Щц + 1) = 0,905. б) Р = У 1-1/п² =0,995.

5.165. Относительные изменения интенсивностей обоих пучков в слу»аях А и В равны

(Д///)_д = 4с1_§(ф/2).бф, (Д///)_й = 41_ё(_Ф/2).5ф.

Отсюда т] = (Д///)_Л/(Д///)_В = ctg² (ф/2), ф = 11,5°.

5.166. 90°.

5.167. а) p = i/₂(n'²-l)²/(n² +1)² = 0,074; б) Р = р/(1-р) = j]~~+^~^~~ =

= 0,080. Здесь п—показатель преломления стекла.

5.168. / = /₀(1 — р)//г = 0,72/₀, где /г —показатель преломления воды.

5.169. р = [(п²—1)/(/г²+1)] 8т²ф = 0,038, где я —показатель преломления воды.

_Р__=0>087, Р₄= 2^Ь£Ц.₌₀,17.

1-р '⁴ 1 —2р (1 —р)

5.171. а) В этом случае коэффициент отражения от каждой поверхности пластинки р = (/г²— 1)²/(/г²+I)², поэтому

/4 = А> (1 -Р)²= 16/„л4/(1 +л²)² = 0,725/₀; _л „ l-(l-p')² (1 -4-«²)⁴— 16/г* _П|С ,

^б> ^р = ~~1 +~~ о~~-р-)²~~ = (i+_B»)«+ito* ' ' ^Где ^р-^К0ЭФ*^ициент ^0ТР^а-

жения той составляющей света, световой вектор которой колеблется перпендикулярно к плоскости падения.

5.172. а) Р = {\— a^4N)/{l+a^4N), где a=2rt/(l +п% rt—показатель преломления стекла; б) соответственно 0,16, 0,31, 0,67 и 0,92.

328

5.173. а) р = (п — 1)2/(/г +1)2=0,040; б) ДФ/Ф = 1— (1 — p)²'^v = 0,34, где N — число линз.

5.175. а) 0,83; б|* 0,044.

5.176. См. рис. 42, где о и е—обыкновенный и необыкновенный лучи.

Рис. 42.

5.177. 6^11°.

5.178. Для правой системы координат:

1) круговая, против часовой стрелки, если смотреть навстречу волне;

2) эллиптическая, по часовой стрелке, если смотреть навстречу волне; большая ось эллипса совпадает с прямой у = х;

3) плоская поляризация, вдоль прямой у =—х.

5.179. а) 0,490 мм; б) 0,475 мм.

5.180. A = 4dAn/(2fe+1); 0,58, 0,55 и 0,51 мкм соответственно при £=15» 16 и 17.

5.181. Четыре.

5.182. 0,69 и 0,43 мкм.

5.183. d = (k — ¹/₂)'k₁/An = 0,25 мм, где /6=4.

5.184. ts.ii = К/вАх = 0,009.

5.185. Обозначим интенсивность прошедшего света при скрещенных поляроидах 7^, а при параллельных — /ц, тогда:

/ j. == V₂/₀ sin² 2ф • sin2 'ц=V₀ I¹ -^skl2 ²Ф • ^sin2 (⁵/²)]-

Условия максимума и минимума:

Поляроиды	^макс	^ мин
J.	A = (fe+»/_a)X, ф = л/4	A=k%, ф —любое
'II	Д = йа, ф — любое	A = (7e + Va)A, ф = п/4

Здесь Д—оптическая разность хода обыкновенного и необыкновенного лучей, k = 0, 1, 2, ...

''5.!l87. а) Если свет правополяризованный по кругу (для наблюдателя), то за пластинкой В четверть волны он становится линейно поляризованным, причем направление колебаний светового вектора составляет угол -f-45° с осью кристалла 00' (рис. 43, а); для левополяризованного света этот угол будет равен —45° (рис. 43, б).

329

б) Если при вращении поляроида (расположенного за пластинкой) при любом положении пластинки интенсивность прошедшего света не меняется—свет естественный, если меняется и падает до нуля, то свет поляризован по кругу; если

01 0|

Рис. 43.

меняется, но не падает до нуля, то свет—смесь естественного и поляризован* ного по кругу.

5.188. а) Дх = 1/₂Я(/г_е-л_о)0, б) d (п'_д-п'_е)= — 2 (п_е-п₀) 68* < 0.

5.189. Дл=сс/\,/п = 0,71 • 10~⁴, где а — постоянная вращения.

5.190. a = n/Axtg6=21 угл.град/мм, / (л:) ~ cos² (пх/Ах), где х—расстояч ние от максимума.

5.191. d_MHH = (l/a) arcsin |^2rj =3,0 мм.

5.192. 8,7 мм.

5.193. [а] =72 угл.градДдм • г/см³).

5.194. а) £_иин=1/]/"4В7=10,6 кВ/см; б) 2,2-10» прерываний в секунду.

5.195. An=2cHV/b}, где с—скорость света в вакууме.

5.196. V = 4₂(<pi—<p₂)/lH = 0,015 угл. мин/А.

5.197. Если смотреть навстречу вышедшему лучу и положительное направление отсчитывать по часовой стрелке, то ср = (а—VNH)/l, где N—число про» хождений луча через вещество (на рис. 5.35 число N = 5).

5.198. Я_мин = п;/4У/ = 4,0 кА/м, где V—постоянная Верде. Направление, в котором пропускается свет, изменится на противоположное.

5.199. г=тссооД/ = 12 ч. Несмотря на чрезвычайную малость этого эффекта, его наблюдали как для видимого света, так и для сантиметровых волн.

5.200. а) а=е£₀/тсо² = 5-Ю~1« см, где £₀=]/"2//е₀с, р=асо = 1,7 см/с; б) FJF_a = 2,9.10-». _

5.201. a) 8=1— rtoe²/8(,mco², p = cKl + (rt₀e²/4n²8₀mc²)X².

5.202. n„ = (4n²v²me(,/e²) (1—и²) = 2,4 • 10' см"³.

5.203. n — 1 = — Пое²\²18п²Ё(,тс²= — 5,4 • Ю^-7, где щ — концентрация элект* ронов в углероде.

5.204. а) дс = а cos (сог+ф), где а и ф определяются формулами

еЕо/т . 20(0

V« — со²)²+4р²со² со² — со*

Здесь p = v/2m, a>l = k/m, т — масса электрона, б) (Р) =

/р\ - ^т (^еЕ*

т$ (еЕр/т)² со^а(со², —со²)²+4Р²со² *

при СО = СОо-

330

5.205. Запишем уравнение волны в форме A = A_Bt^ilat~^kjc>, где к=2л/Х. Если я'= n-fix, то £ = (2лД₀) я' и

А = Аф^2лкх^о е' («о/—ЗяяхД,)^

или в вещественной форме

А = А ₀е^х '* cos (со/—k'x),

т. е. свет распространяется в виде плоской волны, амплитуда которой зависит от х. При х<0 амплитуда убывает (затухание волны за счет поглощения). Если я' = «х, то

A = A₀e^>l'^x cos со/.

Это стоячая волна с экспоненциально убывающей (при к<0) амплитудой. В этом случае свет испытывает полное внутреннее отражение в среде (без поглощения).

5.206. я₀ = 4я²е_отс²/е^аЯ,²=2,0-10» см"⁸.

5.208. а) u — ^s/₂v; б) ц=2о; в) и=^х1&.

5.209. e=l-j-^/«i²> где А —постоянная.

5.210. о = с/я= 1.83-10* _м/с> _и = [1 + (Я,/л) (dit/dl)] с/л =1,70- 10" м/с.

5.211. Достаточно провести рассуждение для трех гармонических составляющих волнового импульса (проще всего с помощью графика).

' 5.212. I = i/₂I₀t-^ sin² <р, где <р = КШ.

5.213. а) / = /₀(1 —p)²(l-bp^a+p4-j- ...) = /₀(1—р)²/(1 —р²); б) / = = /„ (1 -р)^г с (1 +о²р²+а*р* +...) = /оо- (1 -р)²/(1 -а2р²), где а=ехр (—Ы).

5.214. и=.~~^1п.^(Т1/У~~ =0,35 от».

а₂ —"1

1 П—o)^2iv

5.215. и=-₇4_г1п li—У-—=0,034 см"».

IN х

5.216. т=(1 —р)²ехр {—Ч₂(щ-\-уч)1\. "17./-М1-РУ ^е~~_(Х2__И1)/~~ .

5.218. ДЯ, = 2Я,₀К(1п»1)/аЛ

5.219. /=--%-(1 — _р)2_е-^х<»-^а1.

5.220. Уменьшится в exp (|л<2)=0,6- 10² раз.

5.221. d = 0,3 мм.

5.222. d = (ln2)/fi = 8 мм.

5.223. iV = (lnri)/ln2 = 5,6.

5.224. с=2/г (я_г—Л!) = 3,0 • 10⁸ м/с.

5.225. Прежде всего отметим, что при э<<с время течет практически одинаково в системах отсчета, связанных как с источником, так и с приемником. Представим себе, что источник испускает короткие импульсы с интервалами Т₀- Тогда в системе отсчета, связанной с приемником, расстояние между двумя последовательными импульсами вдоль линии наблюдения Х = сТ₀ — v_rT₀, где о,—лучевая скорость источника (v_r = vcas&). Частота принимаемых импульсов v=cA = v₀/(l — v_rlc), где v₀= 1/Т₀. Отсюда (v—vo)/v₀ = (o/c) cos ft.

5.226. AX = —XV~2T/mc* cos d= —26 им.

5.227. Г = 4лЯЯ/с8А,=25 сут, где R — радиус Солнца.

331

:w₀(\+2V/_C).

-k'x' величин t' н я'

5.228. <* = (ДУХ),_пст/я = 3-10' км, m = (A'k/\)*_ncH/2ny = 2,9■ 10²» кг, где •у — гравитационная постоянная.

5.229. а) = «₀(1+Р)/(1 — Р)> ^r«^e Р = ^/с; со;

5.230. o^Va^Av^ 900 км/ч.

5.231. После подстановки в равенство <at—fex = co'f-(из преобразований Лоренца) получим

(0 = (В'(1+Р)//Т^|², k = U (l+^/VT^lV, где В=К/с. Здесь учтено, что со' = с£'.

5.232. Из формулы <о' = «/(j_б)/(1 +6) получим p = t//c = 0,26. (>Д')²-1

5.233. ц = с-

-=7,1 • 10* км/с.

(ЯДГ + 1 .5.234. <о = <Оо)^3/7.

5.235. ДЯ = Я77т₀с² = 0,70 нм, где т₀ — масса атома.

5.236. a) (o = coo/Kl—Р²=5,0 ■ 10™ рад/с; б) м = <о₀/П^Р²= 1,8 ■ 10"» рад/с. Здесь р = и/с...

5.237. Заряд электрона вместе с положительным индуцированным в металле зарядом образует диполь. В системе отсчета, связанной с электроном, электрический момент диполя меняется с периодом T' = d'/v, где d' = dУ~1 — (v/c)². Соответствующая «собственная» частота v' = v/d'. Вследствие эффекта Доплера наблюдаемая частота

, ]Л-(а/с)² v/d

Y=V —¹-^-— =

1 —(v/c) cos ft 1 — (v/c) cos d ' Ей отвечает длина волны \ = c/v = d (c/v — cos #). При # = 45° и vase длина волны X як 0,6 мкм.

5.238. а) Пусть а,.—проекция вектора скорости излучающего атома на направление линии наблюдения. Число атомов с проекциями v_x, v_x-\-dv_x

п (у_х) dv_x ~ exp (—mvl/2kT) • dv_x.

Частота света, излучаемого атомами, скорость которых v_x, есть о) = (0₀ (1 -f v_x/c).

найдем распределение атомов по частотам: п ((о) d(a = n(v_x)dv_x. И наконец, надо учесть, что спектральная интенсивность излучения /_ш ~ и (W). б) До)/О)₀ = 2 У(2 In 2) kT/mc². c/n+V

С помощью этого выражения

?Р

5.239. и = -

1 + V/cn

Если V <^с, то

= 30 км/с.

5.240. y = V₂c6d = 5.242. #' = 8°.

5.243. Движущаяся со скоростью V заряженная частица своим полем возбуждает атомы среды, и они становятся источниками световых волн. Возьмем две произвольные точки Л и В на пути движения частицы. Световые волны, испускаемые из этих точек при прохождении через них частицы, достигнут точки Р (рис. 44) за одинаковое время и усилят друг друга, если время распространения световой волны из точки А в точку С будет равно времени пролета частицей пути АВ. Отсюда получим cos& = v/V, где v = c/n—фазовая

332

скорость света. Видно, что излучение возможно лишь при V > v, т. е. когда скорость частицы больше фазовой скорости света в среде.

5.244. Т_шт = (п/У~п² —1 — 0 тс²; соответственно 0,14 МэВ и 0,26 ГэВ. Для (л-мезонов.

5.245. -г / ~~"^cosft~~ ,_ Л_тс! ₌ о,23 МэВ.

\]/n²cos²ft— 1 J

5.247. Г₂ = йГ₁/(Ь + Т₁ДЯ)=1,75 кК.

5.248. Я,_т = 3,4 мкм.

5.249. 5 • 10» кг/с, около 10^й лет.

5.250. T = y^r3cRp/oM = 2 ■ 10⁷ К, где R — универсальная газовая постоянная, М — молярная масса водорода.

5.251. г = (п³ — 1)ср d/18aT;j = 3 ч, где с—удельная теплоемкость меди, р—ее плотность.

5.252. Г₂ = Г₁]/'5/2Т = 0,4 кК.

5.253. а) C_v=(dU/dT)_v= 1баГ³У/с=3 нДж/К, где U = 4vT*V/c; 6)5 = «= 1баГзК/Зс=1,0 нДж/К.

5.254. а) со_вер = 2Г/а = 5,24 • 10" _раду_с; б) Я_вер = 2яса/5Т= 1,44 мкм.

5.255. а) «_й) = (йГ/я2_сз)_С02_; _б) _Ц(В = (й/я²с³) соЗе^-^⁷".

16я²й v» 16я²сяАг⁵

5.256. «_v =----~~,,._v/bT~~--, "x =

_с3 gznnv/я/ _j ' " _e2nTlclkTt\_j *

5.257. ДР = 4я²с²ЛГ5ДЯ,/№(_е^2яЯс/*^г'—1) = 0,31 Вт/см², где 6—постоянная в законе смещения Вина.

5.258., а) 1,1 мкм; 6)0,37; в) />₂//>_д = (7У7Л)* (1 — #₂)/(1 -_У1) = 4,9.

5.259. /г_шЛо=—— ;—-, /г_хсй = -

_пг_сз _e«<B/ftr_j' ^л _e2nflc/kTK_j '

5.260. а) (j) = P\/8n²cHr² = 6- 10" см"² • c~i; 6) г = >^/Н/2л7г/2яс=9 м.

5.261. dp/dr = ₃/c.

5.262. <р)=4 (1 + р)£'/лй²стг«50 атм.

5.263. р = (£/с)]Л + р² + 2р cps2ft=35 нН • с.

5.264. p = (//c)(l+p)cos²d = 0,6 нН/см².

5.265. F = nR²//c=0,18 мкН.

5.266. F = Р/2с (1 -j- tf)._

5.267. а) Др=-^'^£^; 6) Др = ^-_1_. Здесь 0= У/с. .Видно,

что в системе отсчета, связанной с зеркалом, последнему передается меньший импульс.

5.268. sin (fl/2) = Е/тс Vgl, fl=0,5°.

5.269. Дсо/со₀=— (l — e~^yM/Rc*) <0, т. е. частота фотона уменьшается

5.270. £/ = 2ялс(1 — 1/т))/еДЯ= 16 кВ.

5.271. U = nbcjed sin a = 31 кВ.

5.272. *,„,„ = 2яй"//яс(7— 1) = 2,8 пм, где v = 1/КI — 5.273 . 332 нм, 6,6- 105 _м/с_

5.274. А = 2ясй ~~W~ W~~ ₌ 1,9 эВ.

^А^2(П—^i;

5.275. ф_макс = 4,4 В.

333

5.276. Г_макс = ft («„ + «) - А_яых=0,38 эВ.

5.277. w = 2ncHJ/e% = 0,020.

5.278. 0_MM = 6.4-1№ м/с.

5.279. 0,5 В; ее полярность противоположна полярности внешнего напря* же.иия.

5.280. Ь/тс—комптоновская длина волны данной частицы.

5.281. Запишем законы сохранения энергии и импульса в системе отсчета, связанной с электроном —до соударения с фотоном: ftG) + /n₀c² = /nc², ftw/c™ *=тя, где т = т₀ ]А — (v/cf. Отсюда следует, что v=0 или с. Оба резуль« тата физического смысла не имеют.

5.282. а) Рассеяние происходит иа свободных электронах; б) увеличи* вается число электронов, которые становятся свободными (под свободными понимаются электроны, энергия связи которых значительно меньше энергии, передаваемой им фотонами); в) наличие несмещенной компоненты объясняется рассеянием на сильно связанных электронах и на ядрах.

5.283. \=4п%_с[яп(Ъ₂/2) — qsin (\/2)у(Ц—1) = 1,2 пм.

5.284. Г = Йо)Г|/(1 + Г|) = 0,20 МэВ.

2jwft/X

\+Хтс{2пП

5.285. а) ш'=2яс/(Я+2яй/тс) = 2,2.1020 _раду_с; б) т-. = 60 кэВ.

5.286. ftca'= . ~~,„_/fc~~ ~~. ,„,„~~ =0,144 МэВ.

1+2 (Ha/mc²) sin (#/2)

5.287. sin (#/2)=]Ляс (p — p')/2pp', отсюда fl=120\

5.288. fio>=[l +]Л+2/пс²/Г sin² (#/2)] 772 = 0,68 МэВ.

5.289. X = (2nn/mc)(Vl+2mc²/T_mKC—l) = 3,7 пм. „„„„ . 1^4лЙ/тсДЯ—1

5.291. р = ²Л£+Л1™ 3,4 см. ^r (l+2n)eB

5.292. AX = (4ft/mc) sin² (fl/2) = 1,2 пм.

6.1. г = 3е²/2.£' = 0,16 нм, Х = (2ж/е)Упи«==0,24ыш.

6.2. 6 = 0,73 пм.

⁶-³- ^a) ^гмин=⁰'⁵⁹ ^пм= ^б) VH = (^2Ze2/^r)(¹+^ma/^mLi)=°.°34 пм.

ас 0,56 ПМ.

6.5. р «а 2 У2тТ![1 + (26T/Ze²)²].

6.6. Г_е = от_ре*//л_е6²Г=4 эВ.

„„ . Дя sin (fl/2) _л-

⁶-⁷- ^&=7т+^ШрГ. ^г*^е

6.8. а) cos(fl/2) = b/(R + r); б) dP=i/₂suiddd; в) Р=^г/_а.

6.9. 3,3 • 10-5.

6.10. d = (4//-²T²/ra/Z²e⁴) sin⁴ (<fy2)= 1,5 мкм, где и —концентрация ядер.

6.11. Z_pt = Z_Agyr0_PtA4_Ag = 78.

6.12. а) 1,6- 10»; б) W = nm*(Ze²/T)²ctg² (д«/2> /₀т = 2,0 • 10', где «-концентр аци я ядер.

334

6.13. P — nnd (Ze²//nt>²)² = 0,006, где я—концентрация ядер.

6.14. AN/N = 1 — nnZW/r* tg² (*/2) = 0,6.

6.15. AiV/y_V = i^-^7^-+0,3_7Ryp^_ylctg²^- = l,4.10-*. где Z_t и

2₂—порядковые номера меди я цинка, М% и ЛГ₂—их молярные массы, N_А—число Авогадро.

6.16. До = я(ге²/Г)² ctg²(fl₀/2) = 0,73 кб.

6.17. а) 0,9 МэВ; б) do/dQ =До/4п sin⁴ (ft/2) = 0,64 кб/ср.

6.18. г=(Зтс³/2е²со²) 1пт] = 15 не.

6.19. t «smW/4e*«s 13 пс.

6.21. г„ = УпН/та>, E_n = ntm, где я=1, 2, ..., а> = Ук/т. 6.22.

Гц пм

V, 10» м/с

Г, эВ

^£св'^эБ

Ф1. В

X, нм

Не+

52,9 26,5

2,18 4,36

13,6 54,5

10,2 40,8

121,5 30,4

6.23. со = те⁴2²/й³«²=2,07-10¹⁶ рад/с.

6.24. ц_п—пеП/2тс, \1_п/М_п = е/2тс, u.₁₌(i_B>

6.25. В = /п²е'/сЙ⁵. = 125 кГс.

6.27. Серия Брэкета, Я₆ _>₄ = 2,63 мкм.

6.28. а) 657, 487 и 434 нм; б) А,/6А,=» 1,5 • 10³.

6.29. При я^>1 значение sin ft е=а n^cjlR, откуда фейзбО*.

6.30. Не*.

6.31. iV=!M(n—1).

6.32. 97,3, 102,6 и 121,6 нм.

6.33. я = 5.

⁶-³⁴- ^пЙдТ--²-⁰⁷-¹⁰¹⁸^-

6.35. 2=]/(17б/15)яс//Ш, = 3, U++.

6.36. Я= (2яс/Дсо) (Z Уд/Дсо— l)/(2Z /Я/Дсо— l) = 0,47 мкм.

6.37. £_св = 54,4 эВ (Не+).

6.38. Ј = Ј₀+4W=79 эВ.

6.39. о=У 2 (Йсо—4йД)/т=2,3- 10^е м/с, где ш=2яс/Я.

6.40. 7^,_ИНН = ³/₂ЙЙ = 20,5 эВ.

6.41. о = ЗйЯ/4/яс=3,25 м/с, где /и —масса атома.

6.42. (e~s')/s<=3HR/8nwⁱ=0,55■ Ю~^е %, где /я —масса атома.

6.43. о=2 у^г7Ш/т=3,1 • 10^е м/с, где т—масса электрона.

6.44. о=ЗЯДЯ/8я cos 0=0,7.10« м/с.

6.45. а) Е_п=я²я²/г²/2т/²; б) £„ = л²й²/2тг²; в) Е_п=пПУа[т\ г) £„ = == —та²/2й²я².

6.46. £_св = р«⁴/2й², Я = и.е*/2йз, где (х-приведенная масса системы. Без учета движения ядра эти величины для атома водорода больше на т/М <=» 8* 0,055%,'где т и М—массы электрона и протона.

335

6.47. E_D — E_H = 3,7 мэВ, X_H —Я₀ = 33 пм.

6.48. а) 0,285 пм, 2,53 кэВ, 0,65 нм; б) 106 пм, 6,8 эВ, 0,243 мкм.

6.49. 123, 2,86 и 0,186 пм.

6.50. 0,45 кэВ.

6.51. Для обеих частиц Я = 2ля" (1 + m„/m_rf)/)^2/n„r = 8,6 пм.

6.52. ~к = 2Х₁Х₂/У~Х'1 + Х1.

6.53. Я,=2лЙ//2/п6Г=128 пм.

6.54. Найдем сначала функцию распределения молекул по дебройлевским длинам волн. Из соотношения f(v)dv =—ср (X) dX, где /(у) — максвелловская функция распределения по скоростям, получим

ф(Я) = ЛЯ.-⁴е-^аД2, a = 2n^?if/mkT.

Условие dy/dX = 0 дает Я_вер = nb/VrnkT = 0,09 нм.

6.55. X = 2nti/Y~2mT (1 +Г/2/пс²), Т < imc^AX/X = 20,4 кэВ (для электрона) и 37,5 МэВ (для протона).

6.56. Г = (^2"-1)тс² = 0,21 МэВ.

6.57. X = Х_к/У~1 + тсЯк/яй = 3,3 пм.

6.58. у = 4л«//п6Дх = 2,0. 10в _м/с.

6.59. Ax = 2nni/dy^r2meU=4,9 мкм.

6.60. с/₀ = я²й²/2/ле (/rj"— l)² d² sin² # = 0,15 кэВ.

6.61. d = пШ/^пгТ cos (#/2) = 0,21 нм, где 6 = 4.

6.62. d = ntik/V~2mT sin # = 0,23 ± 0,04 нм, где 6 = 3 и угол # опр.еде* ляется формулой tg2# = D/2/.

6.63. a) л = у^л1+с/г/(7=1₎05; б) (7/(7_г 3= 1/т] (2+т]) = 50.

6.64. £„ = л²л²Й²/2/л/², где л=1, 2, ...

6.66. 1-10», 1 • 10 И 1 • IO"²" СМ/С. :

6.67. Ду«aft/m/= 1 • 10^е м/с; ^ = 2,2- 10^е м/с.

6.69. Дг^=т]/л/²/Й=» Ю^в с.

6.70. Г_минямй²/2т/²=1 эВ. Здесь взято р ^ Ар и Дх = Л

6.71. Ди/у~ П/1 V2mT= \ ■ 10-*.

6.72. F^fP/ml^s.

6.73. Имея в виду, что р ~ Др ~ А/Ах ~ л"/*, получим £ = Г + 1/«я е»й²/2ш:² + 6л:²/2. Из условия dE/dx = 0 находим .v₀ и затем £_мин да ti Vklm =• = tm, где о) — круговая частота осциллятора. Точный расчет дает ftw/2.

6.74. Имея в виду, что р~Др~л"/Дг и Дг~г, получим £ = р²/2/л — — e°/r ^fi²/2mr²—e²/r. Из условия dE/dr = Q находим /-_Эфф я» й²//ле² = 53 пм, ^мин^— me*/2tr~= — 13,6 эВ.

6.75. Ширина изображения Д б + Д' як б + #//рб, где Д'—дополнительное уширение, связанное с неопределенностью импульса Ар_у (при прохождении через щель), р — импульс падающих атомов водорода. Функция Д (б) имеет минимум при б У Ш/mv = 0,01 мм.

6.76. Решение уравнения Шрёдингера ищем в виде Ч^г=чр (х) ■ f (t). Подстановка этой функции в исходное уравнение и разделение переменных х и t приводит к двум уравнениям. Их решения: я|) (х) ~ e'^ftx, где k = y^r2mE/fi,

336

£—энергия частицы, и f (7)~е ^mt, где (Л — Е/й. В результате Ч^г = ае'⁽**^_<в/>, где а — некоторая постоянная.

6.77. Р=1/8 + УЗ/2я = 0,61.

Г Л cos (ппх/1), если л=1, 3, 5.....

6-7 . ф — | д (ддду/^ _если ^=2, 4, 6, ...

Здесь Л = |/2/7.

6.80. dNldE = (llnH)Vml2E; при £=1 эВ величина cW/rfЈ = 0,8-10? уровней/эВ.

6.81. а) В этом случае уравнение Шрёдингера имеет вид

Возьмем начало координат в одном из углов ямы. На сторонах ямы функция (х, у) должна обращаться в нуль (по условию), поэтому внутри ямы ее удобно искать сразу в виде if> (д:, у) = а sin k_tx • sin k₂y, так как на двух сторонах (х=0 и у = 0) автоматически я|) = 0. Возможные значения kt и k₂ найдем из условия обращения ф в нуль на противоположных сторонах ямы:

^('г. У) = 0. h = ± (я/Zi) Л1, я,' = 1, 2, 3.....

1р(х, У = 0. &₂ = ± (л//₂) я_а, л₂ = 1, 2, 3, ...

Подстановка волновой функции в уравнение Шрёдингера приводит к соотно-шению k\-\-k% = k-, откуда

б) 9,87 , 24,7 , 39,5 и 49,4 единиц Ш/тР.

6.82. Р = 7з — УЗ/4п;=19,5%.

6.83. a) Е = (я?+я| + я1)я²Й²/2/па², где яг, л₂, я₃ —целые числа, не равные нулю; б) Д£ = rftP/mcP; в) для 6-го уровня л³ + лЦ-л1 = 14 и £ =. = 7л²п²//па²; число состояний равно шести (оно равно числу перестановок тройки чисел 1, 2 и 3).

6.84. Проинтегрируем уравнение Шрёдингера по малому интервалу коор< динаты х, внутри которого имеется скачок U (х), например в точке х = 0:

-д

Ввиду конечности скачка U при б-»-0 интеграл тоже стремится к нулю. Дальнейшее очевидно.

6.85. а) Запишем уравнение Шрёдингера для двух областей:

0<дг</, грГ+ й³ф1 = 0, № = 2тЕ/№,

х>1, \р; — и²ф₂ = 0, и² = 2т (Uо — Е)/Ж

Их общие решения

fi(x) = asin(kx+a.), ^.,(х)=Ьь-'^лх+с€^лх.

голжны удовлетворять стандартным и граничным условиям. Из условия ihj(0)=0 н требования конечности волновой функции следует, что а = 0 и с=0. И наконец, из непрерывности ф (х) н ее производной в точке х—1

•J2 И. Е. Иродов 337

получим tgЈZ=— k/x, откуда

sin kl=±kl V~ny2mPU₀-Изобразив графически левую и правую части последнего уравнения (рис. 45), найдем точки пересечения прямой с синусоидой. При этом корни данного уравнения, отвечающие собственным значениям энергии Е, будут соответствовать тем точкам пересечения (kl){, для которых tg (kl)i < 0, т. е, корни этого уравнения будут находиться в четных четвертях окружности (эти

1	/ / /
/7 // //

		! /

Рис. 45.

участки оси абсцисс выделены на рисунке жирными отрезками). Из графика видно, что корни уравнения, т. е. связанные состояния частицы, существуют не всегда. Пунктиром показано предельное положение прямой, б) (l²U₀)i_mm = *=п²ПЩт, (Ш₀)_лмин = (2п — 1)я²Й²/8т.

6.86. Пусть Р_а и Р^—вероятности нахождения частицы вне и внутри ямы. Тогда

со

Pg _ I_=

Р{ I 2 + ЗЯ '

\ a² sin² kx dx

где отношение bja можно определить из условия 1|>i(Q=$2(0- Остается учесть, что Р„ + Р,= 1; тогда Р„ = 2/(4 + 3л)= 14,9%.

Возможность нахождения частицы в области, где ее энергия Е <ZU, представляет собой чисто квантовый эффект. Он является следствием волновых свойств частицы, исключающих одновременно точные значения координаты и импульса, а следовательно, и точное разделение полной энергии частицы на потенциальную и кинетическую. Последнее можно сделать только в пределах точности, даваемой соотношением неопределенностей.

6.87. В результате указанной подстановки получим

_х" + 6²х=0, где *²=2mЈ/fi².

Решение этого уравнения ищем в виде % = а sin (kr-\-a). Из требования конечности волновой функции ip в точке г = 0 следует, что а = 0. Таким образом, ip=(a/r) sinkr. Из граничного условия ty(r_u) = 0 получим kr₀ = nn, где п = = 1, 2, ... Отсюда £„=«²п²Й²/2тг5.

6.88. а) У(г)= д_. ~~sin(CTr/r_e)~~ _n=J _2> . _б) , ,„_/2:

У 2яг₀ г

338

6.89. а) Решения уравнения Шрёдингера для функции %(г): r<r_a, xi = Л sin(*/•+«), где к=У~2тЕ/К, /•>/•„, x₂ = Se^Kr+Ce~'^tr, где к—У 2т (U₀—£)/».

Из требования ограниченности функции ф(г) во всем пространстве следует, что а = 0 и £ = 0, Таким образом:

„ smkr . _п е~^кг

Из условия непрерывности f и ее производной в точке /• = /> получим tgkr₀= —k/к, или

sin kr_t = ± Уй^гтг^в kr_a. Это уравнение, как показано в решении задачи 6.85, определяет дискретный спектр собственных значений энергии, б) r|t7₀=n²n²/8m.

6.90. a = mco/2fi, £ = йсо/2, где »=У'4/т.

6.91. £ = —те*/8Й², т. е. уровень с главным квантовым числом п=2.

6.92. а) [Вероятность нахождения электрона на расстоянии г, r + dr от ¹ ядра dP=i|)² (г) 4я/^,а dr. Из условия максимума функции dP/d/- получим

г_Вер="1; б) <£>=2£²//-?; в) <t/)=-e²//-i.

6.93. фо = J (р//^-) 4яг² dr=e/ri, где р =еф²—объемная плотность заряда,

ф—нормированная волновая функция.

6.94. а) Запишем решения уравнения Шрёдингера слета и справа от гра* ницы барьера в следующем виде:

х<0, фi(>:) = a₁e^,'*^I*-f&₁e^_йг,^ где ki = V2mE/fi,

х>0, il>₂(x) = a₂e^ik°^x+he-^ik*^x. где !ь=У~2т (E-U₀)/ti.

Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой af, а отра* женная —амплитудой Ь₂. Так как в области jc> 0 имеется только проходящая волна, то Ь₂ = 0. Коэффициент отражения R представляет собой отноше* ние отраженного потока частиц к падающему потоку, или, другими словами, отношение квадратов амплитуд соответствующих волн. Из условия непрерывности ф и ее производной в точке х = 0 имеем ai + 6x = ^as ^и »i^— bi — (k_ijk₁) а₂, откуда

R = (bil^f = (ki—k^Kkt + k₂f.

б) В случае Е <.U_e решение уравнения Шрёдингера справа от барьера имеет вид

•ф₂ (х) = а₂е^кх+Ь₂в~^кх, где n=y~2m(U_a—E)/ti. Из требования конечности ф(л:) следует, что а₂=0- Плотность вероятности нахождения частицы под барьером Р₂ (л:)=ф|(х)~е-^2>и'. Отсюда х_Эфф = 1/2х.

^{, 6}^{.95. а)}^Z)^{ехр [ - /2т}^(l/^0-Ј)J^;

^6.96.^{D^exp}^{[-^J}^{/^([/0_Ј)j.}

6.97. —0,41 для 5-терма в —0,04 для Р-герма.

12* 339

6.98. а = /лЯ/(£₀—<%) —3 = —0,88.

6.99. E_UB = HRl(V~RXilzVncAk— l)²=5,3 эВ. 6Л00. 0,82 мкм (3S->-2P) и 0,68 мкм (2P->-2S).

6.101. Д£ = 2лЙсДХД² = 2,0 мэВ.

6.102. Дш = 1,05- IO" рад/с.

6.103. 3S_1/a, зр_а/>, 3P_s/2, 3D,_/s, 3D_5/j.

6.104. a) 1," 2, 3/4, 5; 6) 0, Ь 2, 3,4 5, 6; в) >/₂, ^s/s. ?/г. 7₂> 7г-

6.105. Для состояния ⁴р: й |/"3/2, Й У 15/2 и Й /35/2; для состояния 0, Й У~2, ft/б, ft/12, Й /20.

6.106. а) ²Л, , М = ft/63/2; б) V¹., Л* =2ПУ'Ь.

' vi макс ' / > / 4' макс '

6.107. В ^-состоянии M_s = ft/6; для D-состояния можно лишь установить, ЧТО M_s>:fl У 6,

, 6.108. 3, 4, 5.

6.109. а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 2, 4, 6; в) 5, 7, 9. ,

6.110. зг. с

6.111. ^SD₂.

6.112. »р„ 1D₂, 1F₃, зр_0Л>2, »d_1iSi8, з^₂ з ₄.

6.113. Те же, что в предыдущей задаче.

6.114. Второй и третий.

6.115. g = 4+6=10.

6.116. 4, 7 и 10.

6.117. V₃.

6.118. As.

6.119. a) *S_Vj; б) зр₂.

6.120. a) *P_Vi, ft/15/2; б) *P._V ft 3/ТТ/2.

6.121. а) Два d-электрона; б) пять р-электронов; в) пять d-электронов.

6.122. а) зр_о; _б) «/>,,,.

6.123. *P_t/i.

6.124. fi = fi_B/35(eS_i/2).

6.125. г|=л²е~^ЙМ//*^Г = 3 ■ 10~¹⁷, где w=P, (l-l/n²).

6.126. W//V_e=(g/g_e)e^—?iM/*^r = l,l4. 10"⁴, где g и g₀—статистические веса (кратности вырождения) уровней зр и 3S соответственно (g = 6, go=2).

6.127. x = //t>lnT)=l,3 мкс.

6.128. JV = VrP/2jicft = 7- 10».

6.129. т = (яЙш/р) (g/go) е^-йи/*^г = 65 не, где g и go —кратности вырождения резонансного и основного уровней.

6.130. а) р_иид/рсп=1/(е^йи/А7"-1)=« ю'³⁴, где ш = =/₄р; б) г=1,7-10⁵. к-

6.131. Пусть / — интенсивность проходящего света. Убыль этой величины при прохождении слоя вещества толщины dx равна

— dl = x/ dx = (iVjBu — Л'₂£₂₁) (//с) ftco dx,

где /Vi и Ni — концентрации атомов на нижнем и верхнем уровнях, Bi₂ и Б._п—коэффициенты Эйнштейна. Отсюда

х = (Йо)/с) /ViBi₂ (1 —giN^Nt).

340

Далее следует учесть распределение Больцмана и тот факт, что fia^kT (пра этом Ni^N₀ — полной концентрации атомов).

6. «32. ДЯдоп/ДЯест ^ 4лто_вер/Л «а Юз, _Где v_Bep = V~2RTjM.

6.133. А,= 154 пм.

6.134. а) 843 пм для А1, 180 пм для Со; б) =«5 кэВ.

6.135. Три.

6.136. U = 15 кВ.

6.137. Да.

6.138. 1 = 1 + 2 У(п — 1) eUi/ZhR (п — Ui/U₂) = 29.

6.139. Z = l-f ]^4Дсо/3# = 22, титан.

6.140. Ј_cB = 3/₄fiR(Z—1)²+2лсп/Я,_/_ = 5,5 кэВ.

6.141. E_L = ftw/(2nc/wM—l)s»0,5 кэВ, где со = ^s/_tR (Z — 1 )^э.

6.142. r = ³/₄fiR (Z— I)²—2лсЙ/Я,_/(.= 1,45 кэВ, у = 2,26-10' м/с.

6.143. a) g = 2, за исключением синглетного состояния, где g = 0'0; б) g=l.

6.144. а) —2/3; б) 0; в) 1; г) 5/2; д) 0/0.

6.145. a) /l2ii_B; б) 2/р^; в) (8/|^3) р_в.

6.146. M_s = 2/3~ft.

6.147. Ц = (8/1^3)^.

6.148. ц = 3 У~Т/5ц_в.

6.149. (х = (5)^5/2)ц_й.

6.150. M = ft/3/2. 6.151.

6.152. co=Li_BgfS/ft= 1,2 ■ 10¹⁰ рад/с, где g —фактор Ланде. ^6Л53- ^f иакс^Вмакс ' I dB/dz | = (3/^8) л^/|г_в/"² = 4- Ю-²? Н.

6.154. F = 21\ь_в1сг^г = Ъ ■ 10~^2в Н.

6.155. aB/az = 2r6/g/[AB'₁('₁+²'₂)⁼¹⁵ кГс/см.

6.156. а) Не расщепится; б) на шесть; в) не расщепится (g=0).

6.157. а) 58 мкэВ; б) AЈ=2g/jji_BB = 145 мкэВ.

6.158. а) Простой; б) сложный; в) простой; г) простой (здесь для обоих термов факторы Ланде одинаковы).

6.159. L = AE/2[i_BB = 3; i/>

6.160. ДА, = А,²еВ/2ятс² = 35 пм.

6.161. В_мин = 4,0 кГс

6.162. В = ЙДсо/£ц_в=3 кГс.

6.163. а) 2:1 (отношение соответствующих факторов Ланде); б) В =• «= 2лсйДА,/£И_впА²=5,5 кГс.

6.164. Дсо = (± 1,3, ± 4,0, ±6,6)- 10¹⁰ рад/с, шесть компонент.

6.165. а) Шесть (1) н четыре (2); б) девять (7) н шесть (2).

6.166. Дсо = (т₁й — т₂£₂)_максеВ/«с=1,0- 10^й рад/с.

6.167.. £0=41^2 ft/rad²,= 1,57 • ЮН рад/с, где пг —масса молекулы.

6.168. 2 и 3.

6.169. M = Kmcf²Ј/2 = 3,5n, где m— масса молекулы.

341

6.170. /==й/Дю=1,93-10-*> г-см², d=112 им.

6.171. 13 уровней.

6.172. N<=& /2/щ/й<^60 линий.

6.173. dN/dE 1/2№Е, где / — момент инерции молекулы. Для /=10 величина dN/dE = 1,0 • 10* уровней/эВ.

6.174. Екол/£вр = d?[ti, где р,—приведенная масса молекулы; а) 36; б) 1,7 - 10²; в) 2,9-Юз.

6.175. /V_KOJI//V_Bp=V₃e^_^^(u)~²'^B>/fc7' = 3,l - Ю-*, _Гд_е в = Щ21, /-момент инерции молекулы.

6.176. По определению

,_Е) _ £ E_v ехр (— E_v/kT) __~EE_V exp (—а£„)

где /f_t, = ft(o(у + ¹/₂), 0=1/67" • Здесь суммирование проводится по р от 0 до со, и делается это следующим образом:

=__Lb "УехоГ-а* )___L\_n exp<-^.to^)

ftco , ftco

exp(ft(o/fer)—1 *

^си«ол-"—---(_e*<o/fcr_,)2—-¹-²'¹⁰

где R— универсальная газовая постоянная.

6.177. d=/2йу[д,Дсо = 0,13 нм, где (д, — приведенная масса молекулы,

6.178. Х=Хо/(1 + (о)ч,/2яс) = 423 и 387 нм.

6.179. <о=яс(Хк —а,_ф)/А*Лф=1,37-10*« рад/с, х=4,96 Н/см.

6.180. /_ф//_к=ехр (— йю/*Г)=О,067. Увеличится в 3,9 раза.

6.181. а) См. рис. 46, а, на котором стрелками показаны направления движения ядер молекулы в один и тот же момент. Частоты колебаний щ, <о₂> щ, причем частоте щ отвечают два независимых колебания во взаимно

0 С О НССН -*-о-о-о^гЦ -*-о—г*°-°*-о-*-*//

~о> < о (Од ~*г-о о> о» < о (1)% -^ fi*j -*-о-о» <о->*-й^

с; ^-4-4-о

о-£-о-Ь (0₅

Рис. 4<5.

перпендикулярных плоскостях. Всего, таким образом, четыре разных колебания, б) См. рис. 46,6; всего разных колебаний семь: три продольных (<0j., «2, соз) и четыре поперечных (а>₄, (о₆) — по два на каждую частоту. 6.182. dN_№ = (l[nv)4u.

342

6.183. djVa = (S/2ni>²) wrfw.

6.184. йЛ^г_а) = (К/я²уЗ)0)²йй).

6.185. a) e = (h/k)nvn₀; б) е=(Щ) оУИйц; в) &={П/к) v yf 6я²/;₀'-

6.186. 8 = (Л/й) у'18л²п₀/(о,(-³-Ь2t/j³) = 470 К, где концентрация атомов.

6.187. v я« £в/й |/"6я²и₀ = 3,4 км/с, где п₀ —концентрация атомов. Таблич* ные значения: ац = 6,3 км/с, tij_=3,l км/с.

6.188. Колебательная энергия моля «кристаллам

в/Г

где x=na/kT. Отсюда молярная теплоемкость

в/т

■ - - в/Г

\» Г xdx ) J е*-1

_г®/Т_!

При Г > 0 теплоемкость C^R.

6.189. a) dN/d(o=2l/na у "макс^-; б) N = t/a, т. е. равно числу атомов в цепочке.

6.190. £/_в=9Яв/8ц=48,6 Дж/г, где р—молярная масса меди.

6.191. а) в«*220 К; б) С ^.10 Дж/(моль-К); в) со_макс=4,1 • 10" _рад/с.

6.193. Да, так как при этих температурах теплоемкость пропорциональна Т³-.

6.194. <£)=з/₈£в.

6.195. См. рис. 47.

6.196. ЙШмакс =28мэВ,M_MWtc~10-i» г• ем/с.

6.197. а) Г_м<1КС=(Зл*л)^2/3Л*/2т; б) (Г) = '/₆Г_макс.

6.198. in=l — 2~^3/-² яа65%.

6.199. 0,93.

6.200. «=. 3 • 10* К.

6.201. АЕ=2ят²/тУ (Зл^гя)^1/3=2. Кт^эВ.

6.202. a) dn_v = (m?ln4iS)v*dv, б) <?>Ми_КС=

6.203. drt^, = 8nA,-⁴ dA,.

6.204. р=²/aft (Г) = (я f 9лft²/5m) п^5/3 «а 5 • 10* атм

6.205. Л = &Г(1т77ДГ—2)=4,5 эВ.

6.206. л = К1 + ^о/7^, = 1.02, где Л—работа выхода.

2kT_tT₂

■-0л*п)^т&[2т,

6.207. £„

6.208. а=-

iU m т» ,

1 JJp _ ясй ~р~дТ

рииа запрещенной зоны.

Д'1пст

1и ч=0.33 эВ.

= ОМ К~*. где. р.~е^ля"#*^г. Д£»-шич

6.209. ДЕ= — 2k

Д (Г"»)

= 1,2 и 0,06 эВ.

343

6.210. т = //1п ~~fr-Pi)~~ Рг ₌₀,01 с.

(P-P₂)Pi

6.211. n=hBU/elpU_H = 5- 10'i см~*, щ^Ш _H/liBU = 0,05 M²/(B-c).

6.212. ] iq — и+ | = 1/т)В = 0,20 M²/(B • c).

6.213. n⁺/n- = r)² = 4,0.

6.214. a) P=l — exp (— А/); б) г = 1/А.

6.215. Около J/₄.

6.216. 1,2- 10Ц.

6.217. т«= 16 с.

6.218. Г=5,3 сут.

6.219. 4,6 • 10² част./мнн.

6.220. Я= —(1/0 In (1 — т))я=т)//=1,1 • 10-* c-i, т=1/Я=1,0 года,

6.221. 7' = 4,5.10<' лет, A =1,2-10" расп./с.

6.222. 4,1 ■ Юз _лет.

6.223. Около 2,0-10» лет.

6.224. Соответственно 3,2 • 10" н 0,8 ■ 10⁵. расп./(с • г).

6.225. У = (А/А')ехр (— Пп2/Г) = 6 л. , 6.226. 0,19%.

6.227. rj = l,6 ч, Г₂ = 9,8 ч; Ы_г1Ы₁ = (Т_г1Т₁) exp (In А₂ —In Л_х) = 10-

6.228. /=—(Г/1п2)1п(1 —А/<?) = 9,5 сут.

6.229. а) дг₁₍₀ ₌ л_1в (e-W.e-V); б) (_ffl = ^fl.

6.230. а) #_а(0 = Мю*ехр(—М); б) t_m=\fk.

I Я, е^- — ;ие~^л«'

6.231. JV,(Q = *io(l + ¹ ~~_A2_^f~~-

6.232. /V_p = /VoA.iexp (—Я,!0 = 0,72. Юи част./с, N_a=N_a (е'*-*' — e~^v) X X XiX₂/(A.₂—Xi) = 1,46 • 10¹¹ част./с. Здесь N₀ — первоначальное число ядер Bi²¹⁰.

6.233. а) РЬ^2М; б) восемь а-распадов и шесть р-распадов,

6.234. v = V"2m_aT_a/m = 3A- \0Ч м/с; 0,020.

6.235. 1,6 МДж.

6.236. 0,82 МэВ.

6.237. а) 6,1 см; б) соответственно 2,1 - 10⁵ н 0,77 • 10».

{(М_л—/И_д) с² при р--распаде н Д'-захвате, (/И„— /Ид — 2т) с² прн Р '"-распаде.

6.239. 0,56 МэВ н 47,5 эВ.

6.240. 5 МДж.

6.241. 0,32 и 0,65 МэВ.

6.242. T«=i/₂Q(Q+2/nc²)/M_Nc² = 0,ll кэВ, где Q = (M_n-M_c—2m)c\ tn — масса электрона.

6.243. 40 км/с.

6.244. 0,45 с, где с—скорость света.

6.245. Де/е = £/2тс² = 3,6 ■ 10"', где от —масса ядра.

6.246. v я= е/тс=0,22 км/с, где пг — масса ядра. ' 6.247. t<=gfl/c = 65 мкм/с.

6.248. ft_MHH = ftc^a/geT = 4,6 м.

6.249. T=TJ[l+(M — т)²/4отМ cos²61 = 6,0 МэВ, где m и М — массы а-частнцы' н ядра лития.

344

6.250. а) ч) = 4тМ/(т + М)²=0,89; б) ч]=2т/(т +М) = ²/_э. Здесь т и Л1 —массы нейтрона и дейтона.

6.251. ^,0_MaKc = arcsin (/л₁/т₂) = 30°, где т_х и т₂ — массы протона и дейтона,

6.252. 2-10» кг/см³, 1 ■ 10³⁸ нуклон/см³.

6.253. a) d; б) F¹⁷; в) а; г) С1³⁷.

6.255. Ве», £_св = 56,5 МэВ.

6.256. а) 8,0 МэВ; б) 11,5 и 8,7 МэВ; в) 14,5 МэВ.

6.257. £„— £_р = 0,22 МэВ.

6.258. Ј = 20e_Ne — 2-4е_а— 128_с=11,9 МэВ, где е—энергия связи на один нуклон в соответствующем ядре.

6.259. а) 8,0225 а. е. м.; б) 10,0135 а. е. м.

6.260. Q = (E₃ + E_i)-(E₁ + E₂).

6.261. а) 8,2- 101° кДж, 2,7- 10^е кг; б) 1,5 кг.

6.262. 5,74- 10⁷ кДж; 2 • 10⁴ кг.

6.263. 2,79 МэВ; 0,85 МэВ.

6.264. Q = 8e_a—7e_Li = 17,3 МэВ.

6.265. Q = (l +T)_p) Г_р—(1 -1]а) Га-2 /^а^а cos >? = -1,2 МэВ, где

6.266. а) —1,65 МэВ; б) 6,82 МэВ; в) —2,79 МэВ; г) 3,11 МэВ.

6.267. i>_a = 0,92- 10'- м/с, y_Li = 0,53- 10⁷ м/с.

6.268. 1,9 МэВ.

6.269. Т_п=-\-г-—~~" ^С;~~ =8,5 МэВ.

6.270 . 9,1 МэВ, 170,5°.

6.272. Г3г£_св (m_p + m_rf)/m_rf=3,3 МэВ.

6.273. В пределах от 1,89 до 2,06 МэВ.

6.274. Q=-ii/i₂r_nop=-3,7 МэВ.

6.275. Соответственно 1,88 и 5,75 МэВ.

6.276. 4,4 МэВ; 5,3- 10^е м/с.

6.277. Г_а=—(т₄-ж₁)Г--^^Г_пор] = 2,2 МэВ, где т_ъ т_г,

*Нз> "i₄ — массы нейтрона, ядра С¹², а-частицы и ядра Be⁸.

6.278. На £_св/2тс² = 0,06%, где т — масса дейтона.

6.279. Ј = Q+²/₃r = 6,5 МэВ.

6.280. £г = £_свЧ--±—7^ = 16,7, 16,9, 17,5 и 17,7 МэВ, г_де£_св —

виергия связи дейтона в промежуточном ядре.

6.281. 0 = (M//Vpd)InT)=2,5 кб, где М— молярная масса кадмия N — число Авогадро, р —плотность кадмня.

6.282. /₀// = ехр [(20₁+0₂)nd]=2O, где л — концентрация молекул тяжелей воды.

6.283. w={\— ехр[— (a_s+a_a) nd}} a_s/(a_s+a_a) = 0,35. где п — концентрация ядер железа.

6.284. а) T=(wjk)\n2; б) w.= ATejItln 2 = 2 • Ю"³.

6.285. а) /=11/оУ = 3. 10» лет;, б) ' JV„_aKc=ya,V_e77In2=l,0 • 104 где JV,—число ядер Аи¹⁸2 в фольге.

345

6.286. W = (l — e~^w) Jna/X.

6.287. J = A^^x/aM₀(l— e~^w) = 6-10⁹ част./(см^а • с), где л —постоянная рас* пада, /V₀—число ядер Аи в фольге.

6.288. JV=JV₀fe'^-* = l,3-10⁶, где i — число поколений.

6.289. W=vP/Ј = 0,8- 10¹» с-1.

6.290. a) N/N₀=4- 10²; б) Г=т/(/г — I) = 10 с.

6.291. Соответственно 0,05, 0,4 и 9 ГэВ.

6.292. </> =ст₀|Л] (Ti + 2)=15 м.

6.293. То = 1тс/У~Т (Г+2тс²)=26 не, где т —масса покоя я-мезона.

6.294. У/7₀=ехр [— lmc/r₀ Ут (Г+2тс²)] = 0,22, где т — масса покоя лг-мезона.

6.295*). r_tl = (m„— т^)²/2/п_я = 4,1 МэВ, Ј_v = 29,8 МэВ. 6.296*. Г = [(т₂ — т_л)² —т_я]/2т₂ =19,5 МэВ. 6.297*. Г_макс = (/пц—т_а)²/2отц, = 52,5 МэВ.

6.298*. т = т_р + Т+ y"m*! + T (Т+2т_р) = 1115 МэВ, Л-частица. 6.299*. Ј_v = ViK-mJ)/K + r)=22 МэВ.

6.300*. т = |/т|, + т_л—2(m_s +T_S) (т_я + Г_я)=0,94 ГэВ, нейтрон. 6.301*. Г_я = т_я [esc (8/2) — 1], Ј_Y = /%/2 sin (8/2). При 6 = 60» энергия

У_я = £_у = т_я. _

6.303*. cos(9/2) = l//l+2m/7\ отсюда 9 = 99'.

6.304*. а) Е_пор = 4т_е = 2,04 МэВ; б) Е_пор = 2/7^ (1 + т_я/т_р) = 320 МэВ. 6.305*. а) Г_пор = 6т_р = 5,6 ГэВ; б) Г_пор==т_я (4т_р + т_я)/2т_р=0,28 ГэВ.

6.306. а) 0,90 ГэВ; б) 0,77 ГэВ.

6.307. S=—2, F=—1, Н»-частица.

6.308. Запрещены 1, 2 и 3.

6.309. Запрещены 2, 4 и 5.

6.310. Энергетически (1); в остальных процессах не сохраняются: барион-» ный заряд (2), электрический заряд (3), странность (4), лептонный заряд (5) и (6) — электронный и мюонный.

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Основные тригонометрические формулы

sin² а + cos² а = 1 sec² а — tg² а = 1 csc²a — ctg²a = l sin а • esc а = I cos a • sec a = 1 tg a • ctg a = 1

sin (a ± P) = sin a cos P ± cos a sin P cos (a ± P) = cos a cos p + sin a sin P

^& ^v ^K/ 1 -ntga- tg p

c1g(a±W-^ct_t^g"^Ctg{l^:Fl⁶ ^v ^Vl ctg p ± ctg a

sin a =—-■-

V l+ctg²a

cos a =—-

Kl + tg²a

sin 2a = 2 sin a cos a

cos 2a =cos² a — sin² a

⁶ 1—tg²a

. . ctg²a—1

ctg 2a = —£-7-

^e 2ctga

. • о о • a + P ^a-P sina +sin p =2 sm —j-^-cos—j"^

. . „ a + p . a-p sm a — sm p = 2 cos —^ sin —tj~

„ „ a + P a —p cosa +cosp =2 cos—j-¹- cos—

„ . a + P . а —В

cos a — cos p = — 2 sm —sm —

. . _ sin (a ± P)

tga ± tg B=-⁵-Щ

⁶ ^K cos a cos p

ctg a±ctg 6 = ± -г—¹—r-^ ⁶ ⁶ ^r sm a sin p

. a -i / 1 — cos a sm ₂ =]/ ₂

a -./"1+cosa cos ₂ =]/ ₂

2 sin a sin p = cos (a—P) —cos (a+P) 2cosacosp = cos (a—p)+cos (a + P) 2 sina cos p=sin (a —p) + sin (a + P)

ga_g-a

sh a =-2"-

e^a + e-« cha =-2"—

,, e« — e~^atha=„ , _„ e^a + e ^a

e^a + e-^actha = „ -„

347

Z. Таблица синусов

ф*

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

20 21 22 23 24

25 26 27 28 29

30 31 32 33 34

35 36 37 38 39

40 41 42 43 44

0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698

0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564

0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419

0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256

0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067

0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848

0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592

0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293

0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947

20'

0,0058 0,0233 0,0407 0,0581 0,0756

0,0929 0,1103 0,1276 0,1449 0,1622

0,1794 0,1965 0,2136 0,2306 0,2476

0,2644 0,2812 0,2979 0,3145 0,3311

0,3475 0,3638 0,3800 0,3961 0,4120

0,4279 0,4436 0,4592 0,4746 0,4899

0,5050 0,5200 0,5348 0,5495 0,5640

0,5783 0,5925 0,6065 0,6202 0,6338

0,6472 0,6604 0,6734 0,6862 0,6988

40'

0,0116 0,0291 0,0465 0,0640 0,0814

0,0987 0,1161 0,1334 0,1507 0,1679

0,1851 0,2022 0,2196 0,2363 0,2532

0,2700 0,2868 0,3035 0,3201 0,3365

0,3529 0,3692 0,3854 0,4014 0,4173

0,4331 0,4488 0,4643 0,4797 0,4950

0,5100 0,5250 0,5398 0,5544 0,5688

0,5831 0,5972 0,6111 0,6248 0,6383

0,6517 0,6648 0,6777 0,6905 0,7030

45 46 47 48 49

50 51 52 53 54

55 56 57 58 59

60 61 62 63 64

65 66 67 68 69

70 71 72 73 74

75 76 77 78 79

80 81 82 83 84

85 86 87 88 89

О'

0,7071 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547

0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090

0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572

0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988

0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336

^0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613

0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816

0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945

0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998

20'

0,7112 0,7234 0,7353 0,7470 0,7585

0,7698 0,7808 0,7916 0,8021 0,8124

0,8225 0,8323 0,8418 0,8511 0,8601

0,8689 0,8774 0,8857 0,8936 0,9013

0,9088 0,9159 0,9228 0,9293 0,9356

0,9417 0,9474 0,9528 0,9580 0,9628

0,9674 0,9717 0,9757 0,9793 0,9827

0,9858 0,9886 0,9911 0,9932 0,9951

0,9967 0,9980 0,9989 0,9996 0,9999

34S

3. Таблица тангенсов

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 13 19

20 21 22 23 24

25 26 27 28 29

30 31 32 33 34

35 36 37 38 39

40 41 42 43 44

0,0000 0,0(75 0,0349 0,0524 0,0699

0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584

0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493

0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443

0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452

0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543

0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745

0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098

0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657

20'

0,0058 0,0233 0,0407 0,0582 0,0758

0,0934 0,1110 0,1287 0,1465 0,1644

0,1823 0,2004 0,2186 0,2370 0,2555

0,2742 0,2931 0,3121 0,3314 0,3508

0,3706 0,3906 0,4108 0,4314 0,4522

0,4734 0,4950 0,5169 0,5392 0,5619

0,5851 0,6088 0,6330 0,6577 0,6830

0,7089 0,7355 0,7627 0,7907 0,8195

0,8491 0,8796 0,9110 0,9435 0,9770

40'

0,0116 0,0291 0,0466 0,0641 0,0816

0,0992 0,1169 0,1346 0,1524 0,1703

0,1883 0,2065 0,2247 0,2432 0,2617

0,2805 0,2994 0,3185 0,3378 0,3574

0,3772 0,3973 0,4176 0,4383 0,4592

0,4806 0,5022 0,5243 0,5467 0,5696

0,5930 0,6168 0,6412 0,6661 0,6916

0,7177 0,7445 0,7720 0,8002 0,8292

0,8591 0,8899 0,9217 0,9545 0,9884

45 46 47 48 49

50 51 52 53 54

55 56 57 58 59

60 61 62 63 64

65 66 67 68 69

70 71 72 73 74

75 76 77 78 79

80 81 82 83 84

85 86 87 88 89

О'

1,0000

1,036

1,072

1,111

1,150

1,192 1,235 1,280 1,327 1,376

1,428 1,483 1,540 1,600 1,664

1,732 1,804 1,881 1,963 2,050

2,145 2,246 2,356 2,475 2,605

2,747 2,904 3,078 3,271 3,487

3,732 4,011 4,331 4,705 5,145

5,671 6,314 7,115 8,144 9,514

11,43 14,30 19,08 28.64 57,29

20'

1,012 1,048 1,085 1,124 1,164

1,206 1,250 1,295 1,343 1,393

1,446 1.501 1,560 1,621 1,686

1,756 1,829 1,907 1,991 2,081

2,177 2,282 2,394 2,517 2,651

2,798 2,960 3,140 3,340 3,566

3,821 4,113 4,449 4,843 5,309

5,871 6,561 7,429 8,556 10,08

12,25 15,60 21,47 34,37 85,94

349

4. Таблица десятичных логарифмов

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	0000	0043	0086	0128	0170	0212	0253	0294	0334	0374
11	0414	0453	0492	0531	0569	0607	0645	0682	0719	0755
12	0792	0828	0864	0899	0934	0969	1004	1038	1072	1106
13	1139	1173	1206	1239	1271	1303	1335	1367	1399	1430
14	1461	1492	1523	1553	1584	1614	1644	1673	1703	1732
15	1761	1790	1818	1847	1875	1903	1931	1959	1987	2014
16	2041	2068	2095	2122	2148	2175	2201	2227	2253	2279
17	2304	2330	2355	2380	2405	2430	2455	2488	2504	2529
18	2553	2577	2601	2625	2648	2672	2695	2718	2742	2765
19	2788	2810	2833	2856	2878	2900	2923	2945	2967	2989
20	ЗОЮ	3032	3054	3075	3096	3118	3139	3160	3181	3201
21	3222	3243	3263	3284	3304	3324	3345	3365	3385	3404
22	3424	3444	3464	3483	3502	3522	3541	3560	3579	3598
23	3617	3636	3655	3674	3692	3711	3729	3747	3766	3784
24	3802	3820	3838	3856	3874	3892	3909	3927	3945	3962
25	3979	3997	4014	4031	4048	4065	4082	4099	4116	4133
26	4150	4166	4183	4200	4216	4232	4249	4265	4281	4298
27	4314	4330	4346	4362	4378	4393	4409	4425	4440	4456
28	4472	4487	4502	4518	4533	4548	4564	4579	4594	4609
29	4624	4639	4654	4669	4683	4698	4713	4728	4742	4757
30	4771	4786	4800	4814	4829	4843	4857	4871	4886	4900
31	4914	4928	4942	4955	4969	4983	4997	5011	5024	5038
32	5051	5065	5079	5092	5105	5119	5132	5145	5159	5172
33	5185	5198	5211	5224	5237	5250	5263	5276	5289	5302
34	5315	5328	5340	5353^	5366	5378	5391	5403	5416	5428
35	5441	5453	5465	5478	5490	5502	5514	5527	5539	5551
36	5563	5575	5587	5599	5611	5623	5635	5647	5658	5670
37	5682	5694	5705	5717	5729	5740	5752	5763	5775	5786
38	5798	5809	5821	5832	5843	5855	5866	5877	5888	5899
39	5911	5922	5933	5944	5955	5966	5977	5988	5999	6010
40	6021	6031	6042	6053	6064	6075	6085	6096	6107	6117
- 41	6128	6138	6149	6160	6170	6180	6191	6201	6212	6222
- 42	6232	6243	6253	6263	6274	6284	6294	6304	6314	6325
43	6335	6345	6355	6365	6375	6385	6395	6405	6415	6425
44	6435	6444	6454	6464	6474	6484	6493	6503	6513	6522
45	6532	6542	6551	6561	6571	6580	6590	6599	6609	6618
46	6628	6637	6646	6656	6665	6675	6684	6693	6702	6712
. 47	6721	6730	6739	6749	6758	6767	6776	6785	6794	6803
48	6812	6821	6830	6839	6848	6857	6866	6875	6884	6893
49	.6902	6911	6920	6928	6937	6946	6955	6964	6972	6981
50	6990	6998	7007	7016	7024	7033	7042 '	7050	7059	7067
51	7076	7084	7093	7101	7110	7118	7126	7135	7143	7152
52	7160	7168	7177	7185	7193	7202	7210	7218	7226	7235
53	7243	7251	7259	7267	7275	7284	7292	7300	7308	7316
54	7324	7332	7340	7348	7356	7364	7372	7380	7388	7396

350

Продолжение табл. 4

N	0	1	2	3	4	б	6	7	8	9
55	7404	7412	7419	7427	7435	7443	7451	7459	7466	7475
56	7482	7490	7497	7505	7513	7520	7528	7536	7543	7551
57	7559	7566	7574	7582	7589	7597	7604	7612	7619	7627
58	7634	7642	7649	7657	7664	7672	7679	7686	7694	7701
59	7709	7716	7723	7731	7738	7745	7752	7760	7767	7774
60	7782	7789	7796	7803	7810	7818	7825	7832	7839	7846
61	7853	7860	7868	7875	7882	7889	7896	7903	7910	7917
62	7924	7931	7938	7945	7952	7959	7966	7973	7980	7987
63	7993	8000	8007	8014	8021	8028	8035	8041	8048	8055
64	8062	8069	8075	8082	8089	8096	8102	8109	8116	8122
65	8129	8136	8142	8149	8156	8162	8169	8176	8182	8189
66	8195	8202	8209	8215	8222	8228	8235	8241	8248	8254
67	8261	8267	8274	8280	8287	8293	8299	8306	8312	8319
68	8325	8331	8338	8344	8351	8357	8363	8370	8376	8382
69	8388	8395	8401	8407	8414	8420	8426	8432	8439	8445
70	8451	8457	8463	8470	8476	8482	8488	8494	8500	8506
71	8513	8519	8525	8531	8537	8543	8549	8555	8561	8567
72	8573	8579	8585	8591	8597	8603	8609	8615	8621	8627
73	8633	8639	8645	8651	8657	8663	8669	8675	8681	8686
74	8692	8698	8704	8710	8716	8722	8727	8733	8739	8745
75	8751	8756	8762	8768	8774	8779	8785	8791	8797	8802
76	8808	8814	8820	8825	8831	8837	8842	8848	8854	8859
77	8865	8871	8876	8882	8887	8893	8899	8904	8910	8915
78	8921	8927	8632	8938	8943	8949	8954	8960	8965	8971
79	8976	8982	8987	8993	8998	9004	9009	9015	9020	9025
80	9031	9036	9042	9047	9053	9058	9063	9069	9074	9079
81	9085	9090	9096	9101	9106	9112	9117	9122	9128	9133
82	9138	9143	9149	9154	9159	9165	9170	9175	9180	9186
83	9191	9196	9201	9206	9212	9217	9222	9227	9232	9238
84	9243	9248	9253	9258	9263	9269	9274	9279	9284	9289
85	9294	9299	9304	9309	9315	9320	9325	9330	9335	9340
86	9345	9350	9355	9360	9365	9370	9375	9380	9385	9390
87	9395	9400	9405	9410	9415	9420	9425	9430	9435	9440
88	9445	9450	9455	9460	9465	9469	9474	9479	9484	9489
89	9494	9499	9504	9509	9513	9518	9523	9528	9533	9538
90	9542	9547	9552	9557	9562	9566	9571	9576	9581	9586
91	9590	9595	9600	9605	9609	9614	9619	9624	9628	9633
92	9638	9643	9647	9652	9657	9661	9666	9671	9675	9680
93	9685	9689	9694	9699	9703	9708	9713	9717	9722	9727
94	9731	9736	9741	9745	9750	9754	9759	9763	9768	9773
95	9777	9782	9786	9791	9795	9800	9805	9809	9814	9818
96	9823	9827	9832	9836	9841	9845	9850	9854	9859	9863
97	9868	9872	9877	9881	9886	9890	9894	9899	9903	9908
98	9912	99! 7	9921	9926	9930	9934	9939	9943	9948	9952
99	9956	9961	9965	9969	9974	9978	9983	9987	9991	9996

5. Показательные функции

X		е^-*	X
0,00	1,0000	1,0000	2,00	7,3891	0,1353
0,05	1,0513	0,9512	2,05	7,7679	0,1287
0,10	1,1052	0,9048	2,10	8,1662	0,1225
0,15	1,1618	0.8607	2,15	8,5849	0,1165
0,20	1,2214	0,8187	2,20	9,0250	0,1108
0,25	1,2840	0,7788	2,25	9,4877	0,1054
0,30	1,3499	0,7408	2,30	9,9742	0,1003
0,35	1,4191	0,7047	2,35	10,486	0,09537
0,40	1,4918	0,6703	2,40	11,023	0,09072
0,45	1,5683	0,6376	2,45	11,588	0,08629
0,50	1,6487	0,6065	2,50	12,182	0,08208
0,55	1,7333	0,5770	2,55	12,807	0,07808
0,60	1,8221	0,5488	■ 2,60	13,464	0,07427
0,65	1,9155	0,5221	2,65	14,154	0,07065
0,70	2,0138	0,4966	2,70	14,880	0,06721
0,75	2,1170	0,4724	2,75	15,643	0,06393
0,80	2,2255	0,4493	2,80	16,445	0,06081
0,85	2,3396	0,4274	2,85	17,288	0,05784
0,90	2,4596	0,4066	2,90	18,174	0,05502
0,95	2,5857	0,3867	2,95	19,106	0,05234
1,00	2.7183	0,3679	3,00	20,086	0,04979
1,05	2,8577	0,3499	3,05	21,115	0,04736
1,10	3,0042	0,3329	3,10	22,198	0,04505
1,15	3,1582	0,3166	3,15	23,336	0,04285
1,20	3,3201	0,3012	3,20	24,533	0,04076
1,25	3,4903	0,2865	3,25	25,790	0,03877
1,30	3,6693	0,2725	3,30	27,113	0,03688
1,35	3,8574	0,2592	3,35	28,503	0,03508
1,40	4,0552	0,2466	3,40	29,964	0,03337
1,45	4,2631	0,2346	3,45	31,500	0,03175
1,50	4,4817	0,2231	3,50	33,115	0,03020
1,55	4,7115	0,2123	3,55	34,813	0,02872
1,60	4,9530	0,2019	3,60	36,598	0,02732
1,65	5,2070	0,1921	3,65	38,475	0,02599
1,70	5,4739	0,1827	3,70	40,447	0,02472
1,75	5,7546	0,1738	3,75	42,521	0,02352
1,80	6,0496	0,1653	3,80	44,701	0,02237
1,85	6,3598	0,1572	3,85	46,993	0,02128
1,90	6,6859	0,1496	3,90	49,402	0,02024
1,95	7,0237	0,1423	3,95	51,935	0,01925

352

Продолжение табл. 5

X	е*	е^-*	X	е*	е^-*
4,00	54,598	0,01832	6,0	403,43	0,00248
4,05	57,397	0,01742	6,1	445,86	0,00224
4,10	60,340	0,01657	6,2	492,75	0,00203
4,15	63,434	0,01576	6,3	544,57	0,00184
4,20	66,686	0,01500	6,4	601,85	0,00166
4,25	70,105	0,01426	6,5	665,14	0,001503
4,30	73,700	0,01357	6,6	735,10	0,001360
' 4,35	77,478	0,01991	6,7	812,41	0,001231
4,40	81,451	0,01228	6,8	897,85	0,001114
4,45	85,627	0,01168	6,9	992,27	0,001008
4,50	90,017	0,01111	7,0	1096,6	0,000912
4,55	94,632	0,01057	7,1	1212,2	0,000825
4,60	99,484	0,01005	7,2	1339,4	0,000747
4,65	104,58	0,00956	7,3	1480,5	0,000676
4,70	109,95	0,00910	7,4	1636,0	0,000611
4,75	115,58	0,00865	7,5	1808,0	0,000553
4,80	121,51	0,00823	7,6	1998,2	0,000500
4,85	127,74	0,00783	7,7	2208,3	0,000453
4,90	134,29	0,00745	7,8	2440,6	0,000410
4,95	141,17	0,00708	7,9	2697,3	0,000371
5,00	148,41	0,00674	8,0	2981,0	0,000335
5,05	156,02	0,00641	8,1	3294,5	0,000304
5,10	164,02	0,00610	8,2	3641,0	0,000275
5,15	172,43	0,00580	8,3	4023,9	0,000249
5,20	181,27	0,00552	8,4	4447,1	0,000225
5,25	190,57	0,00525	8,5	4914,8	0,000203
5,30	200,34	0,00499	8,6	5431,7	0,000184
5,35	210,61	0,00475	8,7	6002,9	0,000167
5,40	221,41	0,00452	8,8	6634,2	0,000151
5,45	232,76	0,00430	8,9	7332,0	0,000136
5,50	244,69	0,00409	9,0	8103,1	0,000123
5,55	257,24	0,00389	9,1	8955,3	0,000112
5,60	270,43	0,00370	9,2	9897,1	0,000101
5,65	284,29	0,00352	9,3	10938	0,000091
5,70	298,87	0,00335	9,4	12088	0,000083
5,75	314,19	0,00318	9,5	13360	0,000075
5,80	330,30	0,00303	9,6	14765	0,000068
5,85	347,23	0,00288	9,7	16318	0,000061
5,90	365,04	0,00274	9,8	18034	0,000055
5,95	383,75	0,00261	9,9	19930	0,000050
			10,0	22026	0,000045

35)

6. Греческий алфавит

А, а	— альфа	I,	i —йота	Р, р —ро
В, В	— бета	К,	у, — каппа	2, а — сигма
Г. Y	— гамма	А,	Я —ламбда	Т, т—тау
А, б	—дельта	М,	ц — мю	Г, о — ипсилон
Е. е	— эпсилон	N,	V — ню	Ф, ф —фи
z, t	—дзета	В,	1—кси	X, %—хи .
Н, ц	— эта	О,	о—омикрон	TP, 1\|) — пси
е,	6—тэта	п,	я— пи	Q, со—омега

7. Некоторые постоянные числа и приближенные формулы

Постоянные числа	Приближенные формулы <при а < 1)
Я= 3,1416	(1 ± а)" я» 1 ± л а
я² = 9,8696	е^а «=з 1 +а
Уп =1,7725	In (1 +а) я=а
е = 2,7183	sin а а
lge = 0,4343	cos а 1 — а²/2
In 10=2,3026

8. Некоторые сведения о, векторах

a (b + c) = ab+ac [а, Ь + с] = [abj + [ас]

ab=a_xb_x+a_yb_y-\~a_zb_z [а [ЬсЦ = Ь (ас) —с (ab)

1 J к

[ab|= а_х а_у а_г = (a_yb_z-a_zb_y) i + (aj>_x—a_xb_e) \ + (a_xb_y—a_yb_x) к ib_x b_y b_z

& . , .. da , db -^(a + b) = - + ^

d da da

_гМ_-Lt'H'S]

354

9. Таблица производных и интегралов

Функция

J_ х^п

V~«

е^х_епх

а* In х

Производная

пх^п-$

2 VI е*

пе^пха^х In а 1 х

Функция

sin *

COS Ж tg*

ctg x

У и In а

Производная

cos x — sin ж 1

cos² ж

и'

2 V и

и' и

vu'—v'u

Функция

arcsin х arccos х arctg x

arc ctg x

shx

ch x

thx

cthAS

Производная

~ VT^x 1

1-f-x²

^_ l+*^a

ch x sh x

ch²*

__1__

sh²*

J *

j sin xdx= —cos ж j cosxd«=sinA;

J tg x dx = — In cos x J ctg ж dx = ln sin x dx

cos² ж f dx J sin² л;

' tg* — ctg*

^ е*йх=е* Jm5 = arctg*

1 = arcsin js

J ^ 1 — x² l)

^{Интегрирование «по частям»:}^yi-dv=tm^—^{^vdu}

Значения некоторых определенных интегралов

( 1, п = 0-1 2, п = 2

fV.Kn, п = 0

j V.Kn, n=2

I Va. и = 3

/2,31, n = V«

J б""-¹ I л*/15, л = 3 ⁰ 1 24,9, п = 4

_a / 0,225, a=l

l* хЧх ¹'¹⁸> ^a==2\4^L= 2,56, a = 3

£ ^e -¹ 4,91, a =5

^u I 6,43, a =10

355

10. Астрономические величины

Космическое тело		Средний радиус, м		Масса, кг	Средняя плотность, 10» кг/м³	Период обращения вокруг осы, сутки
Солнце Земля Луна		6,95- 108 6,37 • 10« 1,74- 10«		1,97 • Юз» 5,96- 1024 7,30 • IO³²	1,41 5,52 3,30	25,4 1,00 27,3
Планеты Солнечной системы	Среднее расстояние от Солнца, 10⁶ км		Период обращения вокруг Солнца в годах
Меркурий	57,87		0,241
Венера	108,14		0,615
Земля	149,50		1,000
Марс	227.79		1,881
Юпитер	777,8		11,862
Сатурн	1426,1		29,458
Уран	2867,7		84,013
Нептун	4494		164,79
Плутон	9508		248,43

11. Плотности веществ

Тьердые вещества	р, г/см³	Жидкости	р, г/см³
Алмаз	3,5	Бензол	0,88
Алюмнннй	2,7	Вода	1,00
Вольфрам	19,1	Глнцернн	1,26
Графит	1,6	Касторовое масло	0,90
Железо (сталь)	7,8	Керосин	0,80
Золото	19,3	Ртуть	13,6
Кадмий	8,65	Спнрт	0,79
Кобальт	8,9	Тяжелая вода	1,1
Лед	0,916	Эфир	0,72
Медь Молибден	8,9 ¹ 10,2	Эфир
Медь Молибден	8,9 ¹ 10,2	Газы (при нормальных	р, кг/м*
Натрий	0,97	условиях)	р, кг/м*
Никель	8,9	условиях)
Олово	7,4
Платина	21,5	Азот	1,25
Пробка	0,20	Аммиак	0,77
Свинец	11,3	Водород	0,09
Серебро	10,5	Воздух	1,293
Титан	4,5	Кислород	1,43
Уран	19,0	Метай	0,72
Фарфор	2,3	Углекислый газ	1,98
Цинк	7,0	Хлор	3,21

356

12. Коэффициенты теплового расширения

(при комнатных температурах)

Твердое тело

Коэффициент линейного расширения а, 10-« К~»

Жидкость

Коэффициент

объемного расширения

р, ю-* К^-4

Алюминий

Латунь

Медь

Сталь (железо) Стекло обычное

•

Примечание. а =

22,9 18,9 16,7 11 8,5

1 61

1 дТ' ^р

Вода

Глицерин

Керосин

Ртуть

Спнрт этиловый

1 dV V дТ

2.1

5,0 10,0

1,8 11,0

13. Упругие постоянные. Предел прочности

Материал

Модуль Юнга Е. ГПа

Модуль сдвига 0, ГПа

Коэффициент Пуассона

Предел прочности на разрыв

°». ^ГПа

Коэффи» циент сжимаемости Р, ГПа-»

Алюминий

Медь

Свинец

Сталь (железо)

Стекло

Вода

Примечание. I

70 130

16 200

<оэффнцие

26 40 5,6 81 30

нт сжимае

0,34 0,34 0,44 0,29 0,25

мости 6 =

0,10

0,30

0,015

0,60

0,05

1 dV ~ V ~др-

0,014

0,007 0,022 0,006 0,025 0,49

14. Давление насыщенных паров воды

°с	Давление, кПа	°С	Давление, кПа	"С	Давление, кПа
0	0,61	25	3,15	60	19,9
■ 5	0,87	30	4,23	70	31,0
10	1,22	35	5,60	80	47,3
15	1,70	40	7,35	90	70,0
20	2,33	50	12,3	100	101

357

15. Постоянные газов

(при нормальных условиях)

Газ	Относительная		Теплопроводность мВт	Вязкость	Диаметр моле-	Постоянные Ван-дер-Ваальса
Газ	молекулярная масса	у-Су		11, мкПа -с	кулы d, ни	атм.л²	ь , ^л
	молекулярная масса					* моль²	' моль
Не	4	1,63	141,5	1 18,9	0,20
Аг	40	1,67	16,2	22,1	0,35	1,30	0,032
н₃	2	1,41	168,4	8,4	0,27	0,24	0,027
	28	1,40	24,3	16,7	0,37	1,35	0,039
о_а	32	1,40	24,4	19,2	0,35	Г,35	0,032
со₂	44	1,30	23,2	14,0	0,40	3,62	0,043
н₂о	18	1,32	15,8	9,0	0,30	5,47	0,030
Воздух	29	1,40	24,1	17,2	0,35	—	—
Примечание. В этой таблице приведены средние значения диаметров молекул. При более точных расчетах следует иметь в виду, что значения й, полученные из коэффициентов вязкости, теплопроводности, диффузии и Постоянной Ъ Ван-дер-Ваальса, заметно отличаются друг от друга.

16. Постоянные жидкостей и твердых тел

(при нормальных условиях)

Вещество	Удельная теплоемкость	Удельная теплота парообразования я, Дж/г	Удельная теплота плавления я, Дж/г	Поверхностное натяжение а, мН/м
Вода	4,18	2250		73 -
Глицерин	2,42	—	—	66
Ртуть	0,14	284	—	490
Спирт	2,42	853	—	22
Алюминии	0,90	—	321	—
Железо	0,46	_—	270	—
Лед	2,09	—	333	—
Медь	0,39	—	175	—
Серебро	0,23	—	88	—
Свинец	0,13	—	25	—

358

17. Диэлектрические проницаемости

(относительные)

Диэяектрчгк	в	Диэлектрик	8
Вода	81	Слюда	7,5
Воздух	1,00058	Спирт	26
Керосин	2,0	Стекло	6,0
Парафин	2,0	Фарфор	6»0
Плексиглас	3,5	Эбонит	2,7
Полиэтилен	2,3

18. Удельные сопротивления проводников

Проводник	Удельное сопротивление (при 20 °С) р, иОмм	Темперотурный коэффициент а, кК^_*
Алюминий	25	4,5
Вольфрам	50	4,8
Железо	90	6,5
Золото	20	4,0
Медь	16	4,3
Свинец	190	4,2
Серебро	15	4>1

19. Магнитные восприимчивости пара- и диамагнетиков

(относительные)

Парамагнетики

Днамагнетика

10-*

Азот

Воздух

Кислород

Эбонит

Алюминий

Вольфрам

Платина

Жидкий кислород

0,013 0,38 1,9 14 23 176 360 3400

Водород

Бензол Вода Медь Стекло

Каменная соль

Кварц

Висмут

—0,063 —7,5 —9,0 —10,3 —12,6 —12,6 —15,1 —176

359

20. Показатели преломления

Вещество

Воздух Вода

Примечая зависят от приро, приведенные в эт как условные.

1,00029 1,33

и е. Как изве 5ы вещества ой таблице зн

Стекло Алмаз

:стно, показатели i

и ДЛИНЫ ВОЛНЫ СВ(

ачения п следует ра

1,50 2,42

треломления :та, поэтому ссматривать

Длина волны Я, нм

Цвет

Исландский шпат

Кварц

687 656 589 527 486 431 400 красный

оранжевый

желтый

зеленый

голубой

сине-фиолетовый фиолетовый

1,484 1,485 1,486 1,489 1,491 1,495 1,498

1,653 1,655 1,658 1,664 1,668 1,676 1,683

1,550 1,551 1,553 1,556 1,559 1,564 1,568

1,541 1,542 1,544 1,547 1,550 1,554 1,558

21. Вращение плоскости поляризации

Естественное вращение в кварце (толщина пластинки 1 мм)

Я, нм

Ф, град

Я, нм

Ф, град

Я, нм ф, град

199,0 217,4 219,4 257,1 274,7 328,6

295,65 226,91 220,7 143,3 121,1 78,58

344,1 372,6 404,7 435,9 491,6 508,6

70,59 58,89 48,93 41,54 31,98 29,72

589,5 656,3 670,8

1040

1450

1770

21,72 17,32 16,54 6,69 3,41 2,28

Магнитное вращение (А, = 589нм). Постоянная Верде V:

Жидкость	V, угл. мни/А	Жидкость	V, угл. мии/А
Бензол Вода	2,59 0,016	Сероуглерод Спирт этиловый	0,053 1,072

360

22. Работа выхода электрона из металлов

Металл	А, эВ	Металл	А, зВ	Металл	A, SB
Алюминий	3,74	Калий	2,15	Никель	4,84
Барий	2,29	Кобальт	4,25	Платина	5,29
Висмут	4,62	Литий	2,39	Серебро	4,28
Вольфрам	4,50	Медь	4,47	Титан	3,92
Железо	4,36	Молибден	4,27	Цезий	1,89
Золото	4,58	Натрий	2,27	Цинк	3,74

23. Край К-полосы поглощения

Z	Элемент	Яд, пм	Z	Элемент	%ц, dm
23	V	226,8	47	Ag	48,60
26	Fe	174,1	50	Sn	42,39
27	Со	160,4	74	W	17,85
28	Ni	148,6	78	Pt	15,85
29	Си	138,0	79	Аи	15,35
30	Zn	128,4	82	Pb	14.05
42	Mo	61,9	92	и	10,75

24. Массовые коэффициенты ослабления

(рентгеновское излучение, узкий пучок)

i., пм

Массовый коэффициент ослабления ц/р, см²/г

Воздух

Вода

Алюминий

Медь

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 150 200 250

0,48

0,75

1,3

1,6

2,1

2,6

8,7

0,16

0,18

0,29

0,44

0,66

1,0

1,5

2,1

2,8

3,8

0,16 0,28 0,47

1,1 2,0 3,4 5,1 7,4 11 15 46 102 194

0,36 1,5 4,3 9,8 19 32 48 70 98 131 49 108 198

361

25. Потенциалы ионизации атомов

		Потенциал			Поте-нциал
2	Атом	ионизации	2	Атом	ионизации
		ф. в			ч». в
1	н	13,59	7	N	14,54
2	Не	24,58	8	О	13,62
3	Li	5,39	9	F	17,42
4	Be	9,32	10	Ne	21,56
5	В	8,30	11	Na	5,14
6	С	11,27	80	Hg	10,44

26. Массы легких атомов

Z	Изотоп	Избыток массы атома А_г — А, а.е.м_	2	Изотоп	Избыток массы атома A_r— А, а.е.м.
0	п	0,00867	6	СИ	0,01143
1	Hi	0,00783		С¹²	0
	Н²	0,01410		С¹³	0,00335
	№	0,01605	7	N4	0,00574
2	НеЗ	0,01603		N1*	0,00307
	Не*	0,00260		N4	0,00011
3	Li«	0,01513	8		0,00307
	Li?	0,01601		О"	—0,00509
4	Be?	0,01693		сиг	—0,00087
	Вев	0,00531	9	pi9	—0,00160
	Ве»	0,01219	10	Ne²<>	—0,00756
	Be"	(Х.01354	11	Na²*	—0,01023
5	Bio	0,01294		Na²*	—0,00903
	в«	0,00930	12	Mg²*	—0,01496
Примечание		Здесь А_г — относительная атомная масса (в а. е. м.).
А—массовое число.

27. Периоды полураспада радиоизотопов

2	Изотоп	Тип распада	Период полураспада
27	Кобальт Со⁸⁰	Р	5,2 года
38	Стронций Sr»^e	Р	28 лет
84	Полоний Ро²!"	а	138 дней
86	Радон Rn²²²	а	3,8 дня
88	Радий Ra²²«	а	1620 лет
92	Уран U²38	а	4,5-10» лет

362

28. Единицы физических величин

Обозначения и названия некоторых единиц

А—ампер	дин—дина	Н — ньютон
а. е. м. — атомная единица	Дж — джоуль	П — пуаз
массы	дп—диоптрия	Па — паскаль
Б — бел	К —кельвин	рад—радиан
б—барн	кд— кандела	с—секунда
В—вольт	Кл —кулон	См — сименс
Вб— вебер	л — литр	ср — стерадиан
Вт—ватт	лк —люкс	Т—тесла
Г — генри	лм—люмен	Ф —фарада
г — грамм	м—метр	ч — час
Гс — гаусс	мин —минута	Э —эрстед
*Гц—герц	Мкс —максвелл	эВ—электроявольт

¹ Десятичные приставки к названиям единиц

Г —гига (10»)	Д	-деци (10-1)	мк — микро (М)""*)
М—мега (106)	с	— санти (Ю^-2)	и —нано (10^-*)
к—кило (103)	м	— милли (Ю^-3)	п —пико (10^-W)

Единицы величин в СИ и СГС

Величина

Единица величины

СИ

СГС

Длина

Время

Скорость

Ускорение

Частота колебаний

Угловая скорость

Угловое ускорение

Масса

Плотность

Сила

Давление • напряжение Импульс Момент силы Энергия, работа Мсй^аость

м/с м/с²

Гц рад/с рад/с²

кг кг/м?

Па кг • м/с Нм

Дж

Вт

см

с см/с см/с²

Гц рад/с рад/с²

г/см? дин дии/см²г - см/с дин-см эрг эрг/с

3i3

Продолжение табл. 28

	Единица	величины	Отношение
Величина			ед. СИ
	СИ	СГС	ед. СГС
Плотность потока энергия	Вт/м²	эрг/(с • см²)	10'
Момент импульса	кг • м²/с	г • см²/с	10?
Момент инерции	кг • м²	г • см²	10?
Вязкость	Па - с	П	10
Температура	К	к	1
Теплоемкость, энтропия	Дж/К	эрг/К	10"
Количество электричества	Кл	СГСЭ-ед.	3- 10»
Потенциал	В	СГСЭ-ед.	1/300
Напряженность электрического	В/м	СГСЭ-ед.	1/(3- 10⁴)
поля
Электрическое смещение	Кл • м²	СГСЭ-ед.	12л - 10?
Электрический момент диполя	Кл • м	СГСЭ-ед.	3-104
Поляризованность	Кл/м²	СГСЭ-ед.	3- 10»
Емкость	Ф	см	9- 104
Сила тока	А	СГСЭ-ед.	3- 10»
Плотность тока	А'м²	СГСЭ-ед.	3- 105
Сопротивление	Он	СГСЭ-ед.	1/(9- Юн)
Удельное сопротивление	Ом - м	СГСЭ-ед.	1/(9 • 10»)
Проводимость	См	СГСЭ-ед.	9- 10U
Магнитная индукция	Т	Гс	10*
Магнитный поток	Вб	Мкс	Ш³
Напряженность магнитного поля	А/м	Э	4л- Ю-з
Магнитный момент	А ■ м²	СГСМ-ед.	Юз
' Намагниченность	А/м	СГСМ-ед.	IO?
. Индуктивность	Г	см	10»
Сила света	кд	кд	1
Световой поток	ли	лм	1
Освещенность	л к
Светимость	лм/м²
Яркость	кд/м²
Примечание. Электрические и магнитные единицы			в СГС даны
здесь в гауссовой системе.

Некоторые внесистемные единицы

1 мм год = 3,11 • Ю⁷ с

__ I 101,3 кПа атм— j _7б0 _ым _рт_ _ст_

бар = 100 кПа (точно) ст. = 133,3 Па атм =101.3 Дж кал = 4,18 Дж

:10-

10"

А = кг» см ²⁴ см²

1,6 • IO"" Дж

1,6- 10-1³ эрг 1,66 -10"²¹ г 931,4 МэВ 1 Кп (кюри) = 3,70- 10"> расп./с

эВ

1 а. е. м

_-{

364

29. Основные формулы электродинамики в СИ и гауссовой системе

наименование

си

гауссова система

Напряженность поля точечного заряда

Напряженность поля плоского конденсатора

Потенциал поля точечного заряда

Связь между Е и ф

Электрический диполь р

в поле Е Связь между Р и Е Связь между о', Р и Е Определение вектора D Связь между е и х Связь между D и Е

Теорема Гаусса для вектора D Емкость конденсатора

Емкость плоского конденсатора

Энергия системы зарядов

Энергия конденсатора Плотность энергии электрического поля

Закон Ома

Закон Джоуля —Ленца Магнитный момент контура с током

Магнитный диполь р_шв поле В

Закон Био—Савара

Индукция поля:

а) прямого тока

б) в центре витка

в) в соленоиде

Е =

J__<L

4jl8o г²

боб

<р=--—

^т 4яе₀ г

Е =

4 тот е

± г

Е = — V ф. <Pi—фа=$ Eidl 1

N = [pE], № = -рЕ

Р=хг₀Е о' = Р„ = хе_в£„ D=eoE+P

8= 1 +х

D =еоеЕ <§> D„dS*=q

C = q/U

Р=хЕ

о'=Р„=х£_яD = Е+4лР е = 1 + 4лх D = eE

§ D_ndS = 4nq

С=

eoeS

eS 4n d

W = CU²J2

i = oE

w=cE²

Pm = lS

w = — 8л

N = [P_mB], B7=-p_mB

dB =

Po / Idl. r] 4зг r³

4л r _B==Po 2л/ 4я г

dB =

1 7 [rfl, r]

365

Продолжение пабл. 29

Наименование

СИ f

Гауссова систем»

Определение вектора Н

Циркуляция вектора Н в постоянном поле

Связь между J и Н

Связь между р» ^и X Связь между В и Н

Сила Лореица

Закон Ампера

Сила взаимодействия параллельных токов

Э. д. с. индукции

Индуктивность Индуктивность соленоида Энергия магнитного поля тока

Плотность энергии магнитного поля

Уравнения Максвелла в интегральной

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Скорость электромагнитной волны в среде

Связь между £ и Я в электромагнитной волне

Вектор Пойнтинга

H = B/|io-J

H-⁼¹-f-x

B = u.„u.H F = <7[vB]

dF = /[dl, В]

4л d

^_ dt /, = Ф// L = \i<pnW LI* 2

H = B-4nJ

J=_XH

Й7 = :

§> Eidt = —^B_ndS § B_ndS = 0

§Htdl = lu_a+D_a) dS V-D = p VXE=—В '^B=0

VxH = j+D

£ 1^698 = H УцаЦ S = [EHJ

В = цН F=^-[vB]

£ =

i- [dl, B] 1 2/_x/₂

c² d

с df L=cd>H L ==4яця²К

c² 2 ВЯ

§D_ndS = ^^pdV

B^dS

^E#^—^l\

§B_ndS = 0

V-D = 4no

= 4rcp

V X E = —-fe

с ¹

VB=0

eVI=hV^

S = ~- [EH]

366

30. Основные физические константы

Скорость света в вакууме Гравитационная постоянная

Стандартное ускорение свободного

падения Число Авогадро Стандартный объем газа Число Лошмидта

Универсальная газовая постоянная

Постоянная Больцмана Число Фа радея Элементарный заряд

Масса электрона

Удельный заряд электрона Масса протона

Удельный заряд протона

Постоянная Стефана—Больцмана Постоянная закона смещения Вина

Постоянная Планка Постоянная Ридберга

Первый боровский радиус Энергия связи электрона в атоме водорода

Комптоновская длина волны электрона

Классический радиус электрона Магнетон Бора

Ядерный магнетон

Магнитный момент протона » » нейтрона

Атомная единица массы Электрическая постоянная

Магнитная постоянная

с = 2,998- № м/с

„_ J 6,67- 10-Д м³/(кг-с²)

^7— \ 6,67 : Ю-⁸ см³/(г-с²)

я₀ =

R =

_-{

tn_e I m_p= j

_-{

a b

R' H-E-

9,807 м/с²6,023 • 10²³ моль-Л 22,4 л/моль i 2,69 • 10²⁵. м-? t 2,69-101» cm-s ( 8,314 Дж/(К • моль) i 8,314 • 10? эрг/(К • моль) \ 0,082 л • атм/(К • моль) | 1,380-Ю^-23 Дж/К 1 1,380 • КГ" эрг/К 0,965 • 10⁸ Кл/кг-экв 2,90 • 101* СГСЭ/г-экв 1,602 • 10-1» К л 4,803- 10-ю СГСЭ ( 0.91ЫО-30 _кг\ 0^11 •Ю^-27 г \ 0,511 МэВ 1,76 ■ 10« Кл/кг 5,27 • 10" СГСЭ/г 1,672 ■ Ю^-2? кг 1,672'." 10"» г 0,959 • 10» Кд/кг _v 2,87 • 10^м СГСЭ/г 5,67 ■ Ю-» ВтДм» • К*) 0,29 ем • К I 1,054 - Ю"³* Дж-с { 1,054 • lO"²? :5pi--cr { 0,659 • 10"1⁵ эВ • с

=S^=2,07- 10" с"* 2л³

= R/2nc= 1,097-10? см"* = ft²/me²=0,529- 10-е _см= те«/2й²= 13,56 эВ

й_г = Й//лс=3,86- 10-Н см

е²/тс²=2,82- IO-1³ _См ^еЙ 0,927 • 10-20 эрг/Гс

2т_ес еН

^=^Гг⁼⁵'^05,10_М ^Эрг/Гс

1 а. е. м. =

1/4яв₀ = Щ> = р.₀/4я=

2т_рс = 2,7928 ц„ = -1,913 p„

1 1,660 • 10"²⁴ г ⁼ \ 931,4 МэВ = 0,885-10-4 ф/м = 9-10» м/Ф = 1,257 • 10-е гу_м= 10-' Г/м

367

Игорь Евгеньевич ИРОДОВ

ЗАДАЧИ ПО ОБЩЕЙ ФИЗИКЕ

М., 1979 г., 363 стр, с игтл«

Редактор Н. А. М и * а п и н а

Технический рздзчгор В. Н. Кондакова

Корректоры 3. 3. Аатонееаа, Н. Д. Дорохова

И5 N2 11421

Сдано в набор 31.07.78. Подписано к печати 17.01.79. Бумага 60 X 90^!/ie, тип. N2 {. Литературная гарнитура- Высокая печать. Условн. печ. л. 23 + фарпац 0,25- Уч.-изд. я. 25,19+форзац 0,25. Тираж 125 ООО э«з. Заказ N'2 НО. Цена книги 85 коп,

Издательство г-Наукэ» Главная редакция

физико-мзтгматическои литератур!.!

II707J, Москва, 3-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Октябрьской Резолюции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское произзодсг-венно-техническое объединение «Печатный Дзор» имени А. М. Горького ;<Союзполиграфпрома» при Государстзенном комитете СССР по делам издательств, полиграфин и книжной торговли. 197t36_TЛенинград, П-136, Гатчинская, 26.